DEPARTAMENTO DE MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS Y TEORÍA DE ESTRUCTURAS

(1)

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

DEPARTAMENTO DE MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS Y TEORÍA DE ESTRUCTURAS

INGENIERÍA INDUSTRIAL

3º Curso

E

LASTICIDAD Y

R

ESISTENCIA DE MATERIALES

II

CURSO 2004/2005

(2)

MICROMECÁNICA

Densidad de una lámina unidireccional

m m f

f V

V ⋅ρ + ⋅ρ

= ρ

Constantes elásticas de una lámina unidireccional

1.1. - Módulo de elasticidad en dirección de las fibras

[

f

]

m f

f

1 V E 1 V E

E = ⋅ + − ⋅

Módulo de elasticidad en dirección transversal a las fibras

- Fórmula básica

(

f

)

f m

f

f m 2

E V 1 E V

E E E

⋅ − + ⋅

⋅ =

- Efecto de concentración de tensiones

(

_f

)

_f m

f

f m 2

E V 1 ' E V

E ' E E

⋅ − + ⋅

⋅

= , ₂

1 '

m m m

E E

ν

− =

- Ecuación de Halpin-Tsai

f f m

V V E

E

⋅ −

⋅ ⋅ + ⋅ =

1 1 1 2

1 1

η η ξ

,

m 1 f

m f 1

E E

⋅ ξ +

− =

η

1

ξ ≡ Eficiencia del refuerzo

( parámetro experimental)

2 1≤ξ₁≤

- Coeficiente de Poisson principal

(

f

)

m f

f

21 =V ⋅ν + 1−V ⋅ν

ν

Módulo de elasticidad a cortadura plana

(

_f

)

_f m

f

f m 12

G V 1 G V

G G G

⋅ − + ⋅

⋅ =

Constantes elásticas de una lámina de fibras largas con orientación aleatoria

1.2. Módulo de elasticidad

2 1 E

8 5 E 8 3

E= ⋅ + ⋅

Módulo de elasticidad a cortadura plana

2 1 E

4 1 E 8 1

(3)

Constantes elásticas de una lámina de fibras cortas alineadas

1.3. Módulo de elasticidad en dirección de la fibra

- Fórmula básica

(

f

)

m

f f L

1 E V E 1 V

E =η ⋅ ⋅ + ⋅ −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ _⋅_β_⋅

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ _⋅_β_⋅ −

= η

L 2 1

L 2 1 tanh 1

L

2 1

2 f

m

r R ln r E

G 2

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅

⋅ =

β

- Ecuación de Halpin-Tsai

(

)

f f L m

1

V -1

V 1

E E

⋅ η

⋅ η ⋅ ξ + ⋅ =

r L

= ξ

m f

m f L

E E

⋅ ξ +

− =

η

Constantes elásticas de una lámina de fibras cortas con orientación aleatoria

Módulo de elasticidad

(

_f

)

m

f f L

o E V E 1 V

E=η ⋅η ⋅ ⋅ + ⋅ −

ηo= 1(lámina unidireccional, fibras a 0º)

ηo= 0(lámina unidireccional, fibras a 90º)

ηo= 3/8 (distribución aleatoria de fibras en 2D)

(4)

Constantes elásticas de un material reforzado por partículas

1.1. Módulo de elasticidad

m 3 2

p m 3

1 f

m 3 2

f ₁ _V _E

E E 1 V 1

E V E

f ⎟⎟⎠⋅

⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ ₋

+

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

− ⋅ −

⋅ =

1.2. Módulo de elasticidad a cortadura

m 3 2

p m 3

1 f

m 3 2 f

G V

1 G

G 1 V 1

G V G

f ⎟⎟⎠⋅

⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ ₋

+

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

− ⋅ −

⋅ =

Resistencia a tracción en dirección de las fibras de una lámina unidireccional

1.1. CASO 1: εrf <εrm

−

crítico

f f V V <

(

f

)

r V

X

m ⋅ −

=σ 1

−

crítico

f f V V >

(

f

)

r m f

r V E V

X

f f ⋅ + ⋅ ⋅ −

=σ ε 1

CASO 2:

f m r

r ε

ε <

−

crítico

f f V V <

(

f

)

r f r

f V V

E X

m m ⋅ + ⋅ −

⋅

= ε σ 1

−

crítico

f f V V >

f r V

X

f ⋅ =σ

Resistencia a compresión en dirección de las fibras de una lámina unidireccional.

1.1. Modo de curvado en extensión o desfasado (para Vf bajos)

(

f

)

f m f f

V 1 3

E E V V 2 ' X

− ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Modo de curvado en cortadura o en fase (para Vf altos)

f m

V 1

G ' X

(5)

Modelo de Ewins y Hamm para el modo de fallo por cortadura (para Vf altos)

(

)

(

Vf r_f 1 Vf r_m

)

2 '

X= ⋅ ⋅τ + − ⋅τ

Resistencia mecánica a tracción en dirección perpendicular a las fibras

1.1. CASO 1. Unión fibra-matriz débil.

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

π ⋅ − ⋅ σ

= f

r

V 2 1 Y

m (para una ordenación de fibras cuadrada)

CASO 2. Unión fibra-matriz fuerte.

(

r_m r_max

)

K

1

Y= ⋅ σ −σ σ

(criterio de tensión máxima)

(

)

(

) (

)

(

rm m rmax

)

m m

m _E

2 1 1

1 K

1

Y ⋅ σ − ⋅ε

ν ⋅ − ⋅ ν +

ν − ⋅

= σ

(6)

MACROMECÁNICA DE LA LÁMINA

1. Matriz de rigidez de una lámina unidireccional en ejes

locales

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 12 21 12 2 21 12 1 12 21 12 2 21 21 12 1 22 12 12 11 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 G E E E E Q Q Q Q Q Q SS ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν

Matriz de rigidez en ejes globales de una lámina unidireccional

con fibras que forman ±45º con el eje X

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ SS _ yS _ xS _ yS _ yy _ xy _ xS _ xy _ xx _ _ Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q 12 22 11 Q 2 1 4 Q Q

M= + + ⋅

4 Q Q

N= 11− 22

SS yy _ xx _ Q M Q

Q = = +

12 SS

_

Q M Q = −⋅

N Q Q _yS _ xS _ ± = = ss xy _ Q M

Q = −

Matriz de rigidez en ejes globales de una lámina unidireccional

[ ]

(

)

⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = 2 2 2 2 2 2 s c c s c s c s 2 c s c s 2 s c T

[ ]

(

)

⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = − 2 2 2 2 2 2 1 s c c s c s c s 2 c s c s 2 s c T θ =sen

s c=cosθ

(7)

[ ]

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ τ σ σ ⋅ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ τ σ σ xy y x 12 2 1

T

[ ]

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ γ ⋅ ε ε ⋅ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ γ ⋅ ε ε xy y x 12 2 1 2 1 T 2 1 ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ γ ε ε ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ τ σ σ 12 2 1 ss 22 21 12 11 12 2 1 Q 0 0 0 Q Q 0 Q Q

(

)

(

)

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ γ ε ε ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ τ σ σ xy y x 2 2 2 2 2 2 ss 22 21 12 11 2 2 2 2 2 2 xy y x s c c s 2 c s 2 c s c s c s s c Q 0 0 0 Q Q 0 Q Q s c c s c s c s 2 c s c s 2 s c ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ xy y x ss ys xs ys yy xy xs xy xx xy y x Q Q Q Q Q Q Q Q Q γ ε ε τ σ σ 4 S • 22 Q 2 C • 2 S • ) SS Q • 2 12 Q ( • 2 4 C • 11 Q xx

Q = + + +

) 4 4 ( • 12 2 • 2 • ) • 4 22 11

( S C Q S C

SS Q Q

Q yx

Q = + − + +

4 • 22 2 • 2 • ) • 2 12 ( • 2 4 •

11 S Q QSS S C Q C

Q yy

Q = + + +

C • 3 S • ) SS Q • 2 22 Q 12 Q ( 3 C • S • ) SS Q • 2 12 Q 11 Q ( xS

Q = − − + − +

3 C • S • ) SS Q • 2 22 Q 12 Q ( C • 3 S • ) SS Q • 2 12 Q 11 Q ( yS

Q = − − + − +

) 4 C 4 S ( • SS Q 2 C • 2 S • ) SS Q • 2 12 Q • 2 22 Q 11 Q ( SS

Q = + − − + +

Matriz de flexibilidad de una lámina en ejes locales

(8)

Matriz de flexibilidad de una lámina en ejes globales

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ss sy sx ys yy yx xs xy xx S S S S S S S S S S ) cos sen ( S cos sen ) S S 4 S 2 S 2 ( 2 S cos sen ) S 2 S 2 S 2 ( cos sen ) Q S 2 S 2 ( S cos sen ) S S 2 S 2 ( cos sen ) S S 2 S 2 ( S cos S cos sen ) S S 2 ( sen S S ) cos sen ( S cos sen ) S S S ( S sen S cos sen ) S S 2 ( cos S S 4 4 ss 2 2 ss xy yy xx ss 3 ss yy xy 3 ss xy xx ys 3 ss xy yy 3 ss xy xx xs 4 yy 2 2 ss xy 4 xx yy 4 4 xy 2 2 ss yy xx yx 4 yy 2 2 ss xy 4 xx xx θ + θ + θ θ − − + = θ θ − + − − θ θ − − = θ θ − − − θ θ − − = θ + θ θ + + θ = θ + θ + θ θ − + = θ + θ θ + ⋅ + θ =

Constantes ingenieriles de una lámina en ejes globales

yy xy xy xx xy yx ss xy yy y xx x S S S S S 1 G S 1 E S 1 E − − = ν − − = ν = = =

Y sus valores son:

θ ⋅ + θ ⋅ θ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₋ ⋅ν + θ ⋅ = 4 2 2 2 1 21 12 4 1 x sen E 1 cos sen E 2 G 1 cos E 1 E 1 θ ⋅ + θ ⋅ θ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₋ ⋅ν + θ ⋅ = 4 2 2 2 1 21 12 4 1 y cos E 1 cos sen E 2 G 1 sen E 1 E 1

(

θ+ θ

)

⋅ + θ ⋅ θ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₊ ₋ ₊ ⋅ν ⋅

= 4 4

12 2 2 1 21 12 2 1 xy cos sen G 1 cos sen E 4 G 1 E 2 E 2 2 G 1

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ θ ⋅ θ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − θ + θ ⋅ ν ⋅ =

ν 2 2

12 2 1 4 4 1 21 x

yx sen cos

G 1 E 1 E 1 cos sen E E

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ θ ⋅ θ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − θ + θ ⋅ ν ⋅ =

ν 2 2

12 2 1 4 4 1 21 y

xy sen cos

(9)

ROTURA DE LÁMINAS ORTOTROPAS

1. Criterio de rotura de tensión máxima

S Y '

Y

X '

X

12 2 1

< τ

< σ < −

Criterio de rotura de deformación máxima

ε ε ε

ε ε

< γ

< ε < −

S Y '

Y

X '

X

12 2 1

Criterio de rotura de Tsai-Hill:

1

2 2 1 2 12 2 2 2

1 ⎟ − ⋅ =

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

X S

Y X

σ σ τ

σ σ

Criterio de rotura de Tsai-Wu

1 F

2 S

1 '

Y Y

1 '

X X

1 '

Y 1 Y

1 '

X 1 X

1

2 1 12 2

12 2 2 2 2

1 2

1 ⎟⋅τ + ⋅ ⋅σ ⋅σ =

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + σ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

⋅ − + σ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

⋅ − + σ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

+ σ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

(10)

TEORÍA CLÁSICA DEL LAMINADO

1. Matrices de rigidez de un laminado

[ ]A

[ ]

Q h

i i

i

=

∑

⋅

[ ]B

[ ]

Q

{

z z

}

i i

=

∑

⋅ ⋅1 − ₋

2

2 1 2

[ ]

D

[ ]

Q

{

z z

}

i i

=

∑

⋅ ⋅1 − ₋

3

3 1 3

Esfuerzos y deformaciones normalizados de un laminado

∑

=

i i h H

{ }

H N o =

σ

{ }

6

{ }

₂

H M f = ⋅

σ

{ }

2

k H f = ⋅

ε

Matrices de rigidez normalizadas

[ ]

H A A* =

[ ]

3

* 12

H D

D = ⋅

[ ]

2

* 2

H B B = ⋅

{ }

[ ]

{ }

[ ]

{ }

f

[ ]

{ }

o

[ ]

{ }

f

f o

o

D B

B A

ε ε

σ

ε ε

σ

⋅ + ⋅ ⋅ =

⋅ + ⋅ =

* *

3

{ }

[ ]

{ }

[ ]

{ }

M

[ ]

B

{ }

[ ]

D

{ }

k

k B A

N

o o

⋅ + ⋅ =

(11)

Constantes planas ingenieriles o aparentes del laminado

1.1. Modulo de elasticidad plano en dirección x

22 2 12 22 11 o

x

A H

A A A E

⋅ − ⋅ =

Módulo de elasticidad plano en dirección y

11 2 12 22 11 o

y

A H

A A

A E

⋅ − ⋅ =

Módulo de elasticidad plano a cortadura

H A

Go_xy = SS

Coeficiente de Poisson plano

22 12 0

yx

A A

= ν

Constantes ingenieriles o aparentes a flexión del laminado

1.2. Modulo de elasticidad a flexión en dirección x

22 3

2 12 22 11 f

x

D H

D D

D 12 E

⋅ − ⋅

⋅ =

Módulo de elasticidad a flexión en dirección y

11 3

2 12 22 11 f

y

D H

D D D 12 E

⋅ − ⋅ ⋅ =

Módulo de elasticidad a cortadura a flexión

3 SS f

xy

H D 12

(12)

VIGAS DE MATERIALES COMPUESTOS

1. CARGA CRÍTICA DE PANDEO

1.1. Viga en voladizo

2 f 1 pandeo

L 4

I E P

⋅ ⋅ ⋅ π =

Viga biapoyada

2 f 1 pandeo

L I E

P = π⋅ ⋅

Viga biempotrada

2 f 1 pandeo

L I E 4

P = ⋅π⋅ ⋅

VIGAS SANDWICH

1. Tensiones en una viga sándwich

(

)

⎥⎥_⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

+ ⋅ ⋅

⋅ +

⋅ ⋅ =

+

n p p p

p

e e e B

M e

B

N 2

2 1 σ

(

)

⎥⎥_⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

+ ⋅ ⋅

⋅ −

⋅ ⋅ =

−

n p p p

p

e e e B

M e

B

N 2

2 1 σ

(

n p

)

n

e e B

Q

+ ⋅ − = τ

Deformaciones en una viga sándwich

( )

z

R 1 z o_x

x =ε + ⋅

ε

p p

o x

e B E

N

⋅ ⋅ ⋅ =

2

ε

(

)

2

2 1

n p p

p B e e e

E

M

R ⋅ ⋅ ⋅ +

⋅ =

ep

en

ep

x z

Q M

N

(13)

Cálculo de flechas y giros en vigas sándwich

(

)

2 e e e B E I

E

2 n p p P

+ ⋅ ⋅ ⋅ ∝

⋅

(

)

₍

₎

p n

n

p n

n p n

2 p n n

c G B e 2 e

G e 3

G e 2 1 e

e e B G

A

G ≈ ⋅ ⋅ + ⋅

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

⋅ ⋅

⋅ ⋅ + ⋅

+ ⋅ ⋅ ∝

⋅

Carga crítica de pandeo global en una viga sándwich

(

)

L EI

B e e G L

EI 1

e 2

1 P

2

p n n 2

2 p

pandeo

⋅ π ⋅

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

⋅ + ⋅ ⋅

⋅ π +

(14)