Relaciones binarias difusas
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(2) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. FI S. IC AS. Y. M. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. EN CI. AS. ‘‘ RELACIONES BINARIAS DIFUSAS ”. TESIS PARA OPTAR EL TITULO DE LICENCIADO EN. Autor:. Br. Eliseo Genaro Pereda Sifuentes. Asesor: Mg. Guillermo Ramı́rez Lara. Trujillo - Perú 2013. BI. BL I. OT. EC. A. DE. CI. MATEMÁTICAS. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(3) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. IC AS. Y. M. Jurado. FI S. Dr. Wilson Maco Vásquez. CI. EN CI. AS. Presidente. Secretario. Dr. José Dı́as Leyva Vocal. BI. BL I. OT. EC. A. DE. Mg. Guillermo Ramı́rez Lara. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(4) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. M. Dedicatoria A Dios. Y. por mostrarme dı́a a dı́a. IC AS. que con humildad, paciencia y. EN CI. AS. FI S. sabiduria, todo es posible.. A mis padres quienes con. su amor, apoyo y comprensión incondicional estuvieron siempre conmigo a lo largo de mi vida estudiantil.. A mi esposa Luz Angelica. CI. A mi hijo Alexis, por ser. BI. BL I. OT. EC. A. DE. mi fuente de inspiración.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(5) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. M. Agradecimientos. Agradecemos en primer lugar a Dios quién me dio la vida y la ha llenado de. Y. bendiciones en todo este tiempo; a él que con su infinito amor nos ha dado la. FI S. IC AS. sabiduria suficiente para culminar nuestra carrera universitaria.. Agradezco a todos los profesores de la Escuela de Matemáticas por sus valiosas. AS. enseñanzas que me orientaron por el camino del estudio y en superación y que. EN CI. contribuyeron a mi formación profesional y desarrollo personal.. CI. Agradezco a mis padres por todo el esfuerzo que hicieron para darme una profesión. A. DE. y hacer de mi una persona de bien.. EC. Agradezco también de manera especial a mi asesor de tesis Mg. Guillermo Ramirez. tesis desde el inicio hasta su culminación.. BI. BL I. OT. Lara quién con sus conocimientos y apoyo supo guiar el desarrollo de la presente. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(6) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. M. Presentación. Y. Señores miembros del jurado:. IC AS. En cumplimiento a lo prescrito por el reglamento de Grados y Tı́tulos de la Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemática de la Universidad Nacional de Trujillo, pongo a. FI S. su disposición el presente trabajo titulado:. “ RELACIONES BINARIAS DIFUSAS ”. AS. Con la finalidad de obtener el titulo profesional de Licenciado en Matematicas.. EN CI. Agradezco y acepto muy honestamente todas sus apreciaciones y sugerencias que. Trujillo, Diciembre del 2013. El Autor. BI. BL I. OT. EC. A. DE. CI. tengan a bien formular, lo cual servirá para mejorar este trabajo en el futuro.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(7) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. M. Índice general. Y. Jurado. IC AS. Dedicatoria. FI S. Agradecimiento Presentación. Abstract Introducción. EN CI. AS. Resumen. CI. 1. Conjuntos Clasicos y Conjuntos Difusos. 3 4 5 6 9 10 11 12. DE. 1.1. Conjunto clásico y su representación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2. Operaciones con conjuntos clásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. A. 1.2.1. Producto cartesiano. EC. 1.3. Conjuntos difusos y su representación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1. Función de pertenencia de un conjunto difuso . . . . . . . . . 14. BI. BL I. OT. 1.4. Propiedades de conjuntos difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.1. Conjunto difuso vacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2. Igualdad de conjuntos difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.3. Inclusión entre conjuntos difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. 1.5. Operaciones de conjuntos difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(8) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 8. AT EM AT IC AS. ÍNDICE GENERAL. 2. Relaciones Binarias Clásicas y Difusas. 25. 2.1. Relaciones clásicas y su representación mediante su función caracter-. istica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2. Composición de relaciones clásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3. Función de pertenencia de una relación difusa . . . . . . . . . . . . . 29. 2.4. Operaciones con relaciones clásicas y difusas . . . . . . . . . . . . . . 30. M. 2.4.1. Operaciones con relaciones clásicas . . . . . . . . . . . . . . . 30. 2.4.2. Operaciones con relaciones difusas . . . . . . . . . . . . . . . . 30. Y. 2.5. Propiedades de relaciones clásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. IC AS. 2.6. Propiedades de las relaciones difusas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.7. Producto cartesiano difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.8. Composición de relaciones difusas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. FI S. 2.9. Proyección de una relación difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.10. Relación de equivalencia clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. AS. 2.11. Relacion de tolerancia clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. EN CI. 2.12. Relación de equivalencia difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.13. Relación de tolerancia difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.14. Relaciones de similaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. CI. 2.15. Ordenamientos difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.15.1. Relación de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44. DE. 2.15.2. Relación de preorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44. A. Conclusiones. 46. BI. BL I. OT. EC. Referencias Bibliogáficas. 45. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(9) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. M. Resumen. La logı́ca difusa es una generalización de la lógica clásica y trabaja con conjuntos. Y. difusos que son modelos matemáticos para fenómenos del mundo real que involucran. IC AS. imprecisión o vaguedad.. El concepto de conjunto difuso generaliza el concepto de conjunto clásico (nı́tido).. FI S. Un conjunto difuso A en un universo X está asociado a una función µA : X → [0, 1] llamada“función de pertenencia” de A que asigna a cada elemento x de X un número real µA (x) en [0, 1] llamado “grado de pertenencia” del elemento x al conjunto A.. AS. Un mayor grado de pertenencia refleja un sentido de pertenencia “más intenso” al. EN CI. conjunto A.. Muchos conceptos de la matemática se extienden al contexto difuso, dando lugar a la matemática difusa. En nuestro trabajo, extenderemos el concepto de relación. CI. entre elementos de conjuntos clásicos al de relación entre elementos de conjuntos. BI. BL I. OT. EC. A. DE. difusos y estudiaremos sus propiedades y algunas aplicaciones.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(10) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. M. Abstract. Fuzzy logic is a generalization of classical logic and work with fuzzy sets that are. Y. mathematical models of real world phenomena involving imprecision or vagueness.. IC AS. The concept of fuzzy set generalizes the classical notion of set (crisp). A fuzzy set A in a universe X is associated with a function µA : X → [0, 1] called “ membership. FI S. function ” that assigns to each element x of X a real number µA (x) in [0, 1] called “ degree of membership ” of the element x to the set A. A higher degree of membership reflects a sense of belonging “ stronger ” the set A.. AS. Many mathematical concepts are extended to the fuzzy context, resulting in fuzzy. EN CI. mathematics. In our work, we will extend the concept of relationship between elements of the classic sets to the relationship between elements of fuzzy set and we. BI. BL I. OT. EC. A. DE. CI. will study their properties and some applications.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(11) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. M. Introducción. La lógica difusa es una generalización de la lógica clásica y trabaja con conjuntos. Y. difusos que son modelos matemáticos para fenómenos del mundo real que involucran. IC AS. imprecisión o vaguedad.. El concepto de conjunto difuso generaliza el concepto de conjunto clásico (nı́tido). Un. FI S. conjunto difuso A en un universo (conjunto clásico) X está asociado a una función µA : X → [0, 1] llamada “ función de pertenencia ” que asigna a cada elemento x de X un número real µA (x) en [0, 1] llamado “ grado de pertenencia ” del elemento x. EN CI. “ más intenso ” al conjunto.. AS. al conjunto A. Un mayor grado de pertenencia refleja un sentido de pertenencia. En este trabajo estudiaremos la extensión difusa del concepto de relación clásica entre elementos de dos conjuntos X e Y .. CI. Hemos dividido el trabajo en dos capı́tulos: En el capı́tulo I se hace un estudio de los conjuntos clásicos y difusos, y de las. DE. relaciones clásicas y sus propiedades. En el capı́tulo II presentamos las relaciones difusas, sus operaciones y propiedades, y algunos ordenamientos difusos.. EC. A. Una relación difusa R entre X e Y es un subconjunto difuso del producto cartesiano X × Y . Definimos diversas operaciones con relaciones difusas (unión, intersección,. OT. complementación, composición) y establecemos sus propiedades. Ası́ mismo, definimos algunos ordenamientos difusos (similaridad, orden y pre-orden).. BL I. Se introduce el concepto de similaridad que es una extensión difusa de una relación. BI. de equivalencia clásica.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(12) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. M. Capı́tulo 1. Y. Conjuntos Clasicos y Conjuntos. FI S. IC AS. Difusos. En este capı́tulo, se hace un repaso de la teorı́a de conjuntos clásicos(nitidos) y una. AS. introducción a la teorı́a de conjuntos difusos(borrosos).. Conjunto clásico y su representación. EN CI. 1.1.. Sea X 6= ∅ un conjunto universal y A ⊂ X. La función χA : X → {0, 1} se llama. DE. CI. “función caracteristica” del conjunto A si, y solo si, para todo x ∈ X: 1 , si x ∈ A χA (x) = 0 , si x ∈ / A.. EC. A. Observación. Existe una correspondencia biunı́voca entre los conjuntos clásicos y las funciones caracterı́sticas, lo que nos permite identificar cada subconjunto de un. A ←→ χA. BI. BL I. OT. universo con su correspondiente función caracterı́stica: ∀A ⊂ X,. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(13) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 13. AT EM AT IC AS. 1.2 Operaciones con conjuntos clásicos. Ejemplo 1.1.1 La función caracterı́stica del conjunto de los números racionales Q ⊂ R, se llama “ función de dirichlet ” y se define por, 1 , si x ∈ Q χQ (x) = 0 , si x ∈ / Q.. Teorema 1.1.1 (Propiedades de las funciones caracterı́sticas) Sean A, B ⊂ X. En-. M. tonces. Y. 1. A = B si y sólo si χA = χB .. IC AS. 2. χX = 1. 3. χ∅ = 0.. 6. χA∪B + χA∩B = χA + χB .. EN CI. 7. χA−B = χA (1 − χB ).. AS. 5. χA∩B = χA χB .. FI S. 4. χX−A = 1 − χA .. 8. χA ≤ χB ⇔ A ⊂ B.. CI. 9. Si (Ai )i∈I es una familia de partes de X. Entonces χ∩i∈I Ai = ı́nf{χAi / i ∈ I}.. A. Operaciones con conjuntos clásicos. EC. 1.2.. DE. 10. Si (Ai )i∈I es una familia de partes de X. Entonces χ∪i∈I Ai = sup{χAi / i ∈ I}.. Las operaciones entre conjuntos clásicos se pueden definir mediante sus funciones. OT. caracterı́sticas. Sean A, B subconjuntos de un universo no vacı́o X.. BL I. Definición 1.2.1 (Complementación) χAc (x) = 1 − χA (x), ∀x ∈ X. BI. Definición 1.2.2 (Intersección) χA∩B (x) = mı́n{χA (x), χB (x)}, ∀x ∈ X Definición 1.2.3 (Unión) χA∪B (x) = máx{χA (x), χB (x)}, ∀x ∈ X. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(14) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.2.1.. 14. Producto cartesiano. AT EM AT IC AS. 1.3 Conjuntos difusos y su representación. Definición 1.2.4 Sean X, Y conjuntos no vacios. El producto cartesiano de dos universos X e Y se define por: X × Y = {(x, y)/ x ∈ X y y ∈ Y }. Conjuntos difusos y su representación. M. 1.3.. Y. La teorı́a de conjuntos difusos fue introducida por Lotfi Zade en su historico artı́culo. IC AS. [7] en 1965.. Los conjuntos difusos son una generalización de los conjuntos clásicos(nı́tidos). En la teoria de conjuntos difusos, un elemento puede pertenecer parcialmente al con-. FI S. junto y su grado de pertenencia se determina por una función llamada función de. AS. pertenencia.. Función de pertenencia de un conjunto difuso. EN CI. 1.3.1.. Definición 1.3.1 Sea X un conjunto no vacı́o. Un subconjunto difuso de A de X. CI. está caracterizado por su función de pertenencia µA : X → [0, 1]. DE. El valor de µA (x) se puede interpretar como el grado de pertenencia del elemento x al subconjunto difuso A para cada x ∈ X.. EC. A. Observación.. OT. 1. A ←→ µA. BL I. 2. Es claro que la definicion de conjunto difuso generalizada la de conjunto nı́tido (cásico).. BI. 3. En la definición de conjunto difuso el intervalo [0, 1] se llama “ conjunto de evaluación ”. Si como conjunto de evaluación se considera el conjunto arbitrario. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(15) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 15. AT EM AT IC AS. 1.3 Conjuntos difusos y su representación. L, se obtiene la definición de conjunto L- difuso; que es una generalización de conjunto difuso.. Si L tiene una estructura dada, tal como látis o una estructura de grupo,. entonces la famı́lia de todos los conjuntos Ldifusos en X (la famı́lia de funciones de X en L) también tendrá esta estructura.. Notación: Los conjuntos difusos definidos sobre universos discretos pueden repre-. M. sentarse como un conjunto de pares de la forma “(elemento, grado de pertenencia)”,. IC AS. Y. de la siguiente manera:. A = {(x, µA (x))/ x ∈ X}.. FI S. Ejemplo 1.3.1 El conjunto difuso C de temperaturas calientes, se puede definir como:. EN CI. AS. 0 , si T ≤ 20 T − 20 µC (T ) = , si 20 < T ≤ 30 10 1 , si T > 30. Si limitamos las temperaturas a valores enteros entre 19 y 31 obtenemos el conjunto difuso. CI. C = {(19, 0), (20, 0), (21, 0.1), (22, 0.2), (23, 0.3), (24, 0.4), (25, 0.5), (26, 0.6), (27, 0.7), (28, 0.8),. DE. (29, 0.9), (30, 1), (31, 1)} Cuya gráfica de la función de pertenencia es:. EC. A. Ejemplo 1.3.2 La función de pertenencia del conjunto difuso C de los números. 1 − x , si 0 ≤ x ≤ 4 4 µC (x) = 1 , en otro caso. BL I. OT. naturales cercanos a cero es. BI. El conjunto difuso, se puede representar como un conjunto de pares ordenados: C = {(0, 1), (1, 0.75), (2, 0.5), (3, 0.25), (4, 0)}. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(16) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 16. Y. M. AT EM AT IC AS. 1.3 Conjuntos difusos y su representación. IC AS. Figura 1.1: Gráfica de µC. DE. CI. EN CI. AS. FI S. cuya función de pertenencia es:. A. Sin embargo, si consideramos el conjunto difuso C de los “ números reales cercanos. BI. BL I. OT. EC. a cero ”, su función de pertenencia es,. 1+ µC (x) = 1 − 0. x , si − 4 ≤ x ≤ 0 4 x , si 0 ≤ x ≤ 4 4 , en otro caso. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(17) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 17. AT EM AT IC AS. 1.4 Propiedades de conjuntos difusos. Y. M. cuya gráfica es. Definición 1.3.2 La altura de un conjunto difuso A en un universo X es el valor. IC AS. maximo de la función de pertenencia sobre el universo X, es decir, h(A) = máx{µA (x)}. FI S. x∈X. Definición 1.3.3 El soporte de un conjunto difuso A esta dado por:. AS. Sop(A) = {x ∈ X/ µA (x) > 0}. EN CI. Definición 1.3.4 El nucleo de un conjunto difuso A es: N (A) = {x ∈ X/ µA (x) = 1}. CI. Definición 1.3.5 α-corte de A:. Propiedades de conjuntos difusos. EC. 1.4.. A. DE. Aα = {x ∈ X/ µA (x) ≤ α}, α ∈ [0, 1]. OT. 1.4.1.. Conjunto difuso vacio. BL I. Un conjunto difuso A ⊂ X es vacio si su funcion de pertenencia es identicamente. BI. nula, es decir: µA (x) = 0 ∀x ∈ X. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(18) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.4.2.. 18. Igualdad de conjuntos difusos. AT EM AT IC AS. 1.4 Propiedades de conjuntos difusos. Dos conjuntos difusos A y B, definidos en el mismo universo X, son iguales si tienen la misma función de pertenencia: A = B ⇔ µA (x) = µB (x) ∀x ∈ X. Inclusión entre conjuntos difusos. M. 1.4.3.. Y. Un conjunto difuso, A, está incluido en otro, B, si su función de pertenencia toma. IC AS. valores mas pequeños:. A ⊆ B ⇔ µA (x) ≤ µB (x) ∀x ∈ X. AS. difusos, son las siguientes:. FI S. Algunas funciones de pertenencia que se utilizan en las aplicaciones de los conjuntos. EN CI. a). BI. BL I. OT. EC. A. DE. CI. 0 , si u ≤ α; u−α Γ(u; α, β) = , si α ≤ u ≤ β; β−α 1 , si u > β. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(19) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 19. IC AS. Y. M. AT EM AT IC AS. 1.4 Propiedades de conjuntos difusos. AS. FI S. Figura 1.2: Grafica de Γ(u; α, β). EN CI. b). BI. BL I. OT. EC. A. DE. CI. 1 , si u ≤ α; β−u L(u; α, β) = , si α ≤ u ≤ β; β−α 0 , si u > β. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(20) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 20. IC AS. Y. M. AT EM AT IC AS. 1.4 Propiedades de conjuntos difusos. AS. FI S. Figura 1.3: Grafica de L(u; α, β). CI. EN CI. c). BI. BL I. OT. EC. A. DE. 0 , si u ≤ α; u−α , si α ≤ u ≤ β; β − α Π(u; α, β, γ, δ) = 1 si β ≤ u ≤ γ; δ−u , si γ ≤ u ≤ δ; δ − γ 0 , si u > δ. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(21) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 21. FI S. IC AS. Y. M. AT EM AT IC AS. 1.4 Propiedades de conjuntos difusos. EN CI. AS. Figura 1.4: Grafica de Π(u; α, β, γ, δ). CI. d). BI. BL I. OT. EC. A. DE. 0 , si u ≤ α u−α , si α ≤ u ≤ β; ∆(u; α, β, γ) = β − α γ−u , si β ≤ u ≤ γ; γ − β 0 , si u > γ. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(22) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 22. FI S. IC AS. Y. M. AT EM AT IC AS. 1.5 Operaciones de conjuntos difusos. Figura 1.5: Grafica de ∆(u; α, β, γ). Operaciones de conjuntos difusos. AS. 1.5.. EN CI. Se pueden definir varias operaciones con conjuntos difusos. Las más utilizadas son las siguientes:. CI. Sean A, B subconjuntos difusos de X.. DE. Definición 1.5.1 (Complementación) µAc (x) = 1 − µA (x), ∀x ∈ X Definición 1.5.2 (Unión) µA∪B (x) = máx{µA (x), µB (x)}, ∀x ∈ X. EC. A. Definición 1.5.3 (Intersección) µA∩B (x) = mı́n{µA (x), µB (x)}, ∀x ∈ X Ejemplo 1.5.1 Sea X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} el universo de los siguientes conjuntos. BI. BL I. OT. difusos:. A = {(1, 0.5), (2, 0.75), (3, 1), (4, 1), (5, 0.5), (6, 0)} B = {(1, 0.1), (2, 0), (3, 0.5), (4, 0.7), (5, 0.9), (6, 1)} C = {(1, 1/2), (2, 3/4), (3, 1/3), (4, 1), (5, 1/2), (6, 1/4)}. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(23) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 23. Entonces: i) A ∩ B = {(1, 0.1), (2, 0), (3, 0.5), (4, 0.7), (5, 0.5), (6, 0)} ii) A ∪ B = {(1, 0.5), (2, 0.75), (3, 1), (4, 1), (5, 0.9), (6.1)}. AT EM AT IC AS. 1.5 Operaciones de conjuntos difusos. ii) A ∩ (B ∪ C) = {(1, 1/2), (2, 0.75), (3, 0.5), (4, 0.7), (5, 0.5), (6, 0)}. M. iv) (A ∩ B)c = {(1, 0.5), (2, 0.75), (3, 0.5), (4, 0.7), (5, 0.9), (6, 1)}. Y. v) C c ∩ (A ∪ B c ) = {(1, 1/2), (2, 1/4), (3, 2/3), (4, 0), (5, 0.5), (6, 3/4)}. IC AS. Ejemplo 1.5.2 Sean A y B los siguientes conjuntos difusos en R cuyas gráficas de. EN CI. AS. FI S. sus funciones de pertenencia son:. Entonces, las gráficas de las funciones de pertenencia de los conjuntos difusos:. DE. CI. Ac , A ∪ B y A ∩ B son:. BI. BL I. OT. EC. A. i). Figura 1.6: Gráfica del conjunto Ac. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(24) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 24. AT EM AT IC AS. 1.5 Operaciones de conjuntos difusos. M. ii). IC AS. Y. Figura 1.7: Gráfica del conjunto A ∪ B. EN CI. AS. FI S. iii). BI. BL I. OT. EC. A. DE. CI. Figura 1.8: Gráfica del conjunto A ∩ B. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(25) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. M. Capı́tulo 2. Y. Relaciones Binarias Clásicas y. FI S. IC AS. Difusas 2.1.. Relaciones clásicas y su representación medi-. AS. ante su función caracteristica. EN CI. Una relación Binaria de X, en Y , es cualquier subconjunto del producto cartesiano X × Y . Una relación de X en X se llamará simplemente relación en X.. DE. CI. En general, una relación n-aria en X es cualquier subconjunto de n X | ×X ×X {z × · · · × X} = X . n−veces. Una relación binaria clásica R de X en Y , se puede representar por su función. OT. EC. A. caracterı́stica:. χR (x, y) =. 1 , (x, y) ∈ R 0 , (x, y) ∈ /R. Cuando X e Y son finitos, una relación de X en Y se representa mediante una. BI. BL I. matriz binaria llamada “matriz de la relación” Ejemplo 2.1.1 Sean X = {1, 2, 3, 4}, Y = {2, 3, 5} y R = {(x, y) ∈ X × Y / x + y es par} una. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(26) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de y Comunicación - UNT 2.1 Relaciones clásicas y Informática su representación mediante. su función 26. AT EM AT IC AS. caracteristica. relación de X en Y .. Entonces la relación R = {(1, 3), (1, 5), (2, 2), (3, 3), (3, 5), (4, 2)} se puede represen-. Y. M. tar por:. AS. FI S. IC AS. Ası́ mismo, esta relación R se puede representar mediante un diagrama sagital:. EN CI. Ejemplo 2.1.2 Una relación también se puede definir entre elementos de conjuntos infinitos(continuos). La relación definida entre números reales, por R = {(x, y) ∈. DE. CI. R/ y ≥ 2x} tiene como función caracterı́stica: 1 , y ≥ 2x χR (x, y) = 0 , y < 2x. BI. BL I. OT. EC. A. La gráfica de R, es:. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(27) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 27. FI S. IC AS. Y. M. AT EM AT IC AS. 2.2 Composición de relaciones clásicas. AS. Figura 2.1: Relación correspondiente a y ≥ 2x. Composición de relaciones clásicas. EN CI. 2.2.. Sean X, Y y Z conjuntos no vacios. Sea R una relación entre los elementos de X y Y , y S una relación entre los elementos de Y y Z.. CI. ¿Es posible definir una relación T entre los elementos de X y Z?. En efecto, esto es. DE. posible considerando T como el conjunto de los pares (x, z) para los cuales ∃y ∈ Y tal que (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ S.. A. Notación: T = R ◦ S. EC. Ejemplo 2.2.1 Sean X = {x1 , x2 , x3 }, Y = {y1 , y2 , y3 , y4 } y Z = {z1 , z2 }. Además,. OT. sean las relaciones R ⊂ X×Y y S ⊂ Y ×Z definidas por R = {(x1 , y1 ), (x1 , y3 ), (x2 , y4 )}, S = {(y1 , z2 ), (y3 , z2 )}. Podemos representar R y S mediante un diagrama sagital,. BI. BL I. en la forma:. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(28) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 28. M. AT EM AT IC AS. 2.2 Composición de relaciones clásicas. Y. Figura 2.2: Diagrama sagital entre los elementos de tres universos.. IC AS. De la figura 2.2, obtenemos que la relación T de X a Z, esta formado pór un único par ordenado (x1 , z2 ), es decir,. FI S. T = {(x1 , z2 )}. AS. Hay dos formas comunes de definir la operacion de composición: i) La composicion de máx-mı́n: está definida mediante conjuntos y sus fun-. EN CI. ciones caracteristı́cas como sigue: T = R ◦ S χT (x, z) =. _. (χR (x, y) ∧ χS (y, z)). (2.1). CI. y∈Y. ii) La composición máx-producto: (a veces llamado máx-dot) se define me-. χT (x, z) =. _. (χR (x, y) · χS (y, z)). (2.2). y∈Y. EC. A. DE. diante conjuntos y sus funciones caracterı́sticas como sigue: T = R ◦ S. OT. En este caso, el simbolo “ · ” es producto aritmético.. Ejemplo 2.2.2 La expresión matricial para las relaciones clásicas que se muestran. BL I. en la figura 2.2 se puede encontrar utilizando la operación max-min. Las matrices. BI. de las relaciones R y S se expresan como:. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(29) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 29. AT EM AT IC AS. 2.3 Función de pertenencia de una relación difusa. Las relaciones resultantes T entonces serian determinadas por máx-min composición (ecuación 2.1) o la composición max-producto (ecuación 2.2). Por ejemplo, haciendo. M. cálculos:. Y. χT (x1 , z1 ) = máx[mı́n(1, 0), mı́n(0, 0), mı́n(1, 0), mı́n(0, 0)] = 0,. IC AS. χT (x1 , z2 ) = máx[mı́n(1, 1), mı́n(0, 0), mı́n(1, 1), mı́n(0, 0)] = 1. Función de pertenencia de una relación difusa. CI. 2.3.. EN CI. AS. FI S. continuando con los cálculos, obtenemos finalmente:. DE. Las relaciones difusas también aplican elementos de un universo X, a los de otro universo, Y , a través del producto cartesiano X × Y de los dos universos. Sin em-. EC. A. bargo la “ intensidad ” de la relación entre pares ordenados de elementos de los dos universos no se mide con la función caracterı́stica, si no mediante la función de. OT. pertenencia que expresa diferentes grados de intensidad de la relación en el intervalo [0, 1].. BL I. Formalmente, una relación difusa R entre los elementos de dos universos X e Y es. BI. un subconjunto difuso de X × Y , representada por R = {((x, y), µR (x, y))/ (x, y) ∈ X × Y }. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(30) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 30. AT EM AT IC AS. 2.4 Operaciones con relaciones clásicas y difusas. donde µR : X × Y → [0, 1] es la función de pertenencia de R y el número µ(x, y) representa el grado de “ intensidad ” de la relación que existe entre x e y.. 2.4.. Operaciones con relaciones clásicas y difusas. 2.4.1.. Operaciones con relaciones clásicas. M. Sean R y S relaciones clásicas en X × Y . Entonces se pueden definir las siguientes. Y. operaciones:. IC AS. Definición 2.4.1 (Unión) R ∪ S ←→ χR∪S (x, y) definida por: χR∪S (x, y) = máx{χR (x, y), χS (x, y)}, ∀(x, y) ∈ X × Y. (2.3). FI S. Definición 2.4.2 (Intersección) R ∩ S ←→ χR∩S (x, y) definida por: (2.4). AS. χR∩S (x, y) = mı́n{χR (x, y), χS (x, y)}, ∀(x, y) ∈ X × Y Definición 2.4.3 (Complementación) Rc ←→ χRc (x, y) definida por:. EN CI. χRc (x, y) = 1 − χR (x, y), ∀(x, y) ∈ X × Y. (2.5). Definición 2.4.4 (Inclusión) R ⊂ S ←→ χR⊂S (x, y) definida por: (2.6). DE. CI. χR (x, y) ≤ χS (x, y), ∀(x, y) ∈ X × Y. 2.4.2.. Operaciones con relaciones difusas. A. Sean R y S relaciones difusas en X × Y . Entonces se pueden definir las siguientes. EC. operaciones:. BL I. OT. Definición 2.4.5 (Unión) µR∪S (x, y) = máx{µR (x, y), µS (x, y)}, ∀(x, y) ∈ X × Y. (2.7). BI. Definición 2.4.6 (Intersección) µR∩S (x, y) = mı́n{µR (x, y), µS (x, y)}, ∀(x, y) ∈ X × Y. (2.8). Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(31) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 31. AT EM AT IC AS. 2.5 Propiedades de relaciones clásicas. Definición 2.4.7 (Complementación). µRc (x, y) = 1 − µR (x, y), ∀(x, y) ∈ X × Y Definición 2.4.8 (Inclusión). R ⊂ S ⇒ µR (x, y) ≤ µS (x, y), ∀(x, y) ∈ X × Y. (2.10). Propiedades de relaciones clásicas. M. 2.5.. (2.9). Y. Las propiedades de conmutatividad, asociatividad, distributiva, involución, idempo-. IC AS. tencia y las leyes de De Morgan se cumplen todas al igual que se cumplen todas para relaciones clásicas. La relación nula, 0, y la relacion completa, E, son análogas. FI S. al conjunto, ∅, y a todo el conjunto, X respectivamente.. Propiedades de las relaciones difusas. AS. 2.6.. Al igual que para relaciones clásicas, las propiedades de conmutatividad, asociativi-. EN CI. dad, distributividad, involución e idempotencia se cumplen todas para relaciones difusas. Ademas se cumplen las leyes de De Morgan. Observación. La relación vacı́a ∅ ⊂ X × Y y la relación total E = X × Y se definen. CI. por su respectiva función de pertenencia:. DE. µ∅ (x, y) = 0 ∀(x, y) ∈ X × Y. µE=X×Y (x, y) = 1 ∀(x, y) ∈ X × Y. EC. A. Observación. Dado que una relación difusa R es también un conjunto difuso, existe. R ∪ Rc 6= E R ∩ Rc 6= ∅. BL I. OT. una superposición entre una relación y su complemento, por lo que:. BI. Como se observa en las expresiones anteriores, los axiomas del tercio excluido para relaciones difusas no resultan en general en la relación vacı́a ∅, o la relación total, E.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(32) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.7.. 32. AT EM AT IC AS. 2.7 Producto cartesiano difuso. Producto cartesiano difuso. Sea A un conjunto difuso en X y B un conjunto difuso en Y , el producto cartesiano difuso de A y B denotado por R = A × B ⊂ X × Y se define como el conjunto difuso R cuya función de pertenencia, es. µR (x, y) = µA×B (x, y) = mı́n{µA (x), µB (y)}, (x, y) ∈ X × Y. (2.11). M. Observación. Una relación difusa R entre los conjuntos finitos X = {x1 , x2 , . . . , xm }. Y. y Y = {y1 , y2 , . . . , yn } se puede representar también por una matriz llamada “ matriz. AS. FI S. IC AS. de la relación difusa R ”, en la forma:. EN CI. Ejemplo 2.7.1 Sean X = {1, 2, 3} y Y = {1, 2}. Si la función de pertenencia de una relación difusa R de X en Y , es. 2. CI. µR (x, y) = e−(x−y). DE. entonces la relación difusa R se representa por: 2. 2. 2. A. R = {((1, 1), e−(1−1) ), ((1, 2), e−(1−2) ), . . . , ((3, 2), e−(3−2) )}. BI. BL I. OT. EC. o también por la matriz. Ejemplo 2.7.2 Sea X = {x1 , x2 , x3 }, Y = {y1 , y2 , y3 , y4 } y las relaciones difusas de X en Y : R =“ x es mucho más grande que y ” y S =“ x es muy cercano a y ”,. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(33) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 33. AT EM AT IC AS. 2.8 Composición de relaciones difusas. definidas por sus matrices:. FI S. IC AS. Y. M. Entonces las matrices de las relaciones difusas R ∩ S y R ∪ S, son. Composición de relaciones difusas. AS. 2.8.. La composición de relaciones difusas se puede definir igual que para las relaciones. EN CI. clásicas. Supongamos que R es una relación difusa en X × Y , S una relación difusa en Y × Z y T una relación difusa en X × Z, entonces; definimos:. CI. i) La composición máx-mı́n difusa T = R ◦ S, por:. DE. µT (x, z) =. _. (µR (x, y) ∧ µS (y, z)). (2.12). y∈Y. µT (x, z) =. _. (µR (x, y) · µS (y, z)). (2.13). y∈Y. OT. EC. A. ii) La composición máx-producto difusa T = R ◦ S, por:. Observación. La composición nı́tida y la composición difusa en general no son. BI. BL I. conmutativas, es decir: R ◦ S 6= S ◦ R Ejemplo 2.8.1 Sean X = {x1 , x2 }, Y = {y1 , y2 }, Z = {z1 , z2 , z3 }, y las relaciones difusas (R en X × Y y S en Y × Z):. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(34) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 34. AT EM AT IC AS. 2.8 Composición de relaciones difusas. M. Entonces la composición máx − mı́n de R y S, T = R◦S, se representa por su matriz. Y. Observación. El elemento 0.7 de la matriz T = R ◦S, se obtiene por ejemplo como:. IC AS. µT (x1 , z1 ) = máx[mı́n(0.7, 0.9), mı́n(0.5, 0.1)] = 0.7 Similarmente la composición máx − producto de R y S, T = R ◦ S, se representa. AS. FI S. por su matriz. EN CI. Observación. El elemento 0.63 de la matriz T = R ◦ S, se obitiene como: µT (x1 , z1 ) = máx[(0.7 • 0.9), (0.5 • 0.1)] = 0.63. CI. Observación. En general, si R y S son relaciones difusas, entonces la composición. DE. máx − mı́n y máx − producto de R y S, son diferentes. Ejemplo 2.8.2 (Composición de relaciones clásicas) Sean X = {x1 , x2 , x3 },. BI. BL I. OT. EC. A. Y = {y1 , y2 , y3 , y4 } y Z = {z1 , z2 } entonces para las relaciones. la composición máx − mı́n y máx − producto de R y S, T = R ◦ S, son iguales a. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(35) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 35. AT EM AT IC AS. 2.9 Proyección de una relación difusa. es decir la composición máx − mı́n y la composición máx − producto de R y S coinciden.. M. Observación. En general los resultados de la composición máx-mı́n y máx-producto. Y. de relaciones clásicas coinciden.. Proyección de una relación difusa. IC AS. 2.9.. Sea R = {((x, y), µR (x, y))/ (x, y) ∈ X × Y } una relación difusa. La proyección de. FI S. R sobre X, denotada por R1 , se define como. R1 = {(x, máx µR (x, y))/ (x, y) ∈ X × Y }. AS. y. EN CI. y la proyección de R sobre Y , denotada por R2 , se define como R2 = {(y, máx µR (x, y))/ (x, y) ∈ X × Y }. CI. x. OT. EC. A. DE. Ejemplo 2.9.1 Sea R una relación difusa en X × Y cuya matriz es. BI. BL I. La proyección de R sobre X, se obtiene calculando µR1 (x1 ) = máx{0.1, 0.2, 0.4, 0.8, 1, 0.8} = 1 µR1 (x2 ) = máx{0.2, 0.4, 0.8, 1, 0.8, 0.6} = 1 µR1 (x3 ) = máx{0.4, 0.8, 1, 0.8, 0.4, 0.2} = 1. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(36) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 36. Por lo tanto, la proyección de R sobre X es: R1 = {(x1 , 1), (x2 , 1), (x3 , 1)}. AT EM AT IC AS. 2.10 Relación de equivalencia clásica. Análogamente, la proyección de R sobre Y , se obtiene calculando µR2 (y1 ) = máx{0.1, 0.2, 0.4} = 0.4. µR2 (y3 ) = máx{0.4, 0.8, 1} = 1. M. µR2 (y2 ) = máx{0.2, 0.4, 0.8} = 0.8. Y. µR2 (y4 ) = máx{, 0.8, 1, 0.8} = 1. IC AS. µR2 (y5 ) = máx{1, 0.8, 0.4, 0.2} = 1 µR2 (y6 ) = máx{0.8, 0.6, 0.2} = 0.8. FI S. Por lo tanto, la proyección de R sobre Y , es:. Relación de equivalencia clásica. EN CI. 2.10.. AS. R2 = {(y1 , 0.4), (y2 , 0.8), (y3 , 1), (y4 , 1), (y5 , 1), (y6 , 0.8)}. CI. Sea R una relación en X (R ⊂ X × X). Diremos que:. DE. Definición 2.10.1 Una relación R es reflexiva ⇔ ∀x ∈ X, (x, x) ∈ R. Definición 2.10.2 Una relación R es simétrica ⇔ ∀x, y ∈ X, (x, y) ∈ R ⇒. A. (y, x) ∈ R.. OT. EC. Definición 2.10.3 Una relación R es transitiva ⇔ ∀x, y, z ∈ X, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R.. BL I. Definición 2.10.4 Una relación R es de equivalencia ⇔ R es reflexiva, simetrica. BI. y transitiva.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(37) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 37. AT EM AT IC AS. 2.10 Relación de equivalencia clásica. Ejemplo 2.10.1. 1. Si X = R, entonces la relación de igualdad entre números reales, es una relación de equivalencia.. 2. Sea X = {rectas del plano}. Entonces la relación de “paralelismo” entre rectas del plano, es una relación de equivalencia.. M. Sim embargo, la relación de perpendicularidad NO es una relación de equiva-. Y. lencia.. IC AS. Ejemplo 2.10.2 Sea X = R2 \ {(0, 0)}. Para puntos P, Q ∈ X definimos la relación ∼, como:. ←→. A. DE. CI. EN CI. AS. FI S. P ∼ Q ⇔ Q se encuentra en la recta que pasa por el origen 0 y P ⇔ Q ∈ OP. EC. Entonces la relación “ ∼ ” es una relación de equivalencia. En efecto,. OT. (i) ∼ es reflexiva, es decir, P ∼ Q ∀P ∈ X: Esto sigue ya que todo punto se. BL I. encuantra en la recta que pasa por el orı́gen y el mismo punto. Por tanto, ∼ es reflexiva.. BI. (ii) ∼ es simétrica, es decir, si P ∼ Q, entonces Q ∼ P : En efecto, si P ∼ Q es decir, si Q se encuentra en la recta que pasa por el orı́gen y P , entonces P. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(38) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 38. AT EM AT IC AS. 2.10 Relación de equivalencia clásica. se encuentra en la mı́sma recta que pasa por el orı́gen y Q. Por tanto, ∼ es simétrica.. (ii) ∼ es transitiva, es decir, si P ∼ Q ∧ Q ∼ R, entonces P ∼ R(P, Q y R son puntos de X). En efecto, si P ∼ Q y Q ∼ R, entonces. ←→. ←→. ←→. Y. decir, P ∼ R.. M. Q ∈ OP ∧R ∈ OP entonces R ∈ OP , es. FI S. IC AS. ∴ ∼ es transitiva.. Ejemplo 2.10.3 La relación de “ congruencia módulo m ” (m entero positivo > 1). AS. sobre el conjunto Z de los números enteros, definidos para a, b ∈ Z como. EN CI. a ≡ b(mod m) ⇔ m | a − b, es una relación de equivalencia.. En particular bajo la congruencia módulo 2 (m = 2), todos los números enteros. CI. pares son equivalentes y todos los números enteros impares son equivalentes.. DE. Ejemplo 2.10.4 Las relaciones de equivalencia también se pueden representar por un gráfico ya que ellas son relaciones binarias sobre un conjunto. Por ejemplo la. A. relacion congruencia modulo 3 sobre el conjunto finito {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} puede rep-. BI. BL I. OT. EC. resentarse por el siguiente gráfico,. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(39) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.11.. 39. Relacion de tolerancia clásica. AT EM AT IC AS. 2.11 Relacion de tolerancia clásica. Una relación de tolerancia R1 (también llamada una relación de proximidad) en. un universo X es una relación que exhibe sólo las propiedades de reflexividad y. simetrı́a. Una relación de la tolerancia, R1 , puede ser transformada en una relación de equivalencia generalmente por (n − 1) composiciones consigo misma, donde n es. R1n−1 = R1 ◦ R1 ◦ · · · ◦ R1 = R. M. el número cardinal del conjunto definición de R1 , en este caso X, es decir. (2.14). Y. Ejemplo 2.11.1 Supongamos que en un sitema de transporte aéreo que tenemos. IC AS. un universo compuesto de cinco elementos: la ciudad de Lima, Trujillo, Piura, Tacna y Cuzco. Estas ciudades pueden ser enumeradas como los elementos de un conjunto,. FI S. es decir:. X = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 } = {Lima, Trujillo, Piura, Tacna, Cuzco}. DE. CI. EN CI. relaciones entre estas ciudades. AS. Además, supongamos que tenemos una relación de tolerancia R1 , que expresa las. Esta relación es reflexiva y simétrica. La gráfica de esta relación de tolerancia im-. A. plicarı́a cinco vértices (cinco elementos en la relación), tal como se muestra en la. EC. figura 2.3. La propiedad de la reflexividad (todos los elementos de la diagonal son. OT. iguales a la unidad) indica que la ciudad está totalmente relacionada consigo misma. La propiedad de simetrı́a podrı́a representar cercania: Lima y Trujillo (x1 y x2 ) están. BL I. cerca (en un sentido binario) geográficamente y Trujillo y Cuzco (x2 y x5 ) están cer-. BI. ca geográficamente. Esta relación, R1 , no tiene propiedades de transitividad, por ejemplo: (x1 , x2 ) ∈ R1. (x2 , x5 ) ∈ R1 pero (x1 , x5 ) ∈ / R1. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(40) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 40. M. AT EM AT IC AS. 2.11 Relacion de tolerancia clásica. EN CI. AS. FI S. IC AS. Y. Figura 2.3: Gráfico de la relación de Tolerancia (Reflexiva y Simétrica) R1 .. Figura 2.4: Gráfico de la relación de Equivalencia (Reflexiva, Simétrica y Transitiva). CI. obtenida de R1 .. Veamos que R1 se puede convertir en una relación de equivalencia a través de una. BL I. OT. EC. A. DE. (1 ≤ n, donde n = 5) composición, utilizando la ecuación 2.14, obtenemos:. Ahora, notemos que esta matriz R es transitiva, ((x1 , x5 ) ∈ R1 ) y asi, R es una. BI. relación de equivalencia.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(41) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.12.. 41. AT EM AT IC AS. 2.12 Relación de equivalencia difusa. Relación de equivalencia difusa. Sea R una relación difusa R en X × X. Diremos que: Definición 2.12.1 La relación difusa R es reflexiva si: ∀x ∈ X, µR (x, x) = 1. (2.15). IC AS. Y. M. Ejemplo 2.12.1 Sea X = {1, 2, 3, 4}. Entonces la relación difusa. FI S. es una relación reflexiva (notemos que todos los elementos de su diagonal principal son unos).. AS. Definición 2.12.2 La relación difusa R es simétrica si: (2.16). EN CI. ∀x, y ∈ X, µR (x, y) = µR (y, x). DE. CI. Ejemplo 2.12.2 La relación R cuya matriz es:. A. es una relación simétrica (notemos que todos los elementos de la matriz simétrica-. EC. camente situados respecto de la diagonal principal, son iguales).. OT. Definición 2.12.3 La relación difusa R es transitiva si: ∀x, y, z ∈ X, µR (x, y) =. BI. BL I. λ1 y µR (y, z) = λ2 ⇒ µR (x, z) = λ donde λ ≥ mı́n{λ1 , λ2 }. (2.17). Definición 2.12.4 La relación difusa R es de equivalencia ⇔ R es reflexiva, simétrica y transitiva.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(42) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.13.. 42. Relación de tolerancia difusa. AT EM AT IC AS. 2.13 Relación de tolerancia difusa. Se puede demostrar que cualquier relación de tolerancia difusa R1 , que tiene propiedades de reflexividad y de simetrı́a puede ser transformada en una relación de equivalencia difusa mediante (n − 1) composiciones consigo misma. Es decir, R1n−1 = R1 ◦ R1 ◦ · · · ◦ R1 = R,. M. es un relación.. (2.18). AS. FI S. IC AS. Y. Ejemplo 2.13.1 Sea la relación. R1 es reflexiva y simétrica, pero no transitiva, pues:. EN CI. µR1 (x1 , x2 ) = 0.8, µR1 (x2 , x5 ) = 0.9 pero µR1 (x1 , x5 ) = 0.2 mı́n{0.8, 0.9} A fin de obtener una relación de equivalencia difusa R a partir de R1 , componemos. EC. A. DE. CI. (en el sentido máx − mı́n) R1 consigo misma y obtenemos:. BL I. OT. Notemos que la relación difusa R12 , aún no es transitiva, pues: µR12 (x1 , x2 ) = 0.8 y µR12 (x2 , x4 ) = 0.5. BI. pero µR12 (x1 , x4 ) = 0.2 mı́n{0.8, 0.5}. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(43) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 43. AT EM AT IC AS. 2.14 Relaciones de similaridad. Realizando la composición R12 ◦ R1 = R13 obtenemos la matriz difusa. M. Podemos ver ahora que la relación difusa R es transitiva (además de simétrica y. Y. reflexiva). Por tanto, R es una relación de equivalencia difusa.. Observación. La relación R13 ◦ R1 = R14 , también es una relación de equivalencia. Relaciones de similaridad. FI S. 2.14.. IC AS. difusa.. Definición 2.14.1 Una relación difusa R ⊂ X × X se llama una relación de sim-. EN CI. La siguiente relación difusa. EC. A. DE. CI. Ejemplo 2.14.1. AS. ilaridad ⇐⇒ R es reflexiva, simétrica y transitiva.. BI. BL I. OT. es una relación de similaridad.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(44) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 44. 2.15.. Ordenamientos difusos. 2.15.1.. Relación de orden. AT EM AT IC AS. 2.15 Ordenamientos difusos. Definición 2.15.1 Una relación difusa R ⊂ X × X se llama relación de orden ⇐⇒ R es transitiva en el sentido máx − mı́n, es decir,. µR (x, z) ≥ máx(mı́n(µR (x, y), µR (y, z)))) ∀x, z ∈ X. M. y∈X. FI S. IC AS. Y. Ejemplo 2.15.1 La relación difusa. Relación de preorden. EN CI. 2.15.2.. AS. es una relación de orden, por ser transitiva en el sentido máx − mı́n.. Definición 2.15.2 Una relación difusa R ⊂ X × X se llama relación de preorden ⇐⇒ R es reflexiva y transitiva en el sentido máx − mı́n.. OT. EC. A. DE. CI. Ejemplo 2.15.2 La siguiente relación difusa. BI. BL I. es una relación de preorden.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(45) AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. M. CONCLUSIONES. Y. Al finalizar este trabajo, hemos obtenido las siguientes conclusiones:. IC AS. 1. El concepto de relación binaria difusa es una extensión del concepto de relación binaria clásica (Cap. II).. 2. El concepto de similaridad (contexto difuso) es una extensión del concepto de. BI. BL I. OT. EC. A. DE. CI. EN CI. AS. FI S. relación de equivalencia (contexto clásico) (Cap. II).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
(46) M. Referencias Bibliográficas. AT EM AT IC AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. IC AS. tions, Academic Press (New York, 1980).. Y. [1] DUBOIS, D. Y PRADE, H.: Fuzzy sets and systems: Theory and applica-. [2] KERRE, E.: On The evolution of the Mathematics of fuzziness. Fuzzy Sets and advanced mathematical applications, Kluwer Acad. Publ. (Dordrecht, 1997),pp.. FI S. 3-34. [3] LEE, KWANG (2005): First course on Fuzzy Theory and Applications, Edit.. AS. Springer Verlag Berlin-Heidelberg, 2005.. EN CI. [4] LOWEN, R.: Mathematics and fuzziness, en Proc. Nato Fuzzy Sets Theory and applications, D. Rediel Pub. (Dorrecht, 1986).. CI. [5] MORDESON, J. N. y P. S.: Fuzzy Mathematics. An introduction for engi-. DE. neers and scientists, Springer-Verlag (Heidelberg, 1998). [6] NGUYEN HONGT y WALKER ELBERT (2000): A first course in fuzzy. A. logic. Second edition, Chapman y Hall / CRC. 2000.. BI. BL I. OT. EC. [7] ZADEH L. A.: Fuzzy sets, Inform. And Control 8 (1965) 338-353.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.
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