LÍMITE DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD

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LÍMITE DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD

EJERCICIOS DE LÍMITES Y CONTINUIDAD

1. Dadas las siguientes gráficas, calcula los siguientes valores pedidos.

A)

a) lim𝑥→−1−𝑓(𝑥)= b) lim𝑥→−1+𝑓(𝑥)=

c) lim𝑥→1−𝑓(𝑥)= d) lim𝑥→1+𝑓(𝑥)=

e) lim𝑥→−∞𝑓(𝑥)= f) lim𝑥→+∞𝑓(𝑥)=

(2)

B)

a) lim𝑥→1−𝑔(𝑥)= b) lim𝑥→1+𝑔(𝑥)=

c) lim𝑥→1𝑔(𝑥)= d) lim𝑥→2−𝑔(𝑥)=

e) lim𝑥→2+𝑔(𝑥)= f) lim𝑥→2𝑔(𝑥)=

g) lim𝑥→+∞𝑔(𝑥)= h) lim𝑥→−∞𝑔(𝑥)=

i) Ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales, si es que existen.

2. Dada la siguiente función:

𝑓(𝑥) = {

2𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < −1 −3 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 2

𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2

Calcula:

lim

𝑥→−1−𝑓(𝑥) ; lim𝑥→−1+𝑓(𝑥) ; lim𝑥→−1𝑓(𝑥) ; lim𝑥→−2−𝑓(𝑥); lim𝑥→−2+𝑓(𝑥); lim𝑥→2𝑓(𝑥) ; lim𝑥→+∞𝑓(𝑥) ; lim𝑥→−∞𝑓(𝑥).

(3)

3. Representa las siguientes funciones y calcula, si existe, los límites dados:

a) 𝑓(𝑥) = {𝑥2+ 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

−2 𝑠𝑖 𝑥 > 0 ; lim𝑥→−∞𝑓(𝑥); lim𝑥→0𝑓(𝑥); lim𝑥→+∞𝑓(𝑥);

b) 𝑔(𝑥) =𝑥+4

𝑥−2 ; lim𝑥→+∞𝑔(𝑥); lim𝑥→−∞𝑔(𝑥); lim𝑥→2𝑔(𝑥)

c) ℎ(𝑥) = {

1

2−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1

2 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 1 ; lim𝑥→−∞ℎ(𝑥); lim𝑥→1ℎ(𝑥); lim𝑥→+∞ℎ(𝑥)

4. Calcula los siguientes límites:

a) lim𝑥→31𝑥 + 1 b) lim𝑥→−7−2𝑥 + 15

c) lim𝑥→137𝑥 − 21 d) lim𝑥→−105𝑥 − 35

e) lim𝑥→12𝑥3− 7𝑥 + 2 f) lim

𝑥→−32𝑥3− 7𝑥 + 2

g) lim𝑥→0𝑥2 − 2 h) lim𝑥→−1𝑥5− 3𝑥4+ 4𝑥2− 5

i) lim𝑥→3 1

𝑥+2 j) lim𝑥→1

𝑥2+1 3−𝑥

k) lim𝑥→−33√𝑥 − 5 l) lim𝑥→03

m) lim𝑥→−1𝑥−1+ 1

5. Calcula los siguientes límites:

a) lim𝑥→+∞2𝑥3− 7𝑥 + 2 b) lim

𝑥→−∞−3𝑥5 + 2𝑥 − 4

c) lim𝑥→−∞4𝑥4− 7𝑥 + 5 d) lim𝑥→+∞−𝑥2+ 2

e) lim𝑥→−∞ 1 + 𝑥 + 𝑥3 f) lim𝑥→+∞ 1

𝑥2

g) lim𝑥→−∞ 5000

𝑥3+2𝑥−1 h) lim𝑥→−∞

2 3𝑥2−5𝑥+2

j) lim𝑥→+∞ −154 21−𝑥3

6. Calcula los siguientes límites:

a) lim𝑥→∞ 𝑥3−5

−𝑥2−4 b) lim𝑥→+∞

√𝑥2+7

2𝑥

c) lim𝑥→−∞3𝑥4−7𝑥

4𝑥2+5 d) lim𝑥→+∞

(4)

e) lim𝑥→+∞−𝑥2−5𝑥+1

2𝑥3−3 f) lim𝑥→−∞

2𝑥2−7𝑥+5 −2𝑥2+4𝑥−3

g) lim𝑥→∞ 4𝑥3−2

√𝑥−3 h) lim𝑥→−∞

𝑥2−2𝑥 4𝑥2−4

i) lim𝑥→∞√𝑥+3

𝑥−2 j) lim𝑥→+∞

√𝑥5+2𝑥−6

𝑥3−4𝑥+2

7. Calcula los siguientes límites:

a) lim𝑥→−2𝑥2−5

𝑥+2 b) lim𝑥→−5

𝑥−3 𝑥+5

c) lim𝑥→4𝑥−10

𝑥−4 d) lim𝑥→2

𝑥+2 𝑥2−4

e) lim𝑥→√3 7

𝑥2−3 f) lim𝑥→ −1

1−𝑥 𝑥3−1

8. Calcula los siguientes límites:

a) lim𝑥→−1 𝑥4−1

𝑥3+1 b) lim𝑥→1

𝑥3−1 𝑥3+2𝑥2−3

c) lim𝑥→3𝑥2+2𝑥−15

𝑥2−6𝑥+9 d) lim𝑥→2

2𝑥3+4𝑥2−2𝑥−4 2𝑥2+𝑥−3

e) lim𝑥→0√𝑥+4−2

𝑥2−𝑥 f) lim𝑥→2

𝑥2−2𝑥 √𝑥+2−2

g) lim𝑥→2𝑥2−5𝑥+6

𝑥2−4𝑥+4 h) lim𝑥→1

𝑥2−1 √𝑥−1

i) lim𝑥→1 𝑥3−1

𝑥3+2𝑥2−3𝑥 j) lim𝑥→3

√𝑥−√3 2𝑥−6

9. Calcula los siguientes límites:

a) lim𝑥→+∞(𝑥 + 3) √( 1

2𝑥2+3) b) lim𝑥→−5

21 𝑥2−25(−𝑥

2+ 3𝑥 + 10)

c) lim𝑥→+∞ 2𝑥

𝑥3−1ln 𝑥 d) lim𝑥→2(

𝑥2−4 𝑥+1 ∙

𝑥2+4 𝑥2−2𝑥)

10. Calcula los siguientes límites:

a) lim𝑥→−∞(𝑥 −𝑥2+2𝑥+1

𝑥 ) b) lim𝑥→+∞(

𝑥2−1 𝑥−2 −

2𝑥2+𝑥 2𝑥 )

c) lim𝑥→2( 3

𝑥+2−

𝑥2−2𝑥+1

3𝑥−2 ) d) lim𝑥→3( 𝑥+1 𝑥+3−

(5)

e) lim𝑥→+∞[√4𝑥2− 6𝑥 + 3 − 2𝑥] f) lim

𝑥→+∞[√9𝑥2+ 4𝑥 − √9𝑥2− 2]

g) lim𝑥→+∞[ 𝑥2 𝑥+2−

𝑥3−1 𝑥2+2 ]

11. Cálculo los siguientes límites:

a) lim𝑥→2

𝑥3−2𝑥2

𝑥3−6𝑥2+12𝑥−8 b) lim𝑥→0

1 𝑥10

c) lim𝑥→+∞[ 𝑥2

𝑥+1−

𝑥2+2𝑥−3

𝑥−1 ] d) lim𝑥→1 1−2𝑥 𝑥2−1

e) lim𝑥→+∞

√3𝑥2−2𝑥+1

2𝑥+5 f) lim𝑥→−∞−7𝑥

3+ 4𝑥2− 7𝑥 + 5

g) lim𝑥→−3−𝑥3+2𝑥2−𝑥+1

𝑥2+1 h) lim𝑥→2

√𝑥2+5−3

𝑥2−2𝑥

i) lim𝑥→−∞3𝑥5−2𝑥+1

7𝑥4−2𝑥2 j) lim𝑥→+∞(

𝑥2+2 𝑥+1 −

𝑥2+1 𝑥 )

k) lim𝑥→1

2𝑥3+4𝑥2−2𝑥−4

2𝑥2+𝑥−3 l) lim𝑥→+∞(√9𝑥2+ 2𝑥 − 3 − 3𝑥)

m) lim𝑥→0[2

𝑥3∙

𝑥2+2𝑥

3 ] n) lim𝑥→−1

𝑥2−1 𝑥+1

ñ) lim𝑥→−1ln(𝑥2− 1) o) lim

𝑥→−∞𝑒

𝑥2−4 𝑥−2

p) lim𝑥→+∞√𝑥+5−√𝑥+7√𝑥

12. La siguiente función muestra el número de clientes dispuestos a contratar un producto financiero desde el momento en que se lanza la oferta y sin ningún tipo de publicidad posterior (t en meses):

𝑓(𝑡) =60𝑡 + 810 𝑡2+ 9

¿Cuántos clientes contratarán ese producto si el tiempo se hace infinitamente grande?

13. El número de individuos, en millones, de una población viene expresado por la función:

𝑓(𝑥) = 20 + 3𝑥

2

𝑥2+ 6𝑥 + 9

(6)

Donde x indica el tiempo que va transcurriendo desde este momento. ¿Qué ocurre con esta población a largo plazo? ¿A qué tiende este pueblo, a estabilizarse, a desaparecer o a crecer indefinidamente?

14. Una piscina se vacía según la función 𝑣(𝑡) = 2(𝑡−5)

−2𝑡(𝑡2−25) , donde 𝑣 es el volumen expresados en 𝑚3 y 𝑡 el tiempo en minutos. ¿Transcurrido 5 minutos estará la piscina vacía?

15. Según un geofísico la presión en un fondo marino se expresa según la función

𝑝 =(3h3−h2+5h)

−h4+h3+2 , donde ℎ es la densidad. ¿A qué valor se aproxima la presión cuando la densidad se aproxima a 0?

16. Una freidora tiene una capacidad de 12 litros de aceite. Si la llenamos con botellas de un litro, necesitaremos 12, si la llenamos con botellas de medio litro, necesitaremos 24. Si las botellas son de 20 cl (0.2 litros), necesitaremos 60 y así, a medida que la capacidad de la botella es menor, más botellas hacen falta.

Si llamamos x, a la capacidad de botella de aceite (en litros), el número de botellas necesarias vendrá dado por la función:

𝑓(𝑥) =12 𝑥

¿Cuántas botellas hacen falta si la capacidad de cada una es muy pero que muy pequeña?

17. Jaime acaba de comenzar a trabajar en el departamento de atención al cliente

de una compañía de telefonía móvil. El número de llamadas diarias que atiende un

empleado viene expresado por la función:

𝑁 (𝑡) = 72𝑡 𝑡 + 9

Donde t es el número de días que lleva trabajando. ¿Cuántas llamadas atenderá

Jaime por día después de mucho tiempo trabajando?

18. El número de montajes M(t) por día de un determinado artículo que un trabajador realiza en función del número de días, t, de entrenamiento bien dado por:

(7)

a) Halla el número de montajes que realiza al empezar a trabajar con ese artículo el primer día.

b) ¿Cuántos días debe entrenas para conseguir hacer 500 montajes? ¿Cuál es el

máximo número de montajes que puede hacer estando muy entrenado?

19. El precio con el que salió al mercado un modelo determinado de moto fue de

6500€. Debido a que obtuvo un menor número de ventas que el esperado, al

siguiente año su se rebajó a 5500€. Si el precio de la moto en miles de euros viene

dado por la función 𝑃(𝑡) =𝑎𝑡+2

𝑐𝑡 donde t es el número de años transcurridos desde

que salió al mercado dicho modelo de moto, ¿cuál será el precio de la moto dentro

de 4 años?, ¿cuál será el precio más bajo que alcanzará este modelo?

20. La puntuación obtenida por un estudiante en un test dependiendo del tiempo (x en horas) que ha dedicado al estudio viene dada por:

𝑃(𝑥) = { 2𝑥

5 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 20 3𝑥

0.5𝑥 − 2.5 𝑠𝑖 𝑥 > 20

Razona que la puntuación obtenida no puede ser superior a 8.

21. La función 𝐶(𝑥) =3𝑥+60

𝑥 indica el coste, en euros, de producción de cada pieza

de un determinado producto en función del número, x, de piezas producidas. Encuentra las asíntotas de esta función y las tendencias con sentido en el contexto del problema.

22. Estudia la continuidad de las siguientes funciones dadas a trozos. En el caso de aparecer discontinuidades, indica de qué tipo son. Además, calcula, si existe, los límites que se piden.

A) 𝑓(𝑥) = {

𝑥2− 4 𝑠𝑖 𝑥 < 2 𝑥 − 2 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 ≤ 4

5 𝑠𝑖 𝑥 > 4

(8)

B) 𝑓(𝑥) = {2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 2 3 𝑠𝑖 𝑥 = 2

lim𝑥→+∞𝑓(𝑥); lim𝑥→−∞𝑓(𝑥); lim𝑥→2𝑓(𝑥).

C) 𝑓(𝑥) = {−2𝑥

2− 𝑥 + 6 𝑠𝑖 𝑥 < 1

1 −𝑥−1

𝑥+1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

lim𝑥→+∞𝑓(𝑥); lim𝑥→−∞𝑓(𝑥); lim𝑥→0𝑓(𝑥); lim𝑥→3𝑓(𝑥); lim𝑥→1𝑓(𝑥).

D) 𝑓(𝑥) =

{

𝑥

𝑥+1 𝑠𝑖 𝑥 < −1

𝑥2− 4𝑥 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 2

−3 𝑠𝑖 𝑥 = 2 −𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 > 2

lim𝑥→+∞𝑓(𝑥); lim𝑥→−∞𝑓(𝑥); lim𝑥→2𝑓(𝑥); lim𝑥→4𝑓(𝑥); lim𝑥→−3𝑓(𝑥).

23. La profundidad de la capa de arena en una playa se verá afectada por la

construcción de un dique. En una zona de la playa, esa profundidad vendrá dada

por la siguiente función:

𝑃(𝑡) = {

2 + 𝑡2 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 8𝑡2− 𝑡 − 1

2𝑡2 𝑠𝑖 𝑡 > 1

P es la profundidad en metros y t el tiempo en años desde el inicio de la

construcción. Si la profundidad llegara a superar los cuatro metros, se debería

elevar la altura del paseo marítimo.

a) ¿Es 𝑃 (𝑡) una función continua?

b) ¿Será necesario elevar la altura del paseo con el paso del tiempo, por causa de la

profundidad de la arena?

c) Haz una gráfica aproximada de 𝑃 (𝑡) .

24. Un equipo de investigación ha estimado que el tiempo (T, en minutos) que

tarda en realizar cierta prueba de atletismo en función del tiempo de

(9)

𝑇(𝑥) =

{

300

𝑥 + 30 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 30 1125

(𝑥 − 5)(𝑥 − 15)+ 2 𝑠𝑖 𝑥 > 30

a) Justifica si la función T es continua en todo su dominio.

b) Por muchos días que entrene un deportista, ¿será capaz de hacer la prueba en

menos de 1 minuto? ¿Y en menos de 2?

25. En un país se ha estimado que la tasa de fecundidad (el número medio de hijos

por mujer) va a evolucionar con el número de años transcurridos, t, según esta

expresión: 𝑓(𝑡) = 3𝑡2+6

2𝑡2+3 . Con el paso del tiempo, ¿tenderá a estabilizarse dicha tasa

o aumentará?

26. A los 20 años de su fundación, una empresa hizo un cambio en la forma de

realizar su contabilidad. En consecuencia, sus beneficios, en millones de euros, se

calculan con esta función:

𝑓(𝑡) = {

3𝑡 + 10

𝑡 𝑠𝑖 0 < 𝑡 ≤ 20 𝑎𝑡 −193

2 𝑠𝑖 𝑡 > 20

Donde t es el número de años transcurridos. ¿Cuál debe ser el valor del parámetro

𝑎 para que el cambio en los beneficios sea continuo?

ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN

1. Halla los valores de los parámetros para que el límite sea cierto:

a) lim𝑥→+∞

𝑎𝑥2+1 6𝑥𝑏−𝑥−1=

1

6 b) lim𝑥→+∞

𝑥4−3𝑥2−2𝑥+1

10𝑥𝑎−𝑥2+1 = + ∞ c) lim𝑥→+∞𝑎𝑥3+3𝑥2−𝑥−2

𝑥3−2𝑥 = −2 d) lim𝑥→−∞

𝑥𝑎+𝑥3+𝑥−5 4𝑥𝑏−𝑥2+1 = 0

2. Dada una función f continua en ℝ y tal que 𝑓(2) = 1, ¿podemos afirmar que existe lim𝑥→2𝑓(𝑥)? ¿Por qué? En caso afirmativo, ¿cuál es su valor?

(10)

c. Discontinuidad de salto finito en 𝑥 = 2 siendo 𝑓(2) = 4. d. 𝑓(0) = 𝑒0.

e. lim𝑥→5𝑓(𝑥) = −∞. f. lim𝑥→−∞𝑓(𝑥) = +∞.

4. ¿Es posible calcular el límite de una función en un punto donde no esté definida dicha función? ¿Y en un punto donde la función no es continua? Razona las respuestas y pon ejemplos.

5.El gasto mensual en alimentación de una familia depende de su renta, x. Así:

𝑔(𝑥) = {

0.6𝑥 + 200 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1000 1000𝑥

𝑥 + 250 𝑠𝑖 𝑥 > 1000 Donde los ingresos y gastos vienen expresados en euros.

a) Representa 𝑔(𝑥)

b) ¿La función es continua?

c) Calcula el límite de 𝑔(𝑥) cuando x tiende a +∞ y explica su significado.

6. Sean f y g dos funciones definidas en [0, ∞) tales que

lim𝑥→+∞𝑓(𝑥) = lim𝑥→+∞𝑔(𝑥). Rodea la afirmación correcta.

a) lim𝑥→+∞𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= 1

b) lim𝑥→+∞𝑓(𝑥)

𝑥 = lim𝑥→+∞ 𝑔(𝑥)

𝑥

c) lim𝑥→+∞[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = 0

d) 𝑓 + 𝑔 tiene límite en +∞

7. Sea una función estrictamente creciente en ℝ. Considera las afirmaciones

siguientes:

a) lim𝑥→+∞𝑓(𝑥) = + ∞

b) lim𝑥→−∞𝑓(𝑥) = − ∞

c) La función 𝑓 es continua en ℝ

d) La función 𝑓 puede estar acotada

Entonces se verifica:

I) Todas son ciertas, excepto c)

(11)

III) Todas son falsas

IV) Todas son verdaderas

8. Considera la función 𝑓(𝑥) = 𝐸[𝑥], entera de x (de cada número real x toma su

parte entera), responde a las siguientes cuestiones:

a) Dominio de la función

b) ¿Es continua en todo su dominio?

c) Existe límite en todos los puntos de su dominio?

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD

1. (Selectividad 2012) Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de

euros, para los próximos 10 años viene dado por la función

𝐵(𝑡) = {𝑎𝑡 − 𝑡2 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 6

2𝑡 𝑠𝑖 6 < 𝑡 ≤ 10 , siendo t el tiempo transcurrido en años.

a) (0.75 puntos) Calcule el valor del parámetro a para que B sea una función continua.

b) (1 punto) Para a = 8 represente su gráfica e indique en qué períodos de tiempo la función crecerá o decrecerá.

c) (0.75 puntos) Para a = 8 indique en qué momento se obtiene el máximo beneficio en los primeros 6 años y a cuánto asciende su valor.

2. (Selectividad 2009) Determine el dominio y las asíntotas de la función

𝑚(𝑥) =2𝑥+3

𝑥−4.

3. (Selectividad 2009) Estudia la continuidad de la función:

𝑓(𝑥) = {

1 − 2𝑥 𝑥 ≤ 0 1

(12)

𝑓(𝑥) = {

𝑥2 + 𝑥 𝑥 < 0

𝑥

𝑥 + 1 𝑥 ≥ 0

a. (2 puntos) Estudie la continuidad de la función en su dominio.

b. (0.5 puntos) Determine la asíntota horizontal, si la tiene.

c. (0.5 puntos) Determine la asíntota vertical, si la tiene.

d. (No selectividad) Esboce la gráfica de la función.

5. (Selectividad 2009) Sea la función:

𝑓(𝑥) = { 3𝑥 𝑥 ≤ 1 𝑥2− 6𝑥 + 8 𝑥 > 1

a. (No selectividad) Dibuje la gráfica de la función.

b. (2 puntos) Estudie la continuidad en su dominio.

6. (Selectividad 2009) Sea la función definida por:

𝑓(𝑥) = { 𝑒−𝑥 𝑥 ≤ 0 𝑥3− 𝑥 + 1 𝑥 > 0

a. (1 punto) ¿Es f continua en x=0? ¿Es continua en su dominio?

7. (Selectividad 2008) Sea la función f definida mediante 𝑓(𝑥) = 𝑥+1

2𝑥−1.

a. (0.5 puntos) Determine los puntos de corte con los ejes.

b. (1 punto) Determine sus asíntotas.

c. (No selectividad) Representa gráficamente la función.

8. (Selectividad 2008) Sea la función:

(13)

a. (2 puntos) Calcule a y b sabiendo que 𝑓(2) = 7 y que f es continua en 𝑥 = 1.

9. (Selectividad 2007) Sea la función definida por:

𝑓(𝑥) = { 2𝑥 𝑥 ≤ 1 𝑥2+ 𝑚𝑥 + 5 𝑥 > 1

a. (1 punto) Calcule m para que la función sea continua en x=1.

b. (No selectividad) Para ese valor de m, represente la función definida a

trozos dada.

WEBS DE AYUDA

 Explicación de las diferentes indeterminaciones y ejercicios ejemplos de éstas mediante vídeos paso a paso:

http://profesor10demates.blogspot.com.es/p/limites-indeterminaciones.html

 Tema de límites y ejemplos:

http://www.vitutor.com/fun/3/a_1.html

 Cálculo de límites y autoevaluaciones:

http://www.ieszaframagon.com/matematicas/matematicas2/limite_continua_b/2

_clculo_de_lmites.html

 Ejercicios de continuidad con soluciones:

Figure

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