1
I.P.A Fundamentos de la Matemática Curso 2018 Prof: Adrián Milano
Tema 1: NÚMERO COMPLEJO (Primera parte)
“Teniendo en cuenta cómo la raza humana ha adquirido su sabiduría sobre ciertos hechos y conceptos, estaremos en mejor disposición de juzgar cómo los niños adquieren tal conocimiento”
George Pólya (1887 – 1985)
INTRODUCCIÓN
Los números reales tienen una gran deficiencia que por muchos años han inquietado a más de un matemático. Esta deficiencia es que no toda función polinómica de coeficientes reales, admite una raíz real. El ejemplo más sencillo es la ecuación
x
2+
1
=
0
, la cual no tiene solución en el conjunto de los números reales, ya que no existe un número realx
para el cualx
2=
−
1
.Este problema ha llevado a los matemáticos a inventar un número, que llamaron unidad imaginaria, y lo representaron con la letra
i
, el cual verifica la igualdadi
2+
1
=
0
. Es decir, este nuevo númeroi
, tendría la característica, que ningún número real tenía y es que su cuadrado es−
1
. Escribieron entonces igualdades como2
1
i
= −
o
i
=
−
1
. Con esta convención, por ejemplo, la ecuaciónx
2+
x
+
1
=
0
, tendría soluciones2
3
1
±
−
−
=
x
. Además, dado que−
3
=
3
⋅
(
−
1
)
y asumiendo que podemos aplicar la propiedadb
a
ab
=
⋅
, válida para números reales no negativos, tenemos que−
3
=
3
⋅
(
−
1
)
=
3
⋅
i
y por lo tanto las soluciones de la ecuación 2+
+
1
=
0
x
x
, se podrían expresar de la forma:
x
i
i
2
3
2
1
2
3
1
±
−
=
±
−
=
Aparecen de esta manera, nuevos números, de la forma
z
=
a
+
bi
cona
∈
R
,
b
∈
R
.Estos números, llamados por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), “números complejos” , resultaron tener importantes aplicaciones en diversas áreas de la matemática, física e ingeniería.
Durante mucho tiempo los números complejos fueron tratados como números reales y se sumaban y multiplicaban utilizando las mismas reglas aritméticas que para los números reales:
(
a
+
bi
)
+
(
c
+
di
)
=
(
a
+
c
)
+
(
b
+
d
)
i
(
a
+
bi
)
⋅
(
c
+
di
)
=
ac
+
adi
+
bci
+
bdi
2=
(
ac
−
bd
)
+
(
ad
+
bc
)
i
LA DEFINICIÓN DE NÚMERO COMPLEJO Y SUS OPERACIONES
ELEMENTALES
Si consideramos
i
=
−
1
como definición de unidad imaginaria y asumimos que se cumple la propiedadb
a
ab
=
⋅
, válida para números reales no negativos, tenemos problemas como los siguientes:i)
1
=
1
=
(
−
1
)(
−
1
)
=
−
1
−
1
=
i
⋅
i
=
i
2=
−
1
ii)
−
4
−
9
=
36
=
6
y por otro lado,−
4
−
9
=
−
1
4
−
1
9
=
i
4
⋅
i
9
=
i
24
9
=
−
6
Tal dificultad, así como otras, hace que sea necesario dar una definición algo más formal de lo que es la unidad imaginaria y los números complejos.2
DEFINICIÓN DE NÚMERO COMPLEJOAl conjunto
ℂ
, cuyos elementos son todos los pares ordenados de números reales. lo llamaremos conjunto de los números complejos y a cada uno de sus elementos lo llamaremos número complejo.Es decir, un número complejo es un par ordenado de reales y el conjunto
ℂ
es el conjunto
ℝ
2= ×
ℝ ℝ
ℂ
=
{
( , ) /
a b
a
∈ ∧ ∈
ℝ
b
ℝ
}
Si
z
=
(
a
,
b
)
es un número complejo, entonces el número reala
se llama parte real dez
y el número realb
parte imaginaria dez
. En este caso anotaremos:a
=
Re(
z
)
yb
=
Im(
z
)
Consecuencia de la definición de par ordenado surge la condición para que dos números complejos sean el mismo.
IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS
Dos números complejos
z
=
(
a
,
b
)
yw
=
(
c
,
d
)
son iguales si, y solo si,a
=
c
yb
=
d
. Es decir,z
=
w
⇔
Re(
z
)
=
Re(
w
)
∧
Im(
z
)
=
Im(
w
)
Por lo tanto, si
a
yb
son números reales distintos, entonces los números complejosz
=
(
a
,
b
)
yw
=
(
b
,
a
)
también lo son.
Ejercicio 1
Se consideran los números complejos
z
=
(
x
−
3
,
y
+
2
)
yw
=
(
x
2−
3
,
x
−
3
y
)
conx
ey
números reales.1) Hallar
x
de manera quez
yw
tengan la misma parte real. 2) Hallarx
ey
para que se cumpla:z
=
w
.3) Hallar
x
ey
para que se cumpla:w
=
(
0
,
0
)
.ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Supongamos que asumimos la existencia de nuevos números de la forma
a
+
bi
dondea
yb
son númerosreales e
i
es un número no real que verifica la igualdad:i
2=
−
1
.Si a estos nuevos números les aplicamos las propiedades elementales de la adición y multiplicación de los números reales, tenemos lo siguiente:
(
a
+
bi
)
+
(
c
+
di
)
=
(
a
+
c
)
+
(
b
+
d
)
i
(
a
+
bi
)
⋅
(
c
+
di
)
=
ac
+
adi
+
bci
+
bdi
2=
(
ac
−
bd
)
+
(
ad
+
bc
)
i
Dado que cada número complejo está definido por un par ordenado de números reales, tenemos:
(
a
,
b
)
+
(
c
,
d
)
=
(
a
+
c
,
b
+
d
)
y(
a
,
b
)
⋅
(
c
,
d
)
=
(
ac
−
bd
,
ad
+
bc
)
Esto motiva las siguientes definiciones:
Definimos en el conjunto
ℂ
=
{
( , ) /
a b
a
∈ ∧ ∈
ℝ
b
ℝ
}
las siguientes dos operaciones :Adición:
+
:
ℂ ℂ
× →
ℂ
tal que(
a
,
b
)
+
(
c
,
d
)
=
(
a
+
c
,
b
+
d
)
,∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈
a
ℝ
,
b
ℝ
,
c
ℝ
,
d
ℝ
Multiplicación:3
Definiendo la adición y la multiplicación en
ℂ
de la forma que lo hicimos nos aseguramos que en la estructura( , , )
ℂ
+ ⋅
se cumplen las siguientes propiedades, que también se verifican en la estructura( , , )
ℝ
+ ⋅
.(Hay que tener en cuenta que la adición y multiplicación en las estructuras
( , , )
ℂ
+ ⋅
, ( , , )
ℝ
+ ⋅
,
si bien se simbolizaron de la misma forma, no son la misma operación, por estar definidas sobre conjuntos distintos)Propiedad conmutativa:
z
w
w
z
+
=
+
yz
⋅
w
=
w
⋅
z
,∀ ∈ ∀ ∈
z
ℂ
,
w
ℂ
Propiedad asociativa:
z
+
(
w
+
t
) (
=
z
+
w
)
+
t
yz
⋅
( ) ( )
w
⋅
t
=
z
⋅
w
⋅
t
,∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈
z
ℂ
,
w
ℂ
,
t
ℂ
Propiedad de neutro:1) Existe un (único) número complejo
θ
, llamado neutro de la suma, tal quez
+
θ
=
z
,∀ ∈
z
ℂ
2) Existe un (único) número complejon
, llamado neutro del producto tal quen z
⋅ =
0 ,
∀ ∈
z
ℂ
Propiedad de opuesto:
Para cada
z
∈
ℂ
existe un (único) número complejo, llamado opuesto dez
, que anotaremos−
z
, que cumple:θ
=
−
+
(
z
)
z
Propiedad de inverso:
Para cada
z
∈
ℂ
(
z
≠
θ
)
existe un (único) número complejo, llamado inverso dez
, que anotaremos −1z
, talque
z
z
−1=
n
.
Propiedad distributiva del producto respecto a la suma:
t
z
w
z
t
w
z
⋅
(
+
)
=
⋅
+
⋅
,∀ ∈ ∀ ∈
z
ℂ
,
w
ℂ
,
∀ ∈
t
ℂ
Dado que la adición y multiplicación definidas en
ℂ
cumplen todas estas propiedades podemos afirmar que la
estructura( , , )
ℂ
+ ⋅
es un cuerpo conmutativo.Ejercicio 2
1) Demostrar que
( , , )
ℂ
+ ⋅
es un cuerpo conmutativo.2) Supongamos que se define la multiplicación de dos números complejos
z
=
(
a
,
b
)
yw
=
(
c
,
d
)
de la siguiente forma:(
a
,
b
)
⋅
(
c
,
d
)
=
(
ac
,
bd
)
. Investigar si esta multiplicación cumple todas las propiedades enunciadas anteriormente.DIFERENCIA Y COCIENTE ENTRE DOS COMPLEJOS
1) De la definición de adición en
ℂ
se puede deducir que dados los complejos
u
yw
, existe y es único el número complejoz
que verifica la igualdad:u
+
z
=
w
. Este complejoz
se le llama diferencia entrew
yu
y se anota:z
=
w
−
u
2) De forma análoga dados dos números complejos
u
yw
≠
θ
, existe y es único el número complejoz
que verifica la igualdad
w
⋅
z
=
u
. El complejoz
se llama cociente entreu
yw
y se anota:4
LOS NÚMEROS COMPLEJOS COMO EXTENSIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Llamamosℂ
0 al subconjunto deℂ
cuyos elementos son los números complejos con parte imaginaria cero, es decir ,ℂ
0=
{
( , 0) /
a
a
∈
ℝ
}
.Dado que
(
a
,
0
)
+
(
b
,
0
)
=
(
a
+
b
,
0
)
y(
a
,
0
)
⋅
(
b
,
0
)
=
(
ab
,
0
)
, concluimos que la suma o el producto de dos números complejos pertenecientes aℂ
0 también pertenecen aℂ
0. Es decir, los elementos del conjuntoℂ
0 se comportan con respecto a la adición y a la multiplicación como si fueran números reales. Por tal motivo no hacemos distinción entre el número complejo(
a
,
0
)
y el número reala
y convenimos en escribir:a
a
,
0
)
=
(
y en particular,θ
=
(
0
,
0
)
=
0
.De esta forma podemos pensar al conjunto de los números reales como un subconjunto del conjunto de los números complejos.
Visto de otra manera, es posible asociar a cada número complejo
(
a
,
0
)
el número reala
y recíprocamente a cada número reala
, un número complejo(
a
,
0
)
, es decir, puede establecerse una correspondencia biyectiva0
:
f
ℝ
→
ℂ
tal quef
(
a
)
=
(
a
,
0
)
. Observar que esta funciónf
cumple:1)
f
(
a
)
+
f
(
b
)
=
(
a
,
0
)
+
(
b
,
0
)
=
(
a
+
b
,
0
)
=
f
(
a
+
b
)
y 2)f
(
a
)
⋅
f
(
b
)
=
(
a
,
0
)
⋅
(
b
,
0
)
=
(
ab
,
0
)
=
f
(
ab
)
Es decir, las operaciones de adición y multiplicación se conservan a través de
f
y todas las propiedades deℝ
se trasmiten aℂ
0 . Los conjuntosℝ
yℂ
0 se dicen que son isomorfos y que la funciónf
es un isomorfismo entre ellos.En base a lo mencionado anteriormente, es que consideramos al conjunto de los números complejos como una extensión del conjunto de los números reales dado que
ℂ
contiene un subconjuntoℂ
0 isomorfo aℝ
.UNIDAD IMAGINARIA
Observar que el número complejo
(
0
,
1
)
cumple:(
0
,
1
)
⋅
(
0
,
1
)
=
(
−
1
,
0
)
=
−
1
Es decir, si definimos(
0
,
1
)
2=
(
0
,
1
)
⋅
(
0
,
1
)
, llegamos a que(
0
,
1
)
2=
−
1
. DEFINICIÓN DE UNIDAD IMAGINARIAAl número complejo
(
0
,
1
)
lo llamaremos unidad imaginaria y lo anotaremos con la letrai
, es deciri
=
(
0
,
1
)
En base a lo anterior, podemos escribir:i
2=
−
1
.La unidad imaginaria tiene la propiedad de que su cuadrado es
−
1
, propiedad que no goza ningún número real.Desde el punto de vista algebraico la principal ventaja del conjunto
ℂ
es que soluciona el defecto del conjuntoℝ
de no ser un conjunto algebraicamente cerrado, es decir, de que existen funciones polinómicas decoeficientes reales que no tienen raíces reales. Un ejemplo es la función polinómica
P
:
ℝ
→
ℝ
tal que2
( )
1
5
NOTACIÓN BINÓMICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
Observemos que dado cualquier número complejo
(
a
,
b
)
, podemos escribir las siguientes igualdades:bi
a
b
a
b
a
b
a
,
)
=
(
,
0
)
+
(
0
,
)
=
(
,
0
)
+
(
,
0
)
⋅
(
0
,
1
)
=
+
(
Es decir, todo número complejo
(
a
,
b
)
puede expresarse de la formaa
+
bi
,La notación de un número complejo
(
a
,
b
)
como par ordenado de números reales se le llama forma cartesiana del complejo y la expresióna
+
bi
se le llama forma binómica.Expresando los números complejos en forma binómica es más fácil recordar la expresión para calcular el producto de dos números complejos y permite expresar el producto
(
a
,
b
)
⋅
(
c
,
d
)
=
(
ac
−
bd
,
ad
+
bc
)
de la forma:(
a
+
bi
)
⋅
(
c
+
di
)
=
ac
+
adi
+
bci
+
bdi
2=
ac
+
(
ad
+
bc
)
i
−
bd
=
(
ac
−
bd
)
+
(
ad
+
bc
)
i
, donde para realizar la multiplicación solo se debe recordar las reglas habituales de la multiplicación enℝ
y que2
1
i
= −
.Ejercicio 3
Hallar en cada caso todos los números reales
x
ey
para que se verifique:a)
2
x
+
3
+
(
i
−
y
)
i
=
0
b)(
x
+
iy
)
2=
(
x
−
iy
)
2 c)x iy
+ =
x
2+
y
2SOBRE EL ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Recordemos que el conjunto de los números reales tiene dos estructuras: la algebraica y la de orden, ambas relacionadas.
En el conjunto de los números complejos podemos definir relaciones de orden, pero ninguna compatible con su estructura algebraica.
El conjunto de los números reales fue dotado de un orden compatible con las operaciones adición y
multiplicación a través de lo que denominamos el axioma de orden. Veamos a continuación si es posible aplicar
dicho axioma al conjunto
ℂ
de los números complejos. Para ello, supongamos que existe un conjunto
ℂ
+⊂
ℂ
que cumpla lo siguiente:1)
∀ ∈
z
ℂ
se cumple una y solo una de las siguientes proposiciones: a)z
∈
ℂ
+ b)− ∈
z
ℂ
+o c)
z
=
0
2) Siz
∈
ℂ
+ yw
∈
ℂ
+ entonces(
z
+
w
)
∈
ℂ
+y
zw
∈
ℂ
+.
Dado el número complejo
i
, por 1), tenemos tres posibilidades excluyentes entre sí:
a)i
=
0
, b)
i
∈
ℂ
+o c)
− ∈
i
ℂ
+Sabemos que
i
≠
0
Supongamos que
i
∈
ℂ
+. Usando 2) debería verificarse:i
2= − ∈
1
ℂ
+ y( 1)( 1)
− − = ∈
1
ℂ
+ lo cual contradice 2).Si suponemos que
− ∈
i
ℂ
+ un razonamiento análogo nos permite concluir que− ∈
1
ℂ
+ y 1∈
ℂ
+ lo cual vuelve a contradecir 2).6
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Fue en el siglo XIX cuando el matemático alemán Carl Gauss (1777 -1855) divulga por primera vez la representación geométrica de los números complejos.
Dado que cada número complejo es un par ordenado de números reales, podremos representarlos en un sistema cartesiano ortogonal.
Si consideramos en un plano un sistema cartesiano ortogonal
xOy
, podemos asociar a cada número complejo)
,
(
a
b
z
=
un único puntoP
de dicho plano cuyas coordenadas son(
a
,
b
)
.Recíprocamente, a cada punto
P
del plano cuyas coordenadas son(
a
,
b
)
se le asocia un único número complejoz
=
(
a
,
b
)
. Al puntoP
se lo llama afijo del complejoz
.Los números complejos representados en el eje
Ox
son los de la forma(
a
,
0
)
=
a
, es decir, números reales, por tal motivo, el ejeOx
se llama eje real y se denota como:Re
.Los números complejos representados en el eje
Oy
son los de la forma(
0
,
b
)
=
bi
, es decir, números complejos con parte real nula, los cuales habitualmente se llaman imaginarios puros.El eje
Oy
se llama eje imaginario y se representa por:Im
. Im
b
P
=
(
a
,
b
)
O
a
Re
De esta forma hemos establecido una biyección entre el conjunto de los números complejos y el conjunto de los puntos del plano. Es debido a esta biyección que se suele identificar al conjunto
ℂ
con el plano cartesiano y que además se utilice la palabra número complejo y punto indistintamente. Interpretado de esta manera, el plano cartesiano se suele llamar plano complejo o plano de Argand - Gauss.Es posible también representar al complejo
z
=
(
a
,
b
)
como el vector geométrico que une el origenO
=
(
0
,
0
)
con el punto
P
cuyas coordenadas son(
a
,
b
)
.CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO
DEFINICIÓN DE CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO
Dado el número complejo
z
=
a
+
bi
(a
∈
ℝ
yb
∈
ℝ
), llamamos conjugado dez
al número complejo que anotaremosz
definido por:z
=
a
−
bi
.OBSERVACIONES
1) El afijo del conjugado de un número complejo
z
es el simétrico del afijo dez
con respecto al eje real.2) La conjugación resulta útil para hallar el cociente de dos números complejos. En efecto, dado que
z
⋅
z
=
(
a
+
bi
)(
a
−
bi
)
=
a
2+
b
2∈
R
, para expresar el complejow
z
de la forma binómica, bastará con
multiplicar numerador y denominador por el conjugado de
w
y transformar el problema de dividir dosnúmeros complejos, en el de dividir un número complejo entre un número real:
w
w
w
z
w
z
⋅
⋅
=
Por ejemplo:
i
i
7
Ejercicio 4Expresar cada uno de los siguientes números complejos de la forma
a
+
bi
cona
∈
ℝ
yb
∈
ℝ
.a)
2
i
(
1
−
i
)(
3
+
2
i
)
b)i
i
−
+
1
1
c)i
i
i
2
)
1
)(
2
1
(
+
−
Ejercicio 5Hallar
x
∈
ℝ
en cada caso para quei
xi
z
−
+
=
1
2
sea: a) un número real b) un imaginario puro.
Ejercicio 6
a) Hallar en cada caso el o los números complejos
z
que verifican:1)
iz
+ =
1
2
i
2)
2
z
+
z
=
16
+
8
i
3)3
2
1
1
2
2
−
=
−
+
−
i
iz
i
z
1b) Hallar los números complejos
z
yw
que son solución del sistema:(1
)
2
(2
)
(2
)
2
i z
iw
i
i z
i w
i
+
−
= +
+
+ −
=
(Respuesta:
6 9
13
i
z
=
−
y
11
16
3
i
w
=
−
)
Ejercicio 7 (
PROPIEDADES DEL CONJUGADO
)Siendo
z
yw
dos números complejos cualesquiera, demostrar que se cumple:a)
z
±
w
=
z
±
w
b)z
⋅
w
=
z
w
c)w
z
w
z
=
si
w
≠
0
d)
z
+
z
=
2
.
Re(
z
)
e)z
−
z
=
2
i
Im(
z
)
f)z
=
z
g)
z
⋅
z
=
(
Re(
z
)
) (
2+
Im(
z
)
)
2FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO
Veremos a continuación la representación polar de un número complejo, representación que resulta ser muy útil para trabajar con el producto de números complejos. Para ello, previamente definiremos módulo y argumento de un número complejo.
Si consideremos en el plano, un sistema cartesiano ortogonal, cada número complejo
z
=
(
a
,
b
)
, queda representado, de manera única, por el puntoP
=
(
a
,
b
)
o por el vector→
OP
dondeO
=
(
0
,
0
)
.La distancia (euclidiana) entre el punto
O
=
(
0
,
0
)
yP
=
(
a
,
b
)
es lo que llamamos módulo del vector→
OP
y su valor,
a
2+
b
2, se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras. Tal valor es lo que se denomina, módulo
del complejoz
=
(
a
,
b
)
.DEFINICIÓN DE MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO
Dado el número complejo
z
=
(
a
,
b
)
, llamamos módulo dez
al número real, que anotaremosz
, que secalcula de la siguiente manera:
z
=
a
2+
b
2Es decir, el módulo del complejo
z
=
(
a
,
b
)
, es la distancia (euclidiana) entre el puntoO
=
(
0
,
0
)
y el punto)
,
(
a
b
P
=
, es decir, el módulo del vector→
OP
asociado az
.8
DISTANCIA ENTRE DOS NÚMEROS COMPLEJOSSi
z
=
(
a
,
b
)
yw
=
(
c
,
d
)
, entonces, según la definición anterior,z
−
w
=
(
a
−
c
)
2+
(
b
−
d
)
2 , lo que muestra quez
−
w
es la distancia entre los afijos dez
yw
, por tal motivo, llamamos distancia entrez
yw
al número real
d
(
z
,
w
)
, definido de la siguiente manera:d
(
z
,
w
)
=
z
−
w
.Ejercicio 8
Representar, en cada caso, el lugar geométrico de los afijos de los números complejos
z
que cumplen: 1)Re(
z
)
<
2
2)z
=
z
3)z
=
2
4)
z
−
i
=
z
+
i
5)z
−
z
0≤
r
,z
0es un complejo dado yr
es un número real positivo fijo.6)
z
+
1
<
z
−
1
−
i
7)z
=
t
+
i
1
−
t
2,
t
∈
R
,
t
∈
[ ]
−
1
;
1
8)z
⋅
z
+
z
+
z
=
0
9)z
−
z
=
2
Re(
z
−
1
)
Ejercicio 9 (
PROPIEDADES DEL MÓDULO
)Si
z
yw
son dos números complejos cualesquiera, demostrar las siguientes propiedades:a)
Re(
z
)
≤
z
yIm(
z
)
≤
z
b)z
.
z
=
z
2 y siz
≠
0
entonces, 1 2z
z
z
−=
c)
z
.
w
=
z
.
w
d)w
z
w
z
=
siw
≠
0
e)
z
≤
Re(
z
)
+
Im(
z
)
≤
2
z
f)z
+
w
≤
z
+
w
(Desigualdad triangular)g)
z
−
w
≥
z
−
w
La propiedad b) es de gran utilidad y permite utilizar el producto de números complejos para trabajar con módulos. Demostrar la propiedad c) usando la propiedad b) y teniendo en cuenta que
( )
22
.
.
.
.
w
z
w
z
w
z
w
z
=
↔
=
DEFINICIÓN DE ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO
Un argumento de un número complejo
z
≠
0
, es cualquiera de los ángulosϕ
, determinado por la dirección positiva del eje real y la dirección del vector→
OP
.ϕ
se considera positivo si es medido en sentido antihorario y negativo si es medido en sentido horario.Observar que el argumento de un complejo no es único, ya que para un mismo
z
existen infinitosϕ
, que difieren en múltiplos de2
π
.Si denotamos por:
arg(
z
)
, al conjunto de todos los argumentos de un complejoz
≠
0
tenemos que: siϕ
0∈
arg(
z
)
entoncesarg( )
z
=
{
ϕ
∈
ℝ
/
ϕ ϕ
=
0+
2
k
π
∧ ∈
k
ℤ
}
.
Im
b
P
=
(
a
,
b
)
ϕ
O
a
ReMuchas veces es conveniente asignar a cada complejo un único argumento. Esto pude hacerse limitando
ϕ
a variar en un intervalo semiabierto de longitud2
π
. Por convención, cuando se tomaϕ
en el intervalo9
Un número complejo queda determinado por su parte real y su parte imaginaria o bien, por su módulo y uno de sus argumentos. En este último caso, se dice que el complejo está definido en forma polar.
Si
r
yϕ
son respectivamente el módulo y un argumento dez
, escribiremosz
=
r
ϕ
La pareja ordenada
(
r
,
ϕ
)
son las coordenadas polares del afijoP
=
(
a
,
b
)
del complejoz
=
a
+
bi
Dado el número complejoz
=
a
+
bi
. Sir
es el módulo dez
yϕ
es uno de sus argumentos, entonces es sencillo verificar que:a
=
r
cos
ϕ
yb
=
rsen
ϕ
, es decir,Re(
z
)
=
r
cos
ϕ
eIm(
z
)
=
rsen
ϕ
Teniendo en cuenta esto último es que podemos escribir:
z
=
r
(cos
ϕ
+
isen
ϕ
)
. Esta última forma de escribir el número complejoz
se llama forma trigonométrica dez
.Dado
z
=
a
+
bi
se tiene que:r
=
z
=
a
2+
b
2 y
≠
=
<
=
−
=
>
=
=
0
0
0
2
/
)
(
0
0
2
/
)
(
a
si
a
b
tg
b
y
a
si
z
Arg
b
y
a
si
z
Arg
ϕ
π
π
Convenimos que el número complejo
0
tiene módulo cero y que cualquier número realϕ
puede usarse como argumento.Ejercicio 10
1) Para cada uno de los siguientes números complejos se pide, representarlo en el plano de Argand-Gauss, escribirlo en forma polar, hallar su opuesto, su conjugado y su inverso.
a)
1
+
i
b)3
i
c)−
1
+
i
3
d)−
3
−
3
i
e)2
−
i
2
2) Representar los siguientes números complejos y escribirlos en forma binómica.
a)
3
7
π
b)2
π
c)2
2
−
π
Ejercicio 11 (
OPERACIONES EN POLARES
)Las operaciones con números complejos, salvo la adición y sustracción, son más fáciles de realizar en forma polar que en forma binómica.
Se consideran los números complejos
z
=
r
ϕ
yw
=
p
λ
dados en forma polar. 1) Verificar que:r
ϕ
=
p
λ
↔
r
=
p
yϕ
=
λ
+
2
k
π
para algúnk
∈
Z
.
2) Demostrar quez
⋅
w
=
(
r
⋅
p
)
(
ϕ
+
λ
)
Sugerencia:
−
=
+
+
=
+
senasenb
b
a
b
a
a
senb
b
sena
b
a
sen
cos
cos
)
cos(
cos
cos
)
(
3) Demostrar que si
w
≠
0
entoncesw
−1=
p
−1
−
λ
y=
(
ϕ
−
λ
)
p
r
w
z
4) Demostrar que
z
n=
r
n
n
ϕ
,∀ ∈
n
ℕ
.5) Resolver la ecuación
z
3=
z
usando notación polar.10
EJERCICIOS COMBINADOS
Ejercicio 12Dado el complejo
z
, sabiendo quez
z
+
1
es un número real, demostrar quez
es un real o quez
es un complejo de módulo 1.Ejercicio 13
Se considera el número complejo
w
= +
a
bi a
,
∈
R b
,
∈
R
cuyo afijo es el puntoM
.Reconocer y representar en cada caso, el lugar geométrico de los afijos de los números complejos
z
quecumplen: 1)
wz
+
w z
=
0
2)
wz
−
w z
=
2
abi
Ejercicio 14
1) Demostrar que si
z
es un número complejo de módulo 1, entoncesz
z
=
1
2) Demostrar que si
z
1 ,z
2 yz
3 son tres números complejos de módulo1 cuya suma es cero, entonces
1
1
1
0
3 2 1
=
+
+
z
z
z
Ejercicio 15
Demostrar que cualesquiera sean los números complejos
z
yw
se cumple la regla del paralelogramo:
z
+
w
2+ −
z
w
2=
2
(
z
2+
w
2)
POTENCIA DE BASE COMPLEJA Y EXPONENTE ENTERO
Seaz
es un número complejo yn
un número natural.Definimos
z
n de la siguiente forma:• Si
z
≠
0
entoncesz
0=
1
• Si
z
≠
0
entoncesz
n=
z
⋅
z
n−1 (z n
n
z
z
z
z
factores
...
⋅
⋅
=
)• Si
z
≠
0
entonces , n nz
z
−=
1
• Si
z
=
0
y
n
>
0
, entoncesz
n=
0
n=
0
Observacionesa) La definición anterior coincide con la dada para números reales.
b) La potencia de base compleja y exponente entero cumple las mismas propiedades que la potencia de base real y exponente entero y dejamos a cargo del lector las demostraciones de dichas propiedades.
Ejercicio 16
1) Hallar los números complejos cuyo cuadrado es igual a su conjugado.
11
Ejercicio 17a) Calcular
i
n conn
∈
N
,
0
≤
n
≤
11
.b) Demostrar que cualquiera sea el natural
n
se cumple:i
n=
i
r donder
es el resto de la división entera den
entre4
.c) Calcular
i
934789d) Calcular
1
+
i
+
i
2+
...
+
i
n∀
n
∈
N
Ejercicio 18
1) Demostrar que
( )
z
n=
z
n yz
n=
( )
z
n ,∀
n
∈
N
y∀
z
∈
C
2) Hallar el módulo de los siguientes números complejos:
z
=
(
1
+
2
i
)
4 y( )
4 3)
2
3
(
1
i
i
w
=
+
−
Ejercicio 19
1) Deducir la fórmula de Moivre que afirma que:
(
r
cos
ϕ
+
irsen
ϕ
)
n=
r
n(cos(
n
ϕ
)
+
isen
(
n
ϕ
))
y luego usarla para hallar las fórmulas que dansen
(
3
ϕ
)
ycos(
3
ϕ
)
en función desen
ϕ
ycos
ϕ
.2) Calcular en forma binómica: