3 Calcula las alturas del cerezo, el ciprés y el chopo, aproximándolas hasta los

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(1)

7

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 146

Los chicos del dibujo deben medir los 35 árboles de una parcela

hori-zontal. Para ello, proceden así:

Clavan en el suelo una estaca vertical que sobresale 160 cm.

A continuación, corren a señalar los extremos de las sombras de los

35 árboles y de la estaca.

Una vez señalados, proceden, ya sin prisas, a medirlas y a anotar las

medidas. Estos son algunos resultados:

1

Razona que la estaca y su sombra forman un triángulo rectángulo.

¿Ocurre lo mismo con cada árbol y su sombra?

La estaca es vertical y el suelo es horizontal. La sombra se proyecta sobre el suelo. Por tanto, la estaca y su som-bra son los catetos de un triángulo rectángulo.

Lo mismo ocurre con cada árbol y su sombra (los árbo-les hay que idealizarlos para considerarlos como seg-mentos verticales).

2

¿Por qué se han de dar prisa en señalar los extremos de las sombras?

Razona que todos los triángulos descritos son semejantes.

Hay que señalar las sombras muy deprisa para que no les afecte el movimiento del Sol. Para que los triángulos sean semejantes, hay que medir todas las sombras en el mismo instante.

3

Calcula las alturas del cerezo, el ciprés y el chopo, aproximándolas hasta los

decímetros.

En la estaca, 160 : 82 = 1,9512… = t. Este es el número por el que hay que mul-tiplicar la sombra para obtener la longitud de la estaca.

Por ser los triángulos semejantes, si en los demás se multiplica la sombra por ese número, se obtiene la longitud del árbol correspondiente:

CEREZO 8 SOMBRA· t= 1,23 · t= 2,4 m (altura del cerezo) CIPRÉS 8 SOMBRA· t= 2,61 · t= 5,09 m (altura del ciprés) CHOPO 8 SOMBRA· t= 4,3 · t= 8,39 m (altura del chopo)

EST

A

C

A

SOMBRA DE LA ESTACA

L A S O M B R A D E E S TA C A C E R E Z O C I P R É S C H O P O

M I D I Ó 82 cm 1,23 m 2,61 m 4,3 m

(2)

7

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 147

ANTES DE COMENZAR, RECUERDA

1

Dibuja un triángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm. Es rectángulo porque sus

lados verifican el teorema de Pitágoras (32+ 42= 52). Traza la altura sobre la hipotenusa. Demuestra que los dos pequeños triángulos en que se divide el grande son semejantes entre sí.

• es semejante a por

com-partir el ángulo A^.

• es semejante a por tener

en común el ángulo C^.

Se concluye, pues, que es semejante a .

2

Observa cómo calcula Leticia la altura de una morera que proyecta una

som-bra de 5,7 m a la luz de una farola de altura desconocida:

a) Altura de Leticia = 1,68 m Sombra de Leticia = 1,5 m d= 2,9 m

Con esto se calcula la altura de la farola. b)Conociendo la altura de la farola y la sombra de la morera, 5,7 m, y midien-do la distancia de la farola a la morera, 2 m, se calcula la altura de la morera.

Resuelve los apartados a) y b) descritos en la situación anterior.

a) Si h es la altura de la farola, por la semejanza de triángulos:

= 8 = 8 h= 3,248 m mide la farola.

b)hm 8 altura de la morera:

5,7 m 2 m

h = 3,248 m hm

1,68 1,5

h

2,9 1,68

1,5

h d

d

BHC

ABH

5 cm

4 cm B

C H

A 3 cm

BHC

ABC

ABH

ABC

(3)

7

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 148

1

Dibuja sobre un ángulo como el anterior, 34°, un triánguo rectángulo mucho más grande. Halla sus razones trigonométricas y observa que obtienes, aproxi-madamente, los mismos valores.

sen34° = = = 0,56

cos34° = = = 0,82

tg34° = = = 0,68

PÁGINA 149

2

Utilizando el anterior aparato y un transportador de ángulos, calcula el seno y el coseno de 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70° y 80°, y la tangente de aquellos que puedas.

sen10° = 0,18, cos10° = 0,98, tg10° = 0,18

sen20° = 0,34, cos20° = 0,94, tg20° = 0,37

sen30° = 0,5, cos30° = 0,86, tg30° = 0,58

U 0,5

O

0,5 51 mm

35 mm 62 mm

B

A C

35 51

BC AC

51 62

AC AB

35 62

BC AB

(4)

7

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

sen40° = 0,64, cos40° = 0,76, tg40° = 0,84

sen50° = 0,76, cos50° = 0,64

sen60° = 0,86, cos60° = 0,5

sen70° = 0,94, cos70° = 0,34

sen80° = 0,98, cos80° = 0,18

PÁGINA 150

1

sen37° = 0,6. Calcula cos37° y tg37°.

sen37° = 0,6

(cos37°)2+ (0,6)2= 1 8 cos37° = ± = ±0,8 Solo tomamos el resultado positivo: cos37° = 0,8

tg37° = = 0,75

2

tg28° = 0,53. Calcula sen28° y cos28°.

= 0,53

(sen28°)2+ (cos28°)2= 1

sen28° = 0,53 cos28°

(0,53 cos28°)2+ (cos28°)2= 1 8 0,28 (cos28°)2+ (cos28°)2= 1 8 8 1,28 (cos28°)2= 1 8

8 cos28° = ± 8 cos28° = ±0,88 Solo tomamos el resultado positivo: cos28° = 0,88

sen28° = 0,53 · 0,88 8 sen28° = 0,46

PÁGINA 151

3

Teniendo en cuenta que tg45° = 1, deduce el valor de sen45° y de cos45° mediante las relaciones fundamentales.

= 1; sen45° = cos45° (sen45°)2+ (cos45°)2= 1

(cos45°)2+ (cos45°)2= 1 8 cos45° = ± = ± √2 2 1

2

sen45°

cos45°

1

1,28

sen28°

cos28° 0,6 0,8

√1 – 0,36

(5)

7

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

4

Teniendo en cuenta que sen30° = 1/2, halla el valor de cos30° y de tg30° mediante las relaciones fundamentales.

sen30° =

(sen30°)2+ (cos30°)2= 1 8 + (cos30°)2= 1 8 cos30° = ± Tomamos el resultado positivo: cos30° =

tg30° = = =

5

Completa en tu cuaderno la siguiente tabla:

En las operaciones donde aparezcan radicales, trabaja con ellos; no utilices su ex-presión decimal.

En todos los casos solo tomaremos los resultados positivos. • sena= 0,94

(cosa)2+ (0,94)2= 1 8 cosa= 0,34

tga= = 2,76 • cosa= 0,82

(sena)2+ (0,82)2= 1 8 sena= 0,57

tga= = 0,69 • sena=

2

+ (cosa)2= 1 8 (cosa)2= 1 – 8 cosa=

tga= = 4 3 4/5 3/5

3 5 16

25

)

4 5

(

4 5 0,57 0,82 0,94 0,34

s e n a 0,94 0,57 4/5 0,96 1/2 √—2/2

c o s a 0,34 0,82 3/5 0,27 √—3/2 √—2/2

t g a 2,76 0,69 4/3 3,5 √—3/3 1

s e n a 0,94 4/5

c o s a 0,82 3/2

t g a 3,5 1

√3 3 1

√3 1/2

√3/2

√3 2

√3 2 1

4 1

2

(6)

7

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

tga= 3,5

= 3,5; sena= 3,5 · cosa

(sena)2+ (cosa)2= 1

(3,5 cosa)2+ (cosa)2= 1 8 13,25(cosa)2= 1 8 cosa= 0,27

sena= 3,5 · 0,27 8 sena= 0,96 • cosa=

(sena)2+

2

= 1 8 (sena)2= 1 – 8 sena=

tga= = =

tga= 1

= 1; sena= cosa

(sena)2+ (cosa)2= 1

(cosa)2+ (cosa)2= 1 8 2(cosa)2= 1 8 cosa= =

sena=

6

Un carpintero quiere construir una escalera de tijera, cu-yos brazos, una vez abiertos, formen un ángulo de 60°.

Para que la altura de la escalera, estando abierta, sea de 2 metros, ¿qué longitud deberá tener cada brazo?

cos30° = 8 = 8 L= ≈2,3 m

Cada brazo deberá medir, aproximadamente, 2,3 m de longitud.

7

Calcula el seno y la tangente de un ángulo cuyo coseno vale 0,8.

cosa= 0,8

(sena)2+ (cosa)2= 1 8 (0,8)2+ (sena)2= 1 8 sena= ±0,6 Tomamos solo el valor positivo: sena= 0,6

tga= = 0,6 0,75 0,8

4

√3 2

L √3

2 2

L √2

2

√2 2 1

√2

sena cosa

√3 3 1

√3 1/2

√3/2

1 2 3

4

)

√3

2

(

√3 2

sena cosa

(7)

7

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

8

Calcula el seno y el coseno de un ángulo cuya tangente vale 0,7.

tga= 0,7

= 0,7; sena= 0,7 · cosa

(sena)2+ (cosa)2= 1

(0,7 cosa)2+ (cosa)2 = 1 8 1,49 (cosa)2= 1 8 cosa= ±0,82 Solo tomamos el valor positivo: cosa= 0,82

sena= 0,7 · 0,82 8 sena= 0,57

PÁGINA 152

1

Obtén las siguientes razones trigonométricas y escribe en tu cuaderno los re-sultados redondeando a las milésimas.

a)sen86° b)cos59° c)tg22° d)sen15° 25' 43'' e)cos59° 27' f )tg86° 52' g)sen10° 30'' (atención, 10° 0' 30'')

a)sen86° = 0,998 b)cos59° = 0,515

c)tg22° = 0,404 d)sen15° 25' 43'' = 0,266 e)cos59° 27' = 0,508 f )tg86° 52' = 18,268 g)sen10° 30'' = 0,174

PÁGINA 153

2

Da el valor del ángulo a en forma sexagesimal, en cada caso: a)sena= 0,91 b)tga= 5,83 c)cosa= 0,42 d)tga= 0,34 e)sena= 0,08 f )cosa= 0,88

a)a= 65° 30' 19'' b)a= 80° 16' 1'' c)a= 65° 9' 55'' d)a= 18° 46' 41'' e)a= 4° 35' 19'' f )a= 28° 21' 27''

3

Calcula sena sabiendo que cosa= 0,91 Calcula cosa sabiendo que tga= 6,41 Calcula tga sabiendo que cosa= 0,06 Calcula tga sabiendo que cosa= 0,96 Calcula sena sabiendo que tga= 0,1

cosa= 0,91 8 sen a= 0,415 tga= 6,41 8 cos a= 0,154

cosa= 0,06 8 tg a= 16,637 cosa= 0,96 8 tg a= 0,292

tga= 0,1 8 sen a= 0,0995

sena cosa

(8)

7

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 155

1

Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 48 cm y 71 cm. Calcula, en grados y minutos, los dos ángulos agudos.

tga= = 0,676 8 a= 34° 3' 39,27''

b= 90° – 34° 3' 39,27'' = 55° 86' 51,73''

2

En un triángulo rectángulo un ángulo agudo mide 37°, y el cateto opuesto, 87 m. Halla el otro cateto y la hipotenusa.

sen37° = 8 a= = 144,56 m

tg37° = 8 c= = 115,45 m

3

Halla el radio de un octógno regular de 20 cm de lado. ¿Cuánto mide su apo-tema?

sen22,5° = 8 r= ≈26,13 cm

cos22,5° = 8 apotema ≈24,14 cm

4

Desde un cohete espacial se ve la Tierra bajo un ángulo de 100°.

a) ¿A qué distancia de la Tierra se encuentra en ese instante?

b) ¿Cuál es el área de la porción de tierra visible desde el cohete?

a)d= – R= – 6 366 = 1 944,2 km (R es el radio de la Tierra)

b) h = RR cos40° = 1 489,36 km

Área del casquete = 2πRh = 59 572 592,72 km2

40° 50°

h

R

d

6 366

cos40°

R cos40°

20

22,5°

r

apotema

r

10

sen22,5° 10

r

87 m a

c

37°

87

tg37° 87

c

87

sen37° 87

a 48 cm

a b

71 cm

48 71

(9)

7

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

5

¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra hemos de subir para ver un lugar situado a 400 km de distancia?

A un arco de 400 km le corresponde un ángulo de 3,6°.

d= – R= 12,587 km (R es el radio de la Tierra).

PÁGINA 157

1

En un triángulo ABC, calcula BC conociendo AB= 37 cm, AC= 50 cm y BACì= 32°.

cos32° = 8 x= 31,38 cm

sen32° = 8 h = 19,61 cm

y= 50 – x= 50 – 31,38 = 18,62 cm = = 27,04 cm

2

Para hallar la altura a la que se encuentra un globo, procedemos así:

Rosa se coloca en un punto B, y yo en A, a 5 me-tros de ella, de forma que los puntos A, B y C (observa la figura) quedan alineados.

Si los ángulos a y b miden 40° y 50°, respectiva-mente, ¿a qué altura se encuentra el globo?

h 8 altura a la que se encuentra el globo. 1,19 = 8 h = 1,19x

0,84 = 8 0,84 = 8 0,84x+ 4,2 = 1,19x 8 0,35x= 4,2 8 8 x= 12 8 h = 1,19 · 12 = 14,28 m

El globo se encuentra a 14,28 m de altura. 1,19x

x+ 5 h

x+ 5

A B C

h

x

b a

h

x

° § § ¢ § § £

h

tg50° = —

x

h

tg40° = —

x+ 5

° § § ¢ § § £

h

tgb= —

BC

h

tga= —

AC

A B C

√h2+y2

BC

50 cm

37 cm

32° x y

h

A

B

C

h 37

x

37

R cos3,6°

(10)

7

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

3

Una antena de radio está sujeta al suelo con dos tirantes de cable de acero, como indica la figura.

Calcula:

a) La altura de la antena.

b) La longitud de los cables.

c) El valor del ángulo ABCì.

a) h 8 altura de la antena.

x= 126 – x 8

(

+ 1

)

x= 126 8 x= = 46,12 8 8 h = 126 – 46,12 8 h = 79,88 m

La altura de la antena es de 79,88 m

b)cos60° = 8 = 8 = 92,24 m

sen45° = 8 = 8 = 112,97 m c)ABCì= 180° – 60° – 45° = 75°

BC

79,88

BC √2

2 h

BC

AB

46,12

AB

1 2

x AB

126

√3 + 1

√3

√3

° § § ¢ § § £

h

√—3 = — 8 h = √—3x x

h

1 = — 8 h = 126 – x

126 – x

° § § ¢ § § £

h

tg60° = —

x

h

tg45° = — 126 – x

A

B

C x

h

45° 126 m

60°

B

A C

60° 45°

126 m

(11)

7

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 159

1

Sitúa sobre la circunferencia goniométrica los ángulos: 62°, 154°, 243° y 300°

Representa sus razones trigonométricas y da su valor aproximado.

sen62° = 0,88 cos62° = 0,47 tg62° = 1,88

sen154° = 0,44 cos154° = –0,9 tg154° = –0,49

sen243° = –0,89 cos243° = –0,45 tg243° = 1,96

sen300° = –0,87 cos300° = 0,5 tg300° = –1,73

2

En la página anterior, en la circunferencia goniométrica sobre la que se han re-presentado el seno y el coseno, hay un triángulo coloreado, OA'A.

a) Razonando sobre él y teniendo en cuenta que OA—= 1, justifica que:

cosa= OA'— y sena= A'A—

b) Aplicando el teorema de Pitágoras en este triángulo justifica que:

(sena)2+ (cosa)2= 1

c) Justifica que (sen b)2 + (cos b)2 = 1, razonando sobre el correspondiente triángulo.

a)cosa= = =

b) (sena)2+ (cosa)2= ( )2+ ( )2= ( )2= 1

c) (senb)2+ (cosb)2= 2= 1

3

Di el valor de sena y cosa cuando a vale 0°, 90°, 180°, 270° y 360°.

4

En este círculo se da el signo de senf según el cuadran-te en el que se halle situado el ángulo f. Comprueba que es correcto y haz algo similar para cosf.

El coseno se corresponde con la longitud en el eje X, por lo que será positivo en el primer y cuarto cuadrante y ne-gativo en el segundo y tercer cuadrante.

– +

– +

+ +

– –

a 0 ° 9 0 ° 1 8 0 ° 2 7 0 ° 3 6 0 °

s e na 0 1 0 –1 0

c o s a 1 0 –1 0 1

OB

OA OA'

AA' OA' OA'

1

OA' OA

(12)

7

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

5

Teniendo en cuenta la semejanza de los triángulos OA'A y OUT, y que OU—= 1, demuestra que:

= tga

Por la semejanza de triángulos:

= 8 = = 8 tga= =

PÁGINA 160

6

Expresa con valores entre –180° y 180° estos ángulos: 1 837°, 3 358°, 1 381° y 3 805°. Comprueba con la calculadora que, en cada caso, coinciden las razones trigonométricas de uno y otro ángulo.

1 837° = 5 · 360° + 37° 8 37° 3 358° = 9 · 360° + 118° 8 118° 1 381° = 4 · 360° – 59°8 –59° 3 805° = 11 · 360° – 155°8 –155°

a 1 8 3 7 °

3 7 °

3 3 5 8 ° 1 1 8 °

1 3 8 1 ° – 5 9 °

3 8 0 5 ° – 1 5 5 °

s e n a 0,60 0,88 –0,86 –0,42

c o s a 0,80 –0,47 0,52 –0,91

t g a 0,75 –1,88 –1,66 0,47

sena cosa AA'

OA' AA'

OA' AA' · OU—

OA' UT

OU UT OA' AA'

O A' U

A T

tg a

sen a

cos a

a sena

cosa

(13)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 161

R A C T I C A

R a z o n e s t r i g o n o m é t r i c a s d e u n á n g u l o a g u d o

1

Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángulos:

a) b) c)

a)sena= = 0,28; cosa= = = 0,96; tga= ≈0,29 b)sena= = ≈0,724

cosa= ≈0,69; tga= = 1,05 c)sena= = = ≈0,47

cosa= = ≈0,88; tga= = ≈0,53

2

Midiendo los lados, halla las razones trigonométricas de B^ en cada caso:

a) b)

a)sen B^= ≈0,82; cos B^= ≈0,59; tg B^= = 1,4 b)sen B^= ≈0,34; cos B^= ≈0,95; tg B^= 1,3 ≈0,36

3,6 3,6

3,8 1,3

3,8

2,8 2 2

3,4 2,8

3,4

A

A B

B C

C

8 15 32 60 15

17 60 68

8 17 32 68 32

√322+ 602

8,4 8 8

11,6

8,4 11,6

√11,62– 82 11,6

7 24 24

25

√252– 72 25 7

25

7 m

25 m

8 m

a a

a

11,6 cm

32 m

60 m

P

(14)

7

Soluciones a desarrolla tus competencias

PÁGINA 166

LEE Y COMPRENDE

Trigonometría y funciones

Imagina este ingenio, con una sola rueda, que lanza desde un diámetro dos rayos láser en sentidos opuestos. ¿Cuál de estas curvas dibujaría?

¿Qué función, relacionada con la trigonometría, asocias a esa curva?

La altura a la que incide el rayo sobre el papel (y), respecto a la horizontal que pasa por el eje de la rueda, es igual a la tangente del ángulo (x) que forma el rayo con la horizontal.

Por tanto, el rayo dibuja la función y= tg x, que corresponde a la gráfica B.

x

1

y = tg x

A

B

C

D

(15)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

3

Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes triángulos rectángulos (A^= 90°):

a)b= 56 cm; a= 62,3 cm b)b= 33,6 cm; c= 4,5 cm c)c= 16 cm; a= 36 cm

a) sen B^= ≈0,90

cos B^= = ≈0,438

tg B^= ≈2,051

sen C^= ≈0,438; cos C^= ≈0,90; tg C^= = 0,4875

b) sen B^= = ≈0,991

cos B^= ≈0,133

tg B^= ≈7,467

sen C^= ≈0,133; cos C^= ≈0,991; tg C^= ≈9,955

c) sen B^= ≈ ≈0,896

cos B^= = 0,4

)

tg B^= ≈2,016

sen C^= = 0,4;

)

cos C^= ≈0,896; tg C^= ≈0,496

4

Comprueba, con el teorema de Pitágoras, que los triángulos ABC y AHB son rectángulos.

Halla en cada uno las razones trigonométricas del ángulo B y compara los resultados. ¿Qué observas?

El triángulo ABC es rectángulo en A:

242+ 72= 625 = (23,04 + 1,96)2= 252= 625

El triángulo AHB es rectángulo en H:

23,042+ 6,722= 576 = 242 B H C A 1,96 cm 23,04 cm 24 cm 6,72 cm 7 cm 16 32,25 32,25 36 16 36 32,25 16 16 36 32,25 36

√362– 162 36 4,5 33,6 33,6 33,9 4,5 33,9 33,6 4,5 4,5 33,9 33,6 33,9 33,6

√4,52+ 33,62

27,3 56 56 62,3 27,3 62,3 56 27,3 27,3 62,3

(16)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

5

Calcula las razones trigonométricas de los ángulos A^ y C^, ABDì y CBDì.

= = 9; = = 20

R e l a c i o n e s f u n d a m e n t a l e s

6

Si sena= 0,28, calcula cos a y tga utilizando las relaciones funda-mentales (a< 90°).

cosa= = 0,96; tga= ≈0,292

7

Halla el valor exacto (con radicales) de sen a y tg a sabiendo que cosa= 2/3 (a< 90°).

a

1 –

(

—2

)

2

1 – —4 √5 a √5/3 √5

0,28 0,96

√1 – 0,282

√122+ 162

BC √152– 122

AD

B

C

16 cm

15 cm

A D

12 cm

Pág. 3

s e n B^ c o s B^ t g B^

e nA B C — = 0,287

25

24 — = 0,96 25

7

—≈0,292 24

e nA H B — = 0,286,72

24

23,04 — = 0,96

24

6,72

—≈0,292 23,04

A^ C^ ^ABD ^CBD

s e n — = 0,812

15

12 — = 0,6 20

9 — = 0,6 15

16 — = 0,8 20

c o s — = 0,69

15

16 — = 0,8 20

12 — = 0,8 15

12 — = 0,6 20

t g — = 1,12

)

3

9

12 — = 0,75 16

9 — = 0,75 12

(17)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

8

Si tga= , calcula sena y cosa (a< 90°).

sena= · =

9

Calcula y completa esta tabla con valores aproximados:

En todos los casos solo tomaremos valores positivos.

sena= 0,92 8 cosa= = 0,39

tga= = 2,35 • tga= 0,75

= 0,75 8 sena= 0,75 · cosa

(sena)2+ (cosa)2= 1 8 (0,75 · cosa)2+ (cosa)2= 1 8 8 (cosa)2= 0,64 8 cosa= 0,8

sena= 0,75 · 0,8 = 0,6

cosa= 0,12 8 sena= = 0,99

tga= = 8,27

10

Calcula el valor exacto (utilizando radicales) de las razones trigonomé-tricas que faltan en la tabla siguiente (a< 90°):

s e na 2/3 √—7/3 2√—5/5

c o sa √—5/3 √—2/3 √—5/5

t g a 2√—5/5 √—7/2 2

s e n a 2/3

c o s a √—2/3

t g a 2

0,99 0,12

√1 – (0,12)2

sen a cos a

0,92 0,39

√1 – (0,92)2

s e n a 0,92 0,6 0,99

c o s a 0,39 0,8 0,12

t g a 2,35 0,75 8,27

s e n a 0,92

c o s a 0,12

t g a 0,75

√30 6

√6 6

√5

s= √—5c

1 √—6 (√—5c)2+c2= 1 8 6c2= 1 8 cosa= — = —

√—6 6

° § ¢ § £

sena

— = √—5

cosa

sen2a+cos2a= 1

5

(18)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

Como a <90° 8

sena= 8 cosa= = =

tga= = =

cosa= 8 sena= = =

tga= =

tga= 2 8 = 2 8 sena= 2 cosa

(sena)2+ (cosa)2= 1 8 4(cosa)2+ (cosa)2= 1 8cosa= =

sena=

C a l c u l a d o r a

11

Completa la tabla siguiente, utilizando la calculadora:

12

Halla el ángulo a en cada caso. Exprésalo en grados, minutos y segundos.

a)sena= 0,58 b)cosa= 0,75 c)tga= 2,5

d)sena= e)cosa= f )1 tga= 32

3

5 3

a 1 5 ° 5 5 ° 2 0 ' 7 2 ° 2 5 ' 4 0 ' ' 8 5 , 5 °

s e n a 0,26 0,82 0,95 0,997

c o s a 0,97 0,57 0,30 0,078

t g a 0,27 1,45 3,16 12,71 a 1 5 ° 5 5 ° 2 0 ' 7 2 ° 2 5 ' 4 0 ' ' 8 5 , 5 °

s e n a

c o s a

t g a

2√5 5

√5 5 1

√5

sena cosa

7

2

√7/3

√2/3

√7 3 7

9

√—2

1 –

(

)

2 3

√2 3

2√5 5 2

√5 2/3

√5/3

√5 3 5

9 2

1 –

(

)

2 3 2

3

sena >0

cosa >0

° ¢ £

(19)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

13

Halla, con la calculadora, las otras razones trigonométricas del ángulo a

en cada uno de los casos siguientes:

a)sena= 0,23 b)cosa= 0,74 c)tga= 1,75

d)sena= e)tga= f )cosa=

a)cosa= 0,97; tga= 0,24 b)sena= 0,67; tga= 0,91 c)sena= 0,87; cosa= 0,5 d)cosa= 0,71; tga= 1 e)sena= 0,87; cosa= 0,5 f )sena= 0,5; tga= 0,58

PÁGINA 162

R e s o l u c i ó n d e t r i á n g u l o s r e c t á n g u l o s

14

Halla la medida de los lados y ángulos desconocidos en los siguientes triángulos rectángulos (A^= 90°):

a)b= 7 cm c= 18 cm b)a= 25 cm b= 7 cm

c)b= 18 cm B^= 40° d)c= 12,7 cm B^= 65°

e)a= 35 cm C^= 36°

a)a= = ≈19,31 cm

tg B^= = = 0,3

)

8 8 B^≈21° 15' 2''

C^= 90° – 21° 15' 2'' = 68° 44' 58'' b)c= = = 24 cm

sen B^= = = 0,28 8 B^≈16° 15' 37''

C^= 90° – 16° 15' 37'' = 73° 44' 23'' c)C^= 90° – 40° = 50°

sen B^= 8 sen40° = 8 a≈28 cm

tg B^= 8 tg40° = 8 c≈21,45 cm d)C^= 90° – 65° = 25°

tg B^= 8 tg65° = 8 b≈27,23 cm

cos B^= 8 cos65° = 12,7 8 a≈30,05 cm

a c

a

b

12,7

b c

18

c b

c

18

a b

a

7 25

b a

√252– 72

a2b2

7 18

b c

√72+ 182

b2+c2

3 2

3 1

2

(20)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

e)B^= 90° – 36° = 54°

sen C^= 8sen36° = 8 c≈20,57 cm

cos C^= 8 cos36° = 8 b≈28,32 cm

15

Cuando los rayos del sol forman 40° con el suelo, la sombra de un árbol mide 18 m. ¿Cuál es su altura?

tg40° = 8 x= 15,1 m mide el árbol.

16

Una escalera de 3 m está apoyada en una pared. ¿Qué ángulo forma la es-calera con el suelo si su base está a 1,2 m de la pared?

cosa= = 0,4 8 a= 66° 25' 19''

17

De un triángulo isósceles conocemos su lado desigual, 18 m, y su altura, 10 m. ¿Cuánto miden sus ángulos?

tga= = 1,1

)

8 a= 48° 46''

b= 180° – 2a= 83° 58' 28''

18

Calcula la altura, h, de los siguientes triángulos:

a) B b) B

D D A

A C C

28 cm

18 cm h h

65° 35°

18 m

a

10 m

a

b 10

9

1,2 m

a

3 m

1,2 3

18 m 40°

x

18

b

35

b a

c

35

c a

(21)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

19

Calcula la altura sobre el lado AB en los siguientes triángulos:

a) b)

a)

sen70° = 8 h ≈14,1 cm b)

sen40° = 8 h ≈14,8 cm

20

Halla:

a) La longitud AC.

b) El área del triángulo ABC.

Ten en cuenta que AC = AD + DC.

a) En ABD, cos53° = 8 ≈13,84 cm

≈13,84 + 29 = 42,84 cm En BDC, cos34° = 8 ≈29 cm

b) Hallamos la altura h en el triángulo ABD:

sen53° = 8 h ≈18,37 cm

AABC= = 42,84 · 18,37 ≈393,49 cm2 2

AC· h 2

h 23

DC DC

35

AC AD

AD

23

B

D C

A

35 cm 23 cm

34° 53°

h

h 23

h

B

A

C

23 cm 40°

h 15

B

C A

15 cm h

70°

B B

C

A

A C

23 cm 15 cm

70° 40°

Pág. 8

(22)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

R a z o n e s t r i g o n o m é t r i c a s d e á n g u l o s c u a l e s q u i e r a

21

Sitúa en la circunferencia goniométrica los siguientes ángulos e indica el signo de sus razones trigonométricas.

a) 128° b) 198°

c) 87° d) 98°

e) 285° f ) 305°

Compruébalo con la calculadora.

a) b)

c) d)

e) f )

22

Completa esta tabla sin usar la calculadora:

305°

s e n

c o s +

t g

305°

285°

s e n

c o s +

t g

285°

98°

s e n +

c o s

t g

98°

87°

s e n +

c o s +

t g +

87°

198°

s e n

c o s

t g +

198°

128°

s e n +

c o s

t g

128°

Pág. 9

0 ° 9 0 ° 1 8 0 ° 2 7 0 ° 3 6 0 °

s e n 1

c o s 0

t g No tiene

0 ° 9 0 ° 1 8 0 ° 2 7 0 ° 3 6 0 °

s e n 0 1 0 –1 0

(23)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

23

En cada uno de estos círculos está indicado el signo de las razones trigo-nométricas de a, según el cuadrante en el que esté a. ¿Cuál corresponde a sena. ¿Cuál a cosa? ¿Y cuál a tga?

a) b) c)

a)cosa b)sena c)tga

24

Resuelto en el libro de texto.

PÁGINA 163

25

Dibuja dos ángulos cuyo seno sea 2/5 y halla su coseno.

sena= 8 cosa= ± = ± = ±

cos = ; cos = –

26

Dibuja un ángulo menor que 180° cuyo coseno sea –2/3 y halla su seno y su tangente.

El ángulo cumple las condiciones.

cosa= – 8 sena= ± = ± 8 sen =

tg = = –√5 2

√5/3 –2/3

ì

AOP

√5 3

ì

AOP √5

3 4

1 – — 9 2

3

ì

AOP

a

O A

P

√21 5

ì

AOQ √21

5

ì

AOP

√21 5 21

25 4

1 – — 25 2

5

a

O A

P Q

b

+

+

+

+

+

+

(24)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

27

Sabiendo que tga= –2 y a< 180°, halla senay cosa.

cosa= – = – ; sena= =

I E N S A Y R E S U E L V E

28

Dos antenas de ra-dio están sujetas al suelo por cables tal como indi-ca la figura. Calcula la longitud de cada uno de los tramos de cable y la distancia AE.

sen60° = 8 ≈115,47 m tg60° = 8 ≈57,74 m

sen30° = 8 = 200 m tg30° = 8 ≈173,21 m

cos45° = 8 ≈106,07 m tg45° = 8 = 75 m

cos30° = 8 ≈86,6 m tg30° = 8 ≈43,3 m = 57,74 + 173,21 + 75 + 43,3 = 349,25 m

29

Una escalera para acceder a un túnel tiene la forma y las dimensiones de la figura.

Calcula la profundidad del punto B.

sen30° = 8 x= 12,5 m

sen50° = 8 y≈22,98 m

A x y 30° 25 m 30 m 10 m y 30 x 25 B A 30° 25 m 30 m 10 m 50° AE QE QE 75 DE 75 DE CQ CQ 75 CD 75 CD PC 100 PC BC 100 BC AP 100 AP AB 100 AB B

P C E

D Q A 75 m 100 m 60° 30° 45° 30°

P

2√5 5 2 √5 √5 5 1 √5

s= –2c

1 √—5 4c2+c2= 1 8 5c2= 1 8 c= ±— = ±—

√—5 5

° § ¢ § £ sena

— = –2

cosa

(sena)2+ (cosa)2= 1

(25)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

30

Una señal de peligro en una carretera nos advierte que la pendiente es del 12%. ¿Qué ángulo forma ese tramo de carretera con la horizontal? ¿Cuántos metros hemos descendido después de recorrer 7 km por esa carretera?

sena= = 0,12 8 a= 6° 53' 32''

sena= 8 x= 0,12 · 7 = 0,84 km = 840 m

31

En una ruta de montaña, una señal indica una altitud de 785 m. Tres ki-lómetros más adelante, la altitud es de 1 265 m. Halla la pendiente media de esa ruta y el ángulo que forma con la horizontal.

x= 1 265 – 785 = 480 m

sena= = 0,16 8 a= 9° 12' 25'' Pendiente = tga= 0,162 8 16,2%

32

Los brazos de un compás, que miden 12 cm, forman un ángulo de 50°. ¿Cuál es el radio de la circunferencia que puede trazarse con esa abertura?

sen25° = 8 x≈5,07 cm

Radio de la circunferencia ≈10,14 cm 50° 12 cm

x

x

12 480 3 000

a

1 265 m

x

785 m

3 km

x

7 km 6° 58' 34''

x

7

12

a

100 12

100

(26)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

33

Calcula el área de cada uno de estos triángulos:

a)

b)

a) Calculamos la altura, h, sobre AC:

sen50° = 8 h ≈9,19 m Área = = 105,685 m2

b) Calculamos la altura, h, sobre PR:

sen35° = 8 h ≈11,47 m Calculamos la base, :

cos35° = 8 = 40 · cos35°≈32,77 m Área = ≈188 m2

34

En el triángulo ABC calcula h y a.

• En el triángulo ABP:

sen65° = 8 h ≈16,31 cm • cos65° = 8 ≈7,61

= – = 23 – 7,61 = 15,39

a= = √h2+PC—2 √16,312+ 15,392 ≈22,42 cm

AP AC PC

P B

A 65° C

h

23

18 cm a

AP AP

18 h 18

32,77 · 11,47 2

PR PR/2

20

PR

h 20 23 · 9,19

2 h 12

20 m

35°

P R

Q

35°

B

C

23 m

12 m

A 50°

(27)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

35

En el triángulo ABC halla x, h e y.

• En el triángulo ABP:

cos50° = 8 x≈10,93 cm

sen50° = 8 h ≈13,02 cm • En el triángulo BCP:

y= = ≈25,91 cm

36

Calcula h, x y b.

En el triángulo PAB, PB = x + 17.

sen32° = 8 h ≈30,74 cm

cos32° = 8 x≈32,19 cm

b= ≈44,51 cm

37

Conocemos la distancia de nuestra casa a la iglesia, 137 m; la distancia de nuestra casa al depósito de agua, 211 m, y el ángulo, 43°, bajo el cual se ve des-de nuestra casa el segmento cuyos extremos son la iglesia y el des-depósito. ¿Cuál es la distancia que hay de la iglesia al depósito de agua?

En el triángulo IPC:

cos43° = 8 ≈100,2 m

sen43° = 8 ≈93,43 m = 211 – 100,2 = 110,8 m Distancia de la iglesia al depósito:

= = √PD—2+IP—2 √110,82+ 93,432≈144,93 m

ID PD

IP IP

137

CP CP

137

43°

211 m

137 m

P I

D C

x2+ h2

P C

A

B

32° h

17 cm 58 cm

x b

x+ 17 58 h 58

√292– 13,022

√292– h2 h 17

x

17

Pág. 14

P B

A 50° C

h

17 cm 29 cm

(28)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 164

38

Desde la torre de control de un aeropuerto se establece comunicación con un avión que va a aterrizar. En ese momento, el avión se encuentra a una altu-ra de 1 200 metros y el ángulo de observación desde la torre (ángulo que for-ma la visual hacia el avión con la horizontal) es de 30°.

¿A qué distancia está el avión del pie de la torre si esta mide 40 m de altura?

tg30° = 8 d= = 2 009,2 m Utilizando el teorema de Pitágoras:

D= = 2 340,3 m

La distancia del avión al pie de la torre es de 2 340,3 m.

39

Desde el lugar donde me encuentro, la visual de la torre forma un ángu-lo de 32° con la horizontal.

Si me acerco 25 m, el ángulo es de 50°. ¿Cuál es la altura de la torre?

25tg32° +x tg32° = x tg50° 25tg32° = x(tg50° – tg32°)

x= 25tg32° = 27,56 m

tg50° – tg32°

° ¢ £

25tg32° + x tg32° = h

x· tg50° = h

° § § ¢ § § £

h

tg32° = — 25 +x

h

tg50° = —

x

32° 50°

25 m

√(1 200)2+ (2 009,2)2

1 160

tg30° 1 200 – 40

d

d D

1200 m

40 m 30°

(29)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

40

Calcula la altura de la luz de un faro sobre un acantilado cuya base es inaccesible, si desde un barco se toman las siguientes medidas:

— El ángulo que forma la visual hacia la luz con la línea de horizonte es de 25°.

— Nos alejamos 200 metros y el ángulo que forma ahora dicha visual es de 10°.

tg25° = 8 h = x tg25°

tg10° = 8 h = (x+ 200)tg10°

x tg25° = (x+ 200)tg10° 8 x(tg25° – tg10°) = 200 · tg10° 8 8 x= = 121,6 m h = x tg25° = 121,6 · tg25° = 56,7 m

41

Para calcular la altura del edificio, PQ, hemos medido los ángulos que indica la figura. Sabemos que hay un funicular para ir de S a Q, cuya longi-tud es de 250 m. Halla PQ—.

Calculamos y con el triángulo SQR:

cos30° = 8 = 250 · cos30°≈216,5 m

sen30° = 8 = 250 · sen30° = 125 m Calculamos con el triángulo SPR:

tg40° = 8 = 216,5 · tg40°≈181,66 m Luego, = – = 181,66 – 125 = 56,66 m La altura del edificio es de 56,66 m.

RQ RP PQ

RP RP

SR RP

RQ RQ

250

SR SR

250

RQ SR

P Q

R S

250 m

30° 10°

200 · tg10°

tg25° – tg10° h

x+ 200 h

x

10° 25°

200 m

x

h

(30)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

42

Las tangentes a una circunferencia de centro O, trazadas desde un punto exterior, P, forman un ángulo de 50°. Halla la distancia PO sabiendo que el ra-dio de la circunferencia es 12,4 cm.

sen25° = 8

8 = ≈29,34 cm

43

Dos edificios distan entre sí 150 metros. Desde un punto del suelo que está entre los dos edificios, vemos que las visuales a los puntos más altos de estos for-man con la horizontal ángulos de 35° y 20°.

¿Cuál es la altura de los edificios, si sabemos que los dos miden lo mismo?

tg20° =

tg35° =

(150 – x)tg35° = x tg20° 8 x= = 98,7 m h = 98,7 · tg20° = 35,92 m

La altura de los dos edificios es de 35,92 m.

44

En dos comisarías de policía, A y C, se escucha la alarma de un banco B.

Con los datos de la figura, calcula la distan-cia del banco a cada una de las comisarías.

(5 – x)tg35° = x tg27° 8 5tg35° = x tg35° +x tg27°

x= = 2,89 km 8 h = 1,47 km

2= x2+ h2 8 AB = 2,892+ 1,472 = 3,24 km

AB

5tg35°

tg35° +tg27°

27°

5 km

35° h

B

C

A x

° ¢ £

h = x tg27° h = (5 – x)tg35°

° § § ¢ § § £

h

tg27° = —

x

h

tg35° = — 5 – x

5 km

27° 35°

A C

B

150 · tg35°

tg20° + tg35°

° ¢ £

h = x tg20°

h = (150 – x)tg35°

x

h h

150 m

20° 35°

h 150 – x

h

x

25°

P O

12,4 cm

12,4

sen25°

PO

12,4

PO

(31)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

45

Halla el área de un octógono regular de 12 cm de lado.

= 45°; = 22,5°; apotema: x tg22,5° = 8 x= 14,49 cm

Área = = 695,52 cm2

46

En un trapecio isósceles de bases AB y DC, conocemos los lados AB= 5m y BC= 3 m, y los ángulos que forma la base mayor con los lados obli-cuos, que son de 45°.

Halla su área.

sen45° = 8 h = 3 m

cos45° = 8 x= 3 m Base mayor: 5 + 3 + 3 = 11 m Área = = 24 m2

47

El lado de la base de una pirámide cuadrangular re-gular mide 6 m y el ángulo APDì= 60°. Halla su volumen.

El triángulo APD es equilátero; l= 6 m • Altura de la pirámide:

d2= 62+ 62 8 d= 6 m = = 3 m

En el triángulo APO, = = = 3 m Volumen = · 61 2· 3√2= 36√2m3

3

√2

√18

√62– (32 )2

PO

√2 6√2

2

AO

√2

C

A 6 m

P

D A

P

D l

B 60°

O

6 m

l 60° l

C

A

P

D B

(5 + 11) · 3 2

45° 45°

A B

D C

h 5 m

3√—2 m

x

x

3√2 h 3√2

2

12 cm

22,5° x

(12 · 8) · 14,49 2 6

x

45° 2 360°

8

Pág. 18

6 m

(32)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

48

Halla el ángulo que forma la diagonal de un cubo de arista 6 cm con la diagonal de la base.

2= 62+ 62 8 = 6 cm

tga= = 8 a= 35° 15' 52''

49

Desde un faro F se observa un barco A bajo un ángulo de 43° con res-pecto a la línea de la costa; y unbarco B, bajo un ángulo de 21°. El barco A está a 5 km de la costa, y el B, a 3 km. Calcula la distancia entre los barcos.

Calculamos y :

sen43° = 8 = = 7,33 km

sen21° = 8 = = 8,37 km

Para calcular d utilizamos el triángulo de la derecha:

sen22° =

h = 7,33 · sen22° = 2,74 km

cos22° = 8 x= 7,33 · cos22° = 6,8 km

y= 8,37 – x 8 y= 8,37 – 6,8 = 1,57 km Utilizando el teorema de Pitágoras:

d= h2+y2 = √2,742+ 1,572 = 3,16 km

x

7,33 5 7,33

d

F

A

B

3 km 5 km

43° 21°

3

sen21°

FB

3

FB

5

sen43°

FA

5

FA

FB FA

1

√2 6

6√2

√2

AC AC

a 6√—2

A

C B

6 cm

A

C

6 cm

6 cm

a

Pág. 19

d

x

h y F

A

B

8,37 km 7,33 km

(33)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 165

E F L E X I O N A S O B R E L A T E O R Í A

50

Observa el triángulo rectángulo MPN, y en las si-guientes igualdades, sustituye los puntos suspensivos por sen, cos o tg.

a) … M^= b) … N^=

c) … M^= d) … N^=

a)sen M^= b)cos N^= c)tg M^= d)sen N^=

51

¿Existe algún ángulo a tal que sena= 3/5 y tga= 1/4?

No, porque si sena= , cosa= = y tga= = ? .

52

¿Existe algún ángulo agudo cuyo seno sea mayor que la tangente? Justifica la respuesta.

El seno es siempre menor que la tangente, porque seno = y tangente =

y la hipotenusa es, siempre, mayor que el cateto contiguo.

53

En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide el doble que el otro. ¿Cuánto valen las razones trigonométricas del ángulo menor?

sena= = ; cosa= = ; tga=

54

¿Puede existir un ángulo cuyo seno sea igual a 2? ¿Y uno cuyo coseno sea igual a 3/2? Razona las respuestas.

No, porque el cateto opuesto es siempre menor que la hipotenusa y, por ello, el va-lor del seno de un ángulo agudo es siempre menor que 1.

El coseno es también menor que 1 por la misma razón. No puede ser igual a 3/2. 1 2 2√5

5 2

√5

√5 5 1

√5

cateto opuesto cateto continguo cateto opuesto

hipotenusa

1 4 3 4 3/5 4/5 4

5 9

1 – — 25 3

5

n p m

n m

p m

p

n p m

n

P

M

m p n

N m

p m

p

R

Pág. 20

1

2

√—5

(34)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

55

Indica, en cada caso, en qué cuadrante está el ángulo a: a) sena> 0, cosa< 0

b) tga> 0, cosa> 0 c) sena< 0, cosa> 0 d) sena< 0, cosa< 0

a) 2.° cuadrante. b) 1.ercuadrante.

c) 4.° cuadrante. d) 3.ercuadrante.

56

Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo se llaman comple-mentarios porque su suma es uno recto. Observa la figura, completa la tabla y expresa simbólicamente lo que obtienes:

sena= cos(90° – a)

cosa= sen(90° – a)

tga=

57

Usando las relaciones fundamentales, demuestra que:

a) (sena+cosa)2+ (sena– cosa)2= 2

b) = 1

c) = tga

d) 1 + (tga)2=

a) (sena+cosa)2+ (sena– cosa)2=

= (sena)2+ (cosa)2+ 2senacosa+ (sena)2+ (cosa)2– 2senacosa= 1 + 1 = 2

b) = = = 1 c) = = = tga

d) 1 + (tga)2= 1 + (sena)2 = (cosa)2+ (sena)2 = 1

sena cosa sen a[(sena)2+ (cosa)2]

cosa

(sen a)3+sena· (cosa)2

cosa

sena sena sen a[(sena)2+ (cosa)2]

sena

(sen a)3+sena· (cosa)2

sena

1 (cosa)2 (sen a)3+sena· (cosa)2

cosa

(sen a)3+sena· (cosa)2 sena

1

tg(90° – a)

A C

a

a

90° – a

B

c

b

Pág. 21

a 9 0 ° – a

s e n

c o s

t g

a 9 0 ° – a

s e n b/a c/a

c o s c/a b/a

(35)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

R O F U N D I Z A

58

Sobre la circunferencia goniométrica señalamos un ángulo a en el pri-mer cuadrante y a partir de él dibujamos los ángulos:

180° – a 180° + a 360° – a

Busca la relación que existre entre:

a)sen(180° – a) y sena

cos(180° – a) y cosa

tg(180° – a) y tga

b)sen(180° + a) y sena

cos(180° + a) y cosa

tg(180° + a) y tga

c)sen(360° – a) y sena

cos(360° – a) y cosa

tg(360° – a) y tga

a)sen(180° – a) = sena b) sen(180° + a) = –sena cos(180° – a) = –cosa cos(180° + a) = –cosa tg(180° – a) = –tga tg(180° + a) = tga

c) sen(360° – a) = –sena cos(360° – a) = cosa tg(360° – a) = –tga

59

Sitúa el ángulo dado sobre la circunferencia goniométrica y expresa sus razones trigonométricas utilizando un ángulo agudo como en el ejemplo:

Ejemplo: 215° sen215° = –sen35° cos215° = –cos35° tg215° = tg35°

a) 150° b) 240° c) 300°

d) 225° e) 100° f ) 320°

a)sen150° = sen30° b)sen240° = –sen60°

cos150° = –cos30° cos240° = –cos60°

tg150° = –tg30° tg240° = tg60°

240° 60° 150°

30°

180° – a

360° – a 180° + a a

a

a

P

(36)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

c)sen300° = –sen60° d)sen225° = –sen45°

cos300° = cos60° cos225° = –cos45°

tg300° = –tg60° tg225° = tg45° e)sen100° = sen80° f )sen320° = –sen40°

cos100° = –cos80° cos320° = cos40°

tg100° = –tg80° tg320° = –tg40°

60

Resuelto en el libro de texto.

61

Resuelve las siguientes ecuaciones sabiendo que 0°ÌxÌ360°:

a) (sen x)2– sen x= 0

b) 2(cos x)2– cos x= 0

c) 3 tg x+ 3 = 0

d) 4(sen x)2– 1 = 0

e) 2(cos x)2– cos x– 1 = 0

a) (sen x)2– sen x= 0

sen x(sen x– 1) = 0 b) 2(cos x)2– cos x= 0

cos x(2 cos x– ) = 0

c) 3 tg x+ 3 = 0 8 tg x= –1 x= 135°

x= 90°

x= 270°

x= 30°

x= 330°

cos x= 0

cos x= √—3/2

√3

√3

x= 0

x= 180°

x= 90°

sen x= 0

sen x= 1 8 √3

320° 40° 100°

80°

225° 45° 300°

60°

(37)

7

Soluciones a los ejercicios y problemas

d) 4(sen x)2– 1 = 0 8 (sen x)2= e) 2(cos x)2– cos x– 1 = 0

cos x= =

cos x= 1 8 x= 0° 1 x= 120°

cos x= – —

2 x= 240° 1 ± 3

4 1 ±√1 + 8

4

1 x= 30°

sen x= —

2 x= 150° 1 x= 210°

sen x= – —

2 x= 330° 1

4

(38)

7

Soluciones a la autoevaluación

PÁGINA 167

Verifícalo resolviendo ejercicios

1

En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 50°, y la hipotenusa, 16 cm. Resuelve el triángulo.

C^= 90° – 50° = 40°

sen50° = 8 b≈12,26 cm

cos50° = 8 c≈10,28 cm

2

Si cosa= 0,52, calcula sena y tga.

sena= = = ±0,85; tga= ±(0,85/0,52) = ±1,63

3

Para medir la anchura de un río, hemos tomado las medi-das indicamedi-das en la figura. Hállala.

tg56° = 8 y= x tg56°

tg42° = 8 y= (50 – x) tg42°

x tg56° = (50 – x) tg42° 8 x= ≈18,89

y= x tg56°≈28 m

El río tiene 28 m de anchura.

4

En este triángulo, halla la altura sobre AC, el área del triángulo y el ángulo C^.

• Altura sobre AC 8 h

sen68° = 8 h = 15,76 m

• Área del triángulo = = 220,64 m2

cos68° = 8 x= 6,37 m; 28 – x= 21,63 m

^ ^

B

h

17 m

h

x

17 28 · 15,76

2

28 m

17 m

C B

A 68°

h 17

50 · tg42°

tg56° + tg42°

A

B

C y

x

42° 56°

50 – x

y

50 – x y x

50 m C B

A 56° 42°

√1 – 0,522

√1 – (cosa)2

16 cm

A B

C

b

c

50° c

16

b

16

(39)

7

Soluciones a la autoevaluación

5

Dibuja los siguientes ángulos sobre la circunferencia goniométrica y di el signo de sus razones trigonométricas:

a) 130° b) 250° c) 82° d) 305°

6

Halla dos valores para a, sabiendo que sena= 0,58.

a= 35° 27' 2''

a= 144° 32' 58''

130° 250° 8 305°

Pág. 2

1 3 0 ° 2 5 0 ° 8 2 ° 3 0 5 °

s e n + +

c o s + +

Figure

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