Tema 11: MUESTREO. DISTRIBUCIONES MUESTRALES
5.- Intervalos característicos.
Son intervalos cuyos extremos equidistan de la media ( ) y cuya probabilidad es una cantidad determinada
1
,
normalmente vale 0.90, 0.95 o 0.995.1.- Intervalos característicos en N(0,1).
Los intervalos característicos de la N(0,1) son de la forma
,
, que tienen como centro del intervalo a0
, es decir se cumple que:1
⁄ ⁄
1
Tendremos que calcular
⁄
.
Casos particulares:
a) Si
.
0.90
1
0.
10
2
0.05
9
. .
0. 0
.
.
0.90
.
1
.0.90
0
.
1
.0.9
2 ·
.1.90
.
.
.
Buscando en la tabla:
1.64
0.9495
.
.
1.65
0.9505
Por tanto :
.
1.645
.
b) Si
.
De igual forma que el anterior llegamos a que: . .
.
1
.96
0.9750
.
.
c) Si
.
De igual forma que el anterior llegamos a que: . .
.
2
.58
0.9949
.
.
Por tanto:
.
.
.
MUY IMPORTANTE: Resumen de los principales valores críticos en N(0,1)
%
⁄90% 0.90 0.10 0.05 0.95 1.645
95% 0.95 0.05 0.025 0.975 1.96
99% 0.99 0.01 0.005 0.995 2.575
En la práctica cuando nos dan el nivel de significación o nivel de confianza
y queremos calcular ⁄
, el dato que tenemos que mirar en la tabla de la Normal
sale de la expresión: ste valor
Si nivel de confianza = 90% .
e en la tabla
Resumiendo:
0.95
⁄1.645
Si nivel de confianza = 95% .
0.975
1.96
Si nivel de confianza = 97% .
⁄
0.985
2.17
Si nivel de confianza = 99% .
⁄
0.995
⁄2.575
5.2.- Intervalos característicos en N( , ).
Los intervalos característicos de la N( , ).son de la forma
,
, que tienen como centro del intervalo a , es decir se cumple que:1
Si
,
,
Como
0,1
se puede aplicar todo lo anterior:⁄ ⁄
1
⁄
1
⁄
·
·
⁄
⁄
1
⁄
·
⁄·
Para 90%:
1
0.90
⁄
1.645
:
1.645 · ,
1.645 ·
Para 95%: ⁄
Se obtiene el intervalo característico: ⁄
·
,
⁄·
donde se encuentra el 1 % de los individuos de la población.
1
0.95
1.96
:
1.96 · ,
1.96 ·
Para 99%:
1
0.99
⁄
2.58
:
2.58 · ,
2.58 ·
EJERCICIO 1.- En una distribución N(173,6), halla los intervalos característicos para el 90%, el 95% y el 99%.
5.3.- Utilización conjunta de y .
En ocasiones nos interesa conocer la probabilidad o porcentaje de población que se encuentra en determinados intervalos:
Por ejemplo nos interesa conocer el porcentaje de población o probabilidad que se encuentra en el intervalo
,
.1
1
1
1
1
1
1
1
· 0.8413
1
0.6826
2 ·
1
2
Por tanto
.
,
es decir el 68,26% de los datos seencuentra en el intervalo
,
.
Análogamente se puede comprobar que:• En el intervalo 2 , 2 se encuentra el 95,4% de los datos. • En el intervalo 3 , 3 se encuentra el 99,7% de los datos.
6.- Aproximación de la Binomial.
Cuando n es suficientemente grande, la distribución binomial
,
se puede aproximar por una distribución Normal cuyos parámetros son:·
· ·
Cuanto mayor sea el valor de n la aproximación será mejor. En la práctica se considera que si
·
3
la aproximación es buena. Y si·
5
la aproximación es casi perfecta.,
· ,
· ·
·
· ·
,
7.- Teorema Central del Límite.
De una población con media y desviación típica (no necesariamente normal) , extraemos una muestra aleatoria simple de tamaño n (suficientemente grande,
n>30), se demuestra que sigue una distribución normal de
media
·
y desviación típica· √
.· ,
· √
EJERCICIOS.
‐
Página
296:
27
y
28
8.- Distribución de la Media Muestral.
De una población con media y desviación típica (no necesariamente normal) , consideramos todas las muestras de tamaño n que se pueden extraer de la población, la variable aleatoria o distribución formada p r las medias de todas las posibles muestras se llama media muestral ( ) que si ue ugo na distribución normal.
,
√
Será verdad si:a) Las muestras son aleatorias y la población donde se extrae las muestras es normal.
b) Las muestras son aleatorias y el tamaño de cada muestra es suficientemente grande (n>30) , no sería necesario que la población fuese normal.
EJERCICIOS.
‐
Página
297:
29
y
30
¿Cómo se calcula la probabilidad de que una media muestral esté entre dos valores?
95,9
,
√
5
95, 3
86
107
86
9
3
107
95
3
3
4
4
3
4
1
3
1
1
0.9987
0.9987
¿Cómo se calcula el intervalo característico de las medias muestrales?
2500,600
,
√
2500, 75
:
1.645 ·
√
,
1.645 ·
√
2500
1.645 · 75 ; 2500
1.645 · 75
2390.13 ; 2609.98
Ejemplo: El sueldo medio de los empleados de una fábrica sigue un distribución normal de media 2.500€ y desviación típica 600€. Se toma una muestra de 64 trabajadores. Calcula un intervalo característico de las medias muestrales correspondiente a una probabilidad del 90%.
Anteriormente habíamos dicho que para 90%:
1
0.90
⁄
1.645
¿Cómo se calcula la media y la desviación típica cuando se conocen dos probabilidades?
EJEMPLO: En una cierta población humana, la media muestral se distribuye según una distribución Normal de parámetros desconocidos. La probabilidad de que sea menor o igual que 75 es 0.58 y la probabilidad de que sea mayor que 80 es 0.04. Hallar la media y la desviación típica de . (tamaño muestral = 100).
DATOS:
√
,
,
75
0.58
80
0.04
TIPIFICACIÓN:
75
0.58
1
80
1
80
0.04
O
1
0.04
0.96
TABLAS: Se busc en la tabla e N(0,1) a d
0.20
0.5793
0.20
1.75
0.9599
1.75
RESUELVE EL SISTEMA:
0.20
75
0.2 ·
1.75
80
1.75 ·
(continuar)
Se obtienen:
74.35
32.26 parámetros de la población.
Por tan ot los p rámetros d la mediaa e muestral son:,
√
,
74.35 ,
.9.- Distribución de la Proporción Muestral.
Cuando estudiamos si los individuos de una población tienen o no cierta característica, habrá una proporción “p” de individuos que si tengan esa característica y el resto de individuos (1-p) no la tienen.
Si consideramos todas las muestras aleatorias de tamaño n que se pueden extraer de la población, la variable aleatoria que a cada muestra le hace corresponder la proporción de individuos que tienen esa característica, se llama proporción
muestral, y se escribe
.
La distribución de la proporción muestral,
,
de las muestras aleatorias de tamaño n que se pueden extraer de una población con proporción p, sigue una distribución normal:,
·
Siempre que la muestra sea aleatoria y su tamaño suficientemente grande ( n>30 o np>5 ).
,
·
.
,
.
· .
.
, .
0.032
0.068
0.90
·
:
2.58 ·
,
2.58 ·
·
EJEMPLO: Una maquina produce tornillos. Se sabe que el 5% son defectuosos. Se empaquetan en cajas de 400 tornillos.
a) ¿Cómo se distribuye la proporción de tornillos defectuosos en las cajas?
b) Hallar un intervalo característico en el que se encuentre el 90% de las proporciones de tornillos defectuosos.
c) Hallar un intervalo característico en el que se encuentre el 99% de las proporciones de tornillos defectuosos.
Totalidad de tornillos producidos = población. Proporción de tornillos defectuosos es p=0.05
Cada caja es una muestra de 400 elementos. n= 400
b) Anteriormente habíamos dicho que para 90%:
1
0.90
⁄
1.645
:
1.645 ·
·,
1.645 ·
·0.05
1.645 · 0.011 , 0.05
1.645 · 0.011
0.032 , 0.068
.
Que quiere decir que el 90% de las cajas tiene una proporción de tornillos defectuosos entre 0.032 y 0.068. O de otra forma:c) Anteriormente para 99%:
1
0.99
⁄
2.58
⁄ . . . . . .
.
·
·
,
.
·
·
0.15
1.28 · 0.0565 ,
0.15
1.28 · 0.0565
0.078 , 0.222
EJEMPLO: Supongamos que el 15% de los jóvenes entre 18 y 25 años son miopes. a) ¿Cómo se distribuye la proporción de jóvenes miopes en muestras de 40
individuos?
b) Halla el inte valo carar cterístico de las proporciones muestrales para 80%.
a)
0.15 ;
40
,
·0.15 ; 0.0565
b) Si 1 0.80 0.20 2 0.10 . Comenzamos por calcular el valor
crítico para el 80%.
Entonces el valor crítico correspondiente al 80 % es: . . Por tanto el intervalo característico será:
Que quiere decir que el 80% de las muestras de 40 jóvenes tienen una proporción de miopes comprendida entre 0.078 y 0.222.
10.- Distribución de la Diferencia de Medias.
Considerando todas las muestras aleatorias de tamaños
n
1 yn
2 que se pueden extraer de dos poblaciones, consideramos ambas distribuciones de las medias muestrales y . La variable aleatoria que se forma restando ambas distribuciones se llama diferencia de medias muestrales, y se escribe . (OJO tiene bastante utilidad cuando se trata de comparar dos poblaciones)Se demuestra que la diferencia de las medias muestrales, , de las muestras aleatorias de tamaño
n
1 yn
2de dos poblaciones, sig e una istribución normal
u
d
,
Será verdad si:
a) Las muestras son aleatorias y las poblaciones donde se extraen las muestras son distribuciones normales.
EJERCI
52.- (An
gramos s a) Si las peso med b) Si los de las tab
54.- (An
desviació a) Para m supere el b) Si Y in calcule el
ICIOS:
ndalucía 2
igue una d tabletas s dio de las t lotes fues bletas del
ndalucía
n típica 4. muestras
valor 54? ndica la v valor de a
2006) Un
distribució se empaq tabletas d en de 64 lote super
2005) S
de tamañ ?
variable al a para que
n fabricant ón normal
uetan en e un lote s tabletas, ¿ rase los 12
Sea X un ño 4, ¿cuá eatoria «M e P(50−a≤
te produc de media lotes de 2 se encuen ¿cuál sería 24 gramos
na variabl ál es la p
Media mu ≤ Y ≤50+a
e tabletas 125 g y d 25, ¿cuál ntre entre
a la proba s?
le aleator robabilida
estral par a)= 0,987
s de choco
esviación típica 4 golate cuyo es la pro
124 y 126 abilidad de
ria norma d de que ra muestra
6.
babilidad 6 gramos? e que el pe
al de me la media as de tam
o peso en
. n
de que el eso medioo
dia 50 y muestral maño 16», y
66.- (Ma
desviació media mu ¿Qué val probabilid
68.- En
distribuye muestral que 90 e que el tam
adrid 20
n típica 6 uestral.
or debe t dad de 0,9
cierta po e median sea meno
s 0,02. Ha maño mue
02) De u 6, se extr
tener n p 95?
oblación te una d or o igual
allar la me estral es n
una pobla rae una m ara que s
humana, distribución
que 80 es edia y la d
= 121 ación con muestra al se cumpla la media n normal s 0,63 y la
desviación
distribuc eatoria de a la desig
a muestra . La pro a de que l n típica de
ión norm
e tamañoal de men y se c ualdad O
al de una babilidad
a media m e la media
OJOOOO ,
a caracte de que muestral s a muestral
edia 50 y calcula suu y , con unaa
74.- Un canasta. a) ¿cuál e de 84? b) ¿cuál e c) Halla la de fallos. d) ¿Cuál errores a Andalucí marca sig Queremo funcionam mínimo d
jugador d es la prob es la proba
a probabil es la dist
l lanzar en
ía 2001.
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El periodo distribución una mues a superio stra. cesto ence de que al l
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