a
a (hipotenusa)
b c
a
h b A
a
a B
C a c
a
a
A
FIGURAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
FIGURAS EN EL PLANO
POLÍGONOS
1.- Polígono de 3 lados: Triángulo.
Los ángulos interiores de cualquier triángulo suman siempre 180º.
El área de cualquier triángulo se puede calcular a través de S=
2 h b⋅
, siendo b una de sus bases y h la altura correspondiente.
El perímetro se obtiene sumando sus lados P=a+b+c. En función de los lados se clasifican en:
a) Triángulo equilátero: Tiene los tres lados iguales.
El área se puede también calcular como S = 4
3 a2
⋅
El perímetro como P = 3·a
b) Triángulo isósceles: Tiene dos lados iguales.
c) Triángulo escaleno: Tiene los tres lados distintos.
En función de sus ángulos se clasifican en:
a) Triángulo acutángulo: Tiene los tres ángulos agudos.
b) Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto.
Siempre verifica que a2 = b2 + c2 (Th. Pitágoras) Su área se puede calcular a través de la fórmula
2 c b S= ⋅
c) Triángulo obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso.
a
b
b
B b
h
2.- Polígono de 4 lados: Cuadrilátero.
Los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero suman siempre 360º.
Existen dos grandes tipos: Los paralelogramos, que tienen los lados paralelos dos a dos y los
no paralelogramos que no cumplen esto.
Dentro de los paralelogramos cabe distinguir:
a) Cuadrado: Tiene 4 lados iguales y cuatro ángulos rectos.
El área puede calcularse como S = a2
El perímetro puede calcularse como P = 4·a
b) Rectángulo: Tiene 4 ángulos rectos.
El área puede calcularse como S = a·b
El perímetro puede calcularse como P = 2·a + 2·b
c) Rombo: Tiene 4 lados iguales y, los ángulos iguales de 2 en 2. Sus diagonales son distintas
El área puede calcularse como S = 2
d D⋅
siendo D y d las diagonales (en azul y rojo). Su perímetro puede calcularse como P = 2 D2 d2
+
d) Romboide: Tiene los lados y los ángulos iguales dos a dos.
El área puede calcularse como S = b·h
Entre los no paralelogramos existen también dos tipos:
a) Trapecio: Tiene dos lados paralelos
El área puede calcularse como S = h 2
b B
⋅ +
Dentro de estos, cabe diferenciar el trapecio isósceles, que tiene los ángulos iguales dos a
dos
b) Trapezoide: es un polígono de cuatro lados en general, con lados no paralelos.
a
h
r
d
α
r
3.- Polígono de 5 lados: Pentágono.
4.- Polígono de 6 lados: Hexágono.
5.- Polígono de 7 lados: Heptágono.
6.- Polígono de 8 lados: Octógono.
7.- Polígono de 9 lados: Eneágono.
8.- Polígono de 10 lados: Decágono.
9.- ...
FIGURAS CON LADOS CURVILÍNEOS
1.- Circunferencia.
El ángulo interior de cualquier circunferencia mide 360º. El área del círculo puede calcularse como S = π·r2
La longitud (perímetro) de la circunferencia mide L = 2·π·r
2.- Semicircunferencia
El ángulo interior mide 180º El área puede calcularse como S =
2 r2 ⋅ π
= 8
d2 ⋅ π
El perímetro viene dado por P = d + π·r siendo r =
2 d
3.- Sector circular
Si el ángulo del sector mide αº, el área vale S = π·r2·
º 360
α
El perímetro total P = 2·π·r·
º 360
α +2·r
4.- Segmento Circular
Si el ángulo del segmento mide αº, la superficie del segmento es:
S = π·r2·
º 360
α
−
2 sen · r2
α
Si la cuerda mide c entonces la superficie del segmento es:
r
α
FIGURAS EN EL ESPACIO
POLIEDROS
Son figuras en el espacio (tres dimensiones) limitados por polígonos planos llamados caras. La
intersección de dos caras se llama arista. La intersección de tres o más aristas se llama vértice.
Existen poliedros de muchos tipos e incluso se pueden hacer distintas clasificaciones.
1.- Prisma: Es un sólido poliedro formado por dos caras (polígonos) iguales y paralelas, llamadas
bases y unidas entre sí por paralelogramos, llamados caras laterales.
El volumen de cualquier prisma es V = Sb·h, siendo Sb el área de la base y h la altura. En función del polígono base, los prismas se clasifican en :
a) Prisma triangular, si sus bases son triángulos.
b) Prisma cuadrangular, si sus bases son cuadriláteros.
c) Prisma pentagonal, si sus bases son pentágonos
d) ...
En el caso concreto de que el polígono de la base sea regular, decimos que el prisma es regular.
Dependiendo de la forma de las caras laterales, los prismas se dividen en:
a) Prisma recto: Las caras laterales son rectángulos (o cuadrados)
b) Prisma oblicuo: Las caras laterales son rombos o romboides.
Prisma triangular recto Prisma cuadrangular oblicuo
Dentro de los prismas cuadrangulares, habría que distinguir entre los paralelepípedos,
poliedros en los que todas sus caras son paralelogramos (por tanto todas sus caras son paralelas dos a dos) y los no paralelepípedos, que no cumplen esta condición.
Entre los paralelepípedos, podemos distinguir el Ortoedro (vulgarmente llamado caja de
cerillas), formado por seis caras rectangulares y en el que cualquier par de caras opuestas son
paralelas e iguales. En este caso particular: V = largo · ancho · alto
2.- Pirámide: Es un poliedro cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales son
triángulos que tienen (todos ellos) un vértice común. En función del polígono de la base, las pirámides se clasifican en:
a) Pirámide triangular, si la base es un triángulo.
b) Pirámide cuadrangular, si la base es un cuadrilátero.
c) Pirámide pentagonal, si la base es un pentágono.
d) ...
Pirámide cuadrangular
Dependiendo del tipo de triángulos que configuran las caras laterales, las pirámides se clasifican en:
a) Pirámide regular: Todas sus caras laterales son triángulos isósceles o equiláteros.
b) Pirámide oblicua: Alguna caras lateral no es triángulo isósceles ni equilátero.
Existe una figura que resulta de quitar una pirámide de otra mayor, seccionando ésta última con un corte paralelo a la base. Esta figura recibe el nombre de pirámide truncada.
Para cualquier pirámide, el Volumen es V = 3 1
· Sb · h, siendo Sb el área de la base.
Para calcular la superficie lateral, es necesario sumar al área de la base las superficies de cada uno de los triángulos laterales.
Se llaman poliedros regulares a aquellos poliedros que tienen todas sus caras iguales. Sólo existen
cinco, que son:
1.- Tetraedro: En la clasificación anterior sería una pirámide triangular formada por 4 triángulos
equiláteros.
Su área será: S = a2· 3
2.- Octaedro: Formado por 8 triángulos equiláteros.
Su área vale: S = a2·2 3 Su volumen es: V =
3 2 a3
⋅
3.- Cubo o hexaedro: Prisma recto cuadrangular formado por 6 cuadrados.
Su área total será: S = 6·a2
Su volumen viene dado por: V = a3
4.- Dodecaedro: Formado por 12 pentágonos regulares.
Su área total vale: S = 3·a· 5⋅(5+2 5)
Su volumen vale: V =
4 ) 5 7 15 ( a3⋅ +
5.- Icosaedro: Formado por 20 triángulos equiláteros.
Su área total vale: S =5·a2· 3 Su volumen vale: V =
4 5 5 a3
⋅
REDONDOS
Son figuras en el espacio (tres dimensiones) en los que al menos una de las caras no es plana. La clasificación más habitual distingue entre:
1.- Cilindro: Cuerpo sólido limitado por dos círculos paralelos y una cara redonda que une las
circunferencias. Puede ser:
a) Cilindro recto: Si la cara redonda es perpendicular a los círculos.
Su área total mide S = 2·π·r·h + 2·π·r2 (con tapas)
Su volumen V = π·r2·h
h
b) Cilindro oblicuo: en otro caso.º
2.- Cono: Cuerpo sólido limitado por un círculo y por una cara redonda que se obtiene de unir un
punto exterior (vértice) a la circunferencia correspondiente. Puede ser.
a) Cono recto: Si la línea imaginaria que une el centro del círculo al vértice, es perpendicular
al círculo. Se llama generatriz del cono a la recta que une el vértice con la circunferencia por el camino más corto.
S = π·r·g + ·π·r2 (con tapa), siendo g la generatriz
g
h V =
3 1
π·r2 · h
(g = r2 h2
+ )
b) Cono oblicuo: en otro caso.
3.- Esfera: Cuerpo sólido en el que cualquier sección es un círculo. Todos los puntos de la
superficie (superficie esférica) equidistan de un punto fijo interior al cuerpo, llamado centro.
S = 4·π·r2 V = r3
3 4
⋅ π ⋅
