LA DEFINICIÓN DE NÚMERO COMPLEJO Y SUS OPERACIONES ELEMENTALES

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(1)

1

I.P.A Fundamentos de la Matemática Curso 2018 Prof: Adrián Milano

Tema 1: NÚMERO COMPLEJO (Primera parte)

“Teniendo en cuenta cómo la raza humana ha adquirido su sabiduría sobre ciertos hechos y conceptos, estaremos en mejor disposición de juzgar cómo los niños adquieren tal conocimiento”

George Pólya (1887 – 1985)

INTRODUCCIÓN

Los números reales tienen una gran deficiencia que por muchos años han inquietado a más de un matemático. Esta deficiencia es que no toda función polinómica de coeficientes reales, admite una raíz real. El ejemplo más sencillo es la ecuación

x

2

+

1

=

0

, la cual no tiene solución en el conjunto de los números reales, ya que no existe un número real

x

para el cual

x

2

=

1

.

Este problema ha llevado a los matemáticos a inventar un número, que llamaron unidad imaginaria, y lo representaron con la letra

i

, el cual verifica la igualdad

i

2

+

1

=

0

. Es decir, este nuevo número

i

, tendría la característica, que ningún número real tenía y es que su cuadrado es

1

. Escribieron entonces igualdades como

2

1

i

= −

o

i

=

1

. Con esta convención, por ejemplo, la ecuación

x

2

+

x

+

1

=

0

, tendría soluciones

2

3

1

±

=

x

. Además, dado que

3

=

3

(

1

)

y asumiendo que podemos aplicar la propiedad

b

a

ab

=

, válida para números reales no negativos, tenemos que

3

=

3

(

1

)

=

3

i

y por lo tanto las soluciones de la ecuación 2

+

+

1

=

0

x

x

, se podrían expresar de la forma:

x

i

i

2

3

2

1

2

3

1

±

=

±

=

Aparecen de esta manera, nuevos números, de la forma

z

=

a

+

bi

con

a

R

,

b

R

.

Estos números, llamados por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), “números complejos” , resultaron tener importantes aplicaciones en diversas áreas de la matemática, física e ingeniería.

Durante mucho tiempo los números complejos fueron tratados como números reales y se sumaban y multiplicaban utilizando las mismas reglas aritméticas que para los números reales:

(

a

+

bi

)

+

(

c

+

di

)

=

(

a

+

c

)

+

(

b

+

d

)

i

(

a

+

bi

)

(

c

+

di

)

=

ac

+

adi

+

bci

+

bdi

2

=

(

ac

bd

)

+

(

ad

+

bc

)

i

LA DEFINICIÓN DE NÚMERO COMPLEJO Y SUS OPERACIONES

ELEMENTALES

Si consideramos

i

=

1

como definición de unidad imaginaria y asumimos que se cumple la propiedad

b

a

ab

=

, válida para números reales no negativos, tenemos problemas como los siguientes:

i)

1

=

1

=

(

1

)(

1

)

=

1

1

=

i

i

=

i

2

=

1

ii)

4

9

=

36

=

6

y por otro lado,

4

9

=

1

4

1

9

=

i

4

i

9

=

i

2

4

9

=

6

Tal dificultad, así como otras, hace que sea necesario dar una definición algo más formal de lo que es la unidad imaginaria y los números complejos.

(2)

2

DEFINICIÓN DE NÚMERO COMPLEJO

Al conjunto

, cuyos elementos son todos los pares ordenados de números reales. lo llamaremos conjunto de los números complejos y a cada uno de sus elementos lo llamaremos número complejo.

Es decir, un número complejo es un par ordenado de reales y el conjunto

es el conjunto

2

= ×

ℝ ℝ

=

{

( , ) /

a b

a

∈ ∧ ∈

b

}

Si

z

=

(

a

,

b

)

es un número complejo, entonces el número real

a

se llama parte real de

z

y el número real

b

parte imaginaria de

z

. En este caso anotaremos:

a

=

Re(

z

)

y

b

=

Im(

z

)

Consecuencia de la definición de par ordenado surge la condición para que dos números complejos sean el mismo.

IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS

Dos números complejos

z

=

(

a

,

b

)

y

w

=

(

c

,

d

)

son iguales si, y solo si,

a

=

c

y

b

=

d

. Es decir,

z

=

w

Re(

z

)

=

Re(

w

)

Im(

z

)

=

Im(

w

)

Por lo tanto, si

a

y

b

son números reales distintos, entonces los números complejos

z

=

(

a

,

b

)

y

w

=

(

b

,

a

)

también lo son.

Ejercicio 1

Se consideran los números complejos

z

=

(

x

3

,

y

+

2

)

y

w

=

(

x

2

3

,

x

3

y

)

con

x

e

y

números reales.

1) Hallar

x

de manera que

z

y

w

tengan la misma parte real. 2) Hallar

x

e

y

para que se cumpla:

z

=

w

.

3) Hallar

x

e

y

para que se cumpla:

w

=

(

0

,

0

)

.

ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Supongamos que asumimos la existencia de nuevos números de la forma

a

+

bi

donde

a

y

b

son números

reales e

i

es un número no real que verifica la igualdad:

i

2

=

1

.

Si a estos nuevos números les aplicamos las propiedades elementales de la adición y multiplicación de los números reales, tenemos lo siguiente:

(

a

+

bi

)

+

(

c

+

di

)

=

(

a

+

c

)

+

(

b

+

d

)

i

(

a

+

bi

)

(

c

+

di

)

=

ac

+

adi

+

bci

+

bdi

2

=

(

ac

bd

)

+

(

ad

+

bc

)

i

Dado que cada número complejo está definido por un par ordenado de números reales, tenemos:

(

a

,

b

)

+

(

c

,

d

)

=

(

a

+

c

,

b

+

d

)

y

(

a

,

b

)

(

c

,

d

)

=

(

ac

bd

,

ad

+

bc

)

Esto motiva las siguientes definiciones:

Definimos en el conjunto

=

{

( , ) /

a b

a

∈ ∧ ∈

b

}

las siguientes dos operaciones :

Adición:

+

:

ℂ ℂ

× →

tal que

(

a

,

b

)

+

(

c

,

d

)

=

(

a

+

c

,

b

+

d

)

,

∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈

a

,

b

,

c

,

d

Multiplicación:

(3)

3

Definiendo la adición y la multiplicación en

de la forma que lo hicimos nos aseguramos que en la estructura

( , , )

+ ⋅

se cumplen las siguientes propiedades, que también se verifican en la estructura

( , , )

+ ⋅

.

(Hay que tener en cuenta que la adición y multiplicación en las estructuras

( , , )

+ ⋅

, ( , , )

+ ⋅

,

si bien se simbolizaron de la misma forma, no son la misma operación, por estar definidas sobre conjuntos distintos)

Propiedad conmutativa:

z

w

w

z

+

=

+

y

z

w

=

w

z

,

∀ ∈ ∀ ∈

z

,

w

Propiedad asociativa:

z

+

(

w

+

t

) (

=

z

+

w

)

+

t

y

z

( ) ( )

w

t

=

z

w

t

,

∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈

z

,

w

,

t

Propiedad de neutro:

1) Existe un (único) número complejo

θ

, llamado neutro de la suma, tal que

z

+

θ

=

z

,

∀ ∈

z

2) Existe un (único) número complejo

n

, llamado neutro del producto tal que

n z

⋅ =

0 ,

∀ ∈

z

Propiedad de opuesto:

Para cada

z

existe un (único) número complejo, llamado opuesto de

z

, que anotaremos

z

, que cumple:

θ

=

+

(

z

)

z

Propiedad de inverso:

Para cada

z

(

z

θ

)

existe un (único) número complejo, llamado inverso de

z

, que anotaremos −1

z

, tal

que

z

z

−1

=

n

.

Propiedad distributiva del producto respecto a la suma:

t

z

w

z

t

w

z

(

+

)

=

+

,

∀ ∈ ∀ ∈

z

,

w

,

∀ ∈

t

Dado que la adición y multiplicación definidas en

cumplen todas estas propiedades podemos afirmar que la

estructura

( , , )

+ ⋅

es un cuerpo conmutativo.

Ejercicio 2

1) Demostrar que

( , , )

+ ⋅

es un cuerpo conmutativo.

2) Supongamos que se define la multiplicación de dos números complejos

z

=

(

a

,

b

)

y

w

=

(

c

,

d

)

de la siguiente forma:

(

a

,

b

)

(

c

,

d

)

=

(

ac

,

bd

)

. Investigar si esta multiplicación cumple todas las propiedades enunciadas anteriormente.

DIFERENCIA Y COCIENTE ENTRE DOS COMPLEJOS

1) De la definición de adición en

se puede deducir que dados los complejos

u

y

w

, existe y es único el número complejo

z

que verifica la igualdad:

u

+

z

=

w

. Este complejo

z

se le llama diferencia entre

w

y

u

y se anota:

z

=

w

u

2) De forma análoga dados dos números complejos

u

y

w

θ

, existe y es único el número complejo

z

que verifica la igualdad

w

z

=

u

. El complejo

z

se llama cociente entre

u

y

w

y se anota:

(4)

4

LOS NÚMEROS COMPLEJOS COMO EXTENSIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

Llamamos

0 al subconjunto de

cuyos elementos son los números complejos con parte imaginaria cero, es decir ,

0

=

{

( , 0) /

a

a

}

.

Dado que

(

a

,

0

)

+

(

b

,

0

)

=

(

a

+

b

,

0

)

y

(

a

,

0

)

(

b

,

0

)

=

(

ab

,

0

)

, concluimos que la suma o el producto de dos números complejos pertenecientes a

0 también pertenecen a

0. Es decir, los elementos del conjunto

0 se comportan con respecto a la adición y a la multiplicación como si fueran números reales. Por tal motivo no hacemos distinción entre el número complejo

(

a

,

0

)

y el número real

a

y convenimos en escribir:

a

a

,

0

)

=

(

y en particular,

θ

=

(

0

,

0

)

=

0

.

De esta forma podemos pensar al conjunto de los números reales como un subconjunto del conjunto de los números complejos.

Visto de otra manera, es posible asociar a cada número complejo

(

a

,

0

)

el número real

a

y recíprocamente a cada número real

a

, un número complejo

(

a

,

0

)

, es decir, puede establecerse una correspondencia biyectiva

0

:

f

tal que

f

(

a

)

=

(

a

,

0

)

. Observar que esta función

f

cumple:

1)

f

(

a

)

+

f

(

b

)

=

(

a

,

0

)

+

(

b

,

0

)

=

(

a

+

b

,

0

)

=

f

(

a

+

b

)

y 2)

f

(

a

)

f

(

b

)

=

(

a

,

0

)

(

b

,

0

)

=

(

ab

,

0

)

=

f

(

ab

)

Es decir, las operaciones de adición y multiplicación se conservan a través de

f

y todas las propiedades de

se trasmiten a

0 . Los conjuntos

y

0 se dicen que son isomorfos y que la función

f

es un isomorfismo entre ellos.

En base a lo mencionado anteriormente, es que consideramos al conjunto de los números complejos como una extensión del conjunto de los números reales dado que

contiene un subconjunto

0 isomorfo a

.

UNIDAD IMAGINARIA

Observar que el número complejo

(

0

,

1

)

cumple:

(

0

,

1

)

(

0

,

1

)

=

(

1

,

0

)

=

1

Es decir, si definimos

(

0

,

1

)

2

=

(

0

,

1

)

(

0

,

1

)

, llegamos a que

(

0

,

1

)

2

=

1

. DEFINICIÓN DE UNIDAD IMAGINARIA

Al número complejo

(

0

,

1

)

lo llamaremos unidad imaginaria y lo anotaremos con la letra

i

, es decir

i

=

(

0

,

1

)

En base a lo anterior, podemos escribir:

i

2

=

1

.

La unidad imaginaria tiene la propiedad de que su cuadrado es

1

, propiedad que no goza ningún número real.

Desde el punto de vista algebraico la principal ventaja del conjunto

es que soluciona el defecto del conjunto

de no ser un conjunto algebraicamente cerrado, es decir, de que existen funciones polinómicas de

coeficientes reales que no tienen raíces reales. Un ejemplo es la función polinómica

P

:

tal que

2

( )

1

(5)

5

NOTACIÓN BINÓMICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

Observemos que dado cualquier número complejo

(

a

,

b

)

, podemos escribir las siguientes igualdades:

bi

a

b

a

b

a

b

a

,

)

=

(

,

0

)

+

(

0

,

)

=

(

,

0

)

+

(

,

0

)

(

0

,

1

)

=

+

(

Es decir, todo número complejo

(

a

,

b

)

puede expresarse de la forma

a

+

bi

,

La notación de un número complejo

(

a

,

b

)

como par ordenado de números reales se le llama forma cartesiana del complejo y la expresión

a

+

bi

se le llama forma binómica.

Expresando los números complejos en forma binómica es más fácil recordar la expresión para calcular el producto de dos números complejos y permite expresar el producto

(

a

,

b

)

(

c

,

d

)

=

(

ac

bd

,

ad

+

bc

)

de la forma:

(

a

+

bi

)

(

c

+

di

)

=

ac

+

adi

+

bci

+

bdi

2

=

ac

+

(

ad

+

bc

)

i

bd

=

(

ac

bd

)

+

(

ad

+

bc

)

i

, donde para realizar la multiplicación solo se debe recordar las reglas habituales de la multiplicación en

y que

2

1

i

= −

.

Ejercicio 3

Hallar en cada caso todos los números reales

x

e

y

para que se verifique:

a)

2

x

+

3

+

(

i

y

)

i

=

0

b)

(

x

+

iy

)

2

=

(

x

iy

)

2 c)

x iy

+ =

x

2

+

y

2

SOBRE EL ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Recordemos que el conjunto de los números reales tiene dos estructuras: la algebraica y la de orden, ambas relacionadas.

En el conjunto de los números complejos podemos definir relaciones de orden, pero ninguna compatible con su estructura algebraica.

El conjunto de los números reales fue dotado de un orden compatible con las operaciones adición y

multiplicación a través de lo que denominamos el axioma de orden. Veamos a continuación si es posible aplicar

dicho axioma al conjunto

de los números complejos. Para ello, supongamos que existe un conjunto

+

que cumpla lo siguiente:

1)

∀ ∈

z

se cumple una y solo una de las siguientes proposiciones: a)

z

+ b)

− ∈

z

+

o c)

z

=

0

2) Si

z

+ y

w

+ entonces

(

z

+

w

)

+

y

zw

+

.

Dado el número complejo

i

, por 1), tenemos tres posibilidades excluyentes entre sí:

a)

i

=

0

, b)

i

+

o c)

− ∈

i

+

Sabemos que

i

0

Supongamos que

i

+. Usando 2) debería verificarse:

i

2

= − ∈

1

+ y

( 1)( 1)

− − = ∈

1

+ lo cual contradice 2).

Si suponemos que

− ∈

i

+ un razonamiento análogo nos permite concluir que

− ∈

1

+ y 1

+ lo cual vuelve a contradecir 2).

(6)

6

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Fue en el siglo XIX cuando el matemático alemán Carl Gauss (1777 -1855) divulga por primera vez la representación geométrica de los números complejos.

Dado que cada número complejo es un par ordenado de números reales, podremos representarlos en un sistema cartesiano ortogonal.

Si consideramos en un plano un sistema cartesiano ortogonal

xOy

, podemos asociar a cada número complejo

)

,

(

a

b

z

=

un único punto

P

de dicho plano cuyas coordenadas son

(

a

,

b

)

.

Recíprocamente, a cada punto

P

del plano cuyas coordenadas son

(

a

,

b

)

se le asocia un único número complejo

z

=

(

a

,

b

)

. Al punto

P

se lo llama afijo del complejo

z

.

Los números complejos representados en el eje

Ox

son los de la forma

(

a

,

0

)

=

a

, es decir, números reales, por tal motivo, el eje

Ox

se llama eje real y se denota como:

Re

.

Los números complejos representados en el eje

Oy

son los de la forma

(

0

,

b

)

=

bi

, es decir, números complejos con parte real nula, los cuales habitualmente se llaman imaginarios puros.

El eje

Oy

se llama eje imaginario y se representa por:

Im

. Im

b

P

=

(

a

,

b

)

O

a

Re

De esta forma hemos establecido una biyección entre el conjunto de los números complejos y el conjunto de los puntos del plano. Es debido a esta biyección que se suele identificar al conjunto

con el plano cartesiano y que además se utilice la palabra número complejo y punto indistintamente. Interpretado de esta manera, el plano cartesiano se suele llamar plano complejo o plano de Argand - Gauss.

Es posible también representar al complejo

z

=

(

a

,

b

)

como el vector geométrico que une el origen

O

=

(

0

,

0

)

con el punto

P

cuyas coordenadas son

(

a

,

b

)

.

CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO

DEFINICIÓN DE CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO

Dado el número complejo

z

=

a

+

bi

(

a

y

b

), llamamos conjugado de

z

al número complejo que anotaremos

z

definido por:

z

=

a

bi

.

OBSERVACIONES

1) El afijo del conjugado de un número complejo

z

es el simétrico del afijo de

z

con respecto al eje real.

2) La conjugación resulta útil para hallar el cociente de dos números complejos. En efecto, dado que

z

z

=

(

a

+

bi

)(

a

bi

)

=

a

2

+

b

2

R

, para expresar el complejo

w

z

de la forma binómica, bastará con

multiplicar numerador y denominador por el conjugado de

w

y transformar el problema de dividir dos

números complejos, en el de dividir un número complejo entre un número real:

w

w

w

z

w

z

=

Por ejemplo:

i

i

(7)

7

Ejercicio 4

Expresar cada uno de los siguientes números complejos de la forma

a

+

bi

con

a

y

b

.

a)

2

i

(

1

i

)(

3

+

2

i

)

b)

i

i

+

1

1

c)

i

i

i

2

)

1

)(

2

1

(

+

Ejercicio 5

Hallar

x

en cada caso para que

i

xi

z

+

=

1

2

sea: a) un número real b) un imaginario puro.

Ejercicio 6

a) Hallar en cada caso el o los números complejos

z

que verifican:

1)

iz

+ =

1

2

i

2)

2

z

+

z

=

16

+

8

i

3)

3

2

1

1

2

2

=

+

i

iz

i

z

1

b) Hallar los números complejos

z

y

w

que son solución del sistema:

(1

)

2

(2

)

(2

)

2

i z

iw

i

i z

i w

i

+

= +

+

+ −

=

(Respuesta:

6 9

13

i

z

=

y

11

16

3

i

w

=

)

Ejercicio 7 (

PROPIEDADES DEL CONJUGADO

)

Siendo

z

y

w

dos números complejos cualesquiera, demostrar que se cumple:

a)

z

±

w

=

z

±

w

b)

z

w

=

z

w

c)

w

z

w

z

=

si

w

0

d)

z

+

z

=

2

.

Re(

z

)

e)

z

z

=

2

i

Im(

z

)

f)

z

=

z

g)

z

z

=

(

Re(

z

)

) (

2

+

Im(

z

)

)

2

FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO

Veremos a continuación la representación polar de un número complejo, representación que resulta ser muy útil para trabajar con el producto de números complejos. Para ello, previamente definiremos módulo y argumento de un número complejo.

Si consideremos en el plano, un sistema cartesiano ortogonal, cada número complejo

z

=

(

a

,

b

)

, queda representado, de manera única, por el punto

P

=

(

a

,

b

)

o por el vector

OP

donde

O

=

(

0

,

0

)

.

La distancia (euclidiana) entre el punto

O

=

(

0

,

0

)

y

P

=

(

a

,

b

)

es lo que llamamos módulo del vector

OP

y su valor,

a

2

+

b

2

, se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras. Tal valor es lo que se denomina, módulo

del complejo

z

=

(

a

,

b

)

.

DEFINICIÓN DE MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO

Dado el número complejo

z

=

(

a

,

b

)

, llamamos módulo de

z

al número real, que anotaremos

z

, que se

calcula de la siguiente manera:

z

=

a

2

+

b

2

Es decir, el módulo del complejo

z

=

(

a

,

b

)

, es la distancia (euclidiana) entre el punto

O

=

(

0

,

0

)

y el punto

)

,

(

a

b

P

=

, es decir, el módulo del vector

OP

asociado a

z

.

(8)

8

DISTANCIA ENTRE DOS NÚMEROS COMPLEJOS

Si

z

=

(

a

,

b

)

y

w

=

(

c

,

d

)

, entonces, según la definición anterior,

z

w

=

(

a

c

)

2

+

(

b

d

)

2 , lo que muestra que

z

w

es la distancia entre los afijos de

z

y

w

, por tal motivo, llamamos distancia entre

z

y

w

al número real

d

(

z

,

w

)

, definido de la siguiente manera:

d

(

z

,

w

)

=

z

w

.

Ejercicio 8

Representar, en cada caso, el lugar geométrico de los afijos de los números complejos

z

que cumplen: 1)

Re(

z

)

<

2

2)

z

=

z

3)

z

=

2

4)

z

i

=

z

+

i

5)

z

z

0

r

,

z

0es un complejo dado y

r

es un número real positivo fijo.

6)

z

+

1

<

z

1

i

7)

z

=

t

+

i

1

t

2

,

t

R

,

t

[ ]

1

;

1

8)

z

z

+

z

+

z

=

0

9)

z

z

=

2

Re(

z

1

)

Ejercicio 9 (

PROPIEDADES DEL MÓDULO

)

Si

z

y

w

son dos números complejos cualesquiera, demostrar las siguientes propiedades:

a)

Re(

z

)

z

y

Im(

z

)

z

b)

z

.

z

=

z

2 y si

z

0

entonces, 1 2

z

z

z

=

c)

z

.

w

=

z

.

w

d)

w

z

w

z

=

si

w

0

e)

z

Re(

z

)

+

Im(

z

)

2

z

f)

z

+

w

z

+

w

(Desigualdad triangular)

g)

z

w

z

w

La propiedad b) es de gran utilidad y permite utilizar el producto de números complejos para trabajar con módulos. Demostrar la propiedad c) usando la propiedad b) y teniendo en cuenta que

( )

2

2

.

.

.

.

w

z

w

z

w

z

w

z

=

=

DEFINICIÓN DE ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO

Un argumento de un número complejo

z

0

, es cualquiera de los ángulos

ϕ

, determinado por la dirección positiva del eje real y la dirección del vector

OP

.

ϕ

se considera positivo si es medido en sentido antihorario y negativo si es medido en sentido horario.

Observar que el argumento de un complejo no es único, ya que para un mismo

z

existen infinitos

ϕ

, que difieren en múltiplos de

2

π

.

Si denotamos por:

arg(

z

)

, al conjunto de todos los argumentos de un complejo

z

0

tenemos que: si

ϕ

0

arg(

z

)

entonces

arg( )

z

=

{

ϕ

/

ϕ ϕ

=

0

+

2

k

π

∧ ∈

k

}

.

Im

b

P

=

(

a

,

b

)

ϕ

O

a

Re

Muchas veces es conveniente asignar a cada complejo un único argumento. Esto pude hacerse limitando

ϕ

a variar en un intervalo semiabierto de longitud

2

π

. Por convención, cuando se toma

ϕ

en el intervalo

(9)

9

Un número complejo queda determinado por su parte real y su parte imaginaria o bien, por su módulo y uno de sus argumentos. En este último caso, se dice que el complejo está definido en forma polar.

Si

r

y

ϕ

son respectivamente el módulo y un argumento de

z

, escribiremos

z

=

r

ϕ

La pareja ordenada

(

r

,

ϕ

)

son las coordenadas polares del afijo

P

=

(

a

,

b

)

del complejo

z

=

a

+

bi

Dado el número complejo

z

=

a

+

bi

. Si

r

es el módulo de

z

y

ϕ

es uno de sus argumentos, entonces es sencillo verificar que:

a

=

r

cos

ϕ

y

b

=

rsen

ϕ

, es decir,

Re(

z

)

=

r

cos

ϕ

e

Im(

z

)

=

rsen

ϕ

Teniendo en cuenta esto último es que podemos escribir:

z

=

r

(cos

ϕ

+

isen

ϕ

)

. Esta última forma de escribir el número complejo

z

se llama forma trigonométrica de

z

.

Dado

z

=

a

+

bi

se tiene que:

r

=

z

=

a

2

+

b

2 y

=

<

=

=

>

=

=

0

0

0

2

/

)

(

0

0

2

/

)

(

a

si

a

b

tg

b

y

a

si

z

Arg

b

y

a

si

z

Arg

ϕ

π

π

Convenimos que el número complejo

0

tiene módulo cero y que cualquier número real

ϕ

puede usarse como argumento.

Ejercicio 10

1) Para cada uno de los siguientes números complejos se pide, representarlo en el plano de Argand-Gauss, escribirlo en forma polar, hallar su opuesto, su conjugado y su inverso.

a)

1

+

i

b)

3

i

c)

1

+

i

3

d)

3

3

i

e)

2

i

2

2) Representar los siguientes números complejos y escribirlos en forma binómica.

a)

3

7

π

b)

2

π

c)

2

2

π

Ejercicio 11 (

OPERACIONES EN POLARES

)

Las operaciones con números complejos, salvo la adición y sustracción, son más fáciles de realizar en forma polar que en forma binómica.

Se consideran los números complejos

z

=

r

ϕ

y

w

=

p

λ

dados en forma polar. 1) Verificar que:

r

ϕ

=

p

λ

r

=

p

y

ϕ

=

λ

+

2

k

π

para algún

k

Z

.

2) Demostrar que

z

w

=

(

r

p

)

(

ϕ

+

λ

)

Sugerencia:

=

+

+

=

+

senasenb

b

a

b

a

a

senb

b

sena

b

a

sen

cos

cos

)

cos(

cos

cos

)

(

3) Demostrar que si

w

0

entonces

w

−1

=

p

−1

λ

y

=

(

ϕ

λ

)

p

r

w

z

4) Demostrar que

z

n

=

r

n

n

ϕ

,

∀ ∈

n

.

5) Resolver la ecuación

z

3

=

z

usando notación polar.

(10)

10

EJERCICIOS COMBINADOS

Ejercicio 12

Dado el complejo

z

, sabiendo que

z

z

+

1

es un número real, demostrar que

z

es un real o que

z

es un complejo de módulo 1.

Ejercicio 13

Se considera el número complejo

w

= +

a

bi a

,

R b

,

R

cuyo afijo es el punto

M

.

Reconocer y representar en cada caso, el lugar geométrico de los afijos de los números complejos

z

que

cumplen: 1)

wz

+

w z

=

0

2)

wz

w z

=

2

abi

Ejercicio 14

1) Demostrar que si

z

es un número complejo de módulo 1, entonces

z

z

=

1

2) Demostrar que si

z

1 ,

z

2 y

z

3 son tres números complejos de módulo1 cuya suma es cero, entonces

1

1

1

0

3 2 1

=

+

+

z

z

z

Ejercicio 15

Demostrar que cualesquiera sean los números complejos

z

y

w

se cumple la regla del paralelogramo:

z

+

w

2

+ −

z

w

2

=

2

(

z

2

+

w

2

)

POTENCIA DE BASE COMPLEJA Y EXPONENTE ENTERO

Sea

z

es un número complejo y

n

un número natural.

Definimos

z

n de la siguiente forma:

• Si

z

0

entonces

z

0

=

1

• Si

z

0

entonces

z

n

=

z

z

n−1 (

z n

n

z

z

z

z

factores

...

=

)

• Si

z

0

entonces , n n

z

z

=

1

• Si

z

=

0

y

n

>

0

, entonces

z

n

=

0

n

=

0

Observaciones

a) La definición anterior coincide con la dada para números reales.

b) La potencia de base compleja y exponente entero cumple las mismas propiedades que la potencia de base real y exponente entero y dejamos a cargo del lector las demostraciones de dichas propiedades.

Ejercicio 16

1) Hallar los números complejos cuyo cuadrado es igual a su conjugado.

(11)

11

Ejercicio 17

a) Calcular

i

n con

n

N

,

0

n

11

.

b) Demostrar que cualquiera sea el natural

n

se cumple:

i

n

=

i

r donde

r

es el resto de la división entera de

n

entre

4

.

c) Calcular

i

934789

d) Calcular

1

+

i

+

i

2

+

...

+

i

n

n

N

Ejercicio 18

1) Demostrar que

( )

z

n

=

z

n y

z

n

=

( )

z

n ,

n

N

y

z

C

2) Hallar el módulo de los siguientes números complejos:

z

=

(

1

+

2

i

)

4 y

( )

4 3

)

2

3

(

1

i

i

w

=

+

Ejercicio 19

1) Deducir la fórmula de Moivre que afirma que:

(

r

cos

ϕ

+

irsen

ϕ

)

n

=

r

n

(cos(

n

ϕ

)

+

isen

(

n

ϕ

))

y luego usarla para hallar las fórmulas que dan

sen

(

3

ϕ

)

y

cos(

3

ϕ

)

en función de

sen

ϕ

y

cos

ϕ

.

2) Calcular en forma binómica:

(

1

+

i

3

)

20 y

(

1

i

)

30.

Figure

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Referencias

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