Ecuaciones Diferenciales (0256) Tema 1 Ecuaciones Diferenciales de 1

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(1)

Ecuaciones Diferenciales (0256)

Tema 1

Ecuaciones Diferenciales de 1

er

Orden

1.- Determine el grado, el orden y linealidad de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) dy(xycosx)dx0 b) y''xy''2y(y')3 xy0

c) ( ' '')4 0 3

2 2

  

     

x y

dx y d

d) ey xy y senx

   '' '' '

e) (yvii)8 (yv)9x10 y1 f) y' ''x5 y''x3 y'x6 3xye2x

2.- Pruebe que las funciones de la columna derecha son soluciones de las ecuaciones diferenciales de la columna izquierda:

a) y'y0 yex

b) x

e

y'  x 7

e y

c)

2 1

1 ''

x y

yxArcSenx 1x2

d) xy'2y ycx2

e) 2 0

rsSen

d dr

Cos raSec2

f) xyy'0 y 16x2 g) '' 2 ' 2 0

   ay a y

y ax ax

xe c e c

y12

h) 2

2 2

1 4

1

x y

dx dy x dx

y d

         

yx2

i) 2 0

2 2 2

     

y u x

u

      

x y ArcTg y

x u( , )

j) 2

2 2 2 2

x u a t

u

    

u(x,t) f(xat)g(xat)

(2)

4.- Pruebe que las relaciones de la columna derecha definen soluciones implícitas de la ecuación diferencial de la columna izquierda

a) y2 1(2yxy)y'0 y2 1(x2)2

b)

x y

y' x2  y2 10

c) exyeyxy'0

e2ye2x 1

d)

y x

y' x2 y2 10

e) x

e

yy' 2 y2 e2x

f) ' 2 2

y x

xy y

y2Ln(y2)x2 0

g)

1 ' 2

 

x xy

y x2 cy2 1

5.- Pruebe que cada función de la columna izquierda es una familia 2-paramétricas de soluciones de la ecuación de la columna derecha

a) x x x

e e c e c

y 2 2 2

1  

   ''3 '2 12 x 0

e y y y

b) ( )

2 1 1 2

1x c x xLn x

c

y     2 '' ' 0    xy y x y

x

c) ax bx

e c e c

y12 y ''(ab)y'aby0 d) yc1Cos(xc2) y''y0

e) y3 c1 c2x

 '' 2( ')2 0   y yy

6.- Encuentre una ecuación diferencial cuya solución es la familia n-paramétrica dada:

a) 3

c cx

y  

S:yxy'(y')3

b) rTg(c)

S r  2 r2 r

' :

c) 2

2 1x c

c

y  

S:xyy''yy'x(y')2 0

d) 2

2 1 )

(y c x c

Ln  

S:xyy''yy'x(y')2 0

e) yc1exc2e2x

S:y ''3y'2y 0

f) 2

2 1x c x

c

y   

  

 

 

2 '' ' :

2

y x xy y S

g) ( )

1 ce Sen x

y   

S:y1 y'Sec(x)

h) 2 2

4 2cx c

(3)

7.- Encuentre una ecuación diferencial cuya solución es:

a) Una familia de parábolas con vértices en el origen y focos en el eje X.

S: y2xy'

b) Una familia de circunferencias con centro (h, k) y radio fijo a.

2 3 2 2

) '' ( )

) ' ( 1 (

: y a y

S  

c) Una familia de hipérbolas equiláteras cuyas asíntotas son los ejes coordenados.

S: xy'y0

d) Una familia de rectas que son tangentes a la parábola y2 2x.

S: 2x(y')2 2yy'10

e) Una familia 1-paramétrica de la ecuación diferencial dyydx y la solución particular para la cual y(3)1.

S: ycex, yex3

8.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) (y2 1)dx(x2 1)dy0

S: xyc(1xy)

b) rCotg()r2 S:

rcSec()2

c) (y2 1)dx(2yxy)dy0

S: x2c y2 1

d) xCos(y)dx x2Sen(y)dy a2Sen(y)dy

: 2 2 2( )

y cCos x

a

S  

e) 1 ( ) ( ) 0

 

dy y Cos dx y Tg ex

S ex LnCsc y Cotg y Cos y c

 

 

( ) ( ) ( )

: 1

f) y' yLn(y)Cotg(x)

S: yecSen(x)

g) xdy(y2 1)ArcTg(y)dx0

S: yTg(c/x)

h) ey2(x2 2x1)dx(xyy)dy 0

S: x2 2xey2 c

i) 2xydx(x2  y2)dy0

S x2yy3 c

3 :

j) (xy2 xy)dyydx0

S: yce2 1x/y

k) (xy)dx(xy)dy0

S: AecTg(y/x)Ln x2  y2 c

l)  0

  

 

             

   

 

     

dy x y Cos x

y Sen y x dx x y Cos x y

S: ySen(y/x)c

m) dy xdy

x y xLn

ydx  2

    

S: yc(1Ln(x)Ln(y))

n) 2 2  0

  

 

     

 

dy xe y dx

ye y

x y

x

(4)

o)  0   

 

      

   

 

     

dy

x y xSen dx

x y ySen xe x

y

S: 2Ln(x)cey/x(Sen(y/x)Cos(y/x)

p) (3x2y1)dx(3x2y1)dy0    

 

    

y c x y c

x Ln

S ( )

2 5 1

10 15

:

q) (x2y)dx(3x6y3)dy0

S: x3y3Lnx2y3 c

r) Sen(y)dx(xCos(y)3y2)dy0

S: xSen(y)y3 c

s) (3x2ey 2x)dx(x3eySen(y))0

S

:

x

3

e

y

Cos

(

y

)

x

2

c

t) (3xey 2y)dx(x2eyx)dy0

S: x3eyx2yc

u) (yLn(y)2xy)dx(xy)dy0

S: xLn(y)x2 yc

9.- Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, encontrar una solución particular que satisfaga la condición indicada en cada caso:

a) y'y0, y(1)1

S: ye1x

b) Sen(x)Cos(2y)dxCos(x)Sen(2y)dy0, y(0)/2

S: Cos3(x)Cos(2y)1

c) (1x)dyx(y1)dx, y(0)0

S: (1y)(1x)ex

d) ydy(x3xy2)dx0, y(2)1

: 3 2 12 3x212

e y

S

e) x y

e

y'  , y(0)0

: x  y 2

e e S

f) (x2 y2)dx2xydy, y(1)0

S y2 x2 x

: g)

xey/xy

dxxdy

, y(1)0

:  /  1

x Ln e

S x y

h) ' Csc(y/x)0

x y

y , y(1)0

S: LnxCos(y/x)10

i) (xyy2)dxx2dy0, y(1)1

S: xex/ye1

j) (xy)dx(3x3y4)dy 0, y(1)0

S: x3y2Lnxy2 1

10.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) (xy1)dx(xy1)dy0

S: (x1)2 y2 ce2ArcTg(y/(x1)

b) (x2y)dx(y1)dy0    

 

     

c y

x Ln y

x x

S 1

1 2 :

c) 3

' y x

xy 

S: 4xyx4 c

(5)

g) 1 2 1 ' 2    x xy

y

S: y(x2 1)(ArcTg(x)c)

h) 3

' y xy

y 

12

2

-2 y

: cex

S x

i) 3 5/2

) 1 ( 2 ' ) 1

( x y x yy 

            ) 1 ( 4 3 1 ) 1 ( y

: 2 2

2 3/2 -x x x x x c S

j) Ri ESen(kt)

dt di

L   

       

  / ( (2 ) 2 2 ( ) : L k R kt kLCost kt RSen E ce i

S Rt L

k) x

e y

y 2

3 2

'  

x

e c x S 2 ) 3 ( y :   

l) ' 2 ( )

x Sen x y

xy 

S: ycxxCos(x)

m) xy'xy2 y0         c x x S: y 22

11.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales (Soluciones sucesivas de 1er orden):

a) xy''y'0

S: yc1Lnxc2

b) xy'y1

S: yxc1Lnxc2

c) 2

' '' y x

xy  

2

2 1 3 ) 3 / ( y

: x c x c

S   

d) x2y''2xy'1

2

1 1 y

: Lnx c x c

S    

e) '' ( ')2 0   y

y

S: yLnxc1c2

f) y ''(y')2 1

S: yLnexc1exc2

g) '' 2 ' 0, 0  

k y k

y

kx kx

e c e c

S

2 1

y :

h) '' 2 ' 0, 0  

k y k

y

S: yc1Cos(kx)c2Sen(kx)

i) y ''2yy'

S: 3soluciones posibles

j) 3

2 ' ' y y            

2

1 4 : c c y dy x S

k) y''2(1y2)y0, y(0)0, y'(0)1

S: yTgh(x)

12.- Para las siguientes familias de curvas, encontrar una familia 1-paramétrica de trayectorias isogónales, donde el ángulo de intersección, medido desde la familia pedida hacia la familia dada, es el ángulo indicado en cada caso:

a) 2 4 , /4

  cx

y

                 c x y x ArcTg y xy x Ln S 7 2 7 6 2

: 2 2

(6)

c) y2 2xyx2 c, /4

S: xyc

d)  x, /6

ce

y

S: 3yLn( 3y1)4 3xc

e) x2yc, /3

    

  

     

  

 

x c

S

2 3

1 3 2 y :

f) 2 2 , /4

 

y c

x

Sx2  xyy2 c

2 y

:

13.- Encontrar las ecuaciones de las trayectorias ortogonales de cada una de las siguientes familias de curvas:

a) ycx2

S: x2 2y2 c

b) x2 2xyy2 c

S: x2 2xyy2 c

c) x2 (yc)2 c2

S: x2 y2 c

d) xycex

S: xceyy2

e) x2 y2 c2

S: xyc

f) y2 4cx

S: 2x2  y2 c

g) Familia de rectas que pasan por el origen.

S: x2  y2 c2

h) Familias de círculos que pasan por el origen y tienen centro en el eje X.

S: x2 y2 cy

i) Familia de hipérbolas equiláteras cuyas asíntotas son los ejes coordenados.

S x2 y2 c

:

j) Demuestre que la familia y2 4c(xc) es ortogonal a si misma.

Problemas de Aplicación de las Ecuaciones Diferenciales de 1

er

Orden

1. La población de una comunidad se duplica en 50 días. ¿ En cuantos días se triplicará? (Sol: 79 días) 2. Suponga que la vida media del radio en una pieza de plomo es de 1.500 años. ¿Qué

porcentaje de la cantidad inicial de radio se encontrará en la pieza de plomo al cabo de 2.500 años? (Sol: 31%)

3. Si el 1,7% de una sustancia se descompone en 50 años. ¿Qué porcentaje de la sustancia estará presente después de 100 años? ¿Cuántos años se requieren para que se desintegre el 10%? (Sol: 96,6%; 307 años)

4. Un cultivo consta de 100.000 bacterias inicialmente. En 2 ½ horas el número de bacterias aumenta en un 10%.

(7)

b) ¿Cuántas bacterias habrán en el cultivo al cabo de 10 horas? (Sol: 18,2 h.; 146.400)

5. La población de un país se duplica en 50 años. Si la población actual es de 20.000.000 a) ¿Cuándo será la población de 30.000.000?

b) ¿Cuántos habitantes tendrá el país en el 2021? (Sol: año 2040; 22.970.000 aprox.)

6. El 10% de una sustancia se desintegra en 100 años. Calcule el tiempo de vida media de la sustancia. (Sol: 658 años)

7. El número de bacterias en un cultivo se duplica en 3 horas. Al cabo de 15 horas, el número de bacterias es 1.000.000. Calcular el numero inicial de bacterias (Sol: 31.250)

8. Por crecimiento natural, una ciudad de 40.000 habitantes duplicaría su población en 50 años. Sin embargo, la población aumenta adicionalmente en 400 personas cada año debido a mudanzas. Estime la población al cabo de 10 años. (Sol: )

9. Por crecimiento natural, una ciudad de 40.000 habitantes duplicaría su población en 50 años. Sin embargo, la población disminuye adicionalmente en 400 personas cada año debido a mudanzas. Estime la población al cabo de 10 años. (Sol: )

10. El volumen de una gota de lluvia esférica aumenta a medida que cae debido a la adhesión a su superficie de partículas de niebla. Asuma que la gota retiene su forma esférica durante su caída y que la tasa de variación de su volumen con respecto a la distancia que ha caído, es proporcional al área de la superficie de la gota en ese instante. (Tome r0como Radio inicial). Calcular el radio de la gota como una función de y. (Sol: r = r0 +k y )

11. Un cuerpo cuya temperatura es 100ºC se coloca en un medio que se mantiene a una temperatura constante de 20ºC. En 10 minutos la temperatura del cuerpo baja a 60ºC. a) Encontrar la temperatura T del cuerpo como función del tiempo t.

(Sol:

T

20

(

1

4

e

0.06931t

)

ºC) b) Calcular T para t = 40 min. (Sol: 25ºC) c) Calcular t para T = 50ºC. (Sol: 14,2 min)

12. Un objeto cuya temperatura es 20ºC se coloca en un medio cuya temperatura se mantiene en 60ºC. Al cabo de 5 minutos la temperatura del objeto es de 30ºC.

a) Encontrar la temperatura del objeto al cabo de 20 minutos. (Sol: 47,3ºC) b) ¿Cuándo la temperatura del objeto alcanzará los 40ºC? (Sol: 12 min)

(8)

14. Un cilindro circular recto de 1 metro de radio y 1 metro de altura, cuyo eje es vertical, está lleno de agua. ¿En cuánto tiempo se vaciará el cilindro si tiene un orificio de 4 cm2 en el fondo? (Use 2g 3)

15. Un cilindro circular recto de 1 metro de radio y 1 metro de altura, cuyo eje es horizontal, está lleno de agua. ¿En cuánto tiempo se vaciará el cilindro si tiene un orificio de 4 cm2 en el fondo? (Use 2g 3)

16. Un embudo de 10 cm de diámetro en la parte superior y 1 cm de diámetro en la parte inferior tiene una altura de 24 cm. Si se llena de agua, ¿cuánto tardará en vaciarse? (Sol: 30,6 seg)

17. Un tanque tiene la forma de un cubo de 3,67 mts de arista y en su base hay un orificio de 12 cm2. Si inicialmente el tanque está lleno en sus tres cuartas partes; ¿cuándo estará: a) lleno hasta la mitad? (Sol: 26,3 min) b) vacío? (Sol: 2,4 horas)

18. Un tanque tiene forma de una pirámide de base cuadrada truncada, (como se muestra en la figura), con lados de la tapa superior L = 4 m y la tapa de la base l = 2 m y altura H = 2m. Inicialmente está lleno de agua. Encuentre el tiempo requerido para vaciar este tanque, a través de un pequeño orificio circular, de 1cm de radio, en el fondo. (Tome 2g3)

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