COLEGIO DE LA ASUNCION

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HIPÉRBOLA

Recordamos que si el plano corta a las generatrices en ambos lados del vértice del cono, obtenemos una hipérbola.

Las superficies comunes: plano y cono las podemos representar:

Las dos ramas de la hipérbola podemos trazarlas del siguiente modo:

Esta hipérbola tiene su centro en el origen de coordenadas. Los vértices están representados por A y A’ y los focos por F y F’. La distancia entre los vértices nos viene dada por A’A = 2a

Hipérbola.- Definición

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y sabiendo por el contenido de la definición comprobamos que las diferencias entre las distancias:

Construcción de una hipérbola

Hay varias formas sencillas para la construcción de hipérbolas. Describiremos dos:

A).- Necesitas tres pequeños clavos, un trozo de listón de madera (16 cm), una delgada cuerda (10 cm.) y chapa o tablero de madera.

Dos de los clavos los clavas, sin introducirlos del todo, en el tablero de madera

(serían los FOCOS) separados 10 cm.

Las medidas pueden variar pero la distancia entre los focos debe

ser mayor que la diferencia entre la longitud del listón y la de la cuerda. Longitud listón – longitud cuerda < F’F.

Al trozo de listón, que no tenga un grosor excesivo, que te sirva de regla, fijándote en la figura siguiente, le clavas el tercer clavo sin introducirlo del todo y le atas la cuerda.

En la parte posterior y a partir de la cara plana le haces un pequeño agujero tal como ves en la misma figura:

El trozo anterior de madera lo pones horizontal de modo que uno de los clavos de los focos pase por el agujero (lo habrás tenido que sacar e introducirlo nuevamente) y el extremo libre del cordel lo atas en el otro clavo libre que hace de foco.

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Colocas un lapicero, rotulador, etc., detrás de la cuerda que siempre has de mantenerla tensa:

Ahora haces deslizar el rotulador, lapicero o bolígrafo tocando al trozo de madera y empujando a la cuerda manteniéndola un poco tensa (pisar con la mano suavemente a la madera o con un pequeño peso que le hayas puesto encima):

A medida que deslizas el lapicero o rotulador manteniendo tensa la cuerda irás dibujando sobre el color verde una rama de la hipérbola de color rojo, en el caso del ejemplo al tiempo que gira el trozo de madera.

Para completar la hipérbola te basta cambiar posiciones.

B).- Otro modo sencillo de trazar una hipérbola es el siguiente:

o Dibuja un eje de coordenadas

o Divide los ejes con divisiones de 1 cm y numéralos a partir del foco.

o Señala los focos y los vértices y te habrá quedado:

 Toma un compás, con radio igual a la distancia haciendo centro en

F y F’ traza unos arcos (si quieres también circunferencias). Haces lo

mismo pero con radios , etc , y uniendo los puntos creados por

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 Si hallas las distancias de un punto de la hipérbola a cada uno de los focos

hallarás que sus diferencias valen lo mismo, una cantidad igual a 2a

(distancia entre los vértices) en nuestro caso, 2 cm.

HIPÉRBOLA

Elementos de una hipérbola

Hasta ahora hemos visto los focos y los vértices.

Se llama eje focal la recta donde están situados los focos. También podemos considerarlo como eje principal.

Eje secundario es la mediatriz del eje focal OB.

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Asíntotas son las dos rectas, en color morado, que pasan por el centro de la hipérbola cuyas ramas se aproximan cada vez más sin llegar a tocarse.

Al ser unas rectas podemos calcular sus ecuaciones utilizando la forma de punto pendiente:

Como pasan por el origen y la pendiente podemos representar por la tangente, las fórmulas de las asíntotas podemos escribirlas teniendo en cuenta que en el segundo cuadrante el coseno es negativo:

Relación entre los semiejes de la hipérbola

De la última figura es fácil deducir, por el teorema de Pitágoras, que:

Ecuación de la hipérbola con centro en el origen de coordenadas

Hemos estudiado que la diferencia de distancias de cualquier punto de una a cada uno de sus focos equivale a2a

Esto quiere decir que:

Lo podemos comprobar en la figura siguiente:

De la última igualdad vamos a obtener la fórmula de la hipérbola y para ello pasamos el sustraendo a la derecha del signo (=):

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

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Reduciendo términos semejantes nos queda:

simplificamos por 4 y llegamos a

Elevamos ambos miembros al cuadrado después de dejar al término con la raíz cuadrada a la derecha del (=):

Haciendo operaciones:

Quitando el paréntesis:

Reducimos términos semejantes y hacemos operaciones:

Dejamos a la izquierda del (=) a los términos que contienen incógnitas y sacamos factores comunes:

Sabemos que por lo tanto, la igualdad anterior podemos escribirla:

Dividimos cada término por y simplificando llegamos a la ecuación canónica o reducida de la hipérbola:

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Ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen de coordenadas

Si el centro lo tuviésemos en el punto la ecuación sería, teniendo en cuenta lo estudiado hasta ahora:

Ecuación general de la hipérbola

Aprovechando cuanto hicimos cuando tratamos la ecuación general de la elipse tendremos:

Haciendo operaciones tenemos:

Ordenamos:

Damos los valores siguientes a:

Sustituyendo en (I) obtenemos:

que es la ecuación general de la hipérbola..

Los coeficientes de e tienen signos opuestos mientras que en la elipse

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HIPÉRBOLA

Ecuación de la hipérbola vertical con centro en el origen de coordenadas Hasta ahora hemos considerado eje principal de la hipérbola el paralelo al eje de abscisas.

En el caso de una hipérbola vertical con origen en el punto (0,0), su eje principal es el de ordenadas:

El centro de la hipérbola lo tenemos en el punto (0,0). Los focos están situados en los puntos (0,5) y (0,-5). Los vértices se encuentran en (0,4) y (0,-4).

Dado que los valores de x e y se han intercambiado, la ecuación de la hipérbola será:

Si quieres obtener este resultado de un modo paso a paso, puedes comenzar en:

de la demostración anterior.

Lo que tienes que hacer es cambiar x por y debido al giro de la figura:

A partir de aquí haces los cálculos del modo anterior y llegarás a la misma ecuación últimamente señalada.

Puedes servirte también cuanto a este tema nos referimos en la elipse teniendo en cuenta

Ecuación de la hipérbola vertical con centro fuera del origen de coordenadas

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1. Sabemos que la medida del eje focal de una hipérbola mide 6 y la distancia entre los focos 10, ¿cuál es su ecuación?

Respuesta:

Solución

Necesitamos conocer a y b

La ecuación será:

2. Si la ecuación de una hipérbola es escríbela en forma reducida o canónica.

Respuesta:

3. Escribe la ecuación de una hipérbola de la que sabemos que su centro está en el origen de coordenadas, F(0,10) y A(0,6).

Respuesta: Solución

Vemos que el eje principal es vertical.

4. Si te dicen que la ecuación reducida o canónica de una hipérbola es:

¿Cuáles son las coordenadas de los focos y vértices?

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Excentricidad de la hipérbola

Hemos hecho referencia varias veces a la distancia focal y distancia entre vértices 2c y 2a ésta la menor de las dos, se llama excentricidad de la hipérbola al cociente entre ambas:

La excentricidad nos indica la abertura de las ramas de la hipérbola. A mayor excentricidad, mayor abertura.

La excentricidad de una hipérbola se mantiene con valor superior a 1, es decir,

En la figura siguiente tienes las aberturas de las ramas de la hipérbola según sea el valor de la excentricidad. Observa que las coordenadas de los vértices son iguales para cada una de las hipérbolas.

A medida que el valor de c aumenta, las ramas de la hipérbola tienden a hacerse más perpendiculares respecto al eje principal.

4. Calcula ecuación reducida o canónica, los vértices, los focos y la excentricidad de una hipérbola cuya ecuación general es:

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Vértices :

Focos:

excentricidad: 1.05

Solución

La ecuación: podemos escribirla:

Haciendo operaciones y ordenando:

Reducimos términos semejantes:

Dividimos todos los términos por 9:

Observamos que el centro de esta hipérbola se halla en el punto (3,-2).

Los valores de a, b y c son:

En la primera figura de las dos que tienes debajo y con los ejes de coordenadas cuyas líneas hechas con puntos fijamos el centro.

En la figura de la derecha con los ejes color blanco y línea continua, tienes el eje de coordenadas en el origen

En esta figura compruebas que los puntos que representan los vértices de la hipérbola, corresponden en el eje de las coordenadas en el origen, a los puntos (en azul):

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La excentricidad vale :

Hipérbola equilátera

Una hipérbola es equilátera cuando los semiejes a y b son iguales:

Esto quiere decir: a = b.

Si observas las asíntotas, verás que se tratan de las bisectrices (dividen un ángulo en dos partes iguales).

Ecuación reducida de la hipérbola equilátera

Te basta con hacer uso de la forma reducida:

Como a y b son iguales, podemos escribir:

Haciendo operaciones llegamos:

Ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola equilátera

Dado que las asíntotas son bisectrices, los valores de x e y son iguales, por lo

tanto, son las ecuaciones de las asíntotas. El doble signo se debe al cuadrante donde está situada.

Ecuación de la hipérbola cuando las asíntotas son los ejes de coordenadas Para que las asíntotas se conviertan en ejes de la hipérbola equilátera, es suficiente girar 45º:

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Un punto cualquiera P de la hipérbola puede estar situado en el vértice, como puedes apreciar en la figura.

Sabemos por lo estudiado hasta aquí que:

La distancia

Sustituimos valores en esta última igualdad:

Haciendo operaciones:

Desarrollamos los productos notables:

Reducimos términos semejantes:

Simplificamos por 4a:

Elevamos ambos miembros al cuadrado y reducimos términos semejantes:

Como puedes comprobar, la ecuación de la hipérbola equilátera, con relación a las asíntotas es: