5.- Intervalos característicos. - APUNTES: Tema 11. Muestras (Parte II)

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(1)

Tema 11: MUESTREO. DISTRIBUCIONES MUESTRALES

5.- Intervalos característicos.

Son intervalos cuyos extremos equidistan de la media ( ) y cuya probabilidad es una cantidad determinada

1

,

normalmente vale 0.90, 0.95 o 0.99

5.1.- Intervalos característicos en N(0,1).

Los intervalos característicos de la N(0,1) son de la forma

,

, que tienen como centro del intervalo a

0

, es decir se cumple que:

1

⁄ ⁄

1

Tendremos que calcular

.

Casos particulares:

a) Si

.

0.90

1

0.

10

2

0.05

9

. .

0. 0

.

.

0.90

.

1

.

0.90

0

.

1

.

0.9

2 ·

.

1.90

.

.

.

Buscando en la tabla:

1.64

0.9495

.

.

1.65

0.9505

Por tanto :

.

1.645

.

b) Si

.

De igual forma que el anterior llegamos a que: . .

.

1

.96

0.9750

.

.

(2)

c) Si

.

De igual forma que el anterior llegamos a que: . .

.

2

.58

0.9949

.

.

Por tanto:

.

.

.

MUY IMPORTANTE: Resumen de los principales valores críticos en N(0,1)

%

90% 0.90 0.10 0.05 0.95 1.645

95% 0.95 0.05 0.025 0.975 1.96

99% 0.99 0.01 0.005 0.995 2.575

En la práctica cuando nos dan el nivel de significación o nivel de confianza

y queremos calcular

, el dato que tenemos que mirar en la tabla de la Normal

sale de la expresión: ste valor

Si nivel de confianza = 90% .

e en la tabla

Resumiendo:

0.95

1.645

Si nivel de confianza = 95% .

0.975

1.96

Si nivel de confianza = 97% .

0.985

2.17

Si nivel de confianza = 99% .

 

0.995

2.575

(3)

5.2.- Intervalos característicos en N( , ).

Los intervalos característicos de la N( , ).son de la forma

,

, que tienen como centro del intervalo a , es decir se cumple que:

1

Si

,

,

Como

0,1

se puede aplicar todo lo anterior:

⁄ ⁄

1

1

·

·

1

·

·

Para 90%:

1

0.90

1.645

:

1.645 · ,

1.645 ·

Para 95%:

Se obtiene el intervalo característico:

·

,

·

donde se encuentra el 1 % de los individuos de la población.

1

0.95

1.96

:

1.96 · ,

1.96 ·

Para 99%:

1

0.99

2.58

:

2.58 · ,

2.58 ·

EJERCICIO 1.- En una distribución N(173,6), halla los intervalos característicos para el 90%, el 95% y el 99%.

(4)

5.3.- Utilización conjunta de y .

En ocasiones nos interesa conocer la probabilidad o porcentaje de población que se encuentra en determinados intervalos:

Por ejemplo nos interesa conocer el porcentaje de población o probabilidad que se encuentra en el intervalo

,

.

1

1

1

1

1

1

1

1

· 0.8413

1

0.6826

2 ·

1

2

Por tanto

.

,

es decir el 68,26% de los datos se

encuentra en el intervalo

,

.

Análogamente se puede comprobar que:

• En el intervalo 2 , 2 se encuentra el 95,4% de los datos. • En el intervalo 3 , 3 se encuentra el 99,7% de los datos.

6.- Aproximación de la Binomial.

Cuando n es suficientemente grande, la distribución binomial

,

se puede aproximar por una distribución Normal cuyos parámetros son:

·

· ·

Cuanto mayor sea el valor de n la aproximación será mejor. En la práctica se considera que si

·

3

la aproximación es buena. Y si

·

5

la aproximación es casi perfecta.

,

· ,

· ·

·

· ·

,

(5)

7.- Teorema Central del Límite.

De una población con media y desviación típica (no necesariamente normal) , extraemos una muestra aleatoria simple de tamaño n (suficientemente grande,

n>30), se demuestra que sigue una distribución normal de

media

·

y desviación típica

· √

.

· ,

· √

EJERCICIOS.

 

Página

 

296:

 

27

 

y

 

28

 

8.- Distribución de la Media Muestral.

De una población con media y desviación típica (no necesariamente normal) , consideramos todas las muestras de tamaño n que se pueden extraer de la población, la variable aleatoria o distribución formada p r las medias de todas las posibles muestras se llama media muestral ( ) que si ue ugo na distribución normal.

,

Será verdad si:

a) Las muestras son aleatorias y la población donde se extrae las muestras es normal.

b) Las muestras son aleatorias y el tamaño de cada muestra es suficientemente grande (n>30) , no sería necesario que la población fuese normal.

EJERCICIOS.

 

Página

 

297:

 

29

 

y

 

30

 

¿Cómo se calcula la probabilidad de que una media muestral esté entre dos valores?

95,9

,

5

95, 3

86

107

86

9

3

107

95

3

3

4

4

3

4

1

3

1

1

0.9987

0.9987

(6)

¿Cómo se calcula el intervalo característico de las medias muestrales?

2500,600

,

2500, 75

:

1.645 ·

,

1.645 ·

2500

1.645 · 75 ; 2500

1.645 · 75

2390.13 ; 2609.98

Ejemplo: El sueldo medio de los empleados de una fábrica sigue un distribución normal de media 2.500€ y desviación típica 600€. Se toma una muestra de 64 trabajadores. Calcula un intervalo característico de las medias muestrales correspondiente a una probabilidad del 90%.

Anteriormente habíamos dicho que para 90%:

1

0.90

1.645

(7)

¿Cómo se calcula la media y la desviación típica cuando se conocen dos probabilidades?

EJEMPLO: En una cierta población humana, la media muestral se distribuye según una distribución Normal de parámetros desconocidos. La probabilidad de que sea menor o igual que 75 es 0.58 y la probabilidad de que sea mayor que 80 es 0.04. Hallar la media y la desviación típica de . (tamaño muestral = 100).

DATOS:

,

,

75

0.58

80

0.04

TIPIFICACIÓN:

75

0.58

1

80

1

80

0.04

O

1

0.04

0.96

TABLAS: Se busc en la tabla e N(0,1) a d

0.20

0.5793

0.20

1.75

0.9599

1.75

RESUELVE EL SISTEMA:

0.20

75

0.2 ·

1.75

80

1.75 ·

(continuar)

Se obtienen:

74.35

32.26 parámetros de la población.

Por tan ot los p rámetros d la mediaa e muestral son:

,

,

74.35 ,

.

(8)

9.- Distribución de la Proporción Muestral.

Cuando estudiamos si los individuos de una población tienen o no cierta característica, habrá una proporción “p” de individuos que si tengan esa característica y el resto de individuos (1-p) no la tienen.

Si consideramos todas las muestras aleatorias de tamaño n que se pueden extraer de la población, la variable aleatoria que a cada muestra le hace corresponder la proporción de individuos que tienen esa característica, se llama proporción

muestral, y se escribe

.

La distribución de la proporción muestral,

,

de las muestras aleatorias de tamaño n que se pueden extraer de una población con proporción p, sigue una distribución normal:

,

·

Siempre que la muestra sea aleatoria y su tamaño suficientemente grande ( n>30 o np>5 ).

,

·

.

,

.

· .

.

, .

 

0.032

0.068

0.90

·

:

2.58 ·

,

2.58 ·

·

EJEMPLO: Una maquina produce tornillos. Se sabe que el 5% son defectuosos. Se empaquetan en cajas de 400 tornillos.

a) ¿Cómo se distribuye la proporción de tornillos defectuosos en las cajas?

b) Hallar un intervalo característico en el que se encuentre el 90% de las proporciones de tornillos defectuosos.

c) Hallar un intervalo característico en el que se encuentre el 99% de las proporciones de tornillos defectuosos.

Totalidad de tornillos producidos = población. Proporción de tornillos defectuosos es p=0.05

Cada caja es una muestra de 400 elementos. n= 400

 

 

b) Anteriormente habíamos dicho que para 90%:

1

0.90

1.645

:

1.645 ·

·

,

1.645 ·

·

0.05

1.645 · 0.011 , 0.05

1.645 · 0.011

0.032 , 0.068

.

Que quiere decir que el 90% de las cajas tiene una proporción de tornillos defectuosos entre 0.032 y 0.068. O de otra forma:

c) Anteriormente para 99%:

1

0.99

2.58

(9)

⁄ . . . . . .

.

·

·

,

.

·

·

0.15

1.28 · 0.0565 ,

0.15

1.28 · 0.0565

0.078 , 0.222

EJEMPLO: Supongamos que el 15% de los jóvenes entre 18 y 25 años son miopes. a) ¿Cómo se distribuye la proporción de jóvenes miopes en muestras de 40

individuos?

b) Halla el inte valo carar cterístico de las proporciones muestrales para 80%.

a)

0.15 ;

40

,

·

0.15 ; 0.0565

b) Si 1 0.80 0.20 2 0.10 . Comenzamos por calcular el valor

crítico para el 80%.

Entonces el valor crítico correspondiente al 80 % es: . . Por tanto el intervalo característico será:

Que quiere decir que el 80% de las muestras de 40 jóvenes tienen una proporción de miopes comprendida entre 0.078 y 0.222.

10.- Distribución de la Diferencia de Medias.

Considerando todas las muestras aleatorias de tamaños

n

1 y

n

2 que se pueden extraer de dos poblaciones, consideramos ambas distribuciones de las medias muestrales y . La variable aleatoria que se forma restando ambas distribuciones se llama diferencia de medias muestrales, y se escribe . (OJO tiene bastante utilidad cuando se trata de comparar dos poblaciones)

Se demuestra que la diferencia de las medias muestrales, , de las muestras aleatorias de tamaño

n

1 y

n

2

de dos poblaciones, sig e una istribución normal

u

d

,

Será verdad si:

a) Las muestras son aleatorias y las poblaciones donde se extraen las muestras son distribuciones normales.

(10)

EJERCI

52.- (An

gramos s a) Si las peso med b) Si los de las tab

54.- (An

desviació a) Para m supere el b) Si Y in calcule el

ICIOS:

ndalucía 2

igue una d tabletas s dio de las t lotes fues bletas del

ndalucía

n típica 4. muestras

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2005) S

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Media mu ≤ Y ≤50+a

e tabletas 125 g y d 25, ¿cuál ntre entre

a la proba s?

le aleator robabilida

estral par a)= 0,987

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esviación típica 4 golate cuyo es la pro

124 y 126 abilidad de

ria norma d de que ra muestra

6.

babilidad 6 gramos? e que el pe

al de me la media as de tam

o peso en

. n

de que el eso medioo

dia 50 y muestral maño 16», y

(11)

66.- (Ma

desviació media mu ¿Qué val probabilid

68.- En

distribuye muestral que 90 e que el tam

adrid 20

n típica 6 uestral.

or debe t dad de 0,9

cierta po e median sea meno

s 0,02. Ha maño mue

02) De u 6, se extr

tener n p 95?

oblación te una d or o igual

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una pobla rae una m ara que s

humana, distribución

que 80 es edia y la d

= 121 ación con muestra al se cumpla la media n normal s 0,63 y la

desviación

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a media m e la media

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(12)

74.- Un canasta. a) ¿cuál e de 84? b) ¿cuál e c) Halla la de fallos. d) ¿Cuál errores a Andalucí marca sig Queremo funcionam mínimo d

jugador d es la prob es la proba

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ía 2001.

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(13)

Andalucí

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Andalucí

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(14)

Andalucí

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ía 2004.

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