APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra UNIDAD 10 CINEMÁTICA DE ROTACIÓN Movimiento de rotación

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APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra

UNIDAD 10

CINEMÁTICA DE ROTACIÓN

Movimiento de rotación

¿Qué tienen en común los movimientos de un disco compacto, las sillas voladoras, un esmeril, la rueda de un vehículo en movimiento, una sierra circular y un ventilador? Aunque parezca muy difícil, la respuesta a esta pregunta es muy sencilla, ya que ninguno de estos movimientos puede representarse adecuadamente como un punto en movimiento, todos implican un cuerpo que gira sobre un eje que está fijo y que describen una trayectoria circular.

Por estas razones, decimos que una partícula se encuentra en movimiento circular cuando su trayectoria es una circunferencia, es decir está rotando. La rotación se da en todos los niveles, desde el movimiento de los electrones en los átomos hasta los movimientos de las galaxias. Por eso es necesario desarrollar métodos generales para analizar el movimiento de un cuerpo en rotación.

El movimiento circular es un caso particular de movimiento en dos dimensiones con velocidad v. Para un objeto que se mueve en una trayectoria circular, si la rapidez v es constante, el movimiento se llama movimiento circular uniforme. En la siguiente figura se muestra un objeto que se mueve en una trayectoria circular con velocidad constante v, es decir movimiento circular uniforme.

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En la figura anterior se observa que el vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria del objeto y perpendicular al radio r de la circunferencia que describe, mientras que la aceleración es perpendicular a la trayectoria y siempre apunta hacia el centro del círculo. Una aceleración de esta naturaleza se conoce como aceleración centrípeta. Como veremos, tanto la velocidad como la aceleración son de magnitud constante, pero ambas cambian de dirección continuamente. Esta situación es la que define fundamentalmente al movimiento circular uniforme.

En el movimiento circular, si se utiliza un sistema de referencia cartesiano, se trataría de un movimiento en el plano y necesitaríamos las coordenadas x, y. Sin embargo, la posición de la partícula a lo largo de su trayectoria puede determinarse sólo con el radio r, y el desplazamiento angular, en este caso, la coordenada radial es fija (r) y el movimiento queda descrito por una sola variable, el ángulo 𝜃, que puede ser dependiente del tiempo (t).

Cinemática de rotación

Al analizar el movimiento de rotación, nos referimos a un cuerpo que gira sobre un eje fijo, es decir, un eje que está en reposo en algún marco de referencia inercial y no cambia de dirección relativa al marco. El cuerpo podría ser una flecha de motor, un pollo en el asador, la aguja del velocímetro de un automóvil, como el de la figura, la aguja indicadora del velocímetro gira sobre un eje fijo, el cual pasa por el punto O y es perpendicular al plano xy.

Para describir la rotación de este cuerpo se elegirá un punto P del cuerpo y para especificar su posición rotacional se observa la línea OP, está fija en el cuerpo y gira con él. El ángulo 𝜃 que esta línea forma con el eje x describe la posición rotacional del cuerpo; usaremos sólo esta cantidad 𝜃 como coordenada de rotación, que puede ser positiva o negativa y su forma más natural de medir no es en grados, sino en radianes, un radián (1 rad) es el ángulo subtendido en el centro de un círculo por un arco cuya longitud es igual al radio del círculo, tal como se muestra en la figura el valor de 𝜃 en radianes viene dado por la expresión:

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La circunferencia de un círculo es 2𝜋 veces el radio, así que hay unos 6,283 radianes en una revolución completa 360°. Por lo tanto:

1𝑟𝑎𝑑 =360°

2𝜋 = 57,3°

Como ya se ha señalado, en un movimiento rotacional, la dirección de la velocidad lineal es siempre tangente a la trayectoria y el sentido es tal que apunta en la dirección del movimiento. Por ejemplo, en la figura, se muestra el vector velocidad para dos instantes de tiempo de un movimiento circular en sentido de las agujas del reloj, está nos permitirá definir las magnitudes básicas de este tipo de movimiento, comenzando por el período.

El período se define como el tiempo que el móvil tarda en dar una vuelta completa en su trayectoria circular, se denota por la letra T y su expresión es el cociente entre el tiempo y el número de revoluciones o vueltas (n):

𝑇 =

𝑡

𝑛

La frecuencia es el número de revoluciones que efectúa el móvil por unidad de tiempo, se denota con la letra f, su unidad en el SI es el Hertz (Hz), que se define como un ciclo por segundo. La frecuencia es el inverso del período, esto es:

𝑓 =

1

𝑇

Velocidad angular (ω)

Consideremos una partícula en movimiento rotacional que se encuentra en la posición 𝑃𝑖 mostrada en la figura anterior. Después de un intervalo de tiempo ∆𝑡, la partícula se encuentra en la posición 𝑃𝑓. Durante ese intervalo ∆𝑡 de tiempo, la partícula barre, en su

movimiento, un ángulo ∆𝜃. La relación entre el ángulo barrido por la partícula y el intervalo del tiempo se denomina velocidad angular de la partícula y se suele representar por la letra griega omega ω. Entonces, por definición tenemos:

𝜔 =

∆𝜃

∆𝑡

⇒ 𝜔 = lim

𝑡→0

∆𝜃

∆𝑡

=

𝑑𝜃

𝑑𝑡

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Rapidez

Considerando la misma situación anterior, si en el mismo intervalo de tiempo la longitud de arco recorrida fue ∆𝑆, definimos la rapidez lineal como la relación entre la longitud de arco y el intervalo de tiempo. El movimiento que estamos considerando es tal que esta cantidad es siempre constante. Por definición tenemos:

𝑣 =

∆𝑆

∆𝑡

Aceleración angular

Si cambia la velocidad angular de un móvil, tiene una aceleración angular, por ejemplo, cuando una persona pedalea una bicicleta con más vigor para hacer que las ruedas giren más rápidamente, o aplica los frenos para detener las ruedas, se produce una aceleración angular sobre éstas, también se produce una aceleración angular cuando alteramos la rapidez de rotación de una pieza giratoria de una maquinaria, como el cigüeñal del motor de un automóvil, cuando aceleramos o frenamos.

En la figura se observa que existe una variación de la rapidez ∆𝑣, con 𝑣𝑖 𝑦 𝑣𝑓, esto implica que debe existir una variación de la velocidad angular con 𝜔𝑖 𝑦 𝜔𝑓, determinando ∆𝜔, en un determinado ∆𝑡, el cociente entre la velocidad angular y el tiempo es lo que se conoce como

aceleración angular o centrípeta, es decir:

𝑎

𝑐

=

∆𝜔

∆𝑡

⇒ 𝑎

𝑐

= lim

𝑡→0

∆𝜔

∆𝑡

=

𝑑𝜔

𝑑𝑡

La unidad que se suele utilizar para la aceleración angular es el radián por segundo al cuadrado 𝑟𝑎𝑑 𝑠2.

Dado a que 𝜔 =𝑑𝜃

𝑑𝑡, también se puede expresar la aceleración angular como la segunda

derivada de la coordenada angular:

𝑎

𝑐

=

𝑑

2

𝜔

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Las cantidades rotacionales como vector

Como se señaló anteriormente, el movimiento rotatorio es un caso de movimiento en dos dimensiones, por tanto se puede definir una velocidad en cada uno de los ejes x, y, 𝑣𝑥 𝑦 𝑣𝑦, sin embargo es prioritario definir la velocidad angular del movimiento la cual se ubica en torno al eje z, tal como lo vemos en la figura, por eso la denotaremos con 𝜔𝑧.

En este caso la dirección de 𝜔𝑧 está dada por la regla de la mano derecha, que permite definir que si la rotación es sobre el eje z, sólo tiene componente z, la cual es positiva si apunta en la dirección +𝑧 y negativa si apunta en la dirección −𝑧. Esta formulación vectorial tiene especial utilidad en situaciones donde cambia la dirección del eje de rotación.

Así como se hizo con la velocidad angular, resulta útil definir un vector de aceleración

angular, que como sabemos

matemáticamente es la derivada con respecto al tiempo del vector de velocidad angular, por tanto, como el móvil gira en torno al eje z fijo, sólo tiene componente z; la cantidad 𝛼𝑧 es precisamente esa componente. En este

caso, apunta en la misma dirección que si la rotación se está acelerando, y en la dirección opuesta si se está frenando, tal como se muestra en la siguiente figura.

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Rotación con aceleración angular constante

Como ya se sabe, el movimiento rectilíneo es muy sencillo cuando la aceleración es constante. Lo mismo sucede con el movimiento rotacional sobre un eje fijo, por tanto, si la aceleración angular es constante, se pueden deducir ecuaciones para la velocidad y la posición angulares, procedamos a ello.

Sea 𝜔𝑖𝑧 la velocidad angular inicial de un móvil en el instante inicial de tiempo 𝑡𝑖 = 0 y sea 𝜔𝑓𝑧 su velocidad angular en cualquier instante posterior 𝑡𝑓. La aceleración angular 𝛼𝑧 es

constante e igual al valor medio en cualquier intervalo, tal como s aprecia en la siguiente expresión:

𝛼

𝑧

=

𝜔

𝑓𝑧

− 𝜔

𝑖𝑧

𝑡

𝑓

− 𝑡

𝑖

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑡

𝑖

= 0 ⇒

𝜔

𝑓𝑧

= 𝜔

𝑖𝑧

± 𝛼

𝑧

𝑡

Cuando la aceleración angular es constante, se tiene que la velocidad angular cambia uniformemente, así que su valor medio en cualquier intervalo de t es la media de los valores de 𝜔𝑧 en ese intervalo, es decir:

𝜔

𝑚𝑒𝑑𝑧

=

𝜔

𝑓𝑧

+ 𝜔

𝑖𝑧

2

Y como 𝜔 =∆𝜃

∆𝑡, también se puede escribir la 𝜔𝑚𝑒𝑑𝑧 como

:

𝜔

𝑚𝑒𝑑𝑧

=

𝜃

𝑓

− 𝜃

𝑖

𝑡

𝑓

− 𝑡

𝑖

Ahora, igualando las dos ecuaciones de 𝜔𝑚𝑒𝑑𝑧, se obtiene que:

𝜔

𝑓𝑧

+ 𝜔

𝑖𝑧

2

=

𝜃

𝑓

− 𝜃

𝑖

𝑡

𝑓

− 𝑡

𝑖

como 𝑡

𝑖

= 0 ⇒

𝜃

𝑓

= 𝜃

𝑖

+

1

2

𝜔

𝑓𝑧

+ 𝜔

𝑖𝑧

𝑡

Y como 𝜔𝑓𝑧 = 𝜔𝑖𝑧 ± 𝛼𝑧𝑡, s e obtiene la expresión del desplazamiento angular.

𝜃

𝑓

= 𝜃

𝑖

+

1

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𝜃

𝑓

= 𝜃

𝑖

+ 𝜔

𝑖𝑧

±

1

2

𝛼

𝑧

𝜃

𝑓

− 𝜃

𝑖

Finalmente, la relación entre el desplazamiento angular θ y la velocidad angular que no

dependa del tiempo, es la siguiente:

𝜔

𝑓𝑧2

= 𝜔

𝑖𝑧2

± 2𝛼

𝑧

𝑡

Todas estas ecuaciones son validadas sólo cuando la aceleración angular es constante.

Relación entre las características cinemáticas lineales y angulares de una partícula en el movimiento circular

Hasta el momento se han analizado sólo las magnitudes angulares del movimiento circular, pero es importante señalar, que este movimiento también se realiza en las dos dimensiones cartesianas, por tanto, se debe definir la relación que existe entre las magnitudes lineales y las angulares, para lograrlo se tomará como referencia la figura contigua, en ella se aprecia que en la medida que se desarrolla el desplazamiento angular 𝜃, ocurre un desplazamiento lineal 𝑆, que ya se ha denominado arco de la circunferencia, recordemos que la trayectoria es circular, y que su expresión matemática es:

𝑆 = 𝑟𝜃

Al derivar esta ecuación con respeto al tiempo se obtiene que:

𝑑𝑆

𝑑𝑡

= 𝑟

𝑑𝜃

𝑑𝑡

𝑐𝑜𝑚𝑜

𝑑𝑆

𝑑𝑡

= 𝑣 𝑦

𝑑𝜃

𝑑𝑡

= 𝜔 ⇒

𝑣 = 𝑟𝜔

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Esta figura permite estudiar lo que ocurre con la aceleración lineal del movimiento, lo primero que se observa es que esta aceleración tiene dos componentes la aceleración tangencial 𝑎𝑇 y una aceleración radial 𝑎𝑅 , la primera vinculada a la

aceleración angular 𝛼𝑧 y la segunda la que ya definimos como aceleración centrípeta 𝑎𝐶 . En esta figura se puede observar que 𝑎𝑇 está paralela a la velocidad lineal y actúa cambiando la magnitud de la velocidad de la partícula y es igual a la razón de cambio de la rapidez. Derivando la ecuación 𝑣 = 𝑟𝜔 con respecto al tiempo, obtenemos:

𝑑𝑣

𝑑𝑡

= 𝑟

𝑑𝜔

𝑑𝑡

𝑐𝑜𝑚𝑜

𝑑𝑣

𝑑𝑡

= 𝑎

𝑇

𝑦

𝑑𝜔

𝑑𝑡

= 𝛼

𝑧

𝑎

𝑇

= 𝑟𝛼

𝑧

Esta componente de la aceleración de una partícula siempre es tangente a la trayectoria circular de la partícula.

Por otro lado, de la figura anterior también se desprende que la componente centrípeta de aceleración 𝑎𝐶, está asociada con el cambio de dirección de la velocidad de la partícula, por tal motivo la podemos expresar esto en términos de 𝜔 usando la ecuación 𝑎𝐶 =𝑣2

𝑟:

Como 𝑣 = 𝑟𝜔

sustituyendo v en la ecuación𝑎𝐶 =𝑣2

𝑟, se obtiene:

𝑎

𝐶

= 𝑟𝜔

2

Esto se cumple en todo instante aun si 𝑣 𝑦 𝜔 no son constantes. La componente centrípeta siempre apunta hacia el eje de rotación.

La aceleración del móvil en rotación es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de ambas componentes, es decir:

Figure

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