Programa Nacional de Formación en Sistemas e Informática

Fundación Misión Sucre

Colegio Universitario de Caracas

República Bolivariana de Venezuela Ministerio de Educación Superior Colegio Universitario de Caracas

Fundación Misión Sucre

Programa Nacional de Formación

en Sistemas e Informática

Matemática II

2 República Bolivariana de Venezuela

Ministerio de Educación Superior Colegio Universitario de Caracas

Fundación Misión Sucre

Matemática II

Elaborado por:

Prof. Rafael Jiménez Prof. Cesar García

Contenido General

Descripción General ……….. 3

Objetivos Generales …...………… ………... 4

Duración ………... 5

Recursos Requeridos ………... 5

Taller I: Límites y Continuidad ………... 6

Taller II

Derivadas de funciones Reales de variable Real... 12

Taller III: Álgebra Matricial………. 15

3

Descripción General

Los Talleres de Matemática II: 1: Límites y Continuidad 2. Derivada de una función 3: Algebra Matricial

4: Mapas de Conceptos y Modelado en Matemáticas.

Formarán parte de la estrategia instruccional de la unidad curricular Matemática II y permitirán reforzar en los estudiantes los saberes relacionados con el cálculo de límites de una función real, límites indeterminados, límites especiales, continuidad de una función real, aplicación de los límites, cálculo de derivada de una función, propiedades de las derivadas, técnicas de derivación, aplicación de las derivadas, algebra matricial, cálculo vectorial, tipos de matrices, aplicación en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, mapas de conceptos, uso del calculo diferencial e integral, modelado en matemáticas.

4

Objetivos Generales

Al finalizar estos talleres, el estudiante estará en capacidad de:

1. Aplicar las técnicas para el cálculo de límites así como retomar los conceptos de límite y continuidad de una función, utilizar los límites para describir la forma en que varía una función.

2. Identificar la razón en que cambia una función, identificar uno de los conceptos más importantes del cálculo llamado derivada. Aplicar las técnicas para el cálculo de derivadas.

3. Resolver ejercicios del algebra matricial, identificar los tipos de matrices, utilizar el método de Gauss para solución de sistemas de ecuaciones. 4. Aplicar mapas de conceptos en diferentes situaciones, resolución de

problemas a través de modelos matemáticos, uso del cálculo diferencial e integral en la solución de algunos problemas, aplicación de los 3 temas anteriores en el campo físico.

5. Aplicar las técnicas para el cálculo de límites así como retomar los conceptos de límite y continuidad de una función, utilizar los límites para describir la forma en que varía una función.

6. Identificar la razón en que cambia una función, identificar uno de los conceptos más importantes del cálculo llamado derivada. Aplicar las técnicas para el cálculo de derivadas.

7. Resolver ejercicios del algebra matricial, identificar los tipos de matrices, utilizar el método de Gauss para solución de sistemas de ecuaciones. 8. Aplicar mapas de conceptos en diferentes situaciones, resolución de

5

Duración

Taller Límites y Continuidad (Objetivo 1): 8 horas.

Taller Derivada de una función f (Objetivo 2): 8 horas.

Taller Algebra Matricial (Objetivo 3): 8 horas.

Taller Mapa de conceptos y Modelado en Matemáticas (Objetivo 4): 8 horas.

Recursos Requeridos

Salón con pizarrón

6

Taller I:

Límites y Continuidad

La idea de aproximación esta relacionada muy cercanamente con el concepto de límite y esta presente en nuestro quehacer cotidiano, tanto que una muestra de esto lo constituye la utilización diaria de expresiones como estas:

• Se requieren aproximadamente litro y medio de agua

• Volaremos a una altura aproximada de tantos metros

• Nos vemos aproximadamente a las cinco de la mañana

A menudo usamos aproximaciones para acercarnos cada vez más a un lugar, a una cantidad, a una altura, a una profundidad, en síntesis a un estado al que queremos llegar. Este punto al que nos aproximamos cada vez con mayor precisión sin tener que igualarlo se conoce en matemática como LIMIT y se expresa para una función f de variable real con la notación siguiente

Lim f(x) = L X X0

Y significa que los valores de la función f(x) se acercan al valor L cuando x se acerca al numero x0.

El objetivo principal de esta sección es estudiar la noción de límite de un a función real de variable real, es decir:

Si f es una función definida en el campo de los número reales, o sea f: R R, y x0 es un punto en la recta real, no necesariamente perteneciente al dominio de f, podemos entonces abordar el problema siguiente:

7 Si estos valores de f(x) seaproximan a un valor único L se dice entonces que:

“ la función f tiene límite cuando x se aproxima ( tiende) a x0 y este límite es precisamente el número L “

Propiedades de los límites

Si lim f(x) = L y lim g(x) = M entonces x → xo x → xo

• lim (f(x) + g(x) ) = lim f(x) + lim g(x) = L + M x → xo x → xo x → xo

• _{lim( f(x) . g(x) ) = lim f(x) . lim g(x) = L . M}

x → xo x → xo x → xo

• lim ( c. f(x) ) = c. lim f(x) = L c ⊂ R x → xo x → xo

• lim ( f(x) / g(x) ) = lim f(x) / lim g(x) = L / M x → xo x → xo x → xo

• Si f(x) = c ( c∈ R), entonces lim f(x) = c para todo x0 ∈ R x → xo

• lim n√ f(x) = n√ L

• lim sen ( f(x)) = sen L

• lim Ln ( f(x)) = Ln (L) , si f(x) > 0 para todo x∈D y L> 0

• lim ef(x) = e L

8

Calculo de Límites

:

a) Aplicando propiedades.

8 3 16 6 2 3 * 2 3 3 ) 2 2 ( ) 3 ( 2 2 3 : ₂ 3 2 3 2

3 − = =

+ = − + = − + → → → x x x _{Lim x}

x Lim x x Lim Ej 5 5 ) 1 2 ( 2 2 ) 1 2 (

2 ₁] 3

3 [ ] ) 1 ( ) 1 ( [ ) 1 1 ( : 2 = = − + = − + + → → + → → x Lim x x x x x x Lim x Lim x x Lim Ej

Ejercicios 1

(

5 3

)

7 )

1

2 − =

→ x

Lim

x ₃

2 5 4 3 ) 2

2 + =−

+ − → _x x Lim x

(

)

2 ) 3 2

π

π = → xSenx Lim x 2 1 16 4 3 2 ) 4 2

0 − =

+ + → _x x x Lim

x _{2 1} 1

2 * 1 2 ) 5

1 − =−

− − → _x x x x Lim x 9 1 3 2 1 3 ) 6 2 0 =       + − → _x x Lim X 1 4 ) 7 ) 2 2 ( 1 = − → x x x Lim 2 5 1 3 2 ) 8 1 2 3

1  =

       + + + + → x x x _x x Lim 2 5 2 3 4 ) 9 2

2 + = − → _x x x Lim x 1 ) 8 3 ( ) 10 2

1 + =

+ + → _x x x Lim

x ₆

9 3 3 1 ₅ 1 3 2 )

13  =

     − − → _x x Lim

x ₁ 2

2 ) 14 2 1 3

2  =

       − + + → x x x _x x Lim 2 3 1 1 3 3 ) 15 0 =       + + → _x Lim x 2 1 1 2 3 ) 16 2

1 _=

    + − → _X x x Lim

x

( )

5 ) 2 3 (

1 10 10 ) 17 = + → x x x Lim

π

π

π − − =       − → ₁ 1 1 )

18 Lim Cosx

x 0 2 2 2 1 2 1 ) 19 2 =                 + − + + → x x Lim

x _{2 1} 6

2 3 )

20

2

1 _=−

    + + − − → _x x x Lim x

FORMAS INDETERMINADAS:

b) Límites de la forma 0/0.

(

)

(

)

(

(

)

)

3 0 0 3 4 1 2 3 4 1 2 0 0 3 4 2 : 2 0 2 2 3

0 − = − =

− = − − = − − → → _x x x x x x x Lim x x x x Lim Ej x x 1 : 0 =       →

ϑ

ϑ

ϑ Sen Lim Ej

c) Límites de la forma

∞ ∞ . 0 1 0 5 1 3 2 5 3 2 5 3 2 : 2 2 2 2 2

2 = =

+ + = + + ∞ ∞ = + + ∞ → ∞ → ∞ → x x x Lim x x x x Lim x x Lim Ej x x x

10

(

)

(

₍

)(

₎

)

₍

(

)

₎

₍

₎

1 1 1 1 1 1 1 1 : = + + = + + − + = + + + + − + ∞ − ∞ = − + ∞ → ∞ → ∞ → ∞

→ _{x x} Lim _{x x}

x x Lim x x x x x x Lim x x Lim Ej x x x x

Ejercicios 2

10 1 25 5 ) 1 ₂ 5 =       − − → _x x Lim

x ₅ 7

10 3 )

2

2

5 + =− − + − → _x x x Lim x 1 ) 3 2 = → Ctgx Cosx Lim x π 3 2 3 2 )

4 _{3 2}

3 =       + − ∞

→ _{x x}

x x Lim

x ₃

16 5 3 4 6 1 7 2 ) 5 2 2 − =       − + − − − ∞ → _x x x x Lim x 2 3 1 2 ) 6 ₂ 2

1 _=

    − − + → _x x x Lim x 2 1 2 4 2 )

7 _{3 2}

2 − =       + − − −

→ _{x x}

x Lim

x ₂

1 2 ) 8 0 =       →

ϑ

ϑ

ϑ _Sen Sen Lim ∞ =       + − ∞ → ₁ 2 3 ) 9 4 x x x Lim x

(

)

4 3 2 1 3 4 )

10 2+ − − =

∞

→ x x x

Lim x ₃ 4 1 1 ) 11 ₃ 4

1 _=

    − − → _x x Lim x 3 1 2 2 3 ) 12 ₂ 2

1 _=−

    − + + −

→ _{x x}

x x Lim x 2 2 1 ) 13 4 − = − − → Tgx Cosx Senx Lim x π 0 1 2 2 ) 14 ₂ 3 3 =         + − ∞ → _x x Lim x

(

− + −

)

=∞ ∞

→ 3 1

)

15 Lim x x2 x

x

(

)

2 1 1 1 1 ) 16 0 = − −

→ _x x

Lim

x 3

3 2 )

17

2

0 =−

11 2

1 1

4 2 )

19 ₃

3

Log x

x x Log Lim

x _=

 

 

− − ∞

→

(

)

₂

3 2 3 1

)

20 2− − 2− + =

∞

→ x x x

Lim

x

5 2 5

2 )

21

0

=

   

 

→ _x

x Sen Lim

x

5 1 12

8

12 16 7

)

22 _{3 2}

2 3

2 _=−

 

 

− − +

+ + + −

→ _{x x x}

x x x Lim

x 23)

(

)

₂

2 a

x ax x Lim

x→∞ + − =

(

)

2 )

)( ( )

24 Lim x a x b x a b

x

+ = − + + ∞