Ámbito o Rango: Si

(1)

Funciones:

Manual de teoría:

Funciones

Matemática

Bachillerato

Realizado por José Pablo Flores Zúñiga

José Pablo Flores Zúñiga

Manual de teoría:

Funciones

Matemática

Bachillerato

Realizado por José Pablo Flores Zúñiga

Página 1

Manual de teoría:

Matemática

Bachillerato

(2)

Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 2

Contenido:

2) Funciones

2.1 Conceptos Básicos de Funciones 2.2 Función Lineal

2.3 Rectas

(3)

Funciones

2.1 Conceptos básicos:

Función: Dados dos conjuntos no vacíos, A y B, se llama función de A en B, a la correspondencia que asocia a todo elemento del conjunto A con un único elemento del conjunto B.

Preimagen: Si f, f :A→B es una función, los elementos

del conjunto A se llaman preimágenes.

Imagen: Si f, f :A→ B es una función, los elementos del

conjunto B a quienes se les ha hecho corresponder al menos algún elemento del conjunto A se les llaman imágenes. Si “y” es el correspondiente de “x” por f se

expresa como: y= f (x)

Dominio: Si f, f :A→ B es una función. Al conjunto A se

llama dominio o conjunto de partida de la función.

Codominio: Si f, f :A→B es una función. El conjunto B

se llama codominio o conjunto de llegada de la función.

Ámbito o Rango: Si f, f :A→ B es una función. Se llama

rango o ámbito de f al conjunto de imágenes de la función.

Criterio: Si f, f :A→B es una función y la

correspondencia obedece a alguna ley general para cada uno de los elementos del dominio, se expresa por y = f(x)

(4)

-10 10

x y

Gráfico: Si f, f :A→B es una función, el conjunto de

pares ordenados (x,y)en donde x∈A y y∈B, se llama

gráfico de la función.

Gráfica: Si f, f :A→ B es una función, A y B son

subconjuntos de los números reales, la representación de los elementos del gráfico en un sistema coordenado cartesiano XY, se le llama gráfica de la función.

Variables dependientes y variables independientes: Si

B A f

f, : → es una función con y= f (x). “x” recibe el

nombre de variable independiente. “y” recibe el nombre de variable dependiente. Estas variables se localizan en la gráfica de la función.

Ejemplo:

Sea f, f :IR→IR tal que f(x) = x+3

El dominio es IR

El codominio es IR

Imagen de 2: se sustituye en la x: f(2)= 2+3=5

Preimagen de -1: se iguala a la función: −1= x+3⇒ x= −4

Criterio: y = x+3

Rango: IR

Ejemplo Gráfico x -4 -1 0 3 y -1 2 3 6

(5)

Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 5 Dominio Máximo de una función Real

Se analizarán cuatro casos:

Caso 1: Funciones Fraccionarias:

En este caso el denominador nunca podrá ser cero. Analizamos que valores hacen que el denominador se haga cero o sea donde se indefine la función.

Ejemplos: a)

1 2

6 )

(

− − =

x x x f

Entonces el denominador lo igualamos a cero:

2 1

0 1 2

= = −

x x

El dominio máximo es:

     

− 2 1

IR

b)

1 1

) (

2 ₋ ₊

− =

x x

g

0 1

2 ₋_x ₊ ₌

x

Puesto que S =

{ }

no hay indefiniciones: el dominio

máximo es: IR

Caso 2: Funciones Radicales en el numerador:

Analizaremos raíces de índice par, las de índice impar el dominio es IR. Recuerde que el subradical debe ser

positivo o cero. Ejemplos: a) f(x) = x+3

Entonces el subradical debe ser positivo o cero

0

3≥

+

x

3

− ≥

x

(6)

Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 6 b) g(x) = 5−2x

2 5 5 2 0 2 5 ≤ − ≥ − ≥ − x x x

El dominio máximo es: _−∞ _ 2 5 ,

Caso 3: Funciones Radicales en el denominador:

Recuerde que si el denominador es cero se indefine la función. Se trabaja como el método anterior pero el subradical debe ser mayor que cero, o sea sólo positivo.

Ejemplos: a)

4₅ ₃

5 ) ( + + = x x x f 5 3 3 5 0 3 5 − > − > > + x x x

El dominio máximo es: _− ,+∞_ 5 3 b) x x x g − = 1 ) ( 1 1 0 1 < − > − > − x x x

(7)

Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 7 Caso 4: Radicales en el numerador y fraccionarias

Se analizan los dos casos por aparte

Ejemplos: a) 15 2 2 ) (

2 ₊ ₋

+ = x x x x f

Analizamos el radical

2 0 2 − ≥ ≥ + x x

[

−2,+∞

[

Analizamos el denominador:

0 15 2

2 ₊ _x₋ ₌

x Quedando una ecuación cuadrática

3 5 2 1 = − = x x Ahora analizamos:

[

− +∞

[

∈

−5 2, ? Como no pertenece se descarta

[

− +∞

[

∈ 2,

3 ? En este caso si pertenece y como 3 indefine al

denominador. El dominio máximo es:

[

−2,+∞

[

−

{ }

3

Observe que queda el intervalo del radical que no indefine menos las indefiniciones del denominador.

b) 6 5 2 ) ( + − = x x x x g

[

+∞

[

≥ , 0 0 x

Como 2∈

[

0,+∞

[

y 3∈

[

0,+∞

[

(8)

Funciones:

Función creciente y decreciente

Si x < y además f

Si x> y además f

Además existen funciones que tienen intervalos donde crecen o decrecen, además también puede mantenerse constante, en otras palabras no crece ni decrece.

Se analiza en el dominio, si es Ejemplos:

a)

Decrece:

]

−∞,−2

[

Se mantiene constante en: Crece:

]

5,+∞

[

Ámbito:

[

3,+∞

[

b) f(x) = x es creciente:

-10

José Pablo Flores Zúñiga Función creciente y decreciente

) ( )

(x f y

f < es creciente )

( )

(x > f y es decreciente

Además existen funciones que tienen intervalos donde crecen o decrecen, además también puede mantenerse constante, en otras palabras no crece ni decrece.

Se analiza en el dominio, si es gráfica, en las x.

Se mantiene constante en:

]

−2,5

[

es creciente:

-10 10

x y

(9)

-10 10

2 10

x y

c) f (x)= x2

Decrece:

]

−∞,0

[

Crece:

]

0,+∞

[

Función Sobreyectiva:

Es aquella función en la cual el ámbito coincide con el codominio.

Función Inyectiva:

Es aquella función tal que cada segmento del codominio que es imagen de al menos un elemento del dominio, la es de una única preimagen.

Función Biyectiva:

Es aquella función que es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

De estos últimos tres conceptos lo más importante es que una función biyectiva tiene inversa, en las funciones estudiadas por bachillerato, las funciones biyectivas son las lineales, exponencial y logarítmica y recuerde que tienen su función inversa. La función cuadrática no es biyectiva.

Función Inversa:

Si f, f :A→B es una función biyectiva. Entonces existe

una función inversa denotada por f −1 tal que: A

B f

(10)

Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 10 Observemos el siguiente gráfico:

3 )

(x = x+

f

x -4 -1 0 3 y -1 2 3 6

) (

1 _x

f −

x -1 2 3 6 y -4 -1 0 3

Note que los puntos en la inversa se alternaron con respecto a la función.

Ahora veamos la gráfica:

La que esta más arriba es f(x) y la de abajo f −1(x)note

la simetría de ambas funciones. Siempre y = x va a ser el

eje se simetría de una función y su inversa.

Ahora observamos la gráfica de f (x)=3xy su inversa

x y = log₃

-10 10

(11)

Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 11 Observa la simetría de ambas funciones y el eje de simetría y = x

Determinación de la función inversa:

Si se tiene el criterio de una función. Se despeja de ella la variable x en términos de y.

Ejemplos:

a) y= 2x+3

Entonces despejamos x:

x y

= −

+ =

2 3

3 2

Ahora cambiamos y por x La función inversa es:

2 3 − = x

y

-10 10

(12)

Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 12 b) y=5−x

x y

= −

− = −

− =

5 5

5

Entonces la inversa es: y =5−x

c) y = 2xmás adelante en este capítulo sabrá que es una

función exponencial y la inversa es la logarítmica La inversa es: y= log₂x

d) y =lnx

La inversa es: y =ex

e) si y = 2x+6 calcule f −1(0)

Lo que piden es la imagen en la inversa de 0. Entonces si 0 es preimagen, en la función inversa 0 es imagen. Note que igualamos a 0 la función:

x x x

= −

+ =

3 2 6

6 2 0

3 ) 0 (

1 ₌ ₋ −

f

f) si y =3x−1

Cuánto es la preimagen de 5 en la inversa.

Entonces sustituimos el 5 en la función:

14 1 5 3• − = =

y

(13)

Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 13 Ejercicios:

Determine el dominio máximo de:

1)

6 7 2 )

(

2 ₊ ₊

=

x x

f

2) _f₍_x₎ ₌8 ₅₋₂_x

3)

1 2

6 2 ) (

+ + =

x x x

f

4)

143 2

89 11

) (

2 6

− −

− =

x x

f

Determine el criterio de la función inversa:

1) 46

5 1

+

= x

y

2) y=10x

3) x

2 1

log

Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:

-10 10

x y

6

2 ₊

(14)

2.2 Función Lineal

La función lineal estándar viene dada de la forma:

Donde m se llama pendiente y b intersección

Análisis de la función lineal

Es una función biyectiva y por lo tanto tiene inversa

Si m > 0 es estrictamente creciente

Si m = 0es constante

Si m < 0 es estrictamente decreciente.

Si m=1 y b =0 o sea: f(x) = x se llama función identidad

Interseca al eje y en (0, b) Interseca al eje x en 

  

 −

0 ,

m b

Dominio: IR

Rango: IR

Si se tienen dos puntos:

(

x₁,y₁

) (

y x₂, y₂

)

Entonces la pendiente es:

1 2

x x

y y m

− −

= y la intersección

viene dada por: b = y−mx

Ejemplo: Si se tienen:

(

2,1

) (

y −1,3

)

entonces:

3 2 3

2 2 1

1 3

− = − = − −

− =

m

1 2 3 1 3 2

3−− •− = − =

=

b

El criterio de la función es: 1 3 2

+ −

= x

(15)

-10 10

x y

-10 10

2 10

x y

-10 10

x y

1) Analicemos la función: f(x)=11x−5

Como m =11>0 Es estrictamente creciente

Interseca al eje y en

(

0,b

) (

= 0,−5

)

Interseca al eje x en    

 

=

   

 −

0 , 11

5 0

,

m b

Dominio: IR y Rango: IR

Gráfica: Ver a la derecha:

2) Analicemos: h(x) = −x

0 )

(x = −x+

h

0 1< − =

m Es estrictamente decreciente

(

0,0

)

Interseca al eje x en (0,0)

3) Analicemos: g(x)=3

0

=

m Es constante

(

0,3

)

No interseca al eje x

Ejercicios:

Analice las funciones y realice un gráfico y gráfica de:

a) f(x) =2x+6

b) d(x) =−4x+3

(16)

2.3 Rectas:

En una gráfica pueden venir varias funciones lineales y recuerden que son rectas, por lo tanto vienen dadas por la forma de y = mx+b. En caso de que vengan de la forma:

d c by

ax+ + = , hay que transformarlas a la forma estándar

de y = mx+b despejando y.

Rectas paralelas:

Son funciones lineales que tienen la misma pendiente.

Ejemplo: l₁: y =3x+5 y l₂ :y =3x−1tienen la misma

pendiente por lo que las rectas son paralelasl₁║l₂

Rectas perpendiculares:

Son funciones lineales que las pendientes son recíprocas y de signos contrarios. Quiere decir que si multiplica las pendientes da menos uno.

Ejemplo: 1

3 1 :

5 3

: ₂

1 −

− = +

= x y y x

y l

l Las pendientes son

recíprocas y opuestas, quiere decir que: 1 3

1

3•− = −

Entonces l₁ _⊥l₂

Rectas oblicuas:

Son funciones lineales que no son paralelas ni perpendiculares.

Rectas concurrentes:

(17)

Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 17 Ejemplos

a) l₁: y =3x+5 y l₂ : y =3x−1rectas paralelas

b) 1

3 1 :

5 3

: ₂

1 −

− = +

= x y y x

y l

l rectas perpendiculares

c) l₁:y =3x+5 y l₂ : y = −2x−1 rectas oblicuas

-10 10

x y

-10 10

x y

-10 10

(18)

Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 18 Ejercicios resueltos:

a) Si los puntos: (−3,2)y(2,1)pertenecen a una recta l₁ y es paralela a una recta l₂que tiene el punto:

(

₋₅_,₋₁

)

Determine los criterios de la rectas.

Podemos comenzar con encontrar el criterio de la recta l₁

5 7 5 2 1 2 5 1 1 5 1 3 2 2 1 = + = • − − = − = − − − = b m

El criterio de l₁es

5 7 5 + − = x y

Puesto que l₂es paralela a l₁ entonces las pendientes son la misma: 5 1 − = m

Entonces calculamos la intersección con el punto dado:

2 1 1 5 5 1

1− − •− = − − = −

− =

b

El criterio de la recta l₂es ₂

5 −

−

= x

y

b) Si se tienen que los puntos: (−1,3) y(1,1)pertenecen a

una recta l₁ y es perpendicular a una recta l₂ que tiene el punto:

(

3,5

)

Calcular los criterios de las rectas:

Comencemos por encontrar el criterio de l₁

1 2 2 1 1 3 1 − = − = − − − =

m El criterio de l₁ es: _y ₌₋_x₊₂

2 1 3 1 1

3−− •− = − = =

b

(19)

Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 19 -10 10 -10 10 x y -10 10 -10 10 x y 1 1 1 2 2 = − = • − m m

La pendiente de la recta l₂ es 1

Ahora calculamos la intersección:

2 3 5 3 1

5− • = − =

=

b

El criterio de l₂ es _y ₌ _x₊₂

c) si el criterio de la recta l₁ es _y ₌ ₂_x₊₆ y el criterio de la recta l₂ es: _y ₌₋_x₊₃Calcular el punto de intersección de ambas rectas:

Como es el punto de intersección es donde la preimagen e imagen son comunes en las rectas. En donde se igualan: Si y = 2x+6 además y= −x+3 para encontrar el punto

igualamos: 1 3 3 6 3 2 3 6 2 − = − = − = + + − = + x x x x x x

Y calculamos el valor de la imagen de -1 en cualquiera de las dos funciones:

4 4 3 1 ) 1 ( = = + − − = − y f

(20)

Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 20 Ejercicios:

a) Determine el punto de intersección de las siguientes rectas:

1) y= 2x+5 y y = −11x+4

2) y=3x−4y y= x−2

3)

4 5 3

1

−

= x

y y 4

3 2

+ −

= x

y

4) 2x+3y−1= 2 y −1x+2y−4=7

b) Calcule los criterios de las rectas si las rectas son paralelas

1)

(

₋1,3

) (

_y 2,6

)

_∈l₁

(

₋4,8

)

_∈l₂

2)

(

₋5,3

) (

_y 4,6

)

_∈l₁

(

2,7

)

_∈l₂

3)

(

0,5

) (

_y 2,₋3

)

_∈l₁

( )

0,1 _∈l₂

c) Calcule los criterios de las rectas si las rectas son perpendiculares

1)

(

₋1,3

) (

_y 2,6

)

_∈l₁

(

₋4,8

)

_∈l₂

2)

(

0,3

) (

_y 2,0

)

_∈l₁

( )

1,8 _∈l₂

(21)

2.4 Función Cuadrática

La función cuadrática es de la forma general:

c bx ax

x

f( ) = 2 + +

Análisis de la función

Si a > 0es cóncava hacia arriba

Si a < 0es cóncava hacia abajo

(

0,c

)

Interseca al eje x si ∆≥0 en _

    ₋ _± _∆ 0 , 2a

b _{Entonces puede}

tener una o dos intersecciones con el eje x.

Tiene dominio: IR

Ámbito:

Vértice: 

    − −∆ a a b 4 , 2

si a > 0es punto mínimo y si a <0 es un punto máximo

(22)

-10 10

x y

Ejemplos:

a) Analicemos la parábola: f(x)= x2 + x−6

Puesto que a =1>0es cóncava hacia arriba 25

) 6 )( 1 ( 4

12 − − =

= ∆

Vértice: 

  



− −

4 25 , 2

1

y es punto mínimo

(

0,−6

)

Intersecciones con eje x:

2 3

0 6

2 1 2

= − =

= − +

x x

Interseca al eje x en

(

−3,0

)

y

(

2,0

)

Dominio: IR

Rango: _− ,+∞_ 4

25

Eje de simetría en

2 1 − =

x

Crece en: _− ,+∞_ 2

1

Decrece en: _−∞ − _ 2

(23)

-4 4

-10 2

x y

b) analizar la función: f(x) =−x2 +1

Como a = −1<0es cóncava hacia abajo

4 ) 1 )( 1 ( 4

0− − = =

∆

Vértice:

( )

0,1 y es un punto máximo

( )

0,1

Interseca al eje x en:

(

−1,0

)

y

( )

1,0

Dominio: IR

Rango:

]

−∞,1

]

Eje de simetría: x= 0 o sea el eje y

Crece:

]

−∞,0

[

Decrece:

]

0,+∞

[

Ejercicios:

Analice las siguientes funciones, construya un gráfico y su gráfica:

1) f(x)= 2x2 +4x+6

2) 2

) (x x f =

3) f(x) = −2x2 +2x−6

(24)

-4 4

2 10

x y

10

y

2.5 Función Exponencial

La función exponencial posee la forma: f(x)= ax

Recuerde que es biyectiva y por lo tanto tiene función inversa que es la logarítmica.

Análisis de la función: Dominio: IR

Codominio: +

IR

Si a >1es estrictamente creciente

Si a∈

]

0,1

[

es estrictamente decreciente

Interseca el eje y en

( )

0,1

No interseca al eje x Tiene asíntota al eje x

Ejemplos:

a) Analizar la función: f (x)=3−x

Debemos llevarla a la forma estándar:

x x

x

f 

    

= = −

3 1 3

) (

Dominio: IR

Codominio: +

IR

]

0,1

[

3 1

∈ =

a

Es estrictamente decreciente Interseca al eje y en

( )

0,1

Tiene asíntota al eje x

(25)

Funciones: José Pablo Flores Zúñiga Página 25 Dominio: IR

Codominio: +

IR

1

>

=

π

a

Es estrictamente creciente Interseca al eje y en

( )

0,1

Tiene asíntota al eje x

c) Si f, f :

]

−∞,0

]

→ IR+ para f(x) =ex¿Cuál es el rango?

Para este tipo de ejercicios, sugiero hacerse una gráfica sabiendo si es creciente o decreciente, en este caso es creciente. No importa si no corresponde a la gráfica correcta, solo si es creciente o decreciente. Nos puede servir la gráfica del ejercicio anterior porque es creciente. Observe que para dominio

]

−∞,0

]

el rango va de:

]

0,1

]

d) Si f, f :

]

0,+∞

]

→ IR+ para f (x)= ex¿Cuál es el rango?

Como en el ejercicio anterior, observe que si el dominio es:

]

0,+∞

]

El rango es:

[

1,+∞

[

Ejercicios:

Analice las funciones, realice un gráfico y gráfica. 1) f(x) =ex

2) f(x) =

(

ln2

)

x

(26)

2 10

-4 4

x y

2.6 Función Logarítmica

La función logarítmica tiene la forma: f(x) =log_ax

Recuerde que es una función biyectiva y por lo tanto tiene inversa a la función exponencial.

Análisis de la función: Dominio: IR+

Codominio: IR

Si a >1es estrictamente creciente

Si a∈

]

0,1

[

es estrictamente decreciente

Interseca el eje x en

( )

1,0

No interseca al eje y Tiene asíntota al eje y

Ejemplos:

a) Analizar la función: _f _x x

5

log )

( =

Dominio: +

IR

Codominio: IR

1 5> =

a

Es estrictamente creciente Interseca el eje x en

( )

1,0

(27)

2 10

-4 4

x y

b) Analizar la función: j(x) =−lnx

Debemos llevarla a la forma estándar:

x

e x

x

j( )= −ln =log₁

Dominio: IR+

Codominio: IR

]

0,1

[

1 ∈ =

e

a

Es estrictamente decreciente Interseca el eje x en

( )

1,0

Tiene asíntota al eje y

c) Si f, f :IR+ → IR+ para f(x) =−lnx

¿Cuál es el dominio?

Observando la gráfica en el ejercicio anterior, observe que si el rango es: IR+el dominio es:

]

0,1

[

d) d) Si + −

→ IR

IR f

f, : para f(x) =−lnx

¿Cuál es el dominio?

Observando la gráfica en el ejercicio anterior, observe que si el rango es: IR−el dominio es:

]

1,+∞

[

Ejercicios: Analizar las funciones, realizar un gráfico y una gráfica

1) f(x) =logx

2) f x x

6 5

log )