PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES SEPTIEMBRE - 2005 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

I

I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE BALEARES SEPTIEMBRE - 2005

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos Contesta de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4.

OPCIÓN A

1º) Estudiar el sistema

(

)

   

+ = + +

++ =

= +

1 1

0 1

m mz y m x

z my

y x

, según los valores de m y resolverlo para m = -1.

---

Las matrices de coeficientes y ampliadas del sistema son las siguientes:

     

   

+ +

=

     

   

+ =

1 0 1

1 1

1 0

0 1 1 '

1 1

1 0

0 1 1

m m m

m M

y

m m

m M

(

1

)

1 1

(

1

)

0 0 ;; 1

1 1

1

1 0

0 1 1

2 1

2

2 + − + = + − − = − = _⇒ = =

= +

= m m m m m m m m

m m

m M

ado Deter

Compatible incóg

n M

Rango M

Rango m

m

Para ' 3 º . min

1

0 _{⇒ = = = ⇒}

   

 

≠ ≠

Veamos el rango de M’ para los valores hallados anteriormente:

{

}

' 2

1 1 1

0 1 1

1 0 0

0 1 1 '

0 ⇒ 2 = 2 ⇒ =

     

   

=

⇒

= M C C Rango M

m Para

ado er

In Compatible incóg

n M

Rango M

Rango m

⇒ ⇒

     

   

=

⇒

= '

2 0 1

1 2 1

1 1 0

0 1 1

'

1 M Rango de M

m Para

{

}

2 1 1 0 ' 3

2 2 1

0 1 0

1 1 1 ,

, 2 4

1 ⇒ = − = ≠ ⇒ =

⇒ C C C Rango M

le Incompatib M

Rango M

Rango m

Para =1 ⇒ ≠ ' ⇒

Resolvemos para m = -1 (C. D.). Es sistema resulta    

=

−+ =

−+ =

0 0 1

z x

z y

y x

.

De la primera ecuación: x=1− y. Sustituyendo en las otras ecuaciones:

x x

z y z

y y

y z

y z y z

y z y

= = − =

= = =

+ − =

− = −

⇒   

− = −

− + =

−

  

= −

− + =

−

2 1 2 1 1

; ; 2 1 ;

; 0 ;

; 2 1 ;

; 1 2

1 0 0

1

0

2 1 : x = y = z = Solución

2º) Encontrar la ecuación de la recta p que corta perpendicularmente a las rectas r y s cuyas ecuaciones son r ≡ x= y = z y s ≡ x = y+1=2z−2.

---

La situación del problema se refleja en el gráfico anterior.

El procedimiento para hallar la ecuación de la recta p es el siguiente: 1.- Determinamos los puntos A∈r y B∈s: A(0, 0, 0) y B(0, -1, 1).

2.- Hallamos unos vectores directores de las rectas: vr =

(

1, 1, 1

)

y vs =

(

2, 2, 1

)

. 3.- Obtenemos un vector w , perpendicular a vr y vs :

(

1, 1, 0

)

2 2 2 2

1 2 2

1 1

1 = + + − − − ⇒ = −

= ∧

= i j k k i j w

k j i v v

w r s

4.- Determinamos los planos π1 y π2, de la forma siguiente:

(

)

0 ;; ;; 2 0

0 1 1

1 1 1 ,

; 1

1 = − + + − ≡ + − =

−

≡ y z z x x y z

z y x w

v

A r π

π

(

)

(

) (

) (

)

0 5 4 ;

; 0 5 4 ;

; 0 2

2 1 2

2

; ; 0 1

2 1 1

2 ; ; 0 0 1

1

1 2

2

1 1

, ;

2 2

= + − + ≡ =

− + − − =

− − + − − −

= − − + + − − =

−

− +

≡

z y x z

y x x

z y

z

x z

y z

z y

x w v

B s

π

π r r

r

s

B A

vr

vs

w

p π2

1

La recta pedida p, es la que determinan los planos π1 y π2 en su intersección:

  

= + −

+ − =

+ ≡

0 5 4

0 2

z y x

z y x p

3º) Se considera la función

( )

_n

x x L x

f = , donde n es un número natural. Se pide:

a ) Hallar los extremos relativos de la función f(x).

b ) Calcular ( ) ( )

0 x f x

lím y x f x lím +∞ → → .

c ) Hacer una gráfica de la función en el caso de n = 2. ---

a )

( )

(

)

f

( )

x

x x L n x x L n x x L n x x x n x L x x x

f _{n n n n}

n n n n ' 1 1 1 · · · 1

' _{2 2 1 1}

1 2 1 = − = − = − = − = − _{− + +} −

( )

(

) (

)

[

(

)(

)

]

(

)

(

)

_{( )}

x f x n x L n x x L n x L n n n x x L n x L n n n x n x L n n x x x n x L n x x n x f n n n n n n n n ' ' 1 1 · 1 1 1 1 · 1 · 1 · ' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 = − + = + + − − − = − − + − − = = + − − − = + − − − = + + + + + +

( )

n

n x e

n x L x L n x L n x x L n x

f' =0⇒1− ₊₁ =0 ;; 1− =0 ;; 1= ;; = 1 ;; =

( )

_{( )}

(

)

(

)

n

n n n n n n n e x para Mínimo e e n e n e n e n n n e

f = + − = = > ⇒ =

− + = + + + 0 1 1 · 1 1 1 · 1 · ' ' 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( )

      ⇒ ⇒ = = ne e P Mínimo ne e n e f n n n n 1 , 1 1 b ) ∞ + = = = = → = → ⇒ ⇒ ⇒ ∞ − = → = → − 0 1 0 · 1 · 1 0 · 1 0 ' . det 0 0 ) ( 0 1 n n n n n n x n x lím x n x x lím Hopital L In x x L x lím x f x lím = +∞ → ⇒ ⇒ ⇒ ∞ ∞ = +∞ → = +∞

→ −1

· 1 ' . det )

( _{n n}

0 1 ·

1 ·

1 ₌

∞ = ∞ = +∞

→

= _{n n}

n x n x

lím

c )

Para n = 2 la función es

( )

₂

x x L x

f = .

El punto mínimo es    

 

e e P

2 1

, y el eje de ordenadas es una asíntota de la fun-ción en su parte positiva.

El dominio de la función es D

( ) (

f ⇒ 0, +∞

)

.

Para x = 1 se anula la función, lo cual indica que pasa por A(1, 0).

Para x = 2 el valor de la segunda derivada es ''

( )

6 ₆ 1

x x L x

f = − que se anula para 18

' 1 ;

; 6 1 ;

; 0 1

6 − = = =6 ≅

e x x

L x

L .

( )

(

1'18, 0'12

)

6 , .

. 12

' 0 6 ·

6 1 6

1

3 2 6

3 2 3

6 2 ≡

   

   ⇒ ⇒

≡ =

= =

e e e Q I

P e

e e e

e f n

La representación gráfica, aproximada, de la función es la siguiente:

********** Y

X y = f(x)

1 O

4º) Enunciar el Teorema de Rolle. Demostrar que la función f

( )

x = x3 −x+a cumple las hipótesis del teorema en el intervalo [0, 1] cualquiera que sea el valor de a. Determi-nar el punto en el cual se cumple la tesis.

---

El teorema de Rolle se puede enunciar diciendo:

Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b) y si se cumple que f(a) = f(b), existe al menos un punto c∈

( )

a, b tal que f’(x) = 0.

La función f

( )

x = x3 −x+a

es continua y derivable en todo su dominio, que es R, independientemente del valor de a, por lo tanto, es aplicable el Teorema de Rolle en el intervalo

[ ]

0, 1 .

Aplicando el Teorema:

( )

( )

( )

1 1 1

( )

0

( )

1, , . . . 0

3 3

d q c R a f

f a

a f

a f

a x x x

f ⇒ = ∀ ∈

    

  

= + − =

=

⇒

+ − =

Vamos a determinar el punto que satisface el teorema.

( )

( )

3 3 ;

; 3

3 ;

; 3 1 ;

; 1 3 0 1 3

' 1 2

2 2

2

3 − + _⇒ = − = _⇒ = = = =−

= x x a f x x x x x x

x f

Como el valor de x2 no pertenece al intervalo dado, la solución es:

(

0 1

)

3

3 _{< <}

= c

c

OPCIÓN B

1º) Una matriz cuadrada se llama ortogonal si su inversa coincide con su traspuesta. Se pide:

a ) Demostrar que una matriz de la forma R sen

sen

M _ ∈

     − = α α α α α , cos cos

, es ortogonal.

b ) Calcular x e y de manera que la matriz

          = y x A 0 0 1 0 0 0 1 sea ortogonal. --- a )

La matriz inversa de M es la siguiente:

      − = = + = − = α α α α α α α α cos cos ; ; 1 cos cos

cos _{2 2}

sen sen M x sen x sen sen M T

Por ser M =1, la matriz adjunta de T

M coincide con su inversa, por lo cual:

( )

, . . . cos cos . 1 d q c M sen sen M Adj

M T _ = T

     − = = − α α α α b ) ; ; ; ; 0 0 1 0 0 0 1 y A y x

AT =

          =

( )

                  − − − − = 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 x y y x x y y x M Adj T

( )

          =           = − y y x T A x y y M Adj 1 1 0 0 1 0 0 0 1 ; ; 1 0 0 0 0 0 1 ; ; 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1

1 _⇒ = =

2º) Estudiar, según los valores de k, la posición relativa de los planos de ecuaciones

(

2

)

(

2 1

)

1

1 ≡ k− x+ y+ k + z=

π y π2 ≡2x+

(

k−1

)

y−z =0. Encontrar la ecuación conti-nua de la recta r, intersección de los planos π1 y π2 en el caso de k = -1.

---

Los vectores normales de los planos son los siguientes:

(

2, 1, 2 1

)

2

(

2, 1, 1

)

1 = k− k+ y n = k− −

n

Para que los planos sean paralelos tienen que ser paralelos los vectores normales:

       = = + = + − − + = −     = = ⇒ = − = + − − − = − ⇒ − + = − = − 0 ; ; 5 0 ; ; 2 4 2 ; ; 1 1 2 2 2 3 0 0 3 ; ; 2 2 2 ; ; 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 k k k k k k k k k k k k k k k k k k

Para k = 0 resultan los planos π1 ≡−2x+ y+z=1 y π2 ≡2x− y−z =0, que no

son coincidentes, por lo tanto:

Los planos son paralelos para k = 0

Los planos son perpendiculares cuando lo son sus vectores normales. Dos vecto-res son perpendiculavecto-res cuando su producto escalar es cero.

(

) (

)

6 ; ; 0 6 ; ; 0 1 2 1 4 2 ; ; 0 1 , 1 , 2 · 1 2 , 1 , 2 0 · 2 1 = = − = − − − + − = − − + − ⇒ = k k k k k k k k n n

Para k = 6 los planos son perpendiculares. . 0 ,

secantes ∀k∈R k ≠

son planos Los

Para k = -1 los planos son π1 ≡−3x+ y−z =1 y π2 ≡2x−2y−z =0 y la

expre-sión de la recta por don ecuaciones implícitas es:    = − − + − = − ≡ 0 2 2 0 1 3 z y x z y x r

La expresión continua de r es como sigue:

Un vector director de r puede ser v =

(

3, 5, −4

)

y un punto es    

 

−

3 2 , 3 1 , 0

P .

La ecuación continua de r es:

4 3 2

5 3 1

3 0

− − = + =

− y z

x

. Operando y simplificando:

12 2 3 15

1 3 3 ; ; 4 3

2 3

5 3

1 3

3 −

− = + = −

− = +

= x y z

z y

x

4 2 3 5

1 3

− − = + =

≡x y z

r

3º) Se considera la función

( )

_x e x x f 2

= . Se pide:

a ) Hallar los extremos relativos de la función f(x).

b ) Calcular ( ) ( )

0 x f x

lím y x f x lím +∞ → → .

c ) Hacer una gráfica de la función.

--- a )

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

(

)

    = = ⇒ = − ⇒ = = − = − = − = ⇒ = 2 0 0 2 0 ' ' 2 2 · · · 2 ' 2 1 2 2 2 2 x x x x x f x f e x x e x e x e e x e x x f e x x

f _{x x}

x x x x x

( ) (

)

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 4·2 2 2 0

( )

2 2 4 0'54

(

2,0'54

)

'' 0 , 0 0 0 0 2 1 2 2 0 '' '' 2 4 2 2 2 · 2 · 2 2 '' 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 Máx e e f e e f Mín f Mínimo e f x f e x x e x x x e e x x e x x

f _{x x x}

x x ⇒ ≅ = = ⇒ < − = + − = ⇒ = ⇒ ⇒ > = = = = + − = + − − = − − − =

Para que exista P. I. es condición necesaria que f ''

( )

x =0, pero no es suficiente; para que exista P. I. es necesario que f'''

( )

x ≠0.

( )

     − = + = ⇒ ± = ± = ± = − ± = = + − ⇒ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 8 4 2 8 16 4 ; ; 0 2 4 0 ' ' 2 1 2 x x x x x x f

( ) (

)

(

)

( )

(

2 2

)

0 . .

(

2 2

) (

2 2

)

0'38 .

(

3'41,0'38

)

' ' ' ' ' ' 6 6 2 4 4 2 · 2 4 · 4 2 ' ' ' 2 2 2 2 2 2 2 I P e f I P f x f e x x e x x x e e x x e x x

f _{x x x}

(

)

(

) (

)

(

)

(

2 2

)

0 . .

(

2 2

) (

2 2

)

0'24 .

(

0'59, 0'24

)

' ' '

38 ' 0 , 41 ' 3 . 38

' 0 2 2 2 2 .

. 0

2 2 ' ' '

2 2

2 2 2

2

I P e

f I

P f

I P e

f I

P f

⇒

≅ −

= −

⇒ ⇒

≠ −

⇒

≅ +

= +

⇒ ⇒

≠ +

− +

b )

( )

0

1 0 0 0

0 0

2

= = = →

=

→ e e

x x

lím x

f x

lím

x

( )

{

}

{

'

}

2 2 0

. det 2

' .

2

= ∞ = ∞ →

⇒ ⇒

⇒ ⇒

∞ ∞ = ∞ →

⇒ ⇒

⇒

∞ ∞ = +∞ → = +∞

→

x

x x

e x

lím Hopital

L

In e

x x

lím Hopital

L Ind

e x x

lím x

f x

lím

c )

La representación gráfica es, aproximadamente, la que sigue:

********** O

Máx f(x)

X Y

Mín

P. I. P. I.

4º) Hacer un dibujo de la región limitada por la curva y =sen x ·cos x y las rectas 0

2 3 ,

0 = =

= x e y

x π . Calcular su área.

---

Sabiendo que sen

( )

2α =2senα ·cosα , la función puede expresarse de la forma

( )

x sen

y 2

2 1

= , lo cual la hace más fácil para su estudio.

Los puntos de corte con el eje de abscisas son:

( )

x sen

( )

x x k x k P k k Z

sen

y  ∀ ∈

     ⇒ = + = = ⇒ =

= , 0 ,

2 2 ; ; 0 2 ; ; 0 2 0 2 2

1 _π π π

La función está acotada superior e inferiormente siendo

( )

2 1

≤ x

f .

Los máximos y mínimos (en este caso absolutos por estar la función acotada) son los siguientes:

( )

( )

( )

x x k

(

k

)

x

(

k

)

k Z

y y x x y ∈ ∀ + = + = + = = ⇒ = = = = , 2 1 4 ; ; 2 1 2 2 2 ; ; 0 2 cos 0 ' ' 2 cos 2 cos 2 · 2 1 ' π π π π

( )

(

)

(

)

( )

( ) sen sen sen y Máximos

···· ; 2 1 , 4 9 ; 2 1 , 4 5 ; 2 1 , 4 :       −       −       − π π π R Q P Máximos

Los puntos de inflexión son para aquellos valores de x que anulan la segunda de-rivada.

( )

( )

, 2 , ····

2 3 , , 2 , 0 ···· , 2 , , 0 2 ; ; 0 2 0 2 2 '

' = − sen x = ⇒ sen x = x= π π ⇒ x = π π π π y

( )

0 0 ;;

( )

0 ;;

( )

2 0 ····

3

2 = =

= _f π _f π

f

(

)

, 0 ;

(

, 0

)

; ···· 2

; 0 , 0

:O M π N π

Inflexión de Puntos      

La representación gráfica es, aproximadamente, la siguiente:

El área pedida es la siguiente:

( )

( )

( )

[

( )

]

[

( )

]

[

( )

]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

F F F F F F

( ) ( ) ( )

F F F

( )

S F x F x F x F dx x f dx x f dx x f S = − − + = − + − + − = = + + = + + =

_∫

_∫

_∫

π π π π π π π π π π π π π π π π π π 2 0 2

0 3₂

2 2 3 2 2 2 3 2 2 0 2 3 2 2 0

( )

( )

( )

( )

( )

2 ( ) cos 4 1 cos 4 1 · 4 1 · · 2 1 · 2 1 2 1 2 · 2 2 1 · 2 2 1 x F x t dt t sen dt t sen x F dt dx t x dx x sen dx x sen x F = − = − = = = = ⇒         = = ⇒ = =

∫

∫

∫

∫

Sustituyendo el valor obtenido de F(x) en la expresión de la superficie:

( )

− _−

( )

_=      − −     − +       −

= π π cos 2π

4 1 2 0 cos 4 1 3 cos 4 1 cos 4 1 · 2 S

f(x) = sen x · cosx

X y = 0

2 1

-1

1 2 3 π ₂π

π − 2 π 4 π 2 3π 1 2 1 − S B

P Q

4 3π

M x = 0

( )

( )

( )

( )

S u S

= =

+ − + =

= +

− − − − − = +

− −

− =

2

1 2 1 4 1 4 1 2 1

1 · 2 1 1 · 4 1 1 · 4 1 1 · 2 1 2

cos 2 1 0 cos 4 1 3 cos 4 1 cos 2

1 _{π π π}