A1 CIRC ELEC RL 2

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(1)

Circuitos eléctricos en serie

o Circuito RL

o Circuito RC

o Circuito RLC (segundo orden)

Circuito en serie RL. Se aplica una fuerza electromotriz E usando 5 baterías de 12 V cada una, si la inductancia es de 0.5 henry y la resistencia R = 250 ohm. Si al inicio i(0)=0

Considere que el proceso se apega a Ley de Ohm y a la 2ª. Ley de Kirchhoff dada por sus modelos:

(I) Segunda Ley de Kirchhoff: (fem, caída de voltaje) E = ER + EC + EL

(II) Ley de Ohm: en función de la corriente (i) o de la carga (q)

𝐸! = 𝑅∙𝑖 ; 𝐸! =  !!  ∙𝑞 ; 𝑖=  !"!" ; 𝑞= 𝑖  𝑑𝑡 ; 𝐸! =!!∙ 𝑖  𝑑𝑡 ; 𝐸! =𝐿∙!"!"=𝐿∙!

!!

!"! (III): Circuito R L : 𝐸 =  𝐸! +  𝐸! ; 𝐸 =  𝑅  𝑖+𝐿  !"

!" ; 𝐸 =𝑅  

!"

!"+𝐿  

!!! !"!

a) La ED, su solución general y particular como una función. i(t)

b) La corriente i que fluye a través del circuito para un instante t=0.005. c) La corriente i que fluye a través del circuito cuando t→∞

Solucion Datos: Circuito RL E =5(12) =60 V L=0.5 h

R=250 ohm i(0)=0 Determinar

a) A partir de la Ec. Dif, la solución general y la solución particular (C ) de i(t) b) La corriente i que fluye a través del circuito para el instante t=0.005 s c) La corriente i que fluye a través del circuito cuando t→∞ (igual a la i final) d) El tiempo que tarda la corriente i en alcanzar el 99.9% de la corriente final

La ecuación diferencial

𝐸 =  𝐸! +  𝐸! ; 𝐸 =  𝑅  𝑖+𝐿  !"!"

𝐿  𝑑𝑖

𝑑𝑡+𝑅𝑖 = 𝐸 𝑑𝑖

𝑑𝑡+

𝑅

𝐿𝑖= 𝐸 𝐿

Método: por ecuaciones diferenciales lineales Modelo de la Ec. Dif. general lineal

𝑑𝑦

𝑑𝑥+𝑃 𝑥  𝑦=𝑓(𝑥)

Algoritmo de solución: AB/yA=B+C

𝐴=  𝑒 ! ! !" ; 𝐵= 𝐴  𝑓(𝑥) ; 𝑦  𝐴= 𝐵+𝐶 ; 𝑦 =𝐵  𝐴!!+𝐶  𝐴!!

Cambiando: y = i; x = t, constantes: R, L, E

𝐿  𝑑𝑖𝑑𝑡+𝑅𝑖 =𝐸

(2)

𝑑𝑖

𝑑𝑡+

𝑅

𝐿  𝑖=

𝐸

𝐿

Algoritmo de solucion

𝐴=  𝑒 ! !!" ; 𝐵 = 𝐴  𝑓(𝑡) ; 𝑖  𝐴 =𝐵+𝐶 ; 𝑖=𝐵  𝐴!!+𝐶  𝐴!!

Donde

𝑃 𝑡 =  !! ; 𝑓 𝑡 =!!

𝐴= 𝑒!! !" = 𝑒!!  !

𝐵= 𝑒!!  !  ⋅(𝐸

𝐿)  𝑑𝑡

𝐵 =𝐸

𝐿⋅ 𝐿

𝑅 𝑒

!

!  !    𝑅

𝐿⋅𝑑𝑡 =  

𝐸

𝑅𝑒 !

!!

𝑖⋅𝑒!!  ! =  𝐸

𝑅𝑒

! !!+𝐶

𝑖= (𝑒!  !!  !  )⋅(𝐸

𝑅𝑒

!

!!)+𝐶⋅(𝑒!  !!  !  )

Solución general

𝑖(𝑡)= 𝐸

𝑅+𝐶⋅𝑒

!!!  !  

Condición inicial: t0=0 ; i0=0; es decir i(0) =0

0 = 𝐸

𝑅+𝐶⋅𝑒!

!

!  !

0= 𝐸

𝑅+𝐶

𝐶= −𝐸 𝑅

Sustituyendo C Solución general

𝑖 𝑡 = 𝐸

𝑅− 𝐸 𝑅⋅𝑒!

!

!  !

Factorizando

𝑖 𝑡 =𝑅𝐸(1−𝑒!!!  !)

𝑙𝑖𝑚

!→! 𝑖(𝑡) =

𝐸

𝑅!𝑙𝑖𝑚→! 1−𝑒

!!!! = 𝐸

𝑅!→𝑙𝑖𝑚! 1−

1

𝑒!!! = 𝐸𝑅

Cuando 𝑡→ ∞

(3)

Calculando los valores y Tabla de resultados

E 5(12) = 60 V

L 0.5 h

R 250 ohm

Condición inicial Constante C

I(0)=0 A;

𝐶 =−𝐸

𝑅 = 6 25 Solución general

𝑖 𝑡 = 𝐸 𝑅−

𝐸 𝑅⋅𝑒

!!!  !

𝑖 𝑡 =𝐸

𝑅(1−𝑒! ! !  !)

𝑖= (6)

(25)(1−𝑒!  !""  !)

i t1=0.005 s

𝑖 𝑡 =𝐸

𝑅(1−𝑒 !!!  !)

𝑖= 60

250 1−𝑒!   !"#

!.!  !.!!"

𝑖 = (6)

(25)(1−𝑒!  !""  (!.!!")) 𝑖= 6

25 1−𝑒!  !""  !.!!" = 0.2203  𝐴

i tf =t→∞ ;

𝑖! = 𝐸 𝑅 =  

60 250=

6

25= 0.24  𝐴

i t2=0.99if

𝑖!= 0.99 𝐸

𝑅 = 0.99 60

250= 0.99 6

(4)

Ejercicio suplementario

Circuito RL; E =2(12) =24 V; L=0.5 h; R=50 ohm; i(0)=0 Determinar

a) A partir de la Ec. Dif, la solución general y la solución particular (C ) de i(t) b) La corriente i que fluye a través del circuito para el instante t=0.005 s c) La corriente i que fluye a través del circuito cuando t→∞ (igual a la i final) d) El tiempo que tarda la corriente i en alcanzar el 99.9% de la corriente final

Circuito en serie RC.

Se aplica una fuerza electromotriz E usando 5 baterías de 12 V cada una, si la capacitancia es de 0.005 farad y la resistencia R = 100 ohm. Si al inicio i(0)=0.2 amper

Considere que el proceso se apega a Ley de Ohm y a la 2ª. Ley de Kirchhoff dada por sus modelos:

(I) Segunda Ley de Kirchhoff: (fem, caída de voltaje) E = ER + EC + EL (II) Ley de Ohm: en función de la corriente (i) o de la carga (q)

𝐸! =𝑅∙𝑖 ; 𝐸! =  !!  ∙𝑞 ; 𝑖 =  !"!" ; 𝑞 = 𝑖  𝑑𝑡 ; 𝐸! = !!∙ 𝑖  𝑑𝑡 ; 𝐸! = 𝐿∙!"!"= 𝐿∙!!"!!!

Circuito R C:

𝐸 =  𝐸! +  𝐸! ; 𝐸 =  𝑅  𝑖+  !

!  𝑞 ; 𝐸 = 𝑅   !" !"+  

!

!  ∙𝑞

a) La ec. Dif. Y su solución general y particular como una función. i(t); q(t)

b) La carga q y la corriente i que fluye a través del circuito para un instante t=0.002. c) La carga q y la corriente i que fluye a través del circuito cuando t→∞;

d) El tiempo que tarda la carga q cuando q=0.99.9 % de la q final (t→∞;);

𝐸 =  𝐸!+  𝐸! 𝐸 =  𝑅  𝑖+  ! !  𝑞 𝐸 = 𝑅  𝑑𝑞𝑑𝑡 +  𝐶1  ∙𝑞

Ec. Diferencial general lineal. Importante no confundir la constante arbitraria c con la Caacitancia C

𝑑𝑦

𝑑𝑥+𝑃 𝑥  𝑦=𝑓(𝑥)

Algoritmo de solución

𝐴=  𝑒 ! ! !" ; 𝐵= 𝐴  𝑓(𝑥) ; 𝑦  𝐴= 𝐵+𝑐 ; 𝑦 =𝐵  𝐴!!+𝑐  𝐴!!

Cambiando: y = i; x = t, constantes: R, C, E

𝑅  𝑑𝑞𝑑𝑡+𝐶1𝑞 =𝐸 Conformado el modelo estandar

𝑑𝑞

𝑑𝑡+ 1

𝑅𝐶  𝑞= 𝐸 𝑅

Algoritmo de solucion

𝐴=  𝑒 ! !!" ; 𝐵 = 𝐴  𝑓(𝑡) ; 𝑞  𝐴 =𝐵+𝑐 ; 𝑞= 𝐵  𝐴!!+𝑐  𝐴!!

Donde

𝑃 𝑡 =   !

!" ; 𝑓 𝑡 = ! !

(5)

𝐵= 𝑒!"!  !  ⋅(𝐸 𝑅)  𝑑𝑡

𝐵= 𝐸 𝑅⋅

𝑅𝐶

1 𝑒

!

!"  !     1

𝑅𝐶⋅𝑑𝑡 =  𝐸𝐶⋅𝑒

! !"!

𝑞⋅𝑒!"!  ! =  𝐸𝐶⋅𝑒!"!!+𝑐

𝑞= (𝑒!  !"!  !  )⋅(𝐸𝐶  ⋅𝑒!"!!)+𝑐⋅(𝑒!  !"!  !  )

Solución general

𝑞 t = 𝐸𝐶+𝑐  𝑒!!"!  !  

𝑑

𝑑𝑡𝑞 𝑡 =

𝑑

𝑑𝑥 𝐸𝐶 +𝑐  

𝑑 𝑑𝑥 𝑒

!!"!  ! = 0+𝑐   𝑑

𝑑𝑥 𝑒

!!"!  ! =𝑐   𝑑

𝑑𝑥 𝑒 !!"!  !

𝑑

𝑑𝑡𝑞 𝑡 =−𝑐

1 𝑅𝐶   𝑒!

! !"  !

𝑖=  𝑑𝑞 𝑑𝑡

𝑖(𝑡)=−𝑐 1

𝑅𝐶   𝑒!

! !!  !

Condición inicial: t0=0 ; i0=0.2 A; es decir i(0) =0.2 A; R=100 Ohm; C=0.005 farad; E=5(12)= 60 v

𝑖(𝑡)= −𝑐 1

𝑅𝐶   𝑒

!!"!  (!)

𝑖(𝑡)= −𝑐 1 𝑅𝐶  

𝑐 = −0.2𝑅𝐶

𝑐 =−0.2  (100)(0.005)

𝑐 =−0.1

𝑞 t = (60)(0.005)+𝑐  𝑒!(!"")(!.! !!")  !  

𝑞 t = 0.3 −0.1  𝑒!!!  

(6)

𝑖(𝑡) =−𝑐 1 𝑅𝐶   𝑒

!!"!  !

𝑖 𝑡 =0.2𝑅𝐶 1 𝑅𝐶   𝑒

!!"!  !

𝑖 𝑡 =0.2   𝑒!  !"!  ! =0.2𝑒!!!

Para t=0.002 s

𝑖= 0.2   𝑒!    (!"")(!!.!!")  (!.!!") =0.1992  

𝑞 𝑡 =𝐸𝐶+𝑐  𝑒!!"!  !

𝑞 𝑡 =𝐸𝐶−0.2𝑅𝐶  𝑒!!"!  !

𝑞= 60 0.005 −0.2 100 0.005 𝑒!!"" !!.!!"  !.!!" = 0.2004

Factorizando

𝑞 𝑡 =𝐶(𝐸−0.2𝑅  𝑒!!"!  !)

Cuando 𝑡→ ∞

𝑙𝑖𝑚 !→! 𝑒

!!"!  ! =  𝑙𝑖𝑚 !→!(

1

𝑒!"!  !

)= 1 = 0

𝑞 𝑡 =𝐸𝐶

𝑞 𝑡 = (60)(0.005)

𝑞 𝑡 = 0.3  [𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏]

𝑖 𝑡 =−𝑐 1 𝑅𝐶   𝑒!

!

!"  ! = 0

tiempo que tarda para cuando q alcanza su 99.9 % de q final (cuando 𝑡 →∞)

𝑞!= 𝐸𝐶

𝐸𝐶 =0.999 𝐸𝐶 = 0.999 60 0.005 =0.2997

𝑞 𝑡 =𝐸𝐶−0.2𝑅𝐶  𝑒!!"!  !

𝑒!!"!  ! = 𝑞−𝐸𝐶 (−0.2)𝑅𝐶

(7)

𝑡

𝑅𝐶ln  (𝑒)= ln  (

𝑞−𝐸𝐶

−0.2 𝑅𝐶)

𝑡= (−RC)ln  ( 𝑞−𝐸𝐶

−0.2 𝑅𝐶)

𝑡 =−RC  ln  (0.999𝐸𝐶−𝐸𝐶 −0.2 𝑅𝐶 )

𝑡 =−RC  ln  (𝐸𝐶(0.999−1)

−0.2 𝑅𝐶 )

𝑡= −RC  ln  (𝐸(−0.001) −0.2 𝑅 )

𝑡= − 100 0.005 ln 60 −0.001

−0.2 100 =2.902

Calculando los valores y Tabla de resultados

E 5(12) = 60 V

C 0.005 h

R 100 ohm

Condición inicial Constante C

I(0)=0.2 A;

𝑐 =−0.2𝑅𝐶 =−0.1

Solución general 𝑖 𝑡 =0.2   𝑒!  !"!  !

𝑞 𝑡 = 𝐸𝐶−0.2𝑅𝐶  𝑒!!"!  !

q, i t1=0.002 s

𝑞 𝑡 = 𝐸𝐶−0.2𝑅𝐶  𝑒!!"!  ! 𝑞= 0.2004

𝑖 𝑡 =0.2   𝑒!  !"!  !

𝑖= 0.1992

i tf =t→∞ ;

𝑞 𝑡 =𝐸𝐶

𝑖 𝑡 = −𝑐 1

𝑅𝐶   𝑒! !

!"  ! = 0

q t2=0.99 qf

𝑞! =𝐸𝐶

𝑡= −RC  ln  (𝐸(−0.001)

(8)

Ejercicio suplementario

Circuito RC; E =10(12) =120 V; C=0.05 farad; R=500 ohm; i(0)=0.4 A Determinar

a) A partir de la Ec. Dif, la solución general y la solución particular (C ) de q(t) y i(t) b) La corriente i que fluye en el circuito y la carga q en el capacitor para t=0.05 s c) La corriente i y q del circuito cuando t→∞ (igual a la i final)

Figure

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