Semestre 2014-II Grupo 4287 Juan Salvador Garza Ledesma

76 

Texto completo

(1)

Semestre 2014-II

Grupo 4287

(2)
(3)

´

Indice general

Prefacio I

1. La integral de Riemann 1

1.1. Introducci´on y motivaci´on . . . 1

1.2. Sumas e integral de Darboux . . . 4

1.2.1. Funciones simples . . . 4

1.2.2. La integral de Darboux de funciones acotadas . . . 9

1.3. Sumas e integral de Riemann . . . 18

1.4. Propiedades b´asicas de la integral . . . 23

1.4.1. Linealidad . . . 23

1.4.2. Concatenaci´on . . . 24

1.4.3. Monoton´ıa . . . 26

2. El teorema fundamental del C´alculo 27 2.1. Introducci´on . . . 27

2.2. La primitiva de una funci´on integrable . . . 28

3. Las funciones elementales del C´alculo 37 3.1. Introducci´on . . . 37

3.2. Las funciones polinomiales . . . 37

3.3. Las funciones logar´ıtmica y exponencial . . . 41

3.3.1. El logaritmo . . . 42

3.3.2. Motivaci´on . . . 42

3.3.3. Propiedades del logaritmo . . . 43

3.3.4. La funci´on exponencial . . . 46

3.4. Las funciones trigonom´etricas . . . 48

3.4.1. Definici´on formal . . . 52

3.4.2. Gr´afica y extensi´on de dominio . . . 53

3.4.3. Las f´ormulas de adici´on . . . 57

3.4.4. Las otras funciones trigonom´etricas . . . 58

3.5. La funci´on exponencial en el plano . . . 62

3.5.1. El campoR2 . . . 62

3.5.2. La derivada de una funci´on . . . 65

3.5.3. La funci´on exponencial . . . 68

(4)
(5)

Prefacio

Estas son las notas del curso de c´alculo integral de una variable, dirigido a estudiantes de segundo semes-tre de la Facultad de Ciencias de la UNAM. Un prerrequisito para leerlas con ´exito es haber comprendido el material de un primer curso usual de c´alculo. Aqu´ı puedes encontrar lo indispenable para comprender lo que veremos a lo largo del semestre y las tareas que iremos dejando. Durante la clase expondremos este material m´as alg´un contenido extra de acuerdo a las necesidades del grupo.

Cualquier duda o comentario, favor de contactar a Juan Salvador Garza mandando un mensaje a: emelianenko@comunidad.unam.mx

(6)
(7)

Cap´ıtulo 1

La integral de Riemann

1.1.

Introducci´

on y motivaci´

on

Las ideas sobre las que est´an definidos los conceptos b´asicos del c´alculo, surgieron al considerar problemas de cambio o variaci´on de alguna o algunas cantidades f´ısicas, que observamos diariamente en la naturaleza. Comunmente es plausible pensar que dichas cantidades no cambian o var´ıan arbitrariamente, sino que de-penden de alguna otra cantidad; esto puede formalizarse f´acilmente con el concepto de funci´on, que ya ha sido estudiado en el primer curso de c´alculo. Al igual que en aquel primer curso, nosotros vamos a considerar en este cap´ıtulo, ´unicamente funciones reales de variable real, de hecho, si decimos simplementefunci´on, a menos que se especifique algo distinto, estaremos refiri´endonos a una funci´on real de variable real.

Un ejemplo cotidiano muy sencillo que sugiere estudiar estas funciones, consiste en pensar en la distancia que podemos recorrer manejando un auto en una pista de carreras; simplificando muchas cosas, podemos suponer que tal distancia depende de la cantidad de tiempo que manejemos el veh´ıculo, tenemos un n´umero (la distancia recorrida) en funci´on de otro (la cantidad de minutos conduci´endolo, por ejemplo). Formalmente, una funci´on de este tipo, es una colecci´on de pares ordenados

f :={(x, y)|x, y∈R},

con la propiedad de que si (x, y1)∈f y adem´as (x, y2)∈f, entoncesy1=y2. Es decir, a cada n´umeroxle

corresponde solamente un n´umeroy. Recordemos que al conjunto D(f) :={x∈R|(x, y)∈f}

se le llamadominiode la funci´onf, y al conjunto

I(f) :={y∈R|(x, y)∈f} se le llamaimagende la funci´on.

La manera m´as sencilla de definir una funci´on, es definiendo expl´ıcitamente el dominio y qu´e n´umero se asigna a cada elemento de ´este. Entonces conviene utilizar la siguiente notaci´on:

f :A⊂R−→R, f(x) =y.

Que se lee:la funci´on f est´a definida para los n´umeros en el dominioAde manera tal que a cada n´umero xle corresponde el n´umero y. Comunmente la asignaci´on, se hace utilizando operaciones algebraicas elementales: Ejemplo 1.1. Considere la funci´onf :R−→R f(x) =x+ 2. Entonces f no es m´as que asignar a cada

n´umero real, su suma con el n´umero 2. Formalmente es el conjunto de pares

{(x, x+ 2)| x∈R}

(8)

Ejemplo 1.2. Considere la funci´on g: [−1,1]−→R

g(x) =

−1 si x∈[−1,0) 1 si x∈[0,1]

A´un cuando las dos funciones anteriores est´an definidas para n´umeros en com´un, est´a claro que son bas-tante diferentes; intuitivamente una cambia consbas-tantemente, mientras la otra permanece consbas-tante en dos intervalos, cambiando su valor solamente de manera s´ubita en el punto 0. El objetivo del c´alculo es estudiar, entender, aplicar, etc. formalmente este cambio y para ello se auxilia de definciones adicionales, objetos matem´aticos definidos para cada funci´on a estudiar. Nuevamente, esto no es nada complicado, diariamente lo hacemos, por ejemplo, un m´edico define un n´umero llamado ´ındice de masa corporal asociado a un par de cantidades que dependen de un individuo, (su masa y estatura) que es simplemente el cociente de las mismas; dicho n´umero le ayuda al m´edico entender r´apidamente si el individuo es sano. Igualmente, noso-tros definiremos n´umeros asociados a las funciones que estudiemos, que nos ayuden a entender c´omo cambian. Volviendo al ejemplo del auto, un n´umero muy ´util para estudiar la situaci´on es el cociente entre distancias recorridas y tiempos empleados, sin hacer larga la historia, en el primer curso de c´alculo se desarrollo esta idea hasta llegar a la sofisticaci´on de definir la derivada de una funci´on en un punto de su dominio. La derivada resulta una herramienta muy fuerte para entender c´omo var´ıa una funci´on; en s´ıntesis se trataba de un n´umero que med´ıa el cambio instant´aneo (en un punto) de los valores de una funci´on (los n´umeros en su imagen), respecto a los n´umeros en su dominio. Recordemos muy brevemente la idea detr´as de su construcci´on:

Ejemplo 1.3. Consideremos la funci´onf del ejemplo 1.1. Para calcular la derivada def en el punto 1de su dominio, tom´abamos una vecindad de puntos de D(f) alrededor de 1, por ejemplo Iδ := (1−δ,1 +δ),

dondeδ es un n´umero positivo, y consider´abamos puntos x∈Iδ, para calcular el siguiente cociente:

f(x)−f(1) x−1 =

x+ 2−(1 + 2) x−1 =

x−1 x−1 = 1.

Observe que no es m´as que dividir diferencias de los valores de la imagen def entre diferencias de los valores en el dominio.

La definici´on de derivada surg´ıa al observar, que ciertas funciones (las derivables) tienen la propiedad de que si tomamos estos cocientes para intervalos cada vez m´as chicos alrededor de1, ´estos pueden acercarse tanto como se desee, a un ´unico n´umero; la derivada de f en 1. (En este ejemplo, fue sencillo ver que la derivada es 1).

No hicimos nada muy creativo, hemos tomado diferencias y cocientes, luego un l´ımite alrededor de un punto aislado. Observe sin embargo, que este artificio, no es ´util para estudiar el cambio s´ubito que la fun-ci´ong del ejemplo 1.2 tiene en el punto 0 de su dominio (de hecho, la derivada no existe en tal punto, y sin embargo es evidente que hay un cambio). ¿C´omo tratamos este tipo de cambios?. Empezaremos a definir una nueva cantidad, un nuevo n´umero asociado a una funci´on:

No hace falta esforzarse demasiado, observe qu´e hicimos en el caso de la primer funci´on y su derivada: buscamos medir cambioinstant´aneo, en un solo punto del dominio, y para ello utilizamos aproximaciones que eran cocientes;restamosvalores de la imagen y losdividimosentre la longitud de un subintervalo del dominio. Intuitivamente, esta vez intentaremos hacerlo contrario, buscaremos medir un cambio global, en todo un intervalo del dominio, y para ello utilizaremos aproximaciones que ser´an productos;sumaremos valores de la imagen quemultiplicaremospor la longitud de ciertos subintervalos.

Ejemplo 1.4. Considere la funci´on g del ejemplo 1.2. Siguiendo la idea que bosquejamos en el p´arrafo anterior, asignaremos un n´umero que mida el cambio deg en distintos subintervalos de su dominio:

(9)

2. Considere ahora[0,1

2].g ´unicamente toma el valor 1 en los puntos de este nuevo subconjunto. La

me-dida o longitud de este nuevo subintervalo es 1 2−0 =

1

2. Imitando el primer inciso, es natural asignar el n´umero1· 1

2 = 1

2 al cambio deg en todo[0, 1 2].

3. An´alogamente al caso anterior, lo m´as aceptable es asociar el n´umero 1 al cambio deg en [0,1]. 4. Siguiendo los ejemplos anteriores, ¿qu´e n´umero puede asignarse al cambio de g en los siguientes

in-tervalos?:

a) [−1,1

2] = [−1,0)∪[0, 1 2]. b) D(g) = [−1,1] = [−1,0)∪[0,1].

Hemos descompuesto estos nuevos subconjuntos en subintervalos a los que ya hemos asignado un n´ ume-ro para el cambio degy adem´as, particionan el intervalo total, es decir, su uni´on es dicho subintervalo y su intersecci´on es vac´ıa. Lo m´as l´ogico entonces, es sumar los n´umeros que asociamos previamente, es decir, asociar a [−1,1

2] el n´umero −1 + 1 2 =−

1

2, y a [−1,1]el n´umero −1 + 1 = 0.

Observaciones 1.1. Observe que en todos los casos del ejemplo anterior, los n´umeros asignados son ´

areas con signo, de ciertos rect´angulos en el plano definidos con la gr´afica deg.

Observe adem´as, que los n´umeros asignados en verdad dan informaci´on ´util respecto al cambio global de la funci´on; por ejemplo, asignando el valor −1

2 a los valores que g toma en el intervalo [−1, 1 2], podemos entender que g tom´o el valor negativo −1 en un intervalo mayor, durante un mayor tiempo, etc. que el valor positivo−1, de manera que es coherente asignar un n´umero negativo al cambio global en el subconjunto correspondiente. An´alogamente, es natural asignar el valor 0al cambio total deg en D(g) = [−1,1], ya queg tom´o valores iguales, de signo contrario, en intervalos de igual longitud. Para finalizar estasecci´on motivacional, consideremos un ´ultimo par de funciones sencillas:

h1: [0,1]−→R h1(x) = 1 para todox∈[0,1],

h2: [0,2]−→R h2(x) = 1 para todox∈[0,1].

Observe queh1 yh2 difieren entre s´ı ´unicamente por su dominio.

¿Qu´e se puede decir del cambio de las funciones anteriores?. La derivada de ambas, en cualquier punto es nula, esto nos dice seg´un sabemos de nuestro primer curso de c´alculo, que las funciones son ambas constantes; m´as a´un, lo mismo ocurrir´a precisamente, para cualquier otra funci´on constante. Sin embargo es intuitivamente obvio que estas dos funciones no est´an cambiando en exactamente la misma manera; imagine que se estuviera modelando la cantidad de dinero que uno tiene en un intervalo de tiempo, definitivamente es preferible mantener la cantidad, sin importar que sea constante, por un mayor tiempo. Ahora bien, si continuamos con nuestra construcci´on sencilla del ejemplo 1.4, podemos asignar al cambio total de h1, el

n´umero 1 (que es simplemente el producto del valor que tomah1, por la longitud o medida de su dominio).

Mientras tanto, siguiendo la misma pauta, a h2 tendr´ıamos que asignar el n´umero 2. En resumen, hemos

empezado a formar una intuici´on que nos guiar´a a la construcci´on de un nuevo objeto matem´atico, que al igual que la derivada, nos auxiliar´a en la comprensi´on del cambio de las funciones reales de variable real, con el incentivo de que en muchos casos, a´un muy sencillos, parece que obtenemos informaci´on que la derivada pasaba por alto.

(10)

1.2.

Sumas e integral de Darboux

En esta secci´on, vamos a definir formalmente el n´umero que tanto mencionamos en nuestra motivaci´on, que asociaremos al cambio de una funci´on en todo un intervalo. Como es natural, comenzaremos considerando el caso m´as sencillo.

1.2.1.

Funciones simples

Las funciones simples, o constantes por pedazos, no son sino las que consideramos en nuestros ejemplos pasados. Para definirlas de manera adecuada, recordaremos un concepto que seguramente todos hemos estudiado previamente:

Definici´on 1.1. Considere un conjuntoX. Una partici´ondeX es una colecci´onP de subconjuntos deX que satisface lo siguiente:

1. ∈/P.

2. Dados A, B∈P, se tiene A∩B =. 3. [

A∈P

A=X.

Nota 1.2. A nosotros nos interesar´an exclusivamente particiones de subconjuntos de R.

Ejemplos 1.1. Considere el conjunto X := [−1,2]. 1. Las siguientes, son particiones de X:

P0:={[−1,2]}.

P1:={[−1,0),[0,

1 2],(

1 2,2]}.

P2:={{−1},(−1,1),[1,2]}.

2. Por otro lado, las siguientes noson particiones deX:

P3:={[−1,2)}.

P4:={[−1,0],[0,

1 2],(

1 2,2]}.

P5:={∅,{−1},(−1,1),[1,2]}

Existen particiones que pueden resultar horribles!, por ejemplo{Q,R−Q}es una partici´on del conjunto

de n´umeros reales. Como dijimos al principio, no nos interesa complicar nuestro trabajo en este punto, as´ı que distinguiremos un tipo especial de particiones:

Definici´on 1.2. Sea X⊂R. Diremos que una partici´on deX esbuena, si cumple lo suigiente:

1. P contiene a lo mucho una cantidad finita de subconjuntos.

2. Todos lo subconjuntos incluidos en P, son de alguna de las siguientes formas: {x}, para alg´un x∈X.

[a, b], con a < b. (a, b).

(a, b]. [a, b).

De aqu´ı en adelante, siempre que digamos partici´on, nos estaremos refiriendo a una partici´on buena. Definici´on 1.3. Sean a, b∈R n´umeros tales quea < b. Considere una funci´on f : [a, b]−→ R. Decimos

quef essimple´oconstante a pedazos, si existe una partici´on (buena)P={A1, A2, . . . An}de[a, b]que

(11)

1. Sic∈Aj,d∈Aj+1, entoncesc≤d. Esto para j= 1,2, . . . , n−1.

2. Existen n´umeros x1, x2, . . . , xn tales quex16=x26=· · · 6=xn para los cuales se tiene

f(x) =xj six∈Aj, para todo j= 1,2, . . . , n−1.

Esta definici´on puede parecer complicada, pero se trata en realidad de un tipo de funciones bastante sencillas, mucho m´as sencillas que la mayor´ıa de funciones con las que uno est´a familiarizado. Ilustraremos esto con los siguientes ejemplos:

Ejemplos 1.2. 1. Toda funci´on constante, definida en alg´un intervalo, es simple, por ejemplo

f : [0,1]−→R, f(x) = 2.

En este caso, la partici´on del intervalo [0,1] es {A1}; con A1 = [0,1], el valor x1 de la definici´on

obviamente es x1= 2.

2. La siguiente funci´on tambi´en es simple:

f : [0,5]−→R, dada por:

f(x) =

  

0 si x∈[0,1) 2 si x= 1 −1 si x∈(1,5] Los siguientes ejemplos nos ser´an ´utiles durante el resto del cap´ıtulo:

Ejemplos 1.3. 1. Sean∈Nun n´umero fijo. Las funci´ones fk: [0, n]−→R, dadas por

f1(x) =

j si x∈[j−1, j); j = 1,2, . . . , n n si x=n

f2(x) =

j2 si x[j1, j); j= 1,2, . . . , n

n2 si x=n

y en general, para k∈N:

fk(x) =

jk si x∈[j−1, j); j = 1,2, . . . , n nk si x=n

2. Finalmente, considere paran∈Ny r∈R− {1} fijos, la siguiente funci´on,gr: [0, n+ 1]−→R:

gr(x) =

rj−1 si x[j1, j); j= 1,2, . . . , n+ 1

rn si x=n+ 1

Todos los anteriores, son ejemplos de funciones simples.

Hemos definido a las funciones simples, de manera que sea inmediato definir su integral (en todo su dominio), apeg´andonos a la intuici´on que obtuvimos en la motivaci´on. Comenzaremos definiendo un n´umero que mida cada uno de los subconjuntos de la partici´on de cada funci´on simple.

Observaci´on 1.1. Recordando la definci´on de intevalo cerrado:

[a, b] :={x∈R|a≤x≤b}

podemos considerar a los conjuntos de la forma {a} como el caso particular en que a=b en la definici´on anterior.

(12)

Definici´on 1.4. La longitud de un intervalo cerrado, [a, b];a≤b; es el n´umero `([a, b]) =b−a.

En particular, `({a}) = 0, para todoa∈R.

Hace falta definir la medida de los posibles subconjuntos de una partici´on buena que son de alguna de las formas [a, b),(a, b],(a, b). Para ello, considere por ejemplo, que [a, b) = [a, b]− {b}. Como`([a, b]) =b−a y`({b}) = 0, resulta natural definir`([a, b)) =`([a, b]) =b−a. Resumimos esto en la siguiente definici´on. Definici´on 1.5. Sea P una partici´on buena de un intervalo[a, b]. Cualquier A∈P;Aes de alguna de las formas

[c, d] (c, d] [c, d) (c, d)

{c}= [c, d]; conc=d

Definimos lalongitud omedidadeA, como el n´umero

`(A) :=d−c.

Podemos formalizar finalmente, la definici´on de integral para una funci´on simple:

Definici´on 1.6. Seaf : [a, b]−→Rsimple. Supongamos que tenemos la partici´on[a, b] =A1∪A2∪ · · · ∪An,

junto con la colecci´on finita de n´umeros correspondientesx16=x26=· · · 6=xn; tales quef(x) =xj six∈Aj,

paraj= 1,2, . . . , n. Definimos la integral def como el n´umero

Z

[a,b]

f :=

n

X

j=1

xj`(Aj).

Nota 1.3. Utilizaremos tambi´en la siguiente notaci´on para la integral de una funci´on simple:

Z b

a

f

La integral de una funci´on simple, sencillamente mide el cambio global de la funci´on en todo su dominio; ponderando los valores tomados junto con la longitud o medida de los subintervalos donde la funci´on toma dichos valores. Para ganar claridad, calcularemos las integrales de algunas de las funciones de los ejemplos 1.2 y 1.3:

Ejemplos 1.4. 1. Sea

f : [0,5]−→R, dada por:

f(x) =

  

0 si x∈[0,1) 2 si x= 1 −1 si x∈(1,5] La partici´on del intervalo[0,5]de la definici´on de funci´on simple, es

P={[0,1),{1},(1,5]}.

Mientras que los valores que toma f son, respectivamente, 0,2,−1. Luego,

R

[0,5]f = 0·`([0,1)) + 2·`({1}) + (−1)·`((1,5])

= 0·(1−0) + 2·(1−1) + (−1)·(5−1) = 0·1 + 2·0 + (−1)·4

(13)

2. Continuemos con la funci´on simple

f1(x) =

j si x∈[j−1, j); j = 1,2, . . . , n n si x=n

del ejemplo 1.3. La partici´on del intervalo [0, n] utilizada en la definci´on de esta funci´on, es:

P={[0,1),[1,2), . . . ,[n−2, n−1),[n−1, n]}.

Los valores tomados en cada uno de estos n subconjuntos son, respectivamente, 1,2, . . . , n. Observe que `(A) = 1para todo A∈P. De aqu´ı se sigue que la integral def1 es simplemente

1 + 2 +· · ·+n=

n

X

j=1

j.

Existen varios caminos para mostrar que esta ´ultima suma es n(n+ 1)

2 . Quiz´a los 3 m´etodos m´as comunes son los siguientes:

Suponiendo que alguien sugiere previamente el valor n(n+ 1)

2 y probando el resultado utilizando inducci´on matem´atica, (no haremos esto aqu´ı).

Observando que

2Rn

0 f1 = (1 + 2 +· · ·+n) + (1 + 2 +· · ·+n)

= (1 + 2 +· · ·+ (n−1) +n) + (n+ (n−1) +· · ·+ 2 + 1) = (1 +n) + [2 + (n−1)] +· · ·[(n−1) + 2] + (n+ 1) = (n+ 1) + (n+ 1) +· · ·+ (n+ 1)

| {z }

nveces

=n(n+ 1).

Por lo tantoRn

0 f1=

n(n+ 1)

2 .

Finalmente, el siguiente m´etodo resulta f´acilmente generalizable para c´alculos similares:

Considere las siguientes igualdades

(k+ 1)2−k2= 2k+ 1; parak= 1,2, . . . , n: Es decir,

(n+ 1)2n2 = 2n+ 1

n2(n1)2 = 2(n1) + 1

..

. ... ... 3222 = 2(2) + 1

2212 = 2(1) + 1;

sumando estasn igualdades miembro a miembro, obtenemos:

(n+ 1)2−12= 2

Z n

0

f1+n.

De aqu´ı se sigue que

Z n

0

f1=

(n+ 1)2n1

2 =

n(n+ 1)

2 .

3. A continuaci´on calcularemos la integral de la funci´on f2 de los ejemplos 1.3:

f2(x) =

j2 si x[j1, j); j= 1,2, . . . , n

(14)

Este ejemplo es an´alogo al anterior, s´olo que en este caso la integral tiene el valor

n

X

j=1

j2.

Para calcular este n´umero podemos usar el ´ultimo razonamiento; consideremos las igualdades

(k+ 1)3−k3= 3k2+ 3k+ 1; parak= 1,2, . . . , n: Es decir,

(n+ 1)3−n3 = 3n2+ 3n+ 1 n3−(n−1)3 = 3(n−1)2+ 3(n−1) + 1

..

. ... ... 33−23 = 3(2)2+ 3(2) + 1 2313 = 3(1)2+ 3(1) + 1;

sumando estasn igualdades miembro a miembro, obtenemos:

(n+ 1)3−13= 3

Z n

0

f2+ 3

Z n

0

f1+n.

Sustituyendo el valor de R[0,n]f1 que obtuvimos previamente, tenemos:

3

Z n

0

f2= (n+ 1)3−1−

3n(n+ 1)

2 −n;

desarrollando y simplificando esta expresi´on obtenemos:

3

Z n

0

f2 =

2n3+ 6n2+ 4n−3n2−3n 2

=2n

3+ 3n2+n

2 =n(2n

2+ 3n+ 1)

2

=(2n+ 1)(n+ 1)n

2 .

Por lo tanto

Z

[0,n]

f2=

(2n+ 1)(n+ 1)n

6 .

4. Por ´ultimo, calculemos la integral de la func´ongr de los ejemplos 1.3:

gr(x) =

rj−1 si x[j1, j); j= 1,2, . . . , n+ 1

rn si x=n+ 1

En este caso, tenemos la partici´on

P={[0,1),[1,2), . . .[n−1, n)[n, n+ 1]};

esta vez existenn+ 1subintervalos, en los que la funci´on toma, respectivamente, los valores 1 =r0, r, r2, . . . , rn.

De nuevo cada subintervalo tiene longitud 1, de manera que

Z

[0,n+1]

gr es

Z

[0,n+1]

gr= n+1

X

j=1

rj−1=

n

X

j=0

(15)

Para calcular este n´umero, observemos que

(1−r)

Z

[0,n+1]

gr = (1−r)(1 +r+· · ·+rn)

= 1 +r+· · ·+rn(r+r2+· · ·+rn+1)

= 1−rn+1; Por lo tanto, para r6= 1,

Z n+1

0

gr=

1−rn+1 1−r .

Vamos a concluir esta subsecci´on haciendo algunas observaciones acerca del comportamiento de las funciones simples, que nos motivar´an a construir una integral para una clase m´as amplia de funciones (ya no necesariamente simples).

Observaciones 1.2. 1. Toda funci´on simple es acotada; (recuerde que una funci´on f : [a, b] −→ R es acotada, si existen n´umeros m, M ∈ R tales que m < f(x) < M para todo x ∈ [a, b]). En efecto, si f es simple, en particular toma un n´umero finito de valores, es decir I(f) = {x1, x2, . . . , xn}.

Entonces para ver que f es acotada de acuerdo a la definici´on que reci´en recordamos, basta tomar m= m´ın{x1, x2, . . . , xn} yM = m´ax{x1, x2, . . . , xn}.

2. Considere una funci´on simplef, que toma los valoresx1, x2, . . . xn en cada subconjunto de la partici´on

P={A1, A2, . . . , An}respectivamente. Si alg´unAj ∈Pes de la formaAj={c}, entonces el sumando

xj`(Aj)

no aporta nada al valor de R f, pues`(Aj) = 0.

3. Para cualquier funci´on acotadaf : [a, b]−→R, existen funciones simples g, h: [a, b]−→Rtales que

g(x)≤f(x)≤h(x) para todo x∈[a, b].

En efecto, pues al serf acotada, existenm, M ∈Rcon la propiedadm≤f(x)≤M para todox∈[a, b]. Basta tomar, por ejemplo:

g(x) =m, h(x) =M ∀x∈[a, b] que evidentemente son funciones simples.

1.2.2.

La integral de Darboux de funciones acotadas

Motivado por las observaciones 1.2, Darboux ingeni´o una manera de definir una integral para funciones acotadas. En esta subsecci´on construiremos dicha integral.

La idea fundamental es aproximar al n´umero que uno espera sea la integral de una funci´on acotada, utilizando integrales de funciones simples que aproximen a la funci´on mencionada. Comenzaremos por hacer una nueva restricci´on para las funciones simples que consideraremos; la observaci´on 1.2 inciso 2, sugiere considerar particiones buenas, que no contengan subconjuntos de la forma{c}. Formalicemos esta restricci´on: Definici´on 1.7. En lo subsecuente,siempre que digamos que Pes una partici´on del intervalo[a, b], pen-saremos que es de la forma:

P:={[t0, t1),[t1, t2), . . . ,[tn−1, tn]};

donde

t0=a < t1<· · ·< tn=b.

Observaci´on 1.2. Una partici´on queda completamente determinada si se conoce la cantidad finita de puntos

t0=a < t1<· · ·< tn=b.

(16)

El siguiente paso es construir, dada una funci´on acotada f : [a, b] −→ R, funciones simples que la

aproximen. Para ello generalizaremos lo que observamos en el tercer inciso de las observaciones 1.2 para cualquier parici´on de [a, b]:

Definici´on 1.8. Dadaf : [a, b]−→Racotada y una partici´onPdeterminada por los puntost0=a < t1<

· · ·tn=b, definimos:

Mj= sup{f(x)| x∈[tj−1, tj)},

mj = ´ınf{f(x)| x∈[tj−1, tj)}.

Con estos valores, definimos las funciones simplesfP, f

P: [a, b]−→R, como sigue: fP(x) =

Mj six∈[tj−1, tj)paraj= 1,2, . . . , n

Mn six=b

f P(x) =

mj six∈[tj−1, tj) paraj= 1,2, . . . , n

mn six=b

Observaci´on 1.3. Los n´umeros mj yMj siempre existen, por ser f acotada y se satiface claramente

f

P(x)≤f(x)≤fP, ∀x∈[a, b].

Definici´on 1.9. Dadas una funci´on acotadaf : [a, b]−→Ry una partici´onPdel itervalo[a, b], determinada

por puntost0, t1, . . . , tn definimos la suma inferior (de Darboux)L(f,P) y superior (de Darboux)

U(f,P)def como sigue:

L(f,P) :=

Z

[a,b]

fP, U(f,P) :=

Z

[a,b]

fP.

Expl´ıcitamente, tenemos

L(f,P) =

n

X

j=1

mj(tj−tj−1), U(f,P) =

n

X

j=1

Mj(tj−tj−1).

Observaci´on 1.4. Estas sumas s´olo dependen de la funci´on y la partici´on que elijamos.

Ahora estudiaremos algunas propiedades de las sumas que reci´en definimos, mismas que sugerir´an una definici´on obvia de la integral def.

Intuitivamente, es evidente que entre m´as subintervalos tomemos en una partici´on, m´as cercanas ser´an las sumas de Darboux entre s´ı, y m´as se acercar´an tambi´en, al n´umero que tentativamente definiremos como la integral def. Para ver que esto ocurre, es natural decir concretamnte qu´e significatomar m´as subintervalos en una partici´on.

Definici´on 1.10. SeanPy Q particiones de[a, b]determinadas por las colecciones de puntos A:={t0=a, t1, . . . , tn=b}, B:={u0=a, u1, . . . , um=b}

respectivamente. Decimos queQes unrefinamientodeP siA⊂B.

El siguiente resultado, nos permitir´a saber c´omo se comportan las sumas de Darboux de una funci´on acotada al refinar una partici´on:

Proposici´on 1.1. Sea f : [a, b]−→R una funci´on acotada. Consid´erense una partici´on P de [a, b]

deter-minada por los puntos

t0=a < t1<· · ·< tn =b.

Suponga que tomamos una nueva partici´onQ que es un refinamiento dePa un punto, es decir, est´a deter-minada por una colecci´on de n´umeros de la forma

t0=a < t1· · ·< tk−1< s < tk <· · ·< tn=b.

Entonces:

(17)

Demostraci´on. Probaremos la primer desigualdad, dejando la segunda (que es an´aloga) como un ejercicio de la primer tarea.

Sean

Mj:= sup{f(x)| tj−1≤x≤tj} paraj= 1,2, . . . , n

Definamos adem´as:

Mk0 := sup{f(x)|tk−1≤x≤s}, Mk00:= sup{f(x)|s≤x≤tk}.

Entonces por definici´on de suma superior, tenemos:

U(f,Q) =M1(t1−t0) +M2(t2−t1) +· · ·+Mk0(s−tk−1) +Mk00(tk−s) +· · ·+Mn(tn−tn−1),

U(f,P) =M1(t1−t0) +M2(t2−t1) +· · ·+Mk(tk−tk−1) +· · ·+Mn(tn−tn−1).

Observe que las dos sumas, difieren ´unicamente a partir del sumando k−´esimo, concretamete tenemos: U(f,P)−U(f,Q) =Mk(tk−tk−1)−[Mk0(s−tk−1) +Mk00(tk−s)]. (1.1)

Ahora bien, Mk por definici´on, es cota superior de todos los valoresf(x) conx∈[tk−1, tk). En particular,

es cota superior de todos los valoresf(x) parax∈[tk−1, s), pues [tk−1, s)⊂[tk−1, tk); entonces,

Mk ≥Mk0.

Similarmente, como [s, tk)⊂[tk−1, tk), tenemos

Mk ≥Mk00.

De las dos desigualdades anteriores, se sigue que

Mk0(s−tk−1) +Mk00(tk−s)≤Mk(s−tk−1) +Mk(tk−s) =Mk(s−tk−1+tk−s) =Mk(tk−tk−1).

Por lo tanto

Mk(tk−tk−1)−[Mk0(s−tk−1) +Mk00(tk−s)]≥0.

De esta ´ultima desigualdad, y la desigualdad 1.1, se sigue queU(f,P)−U(f,Q)≥0; es decir U(f,Q)≤U(f,P).

Dicho en palabras, la proposici´on anterior dice que (al menos agregando ´unicamente un punto nuevo), refinar particiones hace que las sumas superiores decrezcan y que las sumas inferiores crezcan. Usando este resultado, es f´acil probar el siguiente corolario:

Corolario 1.1. Seaf : [a, b]−→Runa funci´on acotada. Consid´erense dos particiones de[a, b], digamosP

y Qtales queQ es refinamiento deP. Entonces

U(f,Q)≤U(f,P), L(f,Q)≥L(f,P). La prueba se deja como ejercicio.

Una consecuencia un poco menos obvia es la siguiente:

Corolario 1.2. Seaf : [a, b]−→Runa funci´on acotada. Considere dos particiones Py P0 cualesquiera de

[a, b]. Entonces:

(18)

Demostraci´on. Considere una nueva partici´on Q, que sea cualquier refinamiento tanto deP como deP0

(recuerde que estas particiones, est´an determinadas cada una, por una cantidad finita de n´umeros, basta tomar por ejemplo, la partici´on definida por la uni´on de ambas colecciones finitas).

Por el corolario 1.1, tenemos:

L(f,P)≤L(f,Q) (1.2)

y

U(f,P0)≥U(f,Q). (1.3)

M´as a´un, L(f,Q) ≤ U(f,Q) para toda partici´on, simplemente porque los supremos de los valores de la funci´on en cada subintervalo, son mayores que los ´ınfimos correspondientes. De esta desigualdad y las desigualdades 1.2 y 1.3, obtenemos:

U(f,P0)≥U(f,Q)≥L(f,Q)≥L(f,P).

Es decir, para cualquier funci´on acotada f : [a, b] −→ R, cualquier suma superior es siempre mayor o

igual a cualquier inferior, no importan las particiones que determinen cada una. Consideremos ahora los siguientes conjuntos:

U(f) :={U(f,P)|P es partici´on de [a, b]},

L(f) :={L(f,P)|P es partici´on de [a, b]}.

Formados por todas las posibles sumas superiores e inferiores de f respectivamente. El corolario 1.2, puede reenunciarse diciendo lo siguiente:

1. El conjuntoU(f) es acotado por abajo (en efecto, cualquier suma inferior es una cota, seg´un el citado corolario).

2. El conjunto L(f) es acotado por arriba (an´alogamente, cualquier suma superior es cota de dicho conjunto).

Por el axioma del supremo (´ınfimo), los dos enunciados anteriores implican que existen los n´umeros que a continuaci´on definiremos como integrales def.

Definici´on 1.11. Seaf : [a, b]−→Runa funci´on acotada. Los n´umeros

´ınfU(f) :=U

Z

f y supL(f) :=L

Z

f

son llamados (respectivamente) integrales de Darboux superior e inferior def.

Nota 1.4. Puede usarse la notaci´on

U

Z

f =U

Z

[a,b]

f =U

Z b

a

f,

an´alogamente con la integral inferior.

Observe que para cualquier funci´on acotada, las integrales de Darboux superior e inferiorsiempreexisten. Para convencernos de esto e ilustrar estas definiciones, introduciremos la siguiente funci´on que suele usarse bastante para encontrar contraejemplos (conviene recordarla).

Ejemplo 1.5. Sea f : [0,1]−→Rdada por

f(x) =

1 six∈Q

(19)

Entonces UR

f = 1y LR

f = 0; para ver esto, mostraremos que incluso, los conjuntos U(f) y L(f) constan ambos de un solo n´umero:

Sea P={A1, A2, . . . , An} cualquier partici´on de[0,1](recuerde que a estas alturas, s´olo admitimos que

cadaAj sea un intervalo con m´as de un punto). En un primer curso de C´alculo, se demuestra que cualquier

intervalo de este tipo, contiene tanto n´umeros racionales como irracionales, se sigue entonces que f toma en cadaAj, tanto el valor 1 como el 0. Por lo tanto:

Mj = sup{f(x)|x∈Aj}= 1, mj= ´ınf{f(x)|x∈Aj}= 0.

De aqu´ı podemos calcular las sumas superior e inferior def:

U(f,P) =

n

X

j=1

1·`(Aj) = n

X

j=1

`(Aj) =`([0,1]) = 1.

Mientras tanto,

L(f,P) =

n

X

j=1

0·`(Aj) = 0.

Como lo anterior ocurre para calquier partici´on, puede concluirse que

U(f) ={1}, L(f) ={0}. Por lo tanto

U

Z

f = ´ınf{1}= 1, L

Z

f = sup{0}= 0.

Nota 1.5. A la funci´on f del ejemplo anterior se le llama funci´on discontinua de Dirichlet o simple-mente funci´on de Dirichlet.

A pesar del ejemplo anterior, para muchas funciones (que ser´an las que m´as nos interesar´an durante el curso) puede ocurrir el hecho de que ambas integrales coincidan. Esto merece resaltarse como haremos enseguida:

Definici´on 1.12. Sea f : [a, b]−→Runa funci´on acotada. Decimos quef esDarboux-integrable, si U

Z

f =L

Z

f.

En este caso escribimos el n´umero com´un (la integral de Darboux def) con algna de las siguientes notaciones:

Z

f =

Z

[a,b]

f =

Z b

a

f.

Esta definici´on tiene la ventaja de ser natural a partir de la construcci´on que hemos venido exponiendo, sin embargo en la pr´actica resulta nulamente ´util, es decir, es dif´ıcil verificar que una funci´on acotada (incluso muy sencilla) es Darboux-integrable.

Para remediar lo anterior, comencemos por pensar por un momento qu´e quiere decir la definici´on;URf es la m´axima cota inferior detodas las sumas superiores, esto quiere decir no s´olo que es un n´umero menor que todas estas sumas, sino que no es posible tomarning´unn´umero mayor, sin que exista alguna partici´on cuya suma superior sea menor que este nuevo n´umero. Similarmente,LRf es un n´umero mayor quetodas las sumas inferiores def, pero no es posible tomarning´un n´umero menor, sin que exista alguna partici´on cuya suma inferior sea mayor que este nuevo n´umero. Ahora bien, que la funci´on sea Darboux-integrable, (es decir, que ambos n´umeros UR

f y LR

f coincidan), quiere decir de acuerdo a lo que se˜nalamos, que existe un n´umeroR

f tal que es imposible tanto tomar n´umeros mayores o menores, sin que existan sumas de Darboux que sean menores o mayores que la integral. M´as claramente, R

f debe ser un n´umero al cual nos podemos aproximar tanto como queramos, por la izquierda usando sumas inferiores, y por la derecha usando sumas superiores. En otras palabras, cuando la funci´onf es Darboux-integrable, podemos encontrar sumas superiores e inferiores tan cercanas entre s´ı como se desee.

(20)

Definici´on 1.13. Sea f : [a, b]−→Runa funci´on acotada. Decimos que f esintegrable si para cualquier

n´umero positivoε >0, existe una partici´onP del intervalo[a, b]tal que U(f,P)−L(f,P)< ε.

N´otese que no hemos dicho quef sea Darboux integrable, a pesar de la discusi´on del p´arrafo previo a la definici´on, formalmente las dos definiciones de integrabilidad son eso,dos. Sin embargo, como es natural, se tiene el siguiente resultado:

Proposici´on 1.2. Una funci´onf : [a, b]−→Res Darboux-integrable si y s´olo si es integrable. En otras palabras, las definiciones 1.12 y 1.13 son equivalentes.

Demostraci´on. Supongamos primero, quef es Darboux-integrable. ConsideremosR f. Seaε >0. ComoRf es supremo deL(f) y evidentemente Rf −ε/2 es menor queR f, no es posible que acote superiormente a

L(f) (pues de ser as´ı, ser´ıa falso queR f es lam´ınimacota superior), luego, debe existir alguna partici´on

P0 de [a, b] tal que

Z

f−ε/2< L(f,P0). (1.4) Similarmente,Rf +ε/2>R f, por serR f´ınfimo deU(f), debe existir alguna otra partici´onP00tal que

Z

f +ε/2> U(f,P00). (1.5) La desigualdad 1.4 es equivalente (multiplic´anndola por -1), a:

Z

f+ε/2>−L(f,P0), (1.6) sumando miembro a miembro las desigualdades 1.5 y 1.6, obtenemos

ε > U(f,P00)−L(f,P0). (1.7) Observe sin embargo que en la ´ultima expresi´on, aparecen sumas con particiones que no necesariamente son iguales, para remediar esto, hagamos uso del corolario 1.1. SeaPuna partici´on que refine tanto aP0 como aP00. Entonces

U(f,P)≤U(f,P00), L(f,P)≥L(f,P0). De estas desigualdades, se sigue que

U(f,P)−L(f,P)≤U(f,P00)−L(f,P0). (1.8) Finalmente, de las desigualdades 1.7 y 1.8 obtenemos

U(f,P)−L(f,P)< ε, es decir,f es integrable.

Ahora supongamos quef es integrable. Consideremos las integrales de DarbouxUR

f yLR

f. Observe que siempre tenemos

U

Z

f −L

Z

f ≥0. (1.9)

Es claro adem´as, que para cualquier partici´onP de [a, b], tenemos

U

Z

f ≤U(f,P), L

Z

f ≥L(f,P) y de aqu´ı y la desigualdad 1.9 se sigue que, para toda partici´on:

0≤U

Z

f−L

Z

(21)

Para finalizar, seaε >0 cualquiera. Por serf integrable, existe alguna partici´onQtal que

U(f,Q)−L(f,Q)< ε, (1.11) pero la desigualdad 1.10 vale para toda partici´on (Qincluida), entonces juntando ´esta con 1.11 concluimos que para todo n´umero positivo, se tiene

0≤U

Z

f−L

Z

f < ε.

Por lo tanto URf =LRf; o sea,f es Darboux-integrable.

Teniendo en cuenta esta proposici´on, en adelante, siempre que diremos que una funci´on acotada es inte-grable (omitiendo la parte de Darboux).

Evidentemente, la funci´on de Dirichlet no es integrable. A continuaci´on veremos un par de ejemplos de funciones integrables:

Ejemplos 1.5. 1. Seab >0. Considere la funci´onf : [0, b]−→Rdada por

f(x) =x ∀x∈[0, b].

Entoncesf es integrable. Para ver esto, utilizaremos la definici´on 1.13; debemos encontrar, para cual-quier n´umeroε >0, una partici´onP de[0, b]para la cual

U(f,P)−L(f,P)< ε.

Una elecci´on que suele ser muy ´util en varios ejemplos sencillos, es la de considerar una partici´on determinada por puntos del intervalo que est´e equiespaciados. Formalizaremos esto enseguida:

Definici´on 1.14. Sea n∈N. Una n−partici´on regular del intervalo[a, b]⊂R, est´a determinada por

una colecci´on de puntost0=a < t1<· · ·< tn=b de la forma

tj:=a+j

b−a

n ; j = 1,2, . . . , n.

Denotaremos a este tipo de particiones como Pn[a,b], sin embargo, cuando sea claro por el contexto el

intervalo al que nos referimos, escribiremos simplemente Pn.

En nuestro ejemplo a= 0 y unan−partici´on regular tiene la forma Pn={[0,

b n),[

b n,2

b

n), . . . ,[(n−1) b n, b]}.

Observe que la longitud de cualquier subintervalo dePn esb/n. Adem´as, para cualquier j= 1,2, . . . , n

tenemos

Mj= sup{f(x) |(j−1)

b

n ≤x < j b

n}= sup{x| (j−1) b

n ≤x < j b

n}= sup[(j−1) b n, j

b n) =j

b n.

Similarmente, el valor ´ınfimo tomado por f en cada subintervalo [(j−1)b n, j

b

n), es mj = (j−1) b n.

Entonces las sumas superior e inferior de una partici´on regular, son:

U(f, Pn) = n X j=1 jb n· b

n, L(f, Pn) =

n

X

j=1

(j−1)b n·

b n,

es decir,

U(f, Pn) =

b2

n2

n

X

j=1

j, L(f, Pn) =

b2

n2

n

X

j=1

(j−1) = b

2

n2

n−1

X

j=1

(22)

Recuerde que ya anteriormente calculamos estas sumas (como integrales de ciertas funciones simples). Seg´un vimos, tenemos

U(f, Pn) =

b2 n2·

n(n+ 1)

2 , L(f, Pn) = b2 n2 ·

n(n−1)

2 .

Por lo tanto

U(f, Pn)−L(f, Pn) =

b2 n.

Ahora bien, en la ´ultima desigualdad, basta elegirN ∈N tal queN > bε2. Entonces tendremos U(f, Pn)−L(f, Pn)< ε, ∀n≥N.

Por lo tantof es integrable.

2. El ejemplo anterior, es un caso particular del siguiente, que resultar´a ser un criterio bastante ´util para mostrar que muchas de las funciones que conocemos, son integrables.

Definici´on 1.15. Seaf : [a, b]−→Runa funci´on. Decimos que f escreciente si dados cualesquiera

x1, x2∈[a, b]tales quex1≤x2, tenemos f(x1)≤f(x2).

Consideremos una funci´onf : [a, b]−→Rcreciente y acotada. Entoncesf es integrable.

Para ver esto, consideremos nuevamente unan−partici´on regular, esta vez del intervalo[a, b]. Tenemos

Pn ={[a, a+

b−a n ),[a+

b−a n , a+ 2

b−a

n ), . . . ,[tj−1, tj), . . . ,[a+ (n−1) b−a

n , b]},

donde tj =a+jb−na.

Nuevamente, por definici´on, cada subintervalo tiene longitud b−na. Por serf creciente, es claro adem´as que

Mj = sup{f(x)|x∈[tj−1, tj)}=f(tj)

mj = ´ınf{f(x)| x∈[tj−1, tj)}=f(tj−1);

paraj= 1,2, . . . , n.Se sigue que:

U(f, Pn) =

b−a n

n

X

j=1

f(tj), L(f, Pn) =

b−a n

n

X

j=1

f(tj−1),

por lo tanto:

U(f, Pn)−L(f, Pn) =

b−a n

n

X

j=1

[f(tj)−f(tj−1)].

Escribiendo algunos de los t´erminos de la suma anterior, podemos ver que:

U(f, Pn)−L(f, Pn) =

b−a

n [f(b)−f(a)] =

(b−a)(f(b)−f(a))

n .

(23)

An´alogamente se puede probar (esto se deja como tarea) que toda funci´on decreciente es integrable. Estos resultados, permiten (casi) probar que la mayor´ıa de funciones que estudiamos en un primer curso de c´alculo, son integrables en intervalos cerrados contenidos en sus dominios. En efecto, una de las principales aplicaciones de la derivada, consiste en permitir saber para una amplia gama de funciones, d´onde son constantes, crecientes o decrecientes. Ilustremos esto con un ejemplo:

Ejemplo 1.6. Considere la funci´onf : [0,4]−→Rdada por

f(x) = x

3

3 −2x

2+ 3x.

Utilicemos las t´ecnicas del c´alculo diferencial para conocer el comportamiento def. Tenemos

f0(x) =x2−4x+ 3.

Es f´acil ver que los ceros def0 son1y3. Para averiguar qu´e tipo de puntos cr´ıticos son (m´ınimos o m´aximos locales), podemos calcular la segunda derivada:

f00(x) = 2x−4.

Evaluando, tenemosf00(1) =−2 y f00(3) = 2. Se sigue quef tiene un m´aximo local en 1 y un m´ınimo local en3. Adem´asf00(x) = 0 si y s´olo six= 2, es decir,f tiene un punto de inflexi´on en2. La gr´afica def luce como en la siguiente figura:

As´ı las cosas, por ser1 un m´aximo,f debe ser creciente en[0,1], despu´es,f tiene un m´ınimo en 3; esto implica que f es decreciente en [1,3]y de nuevo creciente en[3,4]. Sabemos que las funciones crecientes y decrecientes son integrables, por lo cualf es integrable en cada uno de los intervalos[0,1],[1,3]y[3,4]. Esto motiva a probar (cosa que intuitivamente parece obvia) que esto implica que f es integrable en[0,4].

Otra forma de pensar, es considerando a f como la suma de 3 funciones

fj: [0,4]−→R; j= 1,2,3.

dadas respectivamente por

f1(x) =

x3

(24)

f2(x) =−2x2,

f3(x) = 3x.

Es f´acil probar quef1es creciente en[0,4],f2es decreciente en[0,4]yf3 es creciente en el mismo intervalo.

Luego, cada una de estas funciones es integrable en el dominio de f. Entonces, otra forma de probar la integrabilidad de f, ser´ıa probando (otra cosa que resulta intuitivamente plausible) que si una funci´on es suma de funciones integrables, entonces ella misma tambi´en es integrable.

Teniendo como motivaci´on establecer los resultados que bosquejamos en el ejemplo anterior, estudiaremos una nueva construcci´on de integral; la integral de Riemann. Probaremos que esta nueva integral coincide con la integral de Darboux y teniendo esta equivalencia, nos ser´a m´as f´acil probar las propiedades de la integral que mencionamos y algunas m´as.

1.3.

Sumas e integral de Riemann

Definici´on 1.16. Seana, b∈R,a≤b. Considere el intervalo[a, b] junto con una partici´onPdeterminada

por una colecci´on de puntos

{a=t0< t1<· · ·< tn =b}.

UnaetiquetadeP es una n−ada

~c= (c1, c2, . . . , cn)

de n´umeros tales que

tj−1≤cj≤tj; j= 1,2, . . . , n.

Una partici´on etiquetada es una partici´on de esta forma junto con una etiqueta, (P, ~c).

Observe que para cualquier partici´on, existen una infinidad de etiquetas. Para cada partici´on etiquetada y cada funci´on definida en el intervalo en cuesti´on, definiremos una suma de Riemann de la siguiente manera: Definici´on 1.17. Sean f : [a, b] −→R una funci´on y (P, ~c) una partici´on etiquetada de[a, b] como en la

definici´on anterior. El siguiente n´umero (que depende def y de(P, ~c)) es unasuma de Riemanndef:

R(f,P, ~c) :=

n

X

j=1

f(cj)(tj−tj−1).

Nota 1.6. En la suma anterior, se suele usar la notaci´on

∆j:=tj−tj−1.

Observe que a diferencia de en las sumas de Darboux, aqu´ı multiplicamos la longitud de cada subintervalo por un valor de f, no necesariamente su ´ınfimo o supremo que incluso, no necesariamente son alcanzados por la funci´on. Es claro entonces que para cualquier funci´on acotada f : [a, b]−→Ry para toda partici´on etiquetada (P, ~c) tenemos:

L(f,P)≤R(f,P, ~c)≤U(f,P).

Ahora imaginemos que tomamos una suma de Riemann, y hacemos que los subintervalos de la partici´on sean cada vez m´as peque˜nos. Es intuitivamente aceptable que en el l´ımite, no quedan muchas opciones para elegir la etiqueta donde evaluamos a la funci´on y que (aunque esto no tiene sentido), estamos sumando todos los productos de todos los valores def, por una longitud infinitesimal, arbitrariamente peque˜na.

(25)

Definici´on 1.18. Sea Puna partici´on del intervalo [a, b], determinada por los n´umeros t0=a < t1<· · ·< tn=b.

La normadeP, es el n´umero

kPk:= m´ax

1≤j≤n{∆j}.

As´ı, una partici´on es fina cuando su norma es muy chica, pues al ser ´esta la m´as grande de las longitudes de sus subintervalos, est´a garantizado que todos tendr´an una longitud igual o m´as peque˜na.

Ahora podemos decir qu´e significa que una funci´on sea Riemann-integrable:

Definici´on 1.19. Sea f : [a, b]−→Runa funci´on. Decimos quef es Riemann-integrable, y denotamos al

valor de la integral como

Z b

a

f(x)dx

si para todo ε >0 existe un δ >0 tal que, para toda partici´on etiquetada (P, ~c)conkPk< δ, se tiene

R(f,P, ~c)−

Z b

a

f(x)dx

< ε.

Observaciones 1.3. 1. En la definici´on anterior, no requerimos que la funci´on fuera acotada (en la integral de Darboux era necesario, porque de lo contrario no pod´ıamos garantizar la existencia de ´ınfimos y supremos de los valores de la funci´on). Sin embargo, puede probarse que una funci´on Riemann-integrable, necesariamente es acotada.

2. Observe que sif es Riemann-integrable, el valor de la integral puede aproximarse con cualquier parti-ci´on con norma suficientemente chica, independientemente de la elecci´on de la etiqueta.

Afortunadamente, las integrales de Darboux y de Riemann coinciden: Teorema 1.1. Seaf : [a, b]−→Runa funci´on acotada. Son equivalentes:

a) f es Riemann-integrable.

b) f es Darboux-integrable.

Adem´as en caso de serlo:

Z

[a,b]

f =

Z b

a

f(x)dx.

Nota 1.7. Usaremos la definici´on 1.13 como definici´on de integrabilidad de Darboux.

Demostraci´on. Supongamos primero quef es Riemann-integrable. Seaε >0, entonces, existeδ >0 tal que para cualquier partici´on etiquetada (P, ~c) de [a, b] conkPk< δ tenemos

R(f,P, ~c)−

Z b

a

f(x)dx

< ε/4. (1.12)

Consideremos s´olo particiones con norma menor que talδ. Afirmamos que podemos elegir etiquetas~c1y

~c2de manera que:

U(f,P)−ε/4< R(f,P, ~c1). (1.13)

L(f,P) +ε/4> R(f,P, ~c1). (1.14)

(26)

Supongamos quePest´a determinada por una sucesion de n´umeros de la forma t0=a < t1<· · ·< tn =b.

Denotemos como de costumbre mj := ´ınftj−1≤x≤tj{f(x)} para j = 1,2, . . . , n. Es claro para cada uno

de estos ´ınfimos, que mj+ 4(bεa) > mj. As´ı, como mj es la mayor cota inferior de los valores de f en

el subintervalo correspondiente, mj + 4(bεa) no puede ser cota inferior, por lo tanto debe existir alg´un

cj ∈[tj−1, tj] tal que

f(cj)< mj+

ε 4(b−a).

Multiplicando por el n´umero positivo ∆j =tj−tj−1, obtenemos la desigualdad:

f(cj)∆j < mj∆j+

ε

4(b−a)∆j; j = 1,2, . . . , n. (1.15) Sumando estas desigualdades miembro a miembro, tenemos:

n

X

j=1

f(cj)∆j< n

X

j=1

mj∆j+ n

X

j=1

ε

4(b−a)∆j. (1.16)

Sea~c2= (c1, c2, . . . , cn). Entonces la desigualdad 1.15 es precisamente:

R(f,P, ~c2)< L(f,P) +ε/4.

Esto demuestra 1.14. Considere entonces, etiquetasc1yc2que satisfagan 1.13 y 1.14. Restando miembro

a miembro obtenemos:

U(f,P)−L(f,P)−ε/2< R(f,P, ~c1)−R(f,P, ~c2).

Sumemos y restemos el valor de la integral de Riemann def en el lado derecho de esta ´ultima desigualdad:

U(f,P)−L(f,P)−ε/2< R(f,P, ~c1)−

Z b

a

f(x)dx+

Z b

a

f(x)dx−R(f,P, ~c2). (1.17)

Tenemos

R(f,P, ~c1)−

Z b

a

f(x)dx+

Z b

a

f(x)dx−R(f,P, ~c2)≤

R(f,P, ~c1)−

Z b

a

f(x)dx+

Z b

a

f(x)dx−R(f,P, ~c2)

,

y por la desigualdad del tri´angulo:

R(f,P, ~c1)−

Z b

a

f(x)dx+

Z b

a

f(x)dx−R(f,P, ~c2)

R(f,P, ~c1)−

Z b a f(x)dx + Z b a

f(x)dx−R(f,P, ~c2)

.

Pero por la desigualdad 1.12, tenemos

R(f,P, ~c1)−

Z b a f(x)dx < ε/4, Z b a

f(x)dx−R(f,P, ~c2)

< ε/4.

Por lo tanto:

R(f,P, ~c1)−

Z b

a

f(x)dx+

Z b

a

f(x)dx−R(f,P, ~c2)≤ε/2. (1.18)

De 1.17 y 1.18 obtenemos:

(27)

U(f,P)−L(f,P)< ε. Por lo tantof es Darboux-integrable.

Rec´ıprocamente, supongamos ahora que f es Darboux-integrable (o equivalentemente, que satisface la definici´on 1.13). SeaI =UR

f =LR

f =R

f el valor de su integral de Darboux. Dadoε > 0, probaremos que existeδ >0 tal que para cualquier partici´on etiquetada (P, ~c) de [a, b] conkPk< δ, se satisface:

|R(f,P, ~c)−I|< ε. (1.19) Observe que con esto habr´ıamos probado no s´olo quef es Riemann-integrable, sino que el valor de dicha integral es el mismo que el valor de Darboux.

Comencemos eligiendo una partici´onP0 tal que

U(f,P0)−L(f,P0)< ε/2 (1.20)

Afirmamos que existeδ >0 tal que para cualquier partici´onPde [a, b] conkPk< δtenemos las siguientes dos desigualdades:

U(f,P)−U(f,hP∪P0i)< ε/2, (1.21)

L(f,hP∪P0i)−L(f,P)< ε/2. (1.22)

Aqu´ı,hP∪P0idenota a la partici´on definida por la uni´on de las colecciones de puntos que definen aP

y aP0.

Demostraremos ´unicamente 1.22, pues la desigualdad 1.21 se prueba an´alogamente.

Vamos a elegir la norma de P m´as adelante, comencemos por calcular la diferencia entre las sumas inferiores que aparecen en 1.22 en general. Supongamos queP0 est´a definida por una colecci´on de puntos

de la forma

x0=a < x1<· · ·< xn =b

y queP est´e definida por

y0= 1< y1<· · ·< ym=b.

Recordemos que P0 est´a fija, comencemos por elegir kPk lo suficientemente peque˜na, de manera que

cada uno de los puntosxj, conj = 1,2, . . . , n−1 est´e contenido en un ´unico subintervalo deP, digamos

xj∈[yk(j)−1, yk(j)).

Ahora observemos que L(f,P) difiere deL(f,hP∪P0i), solamente en los sumandos correspondientes a

losn−1 subintervalos en los que a˜nadimos un nuevo puntoxj. Expl´ıcitamente,L(f,hP∪P0i)−L(f,P) es

igual a:

n−1

X

j=1

´ınf

yk(j)−1≤x≤xj

{f(x)} ·(xj−yk(j)−1) + ´ınf

xj≤x≤yk(j)

{f(x)} ·(yk(j)−xj)− ´ınf yk(j)−1≤x≤yk(j)

{f(x)} ·(yk(j)−yk(j)−1)

.

(28)

n−1

X

j=1

M(xj−yk(j)−1) +M(yk(j)−xj) +M(yk(j)−yk(j)−1)

. (1.24)

Adem´as, cada una de las longitudes de los subintervalos que aparecen en la suma anterior, es menor o igual que la norma de la partici´onP, as´ı, 1.24 es menor o igual a:

n−1

X

j=1

3MkPk=M(n−1)kPk.

Por lo tanto, basta elegirkPk< ε/(2M(n−1)) para garantizar que L(f,hP∪P0i)−L(f,P)< ε/2.

As´ı pues, consideremos una partici´on con norma tal que se satisfagan tanto 1.21 como 1.22. Sea~ccualquier etiqueta. Es claro que

R(f,P, ~c)≤U(f,P), (1.25)

pero por 1.21, U(f,P)< U(f,hP∪P0i) +ε/2 y comohP∪P0ies refinamiento deP0, tenemos

U(f,hP∪P0i) +ε/2≤U(f,P0) +ε/2.

Por lo tanto, se sigue de 1.25, que:

R(f,P, ~c)< U(f,P0) +ε/2. (1.26)

PeroR

f es en particular, el supremo de las sumas inferiores de f, por lo cual R

f ≥L(f,P0), en otras

palabras−R

f ≤ −L(f,P0). Sumando miembro a miembro esta ´ultima desigualdad a 1.26, obtenemos:

R(f,P, ~c)−

Z

f < U(f,P0)−L(f,P0) +ε/2.

PeroU(f,P0)−L(f,P0)< ε/2. Por lo tanto:

R(f,P, ~c)−

Z

f < ε. (1.27)

Repitiendo el razonamiento anterior, pero utilizando esta vez 1.22, obtenemos:

R(f,P, ~c)−

Z

f >−ε. (1.28)

Las desigualdades 1.27 y 1.28, equivalen a

R(f,P, ~c)−

Z

f

< ε,

que es lo que quer´ıamos demostrar (ver desigualdad 1.19).

El anterior, es quiz´a el resultado principal del primer cap´ıtulo. Hemos probado que todas las integrales que hemos considerado son una misma. El prestigio de Riemann hizo que se llamara a esta integral integral de Riemann, aunque lo m´as com´un es exponer sus propiedades utilizando la definici´on de Darboux y apenas mencionar qu´e es una suma de Riemann como simple curiosidad.

(29)

1.4.

Propiedades b´

asicas de la integral

1.4.1.

Linealidad

Proposici´on 1.3. Seanf, g: [a, b]−→Rfunciones integrables. Entonces:

1. La funci´on f+g: [a, b]−→, dada por(f +g)(x) :=f(x) +g(x)es integrable y adem´as

Z b

a

(f +g) =

Z b a f + Z b a g.

2. Para cualquier λ ∈ R, la funci´on λf : [a, b] −→ R, dada por (λf)(x) := λcotf(x) es integrable y adem´as

Z b

a

λf=λ·

Z b

a

f.

Demostraci´on. Utilizaremos por conveniencia, la definici´on de Riemann.

1. Seaε >0. Comof es integrable, existeδ1>0 tal que para cualquier partici´on etiquetada (P1, ~c1) con

kP1k ≤δ1 tenemos

R(f,P1, ~c1)−

Z b a f

< ε/2. (1.29) Similarmente, como g tambi´en es integrable, existe δ2 tal que para cualquier partici´on etiquetada

(P2, ~c2) conkP2k ≤δ2 tenemos

R(g,P2, ~c2)−

Z b a g

< ε/2. (1.30) Seaδ= m´ın{δ1, δ2}. Entonces dada cualquier partici´on etiquetada (P, ~c) conkPk ≤δ, deben cumplirse

tanto 1.29 como 1.30. Es decir:

R(f,P, ~c)−

Z b a f < ε/2,

R(g,P, ~c)−

Z b a g < ε/2.

Sumando miembro a miembro estas ´ultimas desigualdades obtenemos la siguiente desigualdad:

R(f,P, ~c)−

Z b a f +

R(g,P, ~c)−

Z b a g

< ε. (1.31)

Pero por la desigualdad del tri´angulo, el lado izquierdo de 1.31 es mayor o igual a

R(f,P, ~c)−

Z b

a

f+R(g,P, ~c)−

Z b a g |

esta ´ultima expresi´on es

R(f,P, ~c) +R(g,P, ~c)−

Z b a f+ Z b a g ! .

Observando queR(f,P, ~c) +R(g,P, ~c) =R(f+g,P, ~c), concluimos por la desigualdad 1.31, que

R(f+g,P, ~c)−

Z b a f+ Z b a f ! < ε.

Es decir,f+g es integrable en [a, b] y adem´as

Z b

a

(f +g) =

(30)

2. Comencemos por considerar el casoλ= 0. Tenemos 0·f(x) = 0 para cualquierx∈[a, b]. Esta funci´on es simple, su integral vale 0·(b−a) = 0. Por otro lado

Z b

a

f = 0,

sin importar el valor de la integral. Por lo tanto el resulado es v´alido par λ= 0. Ahora supongamos que λ6= 0. Dado cualquierε >0, por ser f integrable, existe δ >0 tal que para cualquier partici´on etiquetada (P, ~c) conkPk ≤δ, tenemos

R(f,P, ~c)− Rb a f < ε |λ| ⇐⇒ |λ| ·

R(f,P, ~c)− Rb af < ε ⇐⇒

λ·R(f,P, ~c)−λ· Rb af < ε ⇐⇒

R(λf,P, ~c)−λ· Rb

a f

< ε

∴ λf es integrable en [a, b] y Rb

aλf =λ·

Rb

a f.

Nota 1.8. Distinguimos el caso λ= 0, porque de lo contrario no es posible tomarε/|λ|.

Corolario 1.3. Dadas una cantidad finita fj : [a, b] −→ R de funciones integrables y una colecci´on de

constantesλj ∈R;1≤j≤n. La funci´on

n

X

j=1

λjfj,

(definida de manera obvia) es integrable y adem´as:

Z b a   n X j=1

λjfj

 =

n

X

j=1

λj·

Z b

a

fj.

Demostraci´on. Use inducci´on sobrenutilizando la proposici´on anterior. Ejemplo 1.7. Sea p:R−→Run polinomio; es decir,

p(x) =

n

X

j=1

ajxj; para ciertosn∈N,aj ∈R, 1≤j≤n.

Entoncespes integrable en cualquier intervalo[a, b]⊂R.

1.4.2.

Concatenaci´

on

Proposici´on 1.4. Seanf : [a, b]−→Runa funci´on acotada,c∈[a, b]. Si f es integrable en[a, c]y en [c, b],

entonces f es integrable en[a, b].

Demostraci´on. Utilizaremos la definici´on de Darboux. Seaε >0, debemos mostrar que existe una partici´on

Pde [a, b] tal que

U(f,P)−L(f,P)< ε.

Esto es sencillo, pues dado quef s´ı es integrable en [a, c] y en [c, b], sabemos que existen particionesP1

yP2 de cada uno de estos intervalos, tales que

U(f,P1)−L(f,P1)< ε/2 y U(f,P2)−L(f,P2)< ε/2. (1.32)

Reescribamos estas desigualdades; supongamos que P1 y P2 est´an determinadas, respectivamente, por las

siguientes colecciones de puntos:

(31)

Sean

Mj1:= sup{f(x)|x∈[tj11, t1j]}, m1j:= ´ınf{f(x)|x∈[t1j1, t1j]}, j= 1,2,· · · , n An´alogamente se definenMj2,m2j. Entonces, seg´un las desigualdades 1.32, tenemos

n

X

j=1

(Mj1−m1j)(tj1−t1j−1)< ε/2,

m

X

j=1

(Mj2−m2j)(tj2−t2j−1)< ε/2.

Sumando miembro a miembro las ´ultimas desigualdades, tenemos:

n

X

j=1

(Mj1−m1j)(t1j−t1j1) +

m

X

j=1

(Mj2−m2j)(tj2−t2j1)< ε. Pero

n

X

j=1

(Mj1−m1j)(t1j−t1j1) +

m

X

j=1

(Mj2−m2j)(t2j−t2j1) =U(f,P)−L(f,P),

dondePes la partici´on de [a, b] definida por los puntos que definen aP1 junto con los que definen aP2.

Entonces,

U(f,P)−L(f,P)< ε.

El rec´ıproco del resultado anterior tambi´en es v´alido:

Proposici´on 1.5. Sea f : [a, b]−→R una funci´on integrable. Entonces para todoc∈[a, b],f es integrable

en [a, c]y en [c, b]. M´as a´un, tenemos

Z b a f = Z c a f+ Z b c f.

La demostraci´on se deja como tarea.

Observaci´on 1.5. Los resultados anteriores son v´alidos, incluso en los casos en que c es alguno de los extremos del intervalo [a, b]. Observemos que en tales casos (por ejemplo, tomandoc=b) tenemos:

Z b a f+ Z b b f = Z b a f,

por lo tanto

Z b

b

f = 0.

Supongamos que tenemosf : [a, b]−→Rintegrable, nos gustar´ıa definir

Z a

b

f,

para ello, observamos que si queremos que nuestra definici´on sea consistente con la propiedad de concatena-ci´on, se debe cumplir que:

Z a b f + Z b a f = Z b b f.

Entonces, de la observaci´on 1.5 debe tenerse

Z a

b

f +

Z b

a

f = 0. Esto sugiere hacer la siguiente definici´on:

Definici´on 1.20. Sea f : [a, b]−→Rintegrable, definimos

Z a

b

f :=−

Z b

a

(32)

1.4.3.

Monoton´ıa

Finalmente, estableceremos la propiedad de monoton´ıa de la integral. Como veremos a continuaci´on, la integral respeta desigualdades, sin embargo, en lugar de demostrar inmediatamente esta propiedad en general, utlizaremos lo que ya sabemos para simplificar el trabajo; comenzaremos por probar el siguiente caso particular:

Proposici´on 1.6. Seaf : [a, b]−→R una funci´on integrable. Supongamos que para todo x∈[a, b] se tiene

f(x)≥0. Entonces

Z b

a

f ≥0.

Demostraci´on. Sabemos que la integral de una funci´on es, seg´un la definici´on de Darboux, el supremo de todas sus sumas inferiores. En particular es mayor o igual que la suma inferior asociada a la partici´on trivial de [a, b] (es decir,P={[a, b]}). Tenemos:

Z b

a

f ≥L(f,P),

por definici´on, se tieneL(f,P) =m·`([a, b]); donde m= ´ınf{f(x) | x∈[a, b]}. Pero f(x)≥0 para todo x∈[a, b], es decir, 0 es cota inferior de los valores de f en su dominio, comom es mayor ´o igual que toda cota inferior, tenemosm≥0. Por lo tanto

Z b

a

f ≥L(f,P) =m·`([a, b])≥0·`([a, b]) = 0.

Ahora el caso general es inmediato usando la linealidad de la integral:

Corolario 1.4. Seanf, g: [a, b]−→R integrables tales quef(x)≥g(x)para todox∈[a, b]. Entonces

Z

f ≥

Z

g.

Demostraci´on. Consideremos la funci´onh: [a, b]−→Rdada por h(x) =f(x)−g(x). Por hip´otesis tenemos h(x)≥0 para todox∈[a, b]. Entonces por la proposici´on 1.6,

Z

h≥0. Pero por la linealidad de la integralR

h=R

f−R

g. El resultado se sigue.

M´as a´un, tenemos el siguiente resultado que ser´a extremadamente ´util en el siguiente cap´ıtulo:

Corolario 1.5. Seaf : [a, b]−→Runa funci´on integrable. Entonces existen constantesm, M ∈Rtales que m(b−a)≤

Z b

a

f ≤M(b−a).

Demostraci´on. Como f es integrable, en particular es acotada, por lo tanto existen m, M ∈ R tales que

m≤f(x)≤M para cualquierx∈[a, b]. Consideremos las funciones constantesh, g : [a, b]−→R;h(x) =m,

g(x) =M para todox ∈ [a, b]. Ambas son funciones simples, luego, integrables. Usando la propiedad de monoton´ıa tenemos

Z b

a

h≤

Z b

a

f ≤

Z b

a

g,

pero

Z b

a

h=m(b−a),

Z b

a

(33)

Cap´ıtulo 2

El teorema fundamental del C´

alculo

2.1.

Introducci´

on

Hemos construido con detalle la integral de una funci´on acotada y establecimos algunas de sus propieda-des elementales. Sin embargo no hace falta considerar funciones muy complicadas para tener ejemplos en los cuales dichas propiedades no nos permiten saber eficientemente (de forma r´apida) el valor de cierta integral. Para ejemplificar esto, consideremos una funci´on polin´omica:

Sea f : [−2,5]−→R, dada por

f(x) = x

5

2 −3x

2x+ 4,

En el cap´ıtulo anterior vimos quef es integrable (de la linealidad, se sigue que basta verificar la integra-bilidad de una funci´on de la formax7→xn para alg´unn∈N, pero esto es trivial dado que estas funciones

son siempre crecientes o decrecientes). Sin embargo, cualquier intento por averiguar el valor expl´ıcito del n´umero

Z 5

−2

f(x)dx

resultar´ıa, en el mejor de los casos, bastante tedioso utilizando las herramientas de las que disponemos actualmente.

Para corregir este imperfecto, retomaremos el enfoque que suele usarse en el primer curso de c´alculo, (seguiremos pensando en el ejemplo de la funci´on f citada anteriormente). En dicho curso, uno estudia el concepto de derivada; inicialmente se define como cierto l´ımite alrededor de un punto del dominio de la funci´on. Consideremos la funci´on polin´omicaf y el punto 0∈[−2,5]. Tenemos

f0(0) = l´ım

x→0

x5 2 −3x

2x+ 4(05 2 −3·0

20 + 4)

x−0 = l´ımx→0

x5 2 −3x

2x

x =

= l´ım

x→0

x4

2 −3x−1 =−1.

A pesar del ´exito obtenido, ser´ıa inocente pretender calcular la derivada en otros puntos siguiendo el mismo procedimiento tedioso. En nuestro primer curso de c´alculo, aprendimos que un enfoque mucho m´as ventajoso era considerar una nueva funci´on:

f0: [−2,5]−→R, definida por

f0(x) = l´ım

y→x

f(y)−f(x) y−x .

Observe que esta funci´on, comunmente llamada la derivada def, formalmente es la funci´on que a cada punto en el dominio de la funci´on derivable f, le asocia la derivada de f en dicho punto. No debe haber

(34)

confusi´on entre la derivada y la funci´on derivada. Estudiando las propiedades def0, se descubre f´acilmente una manera de hallar las derivadas def en todo su dominio. Se prueba que

f0(x) = 5 2x

46x1.

M´as a´un, no es dif´ıcil probar que para cualquier funci´on polin´omica f :R−→R;

f(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0,

tenemos:

f0(x) =nanxn−1+ (n−1)an−1xn−2+· · ·+a1 ∀x∈R.

Inspirados en esta discusi´on, y en el ´exito obtenido (al menos para funciones polin´omicas) en el primer curso de c´alculo, es que replantearemos el problema de integrar, estudiando las propiedades de una funci´on que cuyos valores son las integrales de una funci´on dada.

2.2.

La primitiva de una funci´

on integrable

Definici´on 2.1. Sea f : [a, b]−→Runa funci´on integrable. Definimos lafunci´on primitivadef como: F : [a, b]−→R;

F(x) :=

Z x

a

f.

Nota 2.1. La primitiva est´a bien definida por la propiedad de concatenaci´on; sabemos que al serf integrable en todo[a, b], es integrable en[a, x] para cualquierx∈[a, b] y por lo tanto, la primitiva existe.

A veces utilizaremos la notaci´on

F(x) =

Z x

a

f(t)dt.

Revisando algunos ejemplos, podremos intuir las propiedades de la funci´on primitiva: Ejemplo 2.1. Consideremos b >0 y f : [0, b]−→R dada por

f(x) =x3.

En un ejercicio de tarea, se mostr´o quef es integrable, m´as a´un, se mostr´o que si Pn es la partici´on

regular del intervalo [0, b], entonces la suma superior asociada es tambi´en una suma de Riemann, dada por

U(f,Pn) = n

X

j=1

jb

n

3 b

n =

= b

4

n4

n(n+ 1) 2

2

= b

4

4

n(n+ 1) n2

2

.

Como f es integrable, en particular debe satisfacer la definici´on de Riemann, entonces existe el l´ımite cuando la norma de una partici´on tiende a cero, de cualquier suma de Riemann asociada y dicho l´ımite es la integral def.

En este casokPnktiende a 0 si y s´olo sintiende a∞. Por lo tanto el valor de

Rb

0f debe ser precisamente

l´ım

n→∞

b4

4

n(n+ 1)

n2

2

= b

4

4

l´ım

n→∞

n(n+ 1) n2

2

(35)

Pero

l´ım

n→∞

n(n+ 1)

n2 = l´ımn→∞

1 + 1 n

= 1. Por lo tanto

Z b

0

x3dx=b

4

4.

Ahora consideremos alg´un otro n´umero a tal que 0 ≤a < b. Por lo que vimos anteriormente tenemos, para cualquierx∈[a, b]:

Z a

0

f =a

4

4 ,

Z x

0

f =x

4

4 . Por otro lado por la propiedad de concatenaci´on tenemos:

Z x 0 f = Z a 0 f + Z x a

f, es decir

Z x a f = Z x 0 f− Z a 0 f.

Sustituyendo concluimos que:

Z x

a

f = x

4

4 − a4

4 . En otras palabras, la primitiva de f es, para todo x∈[a, b]:

F(x) = x

4

4 − a4

4 .

Ejemplo 2.2. Ahora consideremos un caso particular de las funciones discontinuas e integrables de la pri-mer tarea:

Sea {an}n∈N la sucesi´on dada por

an:=

1 n.

Considere la funci´on f : [0,1]−→R definida mediante

f(x) =

1 six= 1/npara alg´unn∈N

0 en otro caso.

Como l´ımn→∞an = l´ımn→∞1/n = 0 ∈ [0,1] f es integrable; m´as a´un, en la tarea se prob´o que toda

suma inferior de f es cero, mientras que las superiores se pueden hacer tan peque˜nas como se desee. Esto implica que

Z 1

0

f = 0.

Ahora considere x ∈ [0,1]. Observe que f(t) ≥ 0 para todo t ∈ [0, x]. Se sigue de la monoton´ıa de la integral que

Z x

0

f ≥0, similarmente,

Z 1

x

f ≥0. Entonces por concatenaci´on

Z x 0 f+ Z 1 x f = Z 1 0

f = 0;

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Descargar ahora (76 página)
Related subjects : Intervalo de tiempo