Introducción a la teoría de cuerdas

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(1)Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO. SI C. A. S. FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. B. IB. LI O. TE. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE FISICA. TESIS PRESENTADA EN OPCIÓN AL GRADO DE LICENCIADO EN CIENCIAS FÍSICAS. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CUERDAS AUTOR:. González Espinoza, Manuel Alberto. ASESOR:. Dr. Antonio Rivasplata Mendoza. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CUERDAS. 14/06/2012. B. IB. LI O. TE. Alumno: González Espinoza, Manuel Alberto. i Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) SI C. A. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. B. IB. LI O. TE. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. A mis padres.. ii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Índice General Pág. Resumen ..........................................................................................................1. SI C. A. S. 1. Introducción .....................................................................................................2 1.1. Fundamentación………………………………………………………………………………………….3 1.2. ¿Qué es la Teoría de Cuerdas? ..........................................................................3 1.3. Una breve historia de la teoría de cuerdas .......................................................5. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. 2. Coordenadas cono de luz ..................................................................................7 2.1. Relatividad especial..............................................................................................8 2.2. Transformaciones de Lorentz ...................................................................................... 12 2.3. Coordenadas Cono de Luz ....................................................................................15 2.4. Energía y momento cono de luz ............................................................................20. TE. 3. Cuerdas relativistas...........................................................................................22 3.1. Funcional de área para superficies espaciales............................................................. 23 3.2. Invariancia de la reparametrización del área .............................................................. 27 3.3. Funcional de área para superficies en el espacio-tiempo ........................................... 31 3.4. La acción de Nambu-Goto ........................................................................................... 36 3.5. Ecuaciones de movimiento, condiciones de contorno y D-branas.............................. 38 3.6. La estática de calibre ................................................................................................... 41 3.7. Tensión y energía de una cuerda extendida................................................................ 44 3.8. Acción en términos de la velocidad transversa ........................................................... 47 3.9. Movimiento para los extremos de las cuerdas abiertas.............................................. 51. LI O. 4. Resultados y Conclusiones ................................................................................53. B. IB. Bibliografía .......................................................................................................54. iii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) SI C. Resumen. A. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. El proyecto consiste en una revisión bibliográfica de la Teoría de cuerdas, comenzaremos una introducción histórica sobre el tema.. B. IB. LI O. TE. Luego se definirá una cuerda clásica y luego de presentar algunas definiciones de relatividad definiremos una cuerda relativista, por ultimo definiremos la acción de Nambu-Goto y se resolverá un problema usando Teoría de Cuerdas.. 1 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Capítulo 1:. B. IB. LI O. TE. Introducción. 2 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Fundamentación: Nos encontramos en una época propicia para hacer física teórica, la creación del Gran Acelerador de Hadrones (Large Hadron Collider – LHC) nos brinda la posibilidad de probar la veracidad de teorías de partículas elementales a muy altas energías (4 TeV).. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. Pero en Perú nos enfrentamos a la problemática de que la bibliografía es escaza y está en idiomas extranjeros, la idea de esta tesis es recopilar la mayor cantidad de información y presentarla de forma didáctica, sin utilizar lenguaje matemático complicado de manera que un estudiante de 5to ciclo la pueda entender y se vaya familiarizando con conceptos básicos de la física teórica, tales como relatividad, funcionales, estática de calibre, etc. Aprovechando el gran interés que despierta esta teoría en los físicos jóvenes, se les presenta con conceptos muy útiles para aquellos que decidan dedicarse a la física teórica en general, no necesariamente teoría de cuerdas.. 1.2¿Qué es la Teoría de Cuerdas?. Actualmente existen dos teorías que explican cómo funciona nuestro universo, por una parte tenemos a la mecánica cuántica y por la otra a la relatividad general. Estas dos teorías funcionan a la perfección cuando las tomamos por separado pero el problema ocurre cuando tratamos de unificarlas, los resultados obtenidos son incoherentes. Por su parte la mecánica cuántica (Modelo Estándar) explica correctamente a tres fuerzas fundamentales de la naturaleza:. TE. La fuerza electromagnética, que estudia todos los procesos que se relacionan con la electricidad (circuitos eléctricos, motores, el mismo cuerpo humano, etc.). También estudia a los imanes y propiedades. Y más importante la unificación de lo anterior, los campos electromagnéticos (ondas electromagnéticas).. . La fuerza nuclear fuerte, que es la encargada de mantener en el núcleo del átomo a los protones y neutrones. Obviamente los protones al tener el mismo signo deberían separarse pero es no ocurre gracias a la fuerza nuclear.. . La fuerza nuclear débil, sus efectos más conocidos son el decaimiento beta y la radioactividad. Ahora bien ¿Por qué débil? Si la comparamos con la fuerza nuclear fuertes es 1013 menor.. B. IB. LI O. . 3 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Pero hay un problema con el modelo estándar, no logra explicar la gravedad: La fuerza de gravedad, dice que dos cuerpos masivos se atraen mutuamente. En otras palabras es aquella que nos mantiene “con los pies sobre la tierra”. Gracias a esta fuerza existe el sistema solar, las estrellas, las galaxias y universo en sí.. S. . A. ¿Cuál es el problema?. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. Cuando incluimos los efectos cuánticos a la interacción gravitatoria en procesos de muy altas energías, del orden de la escala de Planck (presentes en el inicio del Universo a los 10-44 segundos, o equivalentemente 1017 veces más altas que las energías disponibles en aceleradores de partículas). Ahora bien, la física teoría actual se enfrenta a este problema de poder unificar las cuatro fuerzas fundamentales y poder explicar fenómenos tales como los agujeros negros o el Big Bang donde las teorías fundamentales deben ser usadas al mismo tiempo.. La Teoría de Cuerdas. TE. La idea fundamental de la teoría es muy simple, las partículas elementales (electrones, quark, etc.) en lugar de ser pensadas como puntuales se les considera como cuerdas vibrantes de energía y a cada partícula elemental se corresponde un modo de vibración. El tamaño de una cuerda es muy pequeño, mucho menor a las escalas medidas mediante por medio de algún experimento (10-17 m). Son aproximadamente del orden de la longitud de Planck (10-35 m) como es en los agujeros negros, o en el Origen del Universo.. B. IB. LI O. A pesar de la simplicidad de este argumento, el problema viene a la hora de expresarla matemáticamente. La matemática que se usa es muy complicada y ha traído como resultado conclusiones tan fuera de lo común, como que vivimos en 11 dimensiones y la posible existencia de universos paralelos, obviamente estos conceptos no han sido comprobados experimentalmente. Así como tampoco ha sido comprobada la existencia de la cuerda en sí, debido a que se necesitaría más energía de la generada experimentalmente en los aceleradores de partículas actuales.. 4 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 Una breve historia de la teoría de cuerdas. SI C. A. S. En el año 1968, Gabriele Veneziano, un físico teórico tenía enfocados sus esfuerzos en entender las propiedades de la fuerza nuclear fuerte, que habían sido observadas experimentalmente. Mientras hacia sus investigaciones en el CERN, se dio cuenta que una formula inventada dos siglos antes por el gran matemático Leonard Euler (la función beta) parecía coincidir con las propiedades de las partículas que interaccionan por medio de la fuerza nuclear fuerte.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Esta idea le sirvió como una poderosa herramienta matemática para poder explicar muchas de las características de la fuerza nuclear fuerte y puso en marcha una serie de investigaciones que trataban de utilizar la función beta de Euler, y sus respectivas generalizaciones, para explicar la relación que tenían la inmensa cantidad de datos que se tomaban de los diferentes aceleradores de partículas. Desafortunadamente para Veneziano esta teoría estaba incompleta. La fórmula de Euler funcionaba pero nadie sabía por qué. No fue hasta 1970 cuando las investigaciones de Yoichiro Nambu, HolgerNielsen, y Leonard Susskind. Estos físicos demostraron que, si se construía un modelo en donde las partículas son pequeñas cuerdas vibrantes unidimensionales, la interacción nuclear fuerte se podía describir con toda exactitud utilizando la función beta de Euler. Lo que se pensó, es que si las cuerdas eran suficientemente pequeñas podían ser considerados como partículas puntuales y, por lo tanto tenían relación con las observaciones experimentales.. B. IB. LI O. TE. A pesar de que esta teoría era sencilla y satisfactoria, no se tardó mucho tiempo en llegar a la demostración de que la idea, que la fuerza nuclear fuerte funcionaba mediante cuerdas fallaba. A inicios de los 70, unos experimentos de altas energías demostraron que el modelo de cuerdas predecía ciertos fenómenos, que contradecían a los experimentos. Por otra parte, se estaba desarrollando la teoría cuántica de campos aplicada a la cromodinamica cuántica, y su tremendo éxito a la hora de demostrar la fuerza nuclear fuerte, hizo que se dejara de lado la teoría de cuerdas. Casi ningún físico serio continuo con las investigaciones en este campo. Entre los pocos científicos se encontraba Schwarz, que dijo, “la estructura matemática de la teoría de cuerdas era tan bella y tenía tantas propiedades milagrosas que tenía que apuntar hacia algo profundo.” El problema con esta teoría era que a pesar de que las cuerdas vibrantes tienen propiedades semejantes a la de los gluones (por eso se utilizó en fuerza nuclear fuerte), poseía ciertas partículas mensajeras que no fueron detectadas a la hora de comparar con los datos de la fuerza nuclear fuerte. Fue en 1974, que Schwarz y JoëlScherk afirmaron luego de estudiar con detalle a estas. 5 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. misteriosas partículas mensajeras que sus propiedades coincidían a la perfección con la tan esquiva partícula mensajera de la fuerza gravitatoria: el graviton.. SI C. A. S. Estas partículas mensajeras de la fuerza de la gravedad, nunca han sido observadas pero los físicos teóricos han predicho las características básicas que deben tener, además Scherk y Schwarz descubrieron que estas propiedades encajan con ciertos modelos vibratorios. Con esto en mente, Scherk y Schwarz sugirieron que la teoría de cuerdas había fallado en su primer intento por que se la estaba limitando mucho, ya que no solamente incluía a la fuerza nuclear fuerte sino también a la gravedad.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Lamentablemente la comunidad científica no recibió esta propuesta con entusiasmo. Ya que se habían hecho muchos intentos para unificar todas las fuerzas y todos estos intentos habían fallado. Además entre los años 70 y 80 se demostró, que la teoría de cuerdas y la mecánica cuántica tenían algunos pequeños conflictos. No fue esta 1984. En una publicación contundente, después de 12 años de críticas, los físicos Green y Schwarz demostraron que los problemas de la teoría de cuerdas con respecto a la mecánica cuántica se podían resolver. Además que esta teoría era capaz de unificar las 4 fuerzas fundamentales de la naturaleza. Desde ese momento muchos físicos se embarcaron esta gran aventura conocida como Teoría de Cuerdas. Variantes de la teoría. Se hizo mucha investigación en este campo y se encontró 5 variantes para esta teoría que después fueron unificadas, con la genialidad Edward Witten en una sola teoría conocida como la Teoria M. Las versiones de la teoría actualmente existentes:. B. IB. LI O. . La teoría tipo I, donde aparecen tanto "cuerdas" y D-branas abiertas como cerradas, que se mueven sobre un espacio-tiempo de 10 dimensiones. Las Dbranas tienen 1, 5 y 9 dimensiones espaciales. La teoría tipo IIA, es también una teoría de 10 dimensiones pero que emplea sólo cuerdas y D-branas cerradas. Incorpora dos gravitines (partículas teóricas asociadas al gravitón mediante relaciones de supersimetría). Usa D-branas de dimensión 0, 2, 4, 6, y 8. La teoría tipo IIB. La teoría heterótica-O, basada en el grupo de simetría O(32). La teoría heterótica-E, basada en el grupo de Lie excepcional E8. Fue propuesta en 1987 por Gross, Harvey, Martinec y Rohm.. TE. .   . En la teoría M intervienen como objetos animados físicos fundamentales no sólo cuerdas unidimensionales, sino toda una variedad de objetos no perturbativos, extendidos en varias dimensiones, que se llaman colectivamente p-branas (este nombre es un apócope de "membrana"). 6 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Capítulo 2:. B. IB. LI O. TE. Coordenadas Cono de Luz. 7 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.1 Relatividad especial Relatividad especial está basada en el hecho experimental que la velocidad de la luz (c≈3x108 m/s) es la misma para todos los observadores inerciales. Este hecho nos conduce a unas sorprendentes conclusiones. La idea de Newton acerca de la naturaleza absoluta del tiempo, el concepto de simultaneidad, y otras ideas familiares deben ser revisadas.. SI C. A. S. Comparando las coordenadas de los eventos, dos observadores inerciales, de aquí en adelante observadores Lorentz, encuentran que las trasformaciones de coordenadas necesarias mezclan el espacio y el tiempo.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. En relatividad especial, eventos se representan por los valores de cuatro coordenadas: una coordenada del tiempo t, y tres coordenadas espaciales x, y, z. Es conveniente agruparlos de forma vectorial (ct, x, y, z), donde la coordenada del tiempo esta multiplicado por la velocidad de la luz de manera que todas las coordenadas tienen unidades de longitud. Para hacer la notación más uniforme, usamos índices para renombrar las coordenadas del espacio y tiempo, es decir como sigue: ‫ݔ‬ఓ = (‫ݔ‬଴, ‫ݔ‬ଵ, ‫ݔ‬ଶ, ‫ݔ‬ଷ) = (ܿ‫ݐ‬, ‫ݔ‬, ‫ݕ‬, ‫)ݖ‬. (2.1.1). Donde el superíndice µ toma los valores 0, 1,2 y 3.. Consideremos un sistema de referencia de Lorentz S en el cual dos eventos están representados por coordenadas xµ y xµ +Δxµ, respectivamente. Consideremos ahora otra sistema de referencia de Lorentz S’, donde los mismos eventos están descritos por coordenadas x’µ y x’µ +Δx’µ, respectivamente. En general, no solamente las coordenadas xµ y x’µ son diferentes, sino también las coordenadas Δxµ y Δx’µ son diferentes. Pero por otra parte ambos observadores coinciden en el valor del intervalo invariante Δs2. Este intervalo es definido por: (2.1.2). TE. −∆‫ݏ‬ଶ ≡ −(∆‫ݔ‬଴)ଶ + (∆‫ݔ‬ଵ)ଶ + (∆‫ݔ‬ଶ)ଶ + (∆‫ݔ‬ଷ)ଶ. B. IB. LI O. Note el signo menos enfrente de (∆‫ݔ‬଴)ଶ , contrario al signo mas que aparece antes de diferencias espaciales (∆‫ݔ‬௜)ଶ (i=1,2,3). Esto refleja la diferencia básica entre coordenadas de espacio y tiempo. La concordancia en los valores de los intervalos esta expresada por:. −(∆‫ݔ‬଴)ଶ + (∆‫ݔ‬ଵ)ଶ + (∆‫ݔ‬ଶ)ଶ + (∆‫ݔ‬ଷ)ଶ = −(∆‫ݔ‬ᇱ଴)ଶ + (∆‫ݔ‬ᇱଵ)ଶ + (∆‫ݔ‬ᇱଶ)ଶ + (∆‫ݔ‬ᇱଷ)ଶ. (2.1.3). O, de forma corta ∆‫ݏ‬ଶ = ∆‫ݏ‬ᇱଶ. (2.1.4). 8 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Clasificación del intervalo Dado que tenemos una diferencia de signo entre la parte temporal y espacial en el intervalo está claro que el intervalo podrá ser negativo, nulo o positivo. Le vamos a poner nombre a cada caso: ∆‫ݏ‬ଶ>0 lo que implica (∆‫ݔ‬଴)ଶ > (∆‫ݔ‬ଵ)ଶ + (∆‫ݔ‬ଶ)ଶ + (∆‫ݔ‬ଷ)ଶ. A este tipo de intervalo lo llamaremos tipo tiempo o intervalo temporal. Dos sucesos unidos por una línea de mundo (trayectoria en el espacio tiempo) de una partícula moviéndose a velocidades menores que la de la luz tienen intervalos de tipo tiempo. Estas líneas de universo (trayectorias en 4 dimensiones) siempre están contenidas dentro del cono de luz asociado al observador. ∆‫ݏ‬ଶ = 0A esto lo llamamos intervalo tipo nulo o intervalo nulo. Este tipo de intervalo identifica a las partículas que se mueven a la velocidad de la luz y que conforman el cono de luz.. . C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. . SI C. A. S. . ∆‫ݏ‬ଶ<0 este intervalo se llama de tipo espacial o intervalo espacial. Si dos sucesos están separados por un intervalo espacial significa que están causalmente desconectados, no hay forma de enviar información entre ellos porque para eso la velocidad de las partículas conectando estos sucesos deberían de superar la velocidad de la luz. Aquí estamos considerando transmisión de partículas con masa en reposo real positiva o nula.. Sólo para sucesos separados por un intervalo temporal se puede escribir: ∆‫ݏ∆√ =ݏ‬ଶ. Muchas veces es muy útil considerar eventos que son infinitamente cercanos. Tales pequeñas diferencias en las coordenadas son necesarias para definir velocidades, y son muy útiles en relatividad general. Estas coordenadas diferenciales son escritas como dxµ, y estas asociadas con el intervalo invariante ds2. De la ecuación (2.1.2) tenemos: −݀‫ݏ‬ଶ ≡ −(݀‫ݔ‬଴)ଶ + (݀‫ݔ‬ଵ)ଶ + (݀‫ݔ‬ଶ)ଶ + (݀‫ݔ‬ଷ)ଶ. (2.1.5). LI O. TE. O de manera equivalente:. Índices arriba, índices abajo. ݀‫ݏ‬ଶ = ݀‫ݏ‬ᇱଶ. (2.1.6). B. IB. Uno puede definir los 4-vectores con índices arriba (como hemos hecho hasta ahora) o con los índices abajo. No entraremos por ahora en las sutilidades de esto que las hay y son muy interesantes desde el punto de vista matemático. Por ahora nos interesa mostrar que dado un objeto con índices arriba se puede convertir en un objeto con índices abajo y viceversa con la participación de la métrica. Todo esto será claro en lo que sigue. Definamos el objeto ݀‫ݔ‬ఓ = (݀‫ݔ‬଴, ݀‫ݔ‬ଵ, ݀‫ݔ‬ଶ, ݀‫ݔ‬ଷ) donde tendremos la siguiente relación con las componentes del objeto con los índices arriba: ݀‫ݔ‬଴ ≡ −݀‫ݔ‬଴, ݀‫ݔ‬ଵ ≡ ݀‫ݔ‬ଵ , ݀‫ݔ‬ଶ ≡ ݀‫ݔ‬ଶ ,݀‫ݔ‬ଷ ≡ ݀‫ݔ‬ଷ. (2.1.7). 9 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Por lo tanto, (2.1.8). −݀‫ݏ‬ଶ = −(݀‫ݔ‬଴)ଶ + (݀‫ݔ‬ଵ)ଶ + (݀‫ݔ‬ଶ)ଶ + (݀‫ݔ‬ଷ)ଶ. (2.1.9). A. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. −݀‫ݏ‬ଶ = −(݀‫ݔ‬଴)ଶ + (݀‫ݔ‬ଵ)ଶ + (݀‫ݔ‬ଶ)ଶ + (݀‫ݔ‬ଷ)ଶ. SI C. Antes hemos visto como expresar−݀‫ݏ‬ଶ:. S. ݀‫ݔ‬ఓ = (݀‫ݔ‬଴, ݀‫ݔ‬ଵ, ݀‫ݔ‬ଶ, ݀‫ݔ‬ଷ) = (−݀‫ݔ‬଴, ݀‫ݔ‬ଵ, ݀‫ݔ‬ଶ, ݀‫ݔ‬ଷ). (2.1.10). Esto se puede reescribir como:. −݀‫ݏ‬ଶ = ݀‫ݔ‬଴݀‫ݔ‬଴ + ݀‫ݔ‬ଵ݀‫ݔ‬ଵ + ݀‫ݔ‬ଶ݀‫ݔ‬ଶ + ݀‫ݔ‬ଷ݀‫ݔ‬ଷ. (2.1.11). Podemos abreviar esto con la siguiente notación:. O también:. −݀‫ݏ‬ଶ = ∑ଷఓୀ଴ ݀‫ݔ‬ఓ ݀‫ݔ‬ఓ. (2.1.12). −݀‫ݏ‬ଶ = ݀‫ݔ‬ఓ ݀‫ݔ‬ఓ. (2.1.13). ݀‫ݔ‬ఓ ݀‫ݔ‬ఓ = ݀‫ݔ‬௩݀‫ݔ‬௩. (2.1.14). TE. En la última parte de las igualdades mostradas hemos empleado el convenio de suma de Einstein. Este convenio nos dice que cuando tenemos un objeto con dos índices iguales, uno arriba y otro abajo, hemos de sumar cada producto de cada componente. A estos índices repetidos arriba y abajo e iguales lo llamamos índices mudos y siempre podemos renombrarlos:. LI O. La métrica de Minkowski. B. IB. Hemos de reconocer inmediatamente que la expresión ݀‫ݔ‬ఓ ݀‫ݔ‬ఓ (con el convenio de suma de Einstein) da como resultado la suma de la multiplicación de cada componente (en caso de ser el mismo 4-vector, la suma de los cuadrados de cada componente). Esto es esencialmente un producto escalar. Cuando es posible hacer esto tenemos entre manos un espacio que dispone de una métrica. El intervalo se puede expresar como: −݀‫ݏ‬ଶ = ߟఓ௩݀‫ݔ‬ఓ ݀‫ݔ‬௩. (2.1.15). dondeߟఓ௩es la conocida como métrica de Minkowski. (Aquí tenemos dos índices iguales y repetidos, así que hemos de emplear el convenio de Einstein). Este objeto es el que nos permite medir distancias, ángulos, áreas, etc, en el espacio-tiempo. 10 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Propiedades de la métrica: 1.- La propiedad fundamental de la métrica es que es un objeto simétrico, es decir, si intercambiamos sus índices el objeto permanece igual: (2.1.16). ߟఓ௩ = ߟ௩ఓ. (2.1.17). SI C. A. −݀‫ݏ‬ଶ = ߟ଴଴݀‫ݔ‬଴݀‫ݔ‬଴ + ߟ଴଴݀‫ݔ‬଴݀‫ݔ‬଴ + ߟ଴ଵ݀‫ݔ‬଴݀‫ݔ‬ଵ + ߟଵ଴݀‫ݔ‬ଵ݀‫ݔ‬଴ + ߟଵଵ݀‫ݔ‬ଵ݀‫ݔ‬ଵ + ⋯. S. 2.- Comparemos con el resultado del intervalo:. Eso quiere decir que los elementos diagonales (los dos índices iguales) son: -1 para la componente (00), y 1 para las componentes (11), (22), (33).. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. En forma matricial la métrica se puede expresar: −1 ߟఓ௩ = ቌ 0 0 0. 0 1 0 0. 0 0 1 0. 0 0ቍ 0 1. (2.1.18). 3.- La métrica es el objeto que nos ayuda a subir y bajar índices. Es fácil ver que si multiplicamos matricialmente la métrica por un vector (en forma de columna) el resultado es lo que hemos definido como el “vector” con índice abajo. En general tendremos que:. Y en nuestro caso ݀‫ݔ‬ఓ = ߟఓ௩݀‫ݔ‬௩.. ܾఓ = ߟఓ௩ܾ௩. (2.1.19). Así el producto escalar entre dos 4-vectores a.b se puede escribir como:. (2.1.20). TE. ܽ. ܾ = ܽఓ ܾఓ = ߟఓ௩ܽఓ ܾ௩ = −ܽ଴ܾ଴ + ܽଵܾଵ + ܽଶܾଶ + ܽଷܾଷ. B. IB. LI O. 4.- Por último la métrica es invertible (es fácil comprobar que su determinante es distinto de cero. Así definiremos la métrica inversa (con los índices arriba): −1 ߟఓ௩ = ቌ 0 0 0. De forma que es fácil comprobar que:. ௩ఘ. ߟ ߟఘఓ. 0 1 0 0. 0 0 1 0. 0 0ቍ 0 1. −1 =ቌ 0 0 0. 0 1 0 0. 0 0 1 0. (2.1.21). 0 0ቍ = ߜ௩ ఓ 0 1. (2.1.22). en este caso la delta es la delta de Kronecker que toma un valor igual a 1 cuando ambos índices toman el mismo valor, y un valor cero en caso contrario como es fácilmente deducible de la expresión anterior. 11 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Transformaciones de Lorentz Estas son las herramientas que nos permiten comparar las medidas y coordenadas efectuadas entre distintos sistemas de referencia inerciales. En esta parte nos vamos a restringir al caso más simple aunque no supone ninguna pérdida de generalidad.. S. 1.- Tenemos un sistema de referencia S en el que estamos nosotros, por lo tanto está en reposo relativo respecto a nosotros mismos. (Figura 2.1). C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. 2.- Ahora vemos otro sistema de referencia S’ que se mueve a lo largo del semieje positivo en la dirección x del sistema S (el nuestro) con velocidad constante .(figura 2.1). Figura 2.1: Izquierda: un sistema de referencia en el que estamos nosotros (S). Derecha: un sistema de referencia S’ con una velocidad constante v y nuestro sistema de referencia.. 3.- Todos los ejes de coordenadas son paralelos entre ambos sistemas y cuando los orígenes coincidieron se sincronizaron los relojes ‫ݐ‬ൌ ‫ݐ‬ᇱ = 0.. TE. Se dice entonces que al sistema S’ se le asigna un parámetro de velocidad ߚ ൌ ‫ݒ‬Ȁܿ(desde el sistema S, notemos que si le preguntamos a S’ lo vería todo igual pero con nuestra velocidad en sentido contrario).. B. IB. LI O. La transformación de Lorentz que conecta a estos dos sistemas es: ‫ݔ‬ᇱ ൌ ߛሺ‫ ݔ‬െ ߚܿ‫ݐ‬ሻ. ܿ‫ݐ‬ᇱ ൌ ߛሺܿ‫ݐ‬െ ߚ‫ݔ‬ሻ. (2.2.1). ‫ݕ‬ᇱ ൌ ‫ݕ‬. El factor se denomina factor de Lorentz:. ‫ݖ‬ᇱ ൌ ‫ݖ‬. ଵ. ඥଵିఉ మ. ଵ. మ ට ଵି ೡమ ೎. (2.2.2). 12. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Si empleamos la notación con índices (‫ݔ‬଴ǡ‫ݔ‬ଵǡ ‫ݔ‬ଶǡ ‫ݔ‬ଷ) ൌ ሺܿ‫ݐ‬ǡ‫ݔ‬ǡ‫ݕ‬ǡ‫ݖ‬ሻ ‫ݔ‬Ԣ଴ ൌ ߛሺ‫ݔ‬଴ െ ߚ‫ݔ‬ଵ). ‫ݔ‬Ԣଵ ൌ ߛሺെߚ‫ݔ‬଴ ൅ ‫ݔ‬ଵ). (2.2.3). ‫ݔ‬Ԣଶ ൌ ‫ݔ‬ଶ. SI C. Por lo que hemos visto, el intervalo ha de ser invariante relativista:. A. S. ‫ݔ‬Ԣଷ ൌ ‫ݔ‬ଷ. (‫ݔ‬଴)ଶ − (‫ݔ‬ଵ)ଶ − (‫ݔ‬ଶ)ଶ − (‫ݔ‬ଷ)ଶ = (‫ݔ‬Ԣ଴)ଶ − (‫ݔ‬Ԣଵ)ଶ − (‫ݔ‬Ԣଶ)ଶ − (‫ݔ‬Ԣଷ)ଶ. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Invariancia Lorentz del intervalo relativista. (2.2.4). Siendo un poco más formales podemos decir:. Las transformaciones de Lorentz son las transformaciones lineales entre las coordenadas que mantienen el intervalo relativista invariante. Introduzcamos un poco de notación:. Las transformaciones entre coordenadas entre los sistemas S y S’ se pueden escribir de este modo:. TE. En forma matricial:. IB. LI O. Calculemos. :. ‫ݔ‬Ԣఓ = Lఓ௩ ‫ݔ‬௩. ߛ െߛߚ 0 െߛߚ ߛ 0 = Lఓ ௩൮ 0 0 1 0 0 0. 0 0൲ 0 1. (2.2.5). (2.2.6). ݀‫ݏ‬Ԣଶ = hఓ௩‫ݔ‬Ԣఓ ‫ݔ‬Ԣ௩. (2.2.7). B. Ahora le preguntamos a S como ve este cálculo:. ݀‫ݏ‬Ԣଶ = hఓ௩‫ݔ‬Ԣఓ ‫ݔ‬Ԣ௩ = hఓ௩(Lఓఈ ‫ݔ‬ఈ )൫Lఉ௩ ‫ݔ‬ఉ ൯= hఓ௩Lఓఈ Lఉ௩ ‫ݔ‬ఈ ‫ݔ‬ఉ (2.2.8). S por su parte calcularía el intervalo entre dos sucesos como: ݀‫ݏ‬ଶ = hఈఉ ‫ݔ‬ఈ ‫ݔ‬ఉ. (2.2.9). Comparando ambas expresiones, y dado que el intervalo es invariante: 13 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. hఓ௩Lఓఈ Lఉ௩ = hఈఉ. (2.2.10). Lo que nos indica es que la métrica es un elemento invariante, todo observador inercial ve la misma métrica en el espaciotiempo. Además vemos otra característica aquí, uno ha de introducir una transformación de Lorentz por cada índice que tenga un objeto. Pondremos un factorL para un vector ‫ݔ‬ఓ y para la métrica hఓ௩necesitamos dos factores .. A. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. L் hL = h. (2.2.11). SI C. Y en notación matricial:. Lఓఈ hఓ௩Lఉ௩ = hఈఉ. S. Esta expresión se puede escribir como:. (2.2.12). DondeL்indica que hemos usado la matriz traspuesta de la transformación. Recordemos que la traspuesta de una matriz es cambiar filas por columnas. Y por último calculemos el determinante de una matriz de transformación Lorentz usando la expresión anterior. det( L் hL ) = det( h ). (2.2.13). El determinante de un producto de matrices es el producto de determinantes: det( L் ) det( h ) det( L ) = det( h ). (2.2.14). det( L் ) det( L ) = 1. (2.2.15). det( L )ଶ = 1. (2.2.16). Simplificando el determinante de la métrica (que sabemos que da -1):. LI O. TE. Dado que el determinante de una matriz y de su transpuesta es el mismo:. Por lo tanto: ݀݁‫ݐ‬L = ±1. B. IB. Dado que el determinante de una matriz de transformación Lorentz nunca es nulo, las matrices son invertibles (como tiene que ser porque eso significa que S tiene que ver a S’ y poder calcular sus medidas y viceversa, S’ puede convertir las medidas y/o coordenadas de S en las suyas propias, implicando eso transformaciones de Lorentz inversas).. 14 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.3 Coordenadas Cono de Luz. SI C. A. S. Ahora discutiremos un sistema de coordenadas que será muy útil en nuestro estudio de la Teoría de Cuerdas. Este es el sistema de coordenadas cono de luz. La cuantización de la cuerda relativista puede ser trabajada más directamente usando coordenadas cono de luz. Esta es la forma en que nosotros cuantizaremos en este trabajo, así que ahora es un buen momento para introducir algunas de las características de las coordenadas cono de luz. Hay otra forma de cuantizar la cuerda relativista donde ninguna coordenada especial es usada. Este método, llamado Cuantizacioncovariante de Lorentz, es muy elegante, pero una discusión correcta requeriría desarrollar una base muy amplia.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Definiremos dos coordenadas cono de luz x+ y x- como combinaciones linealmente independientes de la coordenada temporal y una coordenada espacial, generalmente tomamos x1. Es decir:. (2.3.1). B. IB. LI O. TE. Las coordenadas x2 y x3 no toman parte en esta definición. En el sistema de coordenadas cono de luz, (‫ݔ‬଴ǡ‫ݔ‬ଵ) son cambiadas por (‫ݔ‬ା ǡ‫) ିݔ‬, pero mantenemos las otras dos coordenadas (‫ݔ‬ଶǡ‫ݔ‬ଷ). Por lo tanto, las coordenadas cono de luz completas son (‫ݔ‬ା ǡ‫ ିݔ‬ǡ‫ݔ‬ଶǡ‫ݔ‬ଷ). Las nuevas coordenadas x+ y x- son llamadas coordenadas cono de luz por que los ejes de coordenada asociados son las líneas de universo (trayectoria en cuatro dimensiones) para rayos de luz emitidos desde el origen a lo largo del eje x1. Para un rayo de luz recorriendo x1 en la dirección positiva, tenemos x1=ct= x0, y por lo tanto x-=0. La línea x-=0 es, por definición, el eje x+ (Figura 2.2). Para un rayo de luz recorriendo x1 en la dirección negativa, tenemos x1=-ct=x0, por lo tanto x+=0. Esto corresponde al eje x-. Los ejes ‫ݔ‬± con líneas con 45º con respecto a los ejes ‫ݔ‬଴ǡ‫ݔ‬ଵ. ¿Podemos pensar que x+, o quizás x-, es la nueva coordenada temporal? Si. De hecho, ambas tienen igual derecho a ser llamadas coordenada temporal, aunque ni una ni otra es una coordenada temporal en el sentido estándar de la palabra.. 15 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) 1. 0. SI C. A. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Figura 2.2: Un diagrama del espacio-tiempo con x y x representados como ejes ortogonales. También se muestran las coordenadas cono de luz ‫ݔ‬± = 0. Las curvas con flechas son las posibles líneas de universo de las partículas.. El tiempo en las coordenadas cono de luz es diferente al tiempo ordinario. Quizás la propiedad más familiar del tiempo es que avanza cuando hay un movimiento físico de una partícula. El movimiento físico que comienza en el origen es representado en la Figura 2.2 como curvas que se mantienen en el cono de luz y cuyas pendientes jamás bajan de 45º. Para todas estas curvas, cuando seguimos las flechas, x+ y x- aumentan. ¡La única dificultad es que para rayos de luz especiales el tiempo en las coordenadas cono de luz se detendrá! Como vimos antes, para rayos de luz en la dirección negativa de x1, x+ permanece constante, mientras que para un rayo de luz en la dirección positiva de x1, x- permanece constante. Por definición, tomaremos x+ como el tiempo en las coordenadas cono de luz. De acuerdo con esto, x- será una coordenada espacial. Por supuesto, este tiempo - cono de luz y coordenadas espaciales serán un poco extrañas.. LI O. TE. Tomando los diferenciales de (2.3.1) encontramos que:. ʹ݀‫ݔ‬ା ݀‫ݔ݀( = ିݔ‬଴ ൅ ݀‫ݔ‬ଵ)(݀‫ݔ‬଴ െ ݀‫ݔ‬ଵ) ൌ ሺ݀‫ݔ‬଴)ଶ െ ሺ݀‫ݔ‬ଵ)ଶ. (2.3.2). B. IB. Del intervalo invariante (2.1.5), expresado en términos de las coordenadas cono de luz (2.3.1), toma la forma: െ݀‫ݏ‬ଶ ൌ െʹ݀‫ݔ‬ା ݀‫ ିݔ‬൅ ሺ݀‫ݔ‬ଶ)ଶ ൅ ሺ݀‫ݔ‬ଷ)ଶ. (2.3.3). La simetría en las definiciones de x+ y x- es evidente aquí. Nótese que dado ds2, resolviendo para dx+ o para dx- no necesitamos tomar la raíz cuadrada. ¿Cómo representamos (2.3.3) con notación índice? Aun necesitamos correr los índices sobre 4 valores, pero esta vez los valores se llamaran: {+, −, 2 , 3}. (2.3.4). 16 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Justo como hicimos en (2.1.15), tenemos െ݀‫ݏ‬ଶ ൌ ߟƸఓ௩݀‫ݔ‬ఓ ݀‫ݔ‬௩. (2.3.5). Donde hemos introducido la métrica del cono de luz ߟƸ, también definida para ser simétrica bajo el intercambio de índices. Expandiendo esta ecuación y comparando con (2.3.3), encontramos:. A. S. (2.3.6). SI C. ߟƸାି ൌ ߟƸିା ൌ െͳߟƸାା ൌ ߟƸିି = 0. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. En el (+,-) subespacio, la diagonal de los elementos de la métrica del cono de luz desaparecen. También encontramos que ߟƸno acopla el subespacio (+,-) al subespacio (2,3) ߟƸାூ ൌ ߟƸିூ ൌ Ͳǡ‫ܫ‬ൌ ʹǡ͵. (2.3.7). La matriz de representación de la métrica – cono luz es. 0 −1 0 0 −1 0 0 0ቍ ߟƸఓ௩ ൌ ቌ 0 0 1 0 0 0 0 1. (2.3.8). Para cualquier vector aµ, sus componentes de cono de luz están definidos en analogía con (2.3.1). Tenemos:. (2.3.9). LI O. TE. El producto escalar entre vectores mostrado en (2.1.20) puede ser escrito usando coordenadas de cono de luz. Esta vez tenemos: ܽǤܾ ൌ െܽି ܾା െ ܽା ܾି ൅ ܽଶܾଶ ൅ ܽଷܾଷ ൌ ߟƸఓ௩ܽఓ ܾ௩. (2.3.10). െܽି ܾା െ ܽା ܾି ൌ െܽ଴ܾ଴ ൅ ܽଵܾଵ. (2.3.11). ܽǤܾ ൌ ܽା ܾା ൅ ܽି ܾି ൅ ܽଶܾଶ ൅ ܽଷܾଷ. (2.3.12). B. IB. La ultima igualdad viene de sumar sobre los índices repetidos y usando (2.3.8). La primera igualdad necesita un pequeño cálculo. De hecho es suficiente comprobar que:. Esto se hace rápidamente usando (2.3.9) y de manera análoga para ܾ± . También introducimos índices abajo (de cono de luz). Consideremos ܽǤܾ ൌ ܽఓ ܾఓ , y expandimos la suma sobre el índice µ usando las coordenadas de cono de luz:. Comparando con (2.3.10) tenemos que:. ܽା ൌ െܽି , ܽି ൌ െܽା. (2.3.13) 17. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. En cualquier marco de referencia de Lorentz cuando bajamos o subimos el índice 0 obtenemos un signo extra. En coordenadas cono de luz los índices cambian, y obtenemos un signo extra. Desde que la física descrita usando coordenadas cono de luz parece inusual, debemos desarrollarla de forma intuitiva. Para hacer esto consideraremos un ejemplo donde los cálculos son simple pero los resultados sorprendentes.. ‫ݔ‬ଵ(‫ )ݐ‬ൌ ‫ݐݒ‬ൌ ߚ‫ݔ‬଴ǡ‫ݔ‬ଶ(‫ )ݐ‬ൌ ‫ݔ‬ଷ(‫ = )ݐ‬0. SI C. A. S. Consideremos una partícula moviéndose en el eje x1 con parámetro de velocidad β=v/c. Cuando t=0, las posiciones de x1,x2 y x3 son cero. Luego tenemos el movimiento representado cuando las posiciones están expresadas en función de tiempo: (2.3.14). C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. ¿Qué pasa en coordenadas cono de luz? Desde que x+ es tiempo y x2=x3=0, debemos expresar simplemente x- en términos de x+. Usando (2.3.14), tenemos. (2.3.15). Y como resultado,. (2.3.16). Desde que esto relaciona posición – cono de luz y tiempo –cono de luz, tenemos la razón entre. (2.3.17). B. IB. LI O. TE. como velocidad – cono de luz. ¿Cuán extraña es esta velocidad – cono de luz? Para luz moviéndose hacia la derecha, β=1, esta velocidad es igual a cero. En realidad, luz moviéndose hacia la derecha tiene velocidad – cono de luz igual a 0 por que x- no cambia. Esto se muestra cono línea 1 en Figura 2.3. Supongamos que tenemos una partícula moviéndose hacia la derecha con una velocidad convencional muy alta, es decir β es cercano a uno (línea 2 en la figura). Su velocidad - cono de luz es entonces muy pequeña. Un tiempo – cono de luz muy largo debe pasar para que esta partícula se mueva un poco en la dirección x-. Quizás más interesante, una partícula estática en coordenadas estándar (línea 3) se está moviendo rápido en coordenadas de cono de luz. Si β=0, tenemos una unidad de velocidad cono de luz. Esta velocidad cono de luz incrementa cuando β aumenta negativamente: el numerador en (2.3.17) es más grande que uno y se incrementa, mientras el denominador es más pequeño que uno y disminuye. Cuando β -1 (línea 5), la velocidad cono de luz se vuelve infinita. Mientras esto parece extraño, porque no hay nada parecido en relatividad estándar. Simplemente las velocidades cono de luz son inusuales. El cono de luz es un sistema de referencia donde la cinemática solo tiene parte relativista y las velocidades infinitas son posibles.. 18 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) SI C. A. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. B. IB. LI O. TE. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Figura 3: Líneas universo de partículas con varias velocidades cono de luz. La partícula 1 tiene velocidad cono de luz igual a 0. Las velocidades incrementan hasta la velocidad de la partícula 5, que es infinita.. 19 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.4 Energía y momento cono de luz. S. Los componentes cono de luz p+ y p- del cuadrivector momento son obtenidos usando la regla (2.3.9):. A. (2.4.1). C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. ¿Qué componente debe ser relacionado con la energía cono de luz? Una respuesta podría ser p+. Exactamente como el tiempo, en cualquier sistema de referencia de Lorentz, energía es la primera componente del cuadrivector momento. Por lo tanto como el tiempo - cono de luz es x+, podemos concluir que la energía cono de luz deber ser tomada como p+. Sin embargo esto es incorrecto. Como el sistema de referencia cono de luz no es Lorentz, debemos ser cuidados y examinar esta pregunta en detalle. Ambos ‫݌‬± podrían ser la energía desde que ambos son positivos para partículas físicas. En realidad, de (2.4.1), y con m≠0, tenemos. Como resultado. (2.4.2). , y por lo tanto ‫݌‬± > 0. Mientras que ambos son posibles. candidatos para la energía, la elección seria por un motivo físico. ఓ Para entender esto primero evaluemos ‫݌‬ఓ ‫ ݌‬, un valor que entrara en nuestro argumento físico. En coordenadas estándar, (2.4.3). TE. Y en coordenadas cono de luz, usando (2.3.10) tenemos:. (2.4.4). LI O. Y en coordenadas estándar aparece junto con el tiempo x0. En coordenadas cono de luz p+ aparece junto con el tiempo – cono de luz x+. Por lo tanto esperaríamos p+ ser la energía – cono de luz con signo negativo.. B. IB. ¿Por qué estos dos números son significantes? Energía y tiempo son variables conjugadas. Como aprendimos en mecánica cuántica, el operador Hamiltoniano mide energía, y genera evolución en el tiempo. La función de onda de una partícula puntual con energía E y momento ‫݌‬Ԧesta dado por, (2.4.5) En verdad, el valor propio del hamiltoniano ‫ܪ‬෡ coincide con E (2.4.6) 20. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Para el Hamiltoniano ‫ܪ‬෡௖௟ y la energía – cono de luz ‫ܧ‬௖௟, la ecuación análoga seria: (2.4.7). A. S. El factor extra c en el lado derecho ha sido agregado porque x+, contrario a t, tiene unidades de longitud. Con el factor incluido, ‫ܧ‬௖௟ tiene unidades de energía. Para encontrar la dependencia de x+ con la función de onda recordemos que,. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Y usando (2.4.4) tenemos. SI C. (2.4.8). (2.4.9). Ahora podemos regresar a (2.4.7) y evaluar:. (2.4.10). Esto confirma nuestra identificación de (-p+) con la energía – cono de luz. Desde que , es conveniente usar p- como la energía – cono de luz para eliminar el signo de la ecuación anterior:. (2.4.11). B. IB. LI O. TE. Podemos chequear la relación de p- con la energía encaja con la intuición que hemos desarrollado para la velocidad cono de luz. Para esto, confirmamos que una partícula con velocidad - cono de luz pequeña tiene energía – cono de luz pequeña. Supongamos que una particula se mueve muy rápido en la dirección +x+. Como discutimos antes (2.3.17), su velocidad cono de luz muy pequeña. Como p1 es muy larga, la ecuación (2.4.2) da:. (2.4.12). La energía cono de luz de una partícula es por lo tanto:. (2.4.13) Como anticipamos, p1 incrementa, y la velocidad cono de luz y energía cono de luz decrecen.. 21 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Capítulo 3. B. IB. LI O. TE. Cuerdas relativistas. 22 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.1 Funcional de área para superficies espaciales. SI C. A. S. La acción para una cuerda relativista debe ser un funcional de la trayectoria de la cuerda. Así como una partícula traza una línea en el espacio tiempo, una cuerda traza una superficie. La línea trazada por el espacio-tiempo es llamada la línea universo. La superficie trazada por una cuerda en el espacio-tiempo se le llamara lamina – universo (world – sheet). Una cuerda cerrada, por ejemplo, trazara un tubo, mientras que una cuerda abierta trazara una superficie. Estas laminas – universo de dos dimensiones se muestran en el diagrama espacio tiempo de la figura 3.1. Las líneas de constante x0 en estas superficies son las cuerdas. Estos son los objetos que un observador ve en un tiempo fijo x0. Son curvas abiertas por la superficie que describe la evolución de la cuerda abierta (izquierda), y son curvas cerradas por la superficie que describe la evolución de la cuerda cerrada (derecha).. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Sabemos que la acción para una partícula está dada por el tiempo propio asociado a su línea – universo. El tiempo propio, multiplicado por c, es una “longitud” invariante asociada a la línea universo. Para cuerdas definiremos el invariante de Lorentz “área propia” de una lamina – universo. La acción de la cuerda relativista será proporcional a su área propia, y es llamada la acción de Nambu-Goto.. LI O. TE. x0. x2 (x3,……). Figura 3.1: Las laminas – universo trazadas por una cuerda abierta y por una cuerda cerrada.. B. IB. x1. Los funcionales de área son muy útiles en otras aplicaciones: una membrana de jabón entre dos anillos, por ejemplo, automáticamente construye una superficie de área mínima la cual une un anillo con el otro, como en la figura 3.2. La lamina-universo de una cuerda y una burbuja de jabón entre dos anillos son dos tipos de superficies muy diferentes. A cualquier instante de tiempo un observador de Lorentz vera toda la superficie de dos dimensiones de la membrana de jabón, pero el observador puede ver solamente una cuerda de la laminauniverso de dos dimensiones. Imagina que la membrana de jabón es estática en algún sistema de referencia de Lorentz. En este caso, el tiempo no es relevante para la descripción de la 23 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. membrana, y imaginamos a la membrana como una superficie espacial, es decir, una superficie que se extiende a lo largo de dos dimensiones espaciales. La superficie existe completamente a cualquier instante de tiempo. Estudiaremos primero estas superficies familiares, y entonces aplicaremos nuestra experiencia para el caso de superficies en el espacio-tiempo.. A. S. Una línea en el espacio puede ser parametrizada usando un solo parámetro. Una superficie en el espacio es de dos dimensiones, así que requiere dos parámetros ξ1 y ξ2. Dada una superficie parametrizada, podemos dibujar en la superficie las líneas de constante ξ1 y las líneas de constante ξ2. Estas líneas cubren la superficie con una cuadricula.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. Llamaremos el espacio objetivo al mundo donde las superficies bidimensionales viven. En el caso de una burbuja de jabón en tres dimensiones, el espacio objetivo es el espacio tridimensional x1, x2 y x3. La superficie parametrizada es descrita por la colección de funciones.. (3.1.1). El espacio del parámetro es definido por los rangos de los parámetros ξ1 y ξ2. Este puede ser una cuadrado, por ejemplo, si usamos los parámetros ξ1 , ξ2 є [0,π]. La superficie real es la imagen del espacio del parámetro bajo la función . La superficie física es a superficie en el espacio objetivo. Alternativamente, podemos ver los parámetros ξ1 y ξ2 como coordenadas en la superficie física, al menos localmente. La función inversa de ‫ݔ‬Ԧnos lleva de la superficie al espacio del parámetro. Localmente esta función es uno a uno y asigna a cada punto en la superficie dos coordenadas: los valores del los parámetros ξ1 y ξ2.. B. IB. LI O. TE. x1. x2. x3. Figura 3.2: Una superficie espacial que se entre dos anillos. Si la superficie es una membrana de jabón, sería un área de superficie mínima.. 24 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Queremos calcular el área de un pequeño elemento del espacio objetivo. Comencemos por tomar un rectángulo infinitesimal en espacio del parámetro. Denotamos los lados del cuadrado por dξ1 y dξ2. Queremos encontrar dA, el área de la imagen de este pequeño rectángulo en el espacio objetivo. Como mostrado en la figura 3.3, esta es la área de la verdadera parte de la superficie que corresponde a un cuadrado infinitesimal en el espacio del parámetro.. A. x3. dξ2. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. ξ2. S. Por supuesto, no hay razón porque el elemento de área infinitesimal deba ser ser un rectángulo. En general, es un paralelogramo. Llamemos los. x2. dξ1. ξ1. x1. ݀‫ݒ‬Ԧଵ. θ. ݀‫ݒ‬Ԧଶ. Figura 3.3: Lado izquierdo: el espacio del parámetro, con un pequeño cuadrado. Una superficie en el espacio objetivo con la imagen de un pequeño cuadrado: un paralelogramo cuyos lados son los vectores ݀‫ݒ‬Ԧଵ y ݀‫ݒ‬Ԧଶ (se muestra más grande al final de la flecha en zigzag).. LI O. TE. Lados de este paralelogramo ݀‫ݒ‬Ԧଵ y ݀‫ݒ‬Ԧଶ. Que son las imágenes bajo la función ‫ݔ‬Ԧde los vectores ሺ݀ߦଵ, 0) y ሺͲǡ݀ߦଶ), respectivamente. Podemos escribirlas como (3.1.2). B. IB. Esto tiene sentido: , por ejemplo, representa la razón de variación de coordenadas 1 espaciales con respecto a ξ . Multiplicando esta razón por la longitud dξ1 del lado horizontal del pequeño parámetro espacial rectangular, esto nos da el vector ݀‫ݒ‬Ԧଵ representando este lado en el espacio objetivo. Ahora calculemos dA. Usando la fórmula para el área de un paralelogramo,. (3.1.3) Donde θ es el ángulo entre los vectores ݀‫ݒ‬Ԧଵ y ݀‫ݒ‬Ԧଶ. En términos de el producto escalar, tenemos (3.1.4) 25 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Finalmente, usando (3.1.2). (3.1.5). SI C. A. S. Esta es la expresión general para el elemento de área de una superficie espacial parametrizada. El funcional de área A es dado por. (3.1.6). B. IB. LI O. TE. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. La integral se extiende sobre el rango de los parámetros dξ1 y dξ2. La solución del problema de la mínima área para una superficie espacial es la función ‫ݔ‬Ԧൌ ሺߦଵǡߦଶ) que minimiza el funcional A.. 26 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.2 Invariancia de la reparametrización del área Como hemos visto, la parametrización de una superficie nos permite escribir el elemento de área de una forma explícita. El área de la superficie, o aun más, el área de una parte de la superficie, debe ser independiente de la parametrización escogida para calcularla. Esto es lo que queremos decir cuando decimos que el área debe ser invariante a la parametrización.. SI C. A. S. Porque pronto igualaremos la acción de una cuerda relativista a alguna noción de área propia, esta también, debe ser invariante a la parametrización. Esto significa que seremos libres de escoger la parametrización más útil sin cambiar la física subyacente. Una buena elección de parametrización nos permitirá resolver ecuaciones de movimiento de una cuerda relativista de una forma elegante.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. La invariancia a la parametrización es por lo tanto un importante concepto así que debe ser entendido correctamente. Para este fin trataremos de mostrarlo en nuestra formulación. El objetivo del siguiente análisis es mostrar como esto puede ser hecho. Comencemos preguntando: ¿es el funcional de área A en (3.1.6) un invariante a la parametrización? De hecho, a primera vista parece ser invariante a la parametrización. Después de todo, si un valor reparametriza la superficie con ߦሚଵሺߦଵ) y ߦሚଶሺߦଶ) , entonces todas las derivadas introducidas por la regla de de la cadena se cancelan apropiadamente. Esta reparametrización, sin embargo, es no completamente general por que falla al mezclar las coordenadas ξ1 y ξ2. Supongamos, en lugar, que hacemos una reparametrizaciónߦሚଵሺߦଵǡߦଶ) y ߦሚଶሺߦଵǡߦଶ) . Esta vez la podemos verificar, usando operaciones más complicadas, que (3.1.6) es invariante bajo tal reparametrización. Pero la invariancia ya no es clara. Para hacer la reparametrización invariante (3.1.6) entendible tenemos que reescribir el funcional de área de una manera diferente.. LI O. TE. El teorema del cambio de variable nos dice:. B. IB. Donde ‫ ܯ‬ൌ ሾ‫ ܯ‬௜௝] es la matriz definida por. Donde ‫ܯ‬෩ ൌ ሾ‫ܯ‬෩௜௝] es la matriz definida por (3.2.1) y (3.2.2), vemos que. (3.2.1). . Similarmente,. (3.2.2) . Combinando las ecuaciones. (3.2.3). 27 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Ahora consideremos como espacio objetivo a una superficie S, descrita por la función ‫ݔ‬Ԧሺߦଵǡߦଶ). Dado un vector ݀‫ݔ‬Ԧ tangente a la superficie, y ds denota su longitud. Entonces podemos escribir: (3.2.4). SI C. A. S. Para superficies en el espacio, como estamos considerando, no es costumbre agregar un signo menos a la expresión ds2. El vector ݀‫ݔ‬Ԧ puede ser expresado en términos de las derivadas parciales de los diferenciales dξ1 y dξ2: (3.2.5). C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. El índice repetido i toma los valores 1 y 2. De vuelta a (3.2.4). (3.2.6). Esto se puede reducir como:. Donde. (3.2.7). está definido como:. (3.2.8). B. IB. LI O. TE. Donde ݃௜௝ሺߦሻ es conocido como la métrica inducida en S. Es una métrica en S por que, con ξi haciendo el rol de coordenadas en S, la ecuación (3.2.7) determina distancia en S. E inducida porque usa la métrica en el espacio en la cual S “vive” para determinar distancia en S. En realidad, el producto escalar el cual aparece en la definición (3.2.8) es usado en el espacio donde S vive y por lo tanto presupone que una métrica existe en ese espacio. Tenemos solamente dos parámetros ξ1 y ξ2, así que su forma matricial toma la forma:. (3.2.9). 28 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Ahora vemos algo verdaderamente sorprendente. El determinante de ݃௜௝ es precisamente la cantidad que aparece bajo la raíz cuadrada de (3.1.6). Entonces. (3.2.10). SI C. A. S. Y tenemos. (3.2.11). C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Esta es una formula elegante para el área en términos del determinante de la métrica inducida. En lugar de tratar de entender la invariancia a la reparametrización de (3.1.6), ahora nos concentramos en la equivalente pero mas simple (3.2.11) Ahora estamos en posición de entender la invariancia del área en términos de las propiedades de transformación de la métrica ݃௜௝. La clave para esto está en la ecuación (3.2.7). La longitud al cuadrado ds2 es una propiedad geométrica del vector ݀‫ݔ‬Ԧ que no debe depender de una parametrizacion particular usada para calcularla. Para otro conjunto de parámetros ߦሚ y la métrica ݃෤ሺߦሚ), la siguiente igualdad por lo tanto se mantiene: (3.2.12). TE. Haciendo uso de la regla de la cadena para expresar los diferenciales ݀ߦሚen términos de los diferenciales ݀ߦ, (3.2.13). B. IB. LI O. Desde que este resultado se mantiene para cualquier elección de diferenciales ݀ߦ, encontramos una relación entre la métrica en las coordenadas ߦy ߦሚ: (3.2.14). Haciendo uso de la definición de ‫ܯ‬෩ (3.2.2), escribimos la ecuación anterior como: (3.2.15) En notación de matriz, el lado derecho es el producto de 3 matrices. Tomando el determinante de usando la notación de (3.2.10) da: 29 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. (3.2.16) Tomando la raíz cuadrada. A. Obtenemos la propiedad de para la raíz cuadrada de el determinante de la métrica.. S. (3.2.17). C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. Finalmente estamos listos para apreciar la invariancia en la reparametrización de (3.2.11). Haciendo uso de (3.2.1), (3.2.17) y (3.2.3) tenemos:. (3.2.18). B. IB. LI O. TE. La cual prueba la invariancia en la parametrización para el funcional de área. Para un ojo entrenado la fórmula del área en (3.2.11) es claramente invariante a la reparametrización. Es decir, una vez que sabemos como la métrica se transforma, la invariancia es razonablemente simple de establecer. Ningún otro cálculo complicado es necesario.. 30 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.3 Funcional de área para superficies en el espacio-tiempo. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Dadas nuestras coordenadas espacio-tiempo usuales superficie es descrita por las funciones:. SI C. A. S. Ahora sigamos con el caso que nos interesa, el caso de las superficies en el espacio-tiempo. Estas superficies se obtienen representando en el espacio-tiempo la historia de las cuerdas, de la misma forma como en el espacio-tiempo una línea - universo se obtiene por representar la historia de una partícula. Para el caso de cuerdas, obtenemos una superficie bidimensional llamada lámina – universo de la cuerda. Superficies espacio-tiempo, tales como una laminauniverso, no son del todo diferentes de las superficies espaciales que consideramos en la sección previa. Estas son bidimensionales, y requieren dos parámetros. En lugar de llamarlos parámetros ξ1 y ξ2, y le damos los nombres especiales: τ y σ. , la. (3.3.1). Tomando una región del espacio de parámetros (τ, σ). Y siguiendo una convención estándar en teoría de cuerdas, cambiamos la notación ligeramente. Denotaremos las funciones anteriores con mayúsculas: (3.3.2). No estamos cambiando el significado de las funciones. Dado un punto fijo (τ, σ) en el espacio de los parámetros, a este punto le corresponde un punto con coordenadas espacio-tiempo (3.3.3). LI O. TE. ¿Por qué usamos las letras mayúsculas X? Supongamos que usamos los mismos símbolos para denotar las coordenadas espacio-tiempo y funciones. Entonces aun podríamos distinguir entre estas escribiendo xµ o xµ(τ, σ), pero no podríamos obviar los (τ, σ) argumentos. Por otra parte, con Xµ podemos obviar los argumentos (τ, σ) y aun sabríamos que estamos hablando de funciones de la cuerda. Las llamaremos Xµ las coordenadas de la cuerda.. B. IB. Como antes, los parámetros τ y σ pueden ser vistos como coordenadas en una laminauniverso, al menos localmente. La función inversa de Xµ toma la lamina-universo al espacio de parámetros, y localmente asigna a cada punto en la superficie dos coordenadas: los valores de los parámetros τ y σ. Podría traer algo de confusión que lo físicos también usen el termino lamina-universo para denotar el espacio bidimensional de parámetros cuya imagen bajo X µ nos da …. ¡Una lamina – universo! A menos que sea explícitamente dicho, reservaremos el uso del término lamina-universo para la superficie en el espacio-tiempo. En la figura 3.4 consideraremos una cuerda abierta: en el lado izquierdo veremos un espacio del parámetro de superficie, y a la derecha, una superficie en el espacio tiempo.. 31 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) SI C. A. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Figura 3.4: Izquierda: el espacio de parámetros (τ, σ), con un pequeño cuadrado seleccionado. Derecha: La superficie en el espacio-tiempo objetivo con la imagen de una pequeño cuadrado: un paralelogramo ఓ ఓ cuyos lados son los vectores ݀‫ݒ‬ଵ y ݀‫ݒ‬ଶ .. Para encontrar un elemento de área, procedemos como en el caso de una superficie espacial, esta vez usando notación relativista. Esta situación es ilustrada en la Figura 3.4. Un pequeño triangulo de lados dτ y dσ en el espacio de parámetros, se vuelve un elemento de ఓ ఓ área cuadrilátero. Este cuadrilátero esta abarcado por los vectores ݀‫ݒ‬ଵ y ݀‫ݒ‬ଶ , Por otra parte, (3.3.4). TE. El cual es análogo a su formula espacial (3.1.2). Ahora podemos usar el análogo de (3.1.4) como un candidato para el elemento de área dA:. (3.3.5). B. IB. LI O. Donde el punto es producto escalar relativista. Usando este producto escalar nos aseguramos que el elemento de área sea un invariante de Lorentz: Este es un elemento propio de área. Escribimos un símbolo de interrogación sobre el símbolo de igualdad porque hay un problema. Aunque esto no es obvio para nosotros aun, el signo de lo está dentro de la raíz cuadrada es negativo. Para poder hallar la raíz cuadrada debemos intercambiar los dos términos bajo la raíz. Este cambio de signo no tiene efecto en la invariancia de Lorentz. Haciendo esto y usando (3.3.4), encontramos que el área propia esta dado por:. (3.3.6). 32 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.