Dominio Analítico y Gráfico de Funciones de dos o más Variables

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(1)

UNIDAD V. FUNCIONES DE DOS O MÁS VARIABLES

Dominio Analítico y Gráfico de Funciones de dos o más

Variables

Una función de n

variables independientes,

se define de la forma

el

conjunto de partida viene

definido en el espacio n

dimensional

y el

conjunto

de

llegada

pertenece a

.

Una función de dos

variables se define de la

forma

el dominio o conjunto de partida pertenece al

plano

y el conjunto de llegada o rango

.

Las variables

x

,

y

son las variables independientes y la

variable z es la dependiente.

El dominio de una función de dos variables, será un área

en el plano, formada por la proyección en el plano de la

superficie z=

f

(

x

,y). De forma análoga si es de tres variables

w=

f

(

x

,y,z), su dominio viene dado por un volumen y así

sucesivamente. Sin embargo nosotros limitaremos el cálculo al

estudio de funciones de dos variables independientes tal que:

Si z=

f

(

x

,y) el dominio de

f

viene dado por el área formada

por los puntos (

x

,y) que satisfagan la ecuación, y se expresa de

la forma:

.

Las funciones de varias variables se pueden combinar igual

que las de una variable. Así, podemos sumar, restar, multiplicar

o dividir funciones de dos variables como sigue:

Si h es una función de varias variables y g de una variable,

se puede definir la composición

. El

dominio de esta función compuesta lo constituyen todos los

Superfici e

D ominio

Z

Y

(2)

La grafica del dominio de una función de dos variables se

realiza definiendo el área formada por los puntos que satisfagan

la función. Regularmente los dominios quedan expresados por

desigualdades e intercepciones, siguiendo los pasos:

1.

Se grafica la desigualdad como una igualdad.

2.

Se toma un punto fuera de la trayectoria y se sustituye en la

desigualdad, si la expresión resultante es una verdad, el

punto y todos los de su entorno pertenecen al dominio de

f

.

3.

La trayectoria se incluye solo si la desigualdad no es estricta

(

ó

) y se demarca con línea continua, de lo contrario con

línea segmentada.

4.

Si existe más de una desigualdad se toman las áreas

comunes.

Curvas de Nivel

Otra forma de visualizar una función de dos variables

consiste en utilizar un campo escalar en el que se asigna al

punto

el escalar

. Un campo escalar queda

caracterizado por sus

curvas de nivel (o

línea de contorno) a

lo largo de las cuales

el valor de

es

constante.

Un mapa de

contorno

está

formado

por

las

curvas

de

intercepción entre la

superficie

z

=

f

(

x

,y) y

los planos z=k, es

decir, son las trazas

paralelas al plano xy.

Tal como se puede

observar

en

la

imagen.

De

esta

(3)

contorno representa un valor constante de la variable

dependiente.

Limite Funciones de dos o más Variables

Sea

f

una función de dos variables definidas en algún

punto abierto

excepto posiblemente en el punto

entonces el límite de

conforme a

tienda a

es L lo que se denota por:

Si

para

existe

un

tal

que

si

entonces

La definición anterior análoga a la del límite de una

función de una variable, pero hay una diferencia fundamental.

Para saber si una función de una variable tiene límite, basta ver

que sucede al tender hacia el punto en dos direcciones:

izquierda y derecha, el límite existe. Ahora bien, para una

función de dos variable la afirmación

, significa

que al punto

se le permite tender hacia el punto

por cualquier

. Si el valor de

,

no es el mismo para todas esas maneras (o caminos) de

acercarnos al

el limite no existe.

Los límites de varias variables tienen, por lo que respecta a

sumas, diferencias, productos y cocientes, las mismas

propiedades que los limites de funciones de una variable.

Teorema

Si la función

f

tiene límites diferentes conforme (

x,y

) se

aproxima a (

x

o

,y

o

) a través de dos conjuntos diferentes de

puntos que tienen a (

x

o

,y

o

) como punto de acumulación,

entonces

no existe.

Continuidad de Funciones de dos o más Variables

Una función

f

de dos variables es continua en un punto

de una region abierta

R

, si

es igual al limite de

cuando

tiende a

. Esto es, si

, Se dice que

f

es continua en la

región abierta R

R si es continua en todo punto de R

R

Teorema

Si

f

y

g

son funciones continuas en el punto (

x

o

,y

o

)

entonces:

(4)

iii.

f.g

es continua en (

x

o

,y

o

)

iv.

f

/g es continua en (

x

o

,y

o

), considerando que

g

(

x

o

,y

o

)

0

Derivadas Parciales por Definición

Sea

f

una función

la derivada parcial de la

f

con

respecto a

x

es la función denotada por

,

tal que su valor en

cualquier punto

del dominio de

f

esta dado por

Si el límite de numero semejante la derivada parcial con

respecto a

“y”

es la función demostrada por

, tal que

valoramos en cualquier punto

del dominio de

f

esta dado

por

, Esto siempre y cuando el límite

exista.

Esta definición significa que, dada

para calcular

debemos considerar a

y

como constante y derivar respecto de

x

. del mismo modo, para hallar

mantenemos

x

constante y

derivamos respecto a

y.

Algunas notaciones de las derivadas parciales son las

siguientes:

Si

sus derivadas parciales

se denotan por

y

Derivadas Parciales por Teoremas

Para derivar aplicando los teoremas solo se considera la

otra variable como constante y son extensivos todos los

teoremas aplicados para la derivación de funciones de una

variable.

Regla de la Cadena para derivadas parciales

Teorema para una Variable Independiente

Si u es una función diferenciable de

x

e

y

, definida por

, donde

y

son funciones derivables de

t, entonces u es función de t, y además

Teorema para Dos Variables Independientes

Si u es una función diferenciable de

x

e

y

, definida por

, donde

y

, y

existen,

entonces u es función de r y s, y además

(5)

Derivadas de Orden Superior

Si

f

es una función de dos variables, entonces, en general,

f

x

y

f

y

también son funciones de dos variables, y si las derivadas

parciales de estas funciones existen, se denominan segundas

derivadas parciales de

f

. En contraste

f

x

y

f

y

reciben el nombre

de primeras derivadas parciales de

f

. Existen cuatro segundas

derivadas parciales de una función de dos variables. Si

f

es una

función de dos variables

x

e y, las notaciones que expresan la

segunda derivada parcial de

f

son:

;

De esta forma sucesivamente la tercera derivada parcial

estará formada por ocho nuevas funciones al derivar las cuatro

de la segunda, y así sucesivamente, sin embargo el siguiente

teorema nos reduce el cálculo y el número real de derivadas,

porque algunas son iguales.

Igualdad de las Derivadas Parciales Cruzadas

Si

f

es una función de

x

e

y

, con

f

xy

, f

yx

continuas en un

disco abierto

, entonces, para todo (

x,y

) en

es

f

xy

(x,y)=f

yx

(x,y)

De acuerdo a este teorema las segundas derivadas parciales

se reducen a tres, y las terceras a cuatro y así sucesivamente.

Por ejemplo: en el orden 3 se cumple

f

xyx

=f

xxy

=f

yxx

Derivación Implícita

Si la ecuación

, define implícitamente a z como

función diferenciable de

x

e y, entonces

y

,

Incremento y Diferenciación

Para funciones

z=f(x,y)

de dos variables los incrementos

x

y

y

son incrementos de

x

e

y

, y el incremento en

z

viene dado

por

z=f(x+

x, y+

y)-f(x,y)

Diferencial Total

Si

z=f(x,y)

y

x,

y

son incrementos de

x

e

y

, las

diferenciales de las variables independientes

x

e

y

son

dx=

x,

dy=

y,

y la diferencial total de la variable dependiente

z

es

Teorema

(6)

Determinación de Máximos y Mínimos Relativos

Para determinar los valores máximos y mínimos de una

función primero debemos definir algunos teoremas.

Teorema del valor extremo

Sea

f

una función continua de dos variables,

x

e

y

, definida

en una región cerrada y acotada R

R del plano

xy

.

1.

Existe al menos un punto en

R donde

R

f

alcanza un

valor mínimo.

2.

Existe al menos un punto en

R donde

R

f

alcanza un

valor máximo.

Definición de Extremos Relativos

Sea

f

una función definida en una región

R que contiene al

R

punto

(x

o

,y

o

)

.

1.

La función

f

tiene un mínimo relativo en

(x

o

,y

o

)

si

f(x,y)

f(x

o

,y

o

)

para todo

(x,y)

en un disco abierto que contiene a

(x

o

,y

o

).

2.

La función

f

tiene un máximo relativo en

(x

o

,y

o

)

si

f(x,y)

f(x

o

,y

o

)

para todo

(x,y)

en un disco abierto que contiene a

(x

o

,y

o

).

Definición de los Puntos Críticos

Sea

f

una función definida en una región

R que contiene al

R

punto

(x

o

,y

o

)

. El punto es un punto crítico de

f

si en él ocurre

alguna de estas dos circunstancias:

1.

f

x

(x

o

,y

o

)=0

y

f

y

(x

o

,y

o

)=0

2.

f

x

(x

o

,y

o

)

o

f

y

(x

o

,y

o

)

no existe.

Criterio de las segundas Derivadas Parciales

Sea

f

una función con segundas derivadas parciales

continuas en una región abierta que contiene al punto (

a,b

), en

el cual

f

x

(a,b)=0 y f

x

(a,b)=0

. Para buscar los extremos relativos

de

f

debe calcularse el hessiano

H(a,b)=f

xx

(a,b)f

yy

(a,b)-[f

xy

(a,b)]

2

1.

Si

H(a,b)>0

y

f

xx

(a,b)>0

,

f

tiene un mínimo relativo en

(a,b)

.

2.

Si

H(a,b)>0

y

f

xx

(a,b)<0

,

f

tiene un máximo relativo en

(a,b)

.

3.

Si

H(a,b)<0

, entonces

f

tiene un punto de silla en

(a,b,f(a,b))

.

4.

Si

H(a,b)=0,

el criterio no da ninguna conclusión.

Multiplicadores de Lagrange

Sean

f

y

g

funciones con primeras derivadas parciales

continuas, y tales que

f

tiene un extremo en el punto

(x

o

,y

o

)

(7)

Método de los Multiplicadores de Lagrange

Supongamos que

f

tiene un mínimo o un máximo sujeto a

la restricción

g(x,y)=c

, donde

f

y

g

cumplen con los requisitos del

teorema de Lagrange. El mínimo o el máximo de

f

, se

determinan así:

1.

Resolver simultáneamente las ecuaciones

g(x,y)=c y

, hallando la solución del sistema de

ecuaciones:

;

;

2.

Evaluar

f

en cada uno de los puntos de solución obtenidos en

el paso anterior. El mayor de esos valores da el máximo de

f

sujeta a la restricción

g(x,y)=c

.

El menor de ellos da el mínimo

de

f

bajo la restricción

g(x,y)=c

.

Gradiente y Derivadas Direccionales

Las derivadas direccionales nos permiten determinan la

razón de cambio de una función en la cualquier dirección.

Derivada Direccional

Si

f

es una función diferenciable de

x

e

y

, su derivada

direccional en la dirección del vector unitario

es

Gradiente

Para funciones de dos variables se tiene:

Sea

z=f(x,y)

una función de

x

e

y

, tal que existen

f

x

y

f

y

. El

gradiente de

f

, denotado por

es el vector

.

Para funciones de tres variables se tiene:

Sea

w=f(x,y,z)

una función de

x, y

e

z

, tal que existen

f

x

,

f

y

y

f

z

. El gradiente de

f

, denotado por

es el vector

Relación entre la derivada Direccional y el Gradiente

Si

f

es una función diferenciable de

x

e

y

, su derivada

direccional en la dirección del vector unitario

es

Propiedades del Gradiente

Sea

f

diferenciable en el punto

(x,y).

1.

Si

, entonces

para todo

2.

La dirección de máximo crecimiento de

f

viene dada por

(8)

3.

La dirección de mínimo crecimiento de

f

viene dada por

. El valor mínimo de

es

.

4.

Si

y

son ortogonales, no existe razón de cambio, es

decir,

.

5.

El gradiente es normal a las curvas de nivel en todo punto

siempre que

Determinación del Plano Tangente y de las Rectas Normal y

Tangente

Teorema

Si una ecuación de una superficie

S

es

F(x,y,z)=0,

y si

F

es

diferenciable y

f

x

,

f

y

y

f

z

no son todas cero en el punto

de

S

, entonces

es un vector normal a S

en

.

Definición del Plano Tangente a una Superficie

La ecuación del plano tangente a una superficie

S

en el

punto

, es el plano que pasa por

y tiene a

como vector normal, y su ecuación es:

Definición de la recta normal a una Superficie

La ecuación de la recta normal a una superficie

S

en el

punto

, es la recta que pasa por

y tiene a

como vector director, y su ecuación simétrica es:

Definición de la recta tangente a una curva C

La ecuación de la recta tangente a una curva

C

en el punto

, es la recta que pasa por

y tiene como vector

director al vector tangente unitario

T en

, y su ecuación

paramétrica es:

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