A1 CIRC ELEC RL 2

(1)

Circuitos eléctricos en serie

o Circuito RL

o Circuito RC

o Circuito RLC (segundo orden)

Circuito en serie RL. Se aplica una fuerza electromotriz E usando 5 baterías de 12 V cada una, si la inductancia es de 0.5 henry y la resistencia R = 250 ohm. Si al inicio i(0)=0

Considere que el proceso se apega a Ley de Ohm y a la 2ª. Ley de Kirchhoff dada por sus modelos:

(I) Segunda Ley de Kirchhoff: (fem, caída de voltaje) E = ER + EC + EL

(II) Ley de Ohm: en función de la corriente (i) o de la carga (q)

𝐸! = 𝑅∙𝑖 ; 𝐸! = _!! ∙𝑞 ; 𝑖= !"_!" ; 𝑞= 𝑖 𝑑𝑡 ; 𝐸! =_!!∙ 𝑖 𝑑𝑡 ; 𝐸! =𝐿∙!"_!"=𝐿∙!

!_!

!"! (III): Circuito R L : 𝐸 = 𝐸_! + 𝐸_! ; 𝐸 = 𝑅 𝑖+𝐿 !"

!" ; 𝐸 =𝑅

!"

!"+𝐿

!!_! !"!

a) La ED, su solución general y particular como una función. i(t)

b) La corriente i que fluye a través del circuito para un instante t=0.005. c) La corriente i que fluye a través del circuito cuando t→∞

Solucion Datos: Circuito RL E =5(12) =60 V L=0.5 h

R=250 ohm i(0)=0 Determinar

a) A partir de la Ec. Dif, la solución general y la solución particular (C ) de i(t) b) La corriente i que fluye a través del circuito para el instante t=0.005 s c) La corriente i que fluye a través del circuito cuando t→∞ (igual a la i final) d) El tiempo que tarda la corriente i en alcanzar el 99.9% de la corriente final

La ecuación diferencial

𝐸 = 𝐸_! + 𝐸_! ; 𝐸 = 𝑅 𝑖+𝐿 !"_!"

𝐿 𝑑𝑖

𝑑𝑡+𝑅𝑖 = 𝐸 𝑑𝑖

𝑑𝑡+

𝑅

𝐿𝑖= 𝐸 𝐿

Método: por ecuaciones diferenciales lineales Modelo de la Ec. Dif. general lineal

𝑑𝑦

𝑑𝑥+𝑃 𝑥 𝑦=𝑓(𝑥)

Algoritmo de solución: AB/yA=B+C

𝐴= 𝑒 ! ! !"_{; 𝐵}₌ _𝐴_⋅_𝑓(_𝑥_{) ; 𝑦}_𝐴₌ _𝐵₊_{𝐶 ; 𝑦} ₌_𝐵_𝐴!!₊_𝐶_𝐴!!

Cambiando: y = i; x = t, constantes: R, L, E

𝐿 𝑑𝑖_𝑑𝑡+𝑅𝑖 =𝐸

(2)

𝑑𝑖

𝑑𝑡+

𝑅

𝐿 𝑖=

𝐸

𝐿

Algoritmo de solucion

𝐴= 𝑒 ! !!"_{; 𝐵} ₌ _𝐴_⋅_𝑓(_{𝑡) ; 𝑖 𝐴} ₌_𝐵₊_{𝐶 ; 𝑖}₌_𝐵_𝐴!!₊_𝐶_𝐴!!

Donde

𝑃 𝑡 = !_! ; 𝑓 𝑡 =!_!

𝐴= 𝑒!! !" = 𝑒!! !

𝐵= 𝑒!! ! ⋅(𝐸

𝐿) 𝑑𝑡

𝐵 =𝐸

𝐿⋅ 𝐿

𝑅 𝑒

!

! ! 𝑅

𝐿⋅𝑑𝑡 =

𝐸

𝑅𝑒 !

!!

𝑖⋅𝑒!! ! = 𝐸

𝑅𝑒

! !!+𝐶

𝑖= (𝑒! !! ! )⋅(𝐸

𝑅𝑒

!

!!)+𝐶⋅(𝑒! !! ! )

Solución general

𝑖(𝑡)= 𝐸

𝑅+𝐶⋅𝑒

!!_! !

Condición inicial: t0=0 ; i0=0; es decir i(0) =0

0 = 𝐸

𝑅+𝐶⋅𝑒!

!

! !

0= 𝐸

𝑅+𝐶

𝐶= −𝐸 𝑅

Sustituyendo C Solución general

𝑖 𝑡 = 𝐸

𝑅− 𝐸 𝑅⋅𝑒!

!

! !

Factorizando

𝑖 𝑡 =_𝑅𝐸(1−𝑒!!! !)

𝑙𝑖𝑚

!→! 𝑖(𝑡) =

𝐸

𝑅!𝑙𝑖𝑚→! 1−𝑒

!!_!! ₌ 𝐸

𝑅!→𝑙𝑖𝑚! 1−

1

𝑒!!! = 𝐸_𝑅

Cuando 𝑡→ ∞

(3)

Calculando los valores y Tabla de resultados

E 5(12) = 60 V

L 0.5 h

R 250 ohm

Condición inicial Constante C

I(0)=0 A;

𝐶 =−𝐸

𝑅 = 6 25 Solución general

𝑖 𝑡 = 𝐸 𝑅−

𝐸 𝑅⋅𝑒

!!_! !

𝑖 𝑡 =𝐸

𝑅(1−𝑒! ! ! !)

𝑖= (6)

(25)(1−𝑒! !"" !)

i t1=0.005 s

𝑖 𝑡 =𝐸

𝑅(1−𝑒 !!_! !₎

𝑖= 60

250 1−𝑒! !"#

!.! !.!!"

𝑖 = (6)

(25)(1−𝑒! !"" (!.!!")) 𝑖= 6

25 1−𝑒! !"" !.!!" = 0.2203 𝐴

i tf =t→∞ ;

𝑖! = 𝐸 𝑅 =

60 250=

6

25= 0.24 𝐴

i t2=0.99if

𝑖_!= 0.99 𝐸

𝑅 = 0.99 60

250= 0.99 6

(4)

Ejercicio suplementario

Circuito RL; E =2(12) =24 V; L=0.5 h; R=50 ohm; i(0)=0 Determinar

a) A partir de la Ec. Dif, la solución general y la solución particular (C ) de i(t) b) La corriente i que fluye a través del circuito para el instante t=0.005 s c) La corriente i que fluye a través del circuito cuando t→∞ (igual a la i final) d) El tiempo que tarda la corriente i en alcanzar el 99.9% de la corriente final

Circuito en serie RC.

Se aplica una fuerza electromotriz E usando 5 baterías de 12 V cada una, si la capacitancia es de 0.005 farad y la resistencia R = 100 ohm. Si al inicio i(0)=0.2 amper

Considere que el proceso se apega a Ley de Ohm y a la 2ª. Ley de Kirchhoff dada por sus modelos:

(I) Segunda Ley de Kirchhoff: (fem, caída de voltaje) E = ER + EC + EL (II) Ley de Ohm: en función de la corriente (i) o de la carga (q)

𝐸_! =𝑅∙𝑖 ; 𝐸_! = !_! ∙𝑞 ; 𝑖 = !"_!" ; 𝑞 = 𝑖 𝑑𝑡 ; 𝐸_! = !_!∙ 𝑖 𝑑𝑡 ; 𝐸_! = 𝐿∙_!"!"= 𝐿∙!_!"!!_!

Circuito R C:

𝐸 = 𝐸_! + 𝐸_! ; 𝐸 = 𝑅 𝑖+ !

! 𝑞 ; 𝐸 = 𝑅 !" !"+

!

! ∙𝑞

a) La ec. Dif. Y su solución general y particular como una función. i(t); q(t)

b) La carga q y la corriente i que fluye a través del circuito para un instante t=0.002. c) La carga q y la corriente i que fluye a través del circuito cuando t→∞;

d) El tiempo que tarda la carga q cuando q=0.99.9 % de la q final (t_→∞;);

𝐸 = 𝐸_!+ 𝐸_! 𝐸 = 𝑅 𝑖+ ! ! 𝑞 𝐸 = 𝑅 𝑑𝑞_𝑑𝑡 + _𝐶1 ∙𝑞

Ec. Diferencial general lineal. Importante no confundir la constante arbitraria c con la Caacitancia C

𝑑𝑦

𝑑𝑥+𝑃 𝑥 𝑦=𝑓(𝑥)

Algoritmo de solución

𝐴= 𝑒 ! ! !"_{; 𝐵}₌ _𝐴_⋅_{𝑓(𝑥) ; 𝑦 𝐴}₌ _𝐵₊_{𝑐 ; 𝑦} ₌_𝐵_𝐴!!₊_{𝑐 𝐴}!!

Cambiando: y = i; x = t, constantes: R, C, E

𝑅 𝑑𝑞_𝑑𝑡+_𝐶1𝑞 =𝐸 Conformado el modelo estandar

𝑑𝑞

𝑑𝑡+ 1

𝑅𝐶 𝑞= 𝐸 𝑅

Algoritmo de solucion

𝐴= 𝑒 ! !!"_{; 𝐵} ₌ _𝐴_⋅_{𝑓(𝑡) ; 𝑞}_𝐴 ₌_𝐵₊_{𝑐 ; 𝑞}₌ _𝐵_𝐴!!₊_{𝑐 𝐴}!!

Donde

𝑃 𝑡 = !

!" ; 𝑓 𝑡 = ! !

(5)

𝐵= 𝑒!"! ! ⋅(𝐸 𝑅) 𝑑𝑡

𝐵= 𝐸 𝑅⋅

𝑅𝐶

1 𝑒

!

!" ! 1

𝑅𝐶⋅𝑑𝑡 = 𝐸𝐶⋅𝑒

! !"!

𝑞⋅𝑒!"! ! = 𝐸𝐶⋅𝑒!"!!+𝑐

𝑞= (𝑒! !"! ! )⋅(𝐸𝐶 ⋅𝑒!"!!)+𝑐⋅(𝑒! !"! ! )

Solución general

𝑞 t = 𝐸𝐶+𝑐 𝑒!!"! !

𝑑

𝑑𝑡𝑞 𝑡 =

𝑑

𝑑𝑥 𝐸𝐶 +𝑐

𝑑 𝑑𝑥 𝑒

!_!"! ! ₌ ₀₊_𝑐 𝑑

𝑑𝑥 𝑒

!_!"! ! ₌_𝑐 𝑑

𝑑𝑥 𝑒 !_!"! !

𝑑

𝑑𝑡𝑞 𝑡 =−𝑐

1 𝑅𝐶 𝑒!

! !" !

𝑖= 𝑑𝑞 𝑑𝑡

𝑖(𝑡)=−𝑐 1

𝑅𝐶 𝑒!

! !! !

Condición inicial: t0=0 ; i0=0.2 A; es decir i(0) =0.2 A; R=100 Ohm; C=0.005 farad; E=5(12)= 60 v

𝑖(𝑡)= −𝑐 1

𝑅𝐶 𝑒

!_!"! (!)

𝑖(𝑡)= −𝑐 1 𝑅𝐶

𝑐 = −0.2𝑅𝐶

𝑐 =−0.2 (100)(0.005)

𝑐 =−0.1

𝑞 t = (60)(0.005)+𝑐 𝑒!(!"")(!.! !!") !

𝑞 t = 0.3 −0.1 𝑒!!!

(6)

𝑖(𝑡) =−𝑐 1 𝑅𝐶 𝑒

!_!"! !

𝑖 𝑡 =0.2𝑅𝐶 1 𝑅𝐶 𝑒

!_!"! !

𝑖 𝑡 =0.2 𝑒! !"! ! =0.2𝑒!!!

Para t=0.002 s

𝑖= 0.2 𝑒! (!"")(!!.!!") (!.!!") ₌₀_.₁₉₉₂

𝑞 𝑡 =𝐸𝐶+𝑐 𝑒!!"! !

𝑞 𝑡 =𝐸𝐶−0.2𝑅𝐶 𝑒!!"! !

𝑞= 60 0.005 −0.2 100 0.005 𝑒!!"" !!.!!" !.!!" ₌ ₀_.2004

Factorizando

𝑞 𝑡 =𝐶(𝐸−0.2𝑅 𝑒!!"! !)

Cuando 𝑡→ ∞

𝑙𝑖𝑚 !→! 𝑒

!_!"! ! ₌_𝑙𝑖𝑚 !→!(

1

𝑒!"! !

)= _∞1 = 0

𝑞 𝑡 =𝐸𝐶

𝑞 𝑡 = (60)(0.005)

𝑞 𝑡 = 0.3 [𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏]

𝑖 𝑡 =−𝑐 1 𝑅𝐶 𝑒!

!

!" ! = 0

tiempo que tarda para cuando q alcanza su 99.9 % de q final (cuando 𝑡 →∞)

𝑞_!= 𝐸𝐶

𝐸𝐶 =0.999 𝐸𝐶 = 0.999 60 0.005 =0.2997

𝑞 𝑡 =𝐸𝐶−0.2𝑅𝐶 𝑒!!"! !

𝑒!!"! ! = 𝑞−𝐸𝐶 (−0.2)𝑅𝐶

(7)

𝑡

𝑅𝐶ln (𝑒)= ln (

𝑞−𝐸𝐶

−0.2 𝑅𝐶)

𝑡= (−RC)ln ( 𝑞−𝐸𝐶

−0.2 𝑅𝐶)

𝑡 =−RC ln (0.999𝐸𝐶−𝐸𝐶 −0.2 𝑅𝐶 )

𝑡 =−RC ln (𝐸𝐶(0.999−1)

−0.2 𝑅𝐶 )

𝑡= −RC ln (𝐸(−0.001) −0.2 𝑅 )

𝑡= − 100 0.005 ln 60 −0.001

−0.2 100 =2.902

Calculando los valores y Tabla de resultados

E 5(12) = 60 V

C 0.005 h

R 100 ohm

Condición inicial Constante C

I(0)=0.2 A;

𝑐 =−0.2𝑅𝐶 =−0.1

Solución general _𝑖 _𝑡 ₌_0.2 _𝑒! _!"! !

𝑞 𝑡 = 𝐸𝐶−0.2𝑅𝐶 𝑒!!"! !

q, i t1=0.002 s

𝑞 𝑡 = 𝐸𝐶−0.2𝑅𝐶 𝑒!!"! ! 𝑞= 0.2004

𝑖 𝑡 =0.2 𝑒! !"! !

𝑖= 0.1992

i tf =t→∞ ;

𝑞 𝑡 =𝐸𝐶

𝑖 𝑡 = −𝑐 1

𝑅𝐶 𝑒! !

!" ! = 0

q t2=0.99 qf

𝑞_! =𝐸𝐶

𝑡= −RC ln (𝐸(−0.001)

(8)

Ejercicio suplementario

Circuito RC; E =10(12) =120 V; C=0.05 farad; R=500 ohm; i(0)=0.4 A Determinar

a) A partir de la Ec. Dif, la solución general y la solución particular (C ) de q(t) y i(t) b) La corriente i que fluye en el circuito y la carga q en el capacitor para t=0.05 s c) La corriente i y q del circuito cuando t→∞ (igual a la i final)