Potencial debido a una carga puntual

688  Descargar (1)

Texto completo

(1)

El potencial eléctrico en un punto es el trabajo que debe realizar una fuerza eléctrica para mover una carga positiva q desde la referencia hasta ese punto, dividido por unidad de carga de prueba. Dicho de otra forma, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una carga unitaria q desde la referencia hasta el punto considerado en contra de la fuerza eléctrica. Matemáticamente se expresa por:

Considérese una carga de prueba positiva, la cual se puede utilizar para hacer el mapa de un campo eléctrico. Para tal carga de prueba localizada a una distancia r de una carga q, la energía potencial electrostática mutua es:

De manera equivalente, el potencial eléctrico es

=

Potencial e intensidad de campo

Conforme a la ley de Coulomb la fuerza de interacción de dos cargas eléctricas uniformes es directamente proporcional al producto de la cantidad de electricidad en estas cargas, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas y depende del medio en el cual se hallan las cargas.

Definición matemática

El potencial eléctrico suele definirse a través del campo eléctrico a partir del teorema del trabajo de la física.

(2)

En términos de energía potencial el potencial en un punto r es igual a la energía potencial entre la carga Q:

El potencial, según Coulomb eléctrico también puede calcularse a partir de la definición de energía potencial de una distribución de cargas:

Ejemplos de potencial eléctrico asociados a diferentes distribuciones de carga

Potencial debido a una carga puntual

Una carga de prueba q, se mueve, mediante un agente exterior de A hasta B en el campo producido por una carga

Considérense los puntos A y B y una carga puntual q tal como muestra la figura. Según se

muestra, apunta a la derecha y , que siempre está en la dirección del movimiento, apunta a la izquierda. Por consiguiente:

Ahora bien, al moverse la carga una trayectoria dl hacia la izquierda, lo hace en la dirección de la r decreciente porque r se mide a partir de q como origen. Así pues:

(3)

Escogiendo el punto de referencia A en el infinito, esto es, haciendo que , considerando que en ese sitio y eliminando el subíndice B, se obtiene:

Esta ecuación muestra claramente que las superficies equipotenciales para una carga puntual aislada son esferas concéntricas a la carga puntual.

Superficies equipotenciales producidas por una carga puntual

Potencial debido a dos cargas puntuales

El potencial en un punto P debido a dos cargas es la suma de los potenciales debido a cada carga individual en dicho punto.

Siendo y las distancias entre las cargas y y el punto P respectivamente.

Potencial eléctrico generado por una distribución discreta de cargas

El potencial en un punto cualquier debido a un grupo de cargas punto se obtiene calculando el potencial debido a cada carga, como si las otras cargas no existieran, y sumando las cantidades así obtenidas, o sea:

(4)

ventaja de cálculo del potencial sobre la de intensidad del campo eléctrico. Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo. En el gráfico se representa la intersección de las superficies equipotenciales con el plano XY.

La ecuación de las líneas equipotenciales es:

Potencial eléctrico generado por un plano infinito

Un plano infinito con densidad de carga de superficie crea un potencial eléctrico saliente en la dirección perpendicular al plano de valor constante

Si x es la dirección perpendicular al plano y éste se encuentra en x=0 el potencial eléctrico en todo punto x es igual a:

Donde se ha considerado como condición de contorno V(x)=0 en x=0

Esfera conductora cargada

Sea Q la carga total almacenada en la esfera conductora. Por tratarse de un material conductor las cargas están situadas en la superficie de la esfera siendo neutro su interior.

(5)

eléctrico.

Donde es el radio de la esfera.

Condensador y Dieléctrico

En condensador es un dispositivo formado por dos placas metálicas separadas por un aislante llamado dieléctrico. Un dieléctrico o aislante es un material que evita el paso de la corriente.

El condensador o capacitor almacena energía en la forma de un campo eléctrico (es evidente cuando el capacitor funciona con corriente directa) y se llama capacitancia o capacidad a la cantidad de cargas eléctricas que es capaz de almacenar

El símbolo del capacitor es el que se muestra al lado derecho:

La capacidad depende de las características físicas del condensador: - Si el área de las placas que están frente a frente es grande la capacidad aumenta - Si la separación entre placas aumenta, disminuye la capacidad - El tipo de material dieléctrico que se aplica entre las placas también afecta la capacidad - Si se aumenta la tensión aplicada, se aumenta la carga almacenada

Dieléctrico o aislante

Un dieléctrico o aislante es un material que evita el paso de la corriente, y su función es aumentar la capacitancia del capacitor.

Los diferentes materiales que se utilizan como dieléctricos tienen diferentes grados de permisividad (diferente capacidad para el establecimiento de un campo eléctrico

(6)

donde:

C = capacidad

Er = permitividad

A = área entre placas

d = separación entre las placas

La unidad de capacitancia en el SI que es el coulomb/volt, y se le da el nombre de farad (abreviado F):

1 farad = 1 coulomb/volt.

Hay submúltiplos en el farad como el miliFaradio (mF), microFaradio (uF), el nanoFaradio (nF) y el picoFaradio (pF)

Las principales características eléctricas de un condensador son su capacidad o capacitancia y su máxima tensión entre placas (máxima tensión que es capaz de aguantar sin dañarse).

Nunca conectar un capacitor a un voltaje superior al que puede aguantar pues puede explotar

CALCULO DE LA CAPACITANCIA

Aquí nuestra tarea es calcular la capacitancia de un capacitor una vez que conocemos su geometría. Puesto que consideramos un número de geometrías diferentes, parece acertado desarrollar un plan general para simplificar el trabajo. Resumido, nuestro plan es como sigue: (1) suponemos una carga q en las placas; (2) calculamos el campo eléctrico E entre las placas en términos de la carga, usando la Ley de Gauss; (3) conociendo E, calculamos la diferencia de potencial V entre las placas; (4) calculamos C de C = q/V

CONDENSADORES EN SERIE Y EN PARALELO.

Los condensadores se pueden combinar de dos maneras: en serie y en paralelo.

(7)

Todas las placas superiores están conectadas entre sí y a la terminal a, mientras que todas las placas inferiores están conectadas entre si y con la terminal b. La capacitancia equivalente de un conjunto de condensadores conectados entre sí es la capacidad de un único condensador que cuando sustituye al conjunto produce el mismo efecto exterior. Aplicando la relación q=CV a cada condensador se obtiene:

V C q y V C q V C

q11 ; 22 ; 33

La carga total en la combinación es:

. ) ( 1 2 3 3

2

1 q q C C C V

q

q     

La capacitancia equivalente C es:

3 2

1 C C

C

Ceq   

Este resultado puede generalizarse fácilmente a un número cualquiera de condensadores conectados en paralelo así:

  n i i eq C C 1

b) Condensadores en serie.

(8)

La diferencia de potencial entre los extremos de un cierto número de condensadores conectados en serie es la suma de las diferencias de potencial entre los extremos de cada condensador individual.

Aplicando la ecuación Vq C a cada condensador se obtiene:

3 3 2

2 1

1 ; ;

C q V y C q V C q

V   

            3 2 1 3 2 1 1 1 1 C C C q V V V V .

La capacitancia equivalente es:

3 2 1 1 1 1 1 C C C V q C     3 2 1 1 1 1 1 C C C

Ceq   

La capacitancia equivalente en serie es siempre menor que la más pequeña de las capacitancias de la conexión.

Este resultado puede generalizarse fácilmente a un número cualquiera de condensadores conectados en serie así:

  n i i eq C C 1 1 1 Ejercicios:

1. Determinar el valor del potencial eléctrico creado por una carga puntual q1=12 x 10-9 C en un punto ubicado a 10 cm. del mismo como indica la figura.

(9)

capacitancia de 1.0 F, si las placas estuvieran separadas un milímetro.

4. Si un capacitor de placas planas paralelas tiene una separación de 0.15 mm, ¿cuál deberá ser su área para que tenga una capacitancia de 1.0 F? (b) Si las placas son cuadradas, ¿cuál es la longitud de su lado?

5. Un capacitor cilíndrico lleno de aire tiene una capacitancia de 10 pF (Picofaradio x10-12)

y 6 cm de longitud. Si el radio exterior es de 1,5 cm, ¿Cuál es el radio requerido para el conductor interior?

6. En el circuito mostrado en la figura los puntos a y b están a una diferencia de potencial de 100voltios y conformado por los condensadores C115F,C2 3F,C3 6FyC4 8F. a) Hallar la capacitancia equivalente entre los puntos a y b. b) La carga y la diferencia de potencial a través de cada condensador.

7. Calcular la capacidad equivalente de la siguiente configuración de condensadores. Sabiendo que sus capacidades son C1=10mF,

C2=10mF, C3=20mF, C4=20mF y C5=5mF.

8. Cuatro capacitares se conectan como se muestra en la figura, (a) encuentre la capacitancia equivalente entre los puntos a y b (b) Calcule la carga en cada capacitor si Vab=

Figure

Actualización...