Ojo: Esta notación no significa que el vectorF

TENSOR DE ESFUERZOS

Denis Legrand

Departamento de Geofísica

Universidad de Chile

Introducción:

Cuando una fuerza F actúa sobre una superficie S, genera una presión P.

S

F

P

=

La presión es un escalar.

Vamos ahora considerar un medio elástico, es decir un medio que se deforma elásticamente cuando se aplica una fuerza en este medio y que regresa a su estado inicial cuando se cancela esta fuerza. En tal medio, no se habla más de presión si no de tensor de esfuerzos, que es una generalización de la noción de presión en el caso de un medio elástico. El tensor de esfuerzos está asociado a las tensiones internas que existen en el medio. Por ejemplo, si calentamos un medio elástico, los átomos en su interior van a moverse y generar un cambio del tensor de esfuerzos. Esto puede ocurrir bajo los volcanes.

En el caso de un medio elástico, las cosas son un poco complicadas. La presión (un escalar) se convierte en un tensor de segundo orden (el tensor de esfuerzos). ¿Porque eso? Si se aplica una fuerza más y más fuerte en un medio elástico, después de un valor critico el medio elástico se va a romper. Se va a generar por ejemplo una falla si el medio elástico es la tierra. La dirección de esta falla no va a ser cualquiera. Si aplicamos una fuerza (con una dirección definida) sobre una roca, la roca se va a romper en una dirección bien definida (dependiendo del estado de la roca, de sus propiedades elásticas, etc...). Por ejemplo si el medio es perfecto (elástico, homogéneo, isotrópico, sin fallas preexistentes y con planos de falla sin fricción), la falla se va a romper a 45° de la dirección de la fuerza. Es por eso que hay que definir un tensor con conceptos de dirección. Son las propiedades del medio elástico las que hace obligan a definir esta nueva noción de tensor de esfuerzos y no simplemente el de una presión. Estas dos direcciones (la de la fuerza, y la dirección del plano de la falla que fue creado después de la aplicación de la fuerza), indican que debemos definir un tensor con dos índices, que corresponden a estas dos direcciones.

Definición:

Primero tenemos que definir la orientación de una superficie

S

r

que se puede caracterizar con un vector

n

r

normal a esta superficie:

n

S

_S

r

₌

_S

_n

r

En esta superficie de normal

n

r

, vamos a aplicar una fuerza

F

r

. Definimos el tensor de esfuerzos σ como el tensor:

n

S

S

n

F

S

Esta fuerza

F

r

actúa en los átomos de cada parte de esta superficie S.

Ojo: Esta notación no significa que el vector

F

r

es paralelo al vector

n

r

porque hay la presencia del tensor de esfuerzo

σ

que actúa sobre el vector

n

r

y que cambia su dirección. A este tensor de esfuerzos se puede definir una aplicación linear “a” tal que:

w

v

u

w

a

v

a

u

a

a

M

r

r

r

r

r

r

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

=

33

32

31

23

22

21

13

12

11

)

(

)

(

)

(

)

(

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

donde (

u

r

,

v

r

,

w

r

) es la base en la cual esta definido el tensor de esfuerzos. Tomemos un sistema de referencia (x,y,z):

X

Y

Z

En este sistema, las componentes de

F

r

son:

(1)

F

_i

=

σ

_ij

n

_j

S

(i puede ser igual a x, y o z. Igualmente, j puede ser igual a x, y o z). Los índices repetidos significan que se hace una sumatoria sobre este índice. Por ejemplo:

F

_x

=

(

σ

_xx

n

_x

+

σ

_yx

n

_y

+

σ

_zxx

n

_z

)

S

Este tensor de esfuerzos

σ

=

( )

σ

_ij tiene dos índices. El primer índice i es relacionado con la dirección de la fuerza, el segundo índice j es relacionado con la orientación de la superficie.

Ejemplo: tomemos una superficie horizontal (que entonces va a tener un vector normal en la dirección z). En

esta superficie, los

σ

_ij van a estar de la forma

σ

i_•. La i corresponde a la dirección de la normal, y el punto ●

σyz es paralelo al eje Y, en un plano perpendicular

a Z.

σxz es paralelo al eje X, en un plano perpendicular

a Z.

X Y

σ

xz

Z

X

Y

σ

_yz

Z

En el caso de los 2 dibujos antes, teníamos nx=0, ny=0 y nz=1. Entonces, las fuerzas son respectivamente:

S

F

_y

=

σ

_yz

F

_x

=

σ

_xz

S

Si ahora tomamos una superficie de orientación cualquiera:

n

X

Y Z

entonces para expresar las fuerzas, tenemos que usar la formula (1) aquí escrita en forma matricial:

S

n

n

n

F

F

F

z y x zz yz xz zy yy xy zx yx xx z y x

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

Un sistema en equilibrio debe verificar dos propiedades: 1- La sumatoria de las fuerzas igual cero

2- La sumatoria de los momentos igual cero.

X

Y

Z

σ

σ

yz

yz

El punto 2 implica que el tensor de esfuerzos es simétrico. El momento generado por σzy debe ser igual al

momento generado por σyz. Para igualar momentos, tenemos que definir un sentido de rotación positivo (de

manera arbitraria). Vamos a decir que el sentido positivo corresponde a una rotación horaria.

El momento σzy provoca una rotación en el sentido positivo, entonces el momento es:

+ σzy dS.dz (un momento es una fuerza por una distancia, la fuerza es σzy dS= σzy dxdy, y la distancia que

separa la dos fuerzas es dz).

Miremos ahora el momento generado por σyz. Como la suma de los dos momentos debe ser igual a cero, el

momento generado por σyz debe hacer una rotación en el otro sentido que el momento generado por σzy, es

decir en un sentido negativo (antihorario). Entonces debemos tener el dibujo siguiente:

X

Y

Z

El momento σyz provoca una rotación en el sentido negativo, entonces el momento es:

− σyz dS.dy = − σyz dxdz.dy

Le sumatoria de los momentos igual a cero da:

+ σzy dxdy.dz − σyz dxdz.dy = 0

es decir:

σzy = σyz

Convenciones:

Hay dos maneras de expresar el signo de las compresiones. Algunos (como los geofísicos) suponen que una compresión es positiva, otros (como los geólogos) toman como convención que una compresión es negativa. Vamos a dar una explicación para intentar de entender porque esta diferencia.

Generalmente los geólogos trabajan en la superficie de la tierra entonces trabajan muchas veces con alturas, que prefieren contar positivas. Van a tomar el sistema de referencia siguiente:

X

Y

Z

Si ahora tomamos un volumen, con su normal (exterior a la superficie), vamos a tener un σzz positivo

orientado así:

σ

zz>0

Eso corresponde a una dilatación, o tracción. Entonces para los geólogos, una tracción es positiva o una compresión es negativa.

Los geofísicos trabajan más con elementos en el interior de la tierra (como los sismos, la estructura interna de la tierra...). A ellos les conviene más trabajar con un eje vertical positivo orientado por abajo (para que las profundidades sean contadas positivas). Para ellos, el sistema de referencia es:

X

Y

Si ahora tomemos el mismo volumen que antes (con una normal positiva orientada al interior del volumen), con la misma cara, vamos a tener un σzz positivo orientado así:

σ

zz>0

Eso corresponde a una compresión. Entonces para los geofísicos, una compresión es positiva o una tracción es negativa.

Propiedades del tensor de esfuerzos:

El tensor de esfuerzos es real y simétrico, entonces es diagonalizable, es decir que existe una base (la base de los vectores propios) en la cual el tensor es diagonal (las valores de la diagonal son los valores propios). Si llamamos σ1, σ2 y σ3 los valores propios del tensor de esfuerzos, y si llamamos u1, u2 y u3 los vectores propios

asociados a los tres valores propias σ1, σ2 y σ3, el tensor de esfuerzos se puede escribir en la base

(

u

r

₁,

u

r

₂,

u

r

₃):

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

3 2 1

0

0

0

0

0

0

σ

σ

σ

σ

Eso significa que el valor σ1 actúa en la dirección

u

r

1, que el valor σ2 actúa en la dirección

u

r

2 y que σ3 actúa

en la dirección

u

r

₃. Entonces, en los tres planos perpendiculares a estas tres direcciones principales

u

r

1

,

u

r

2

,

, no hay esfuerzos de cizalle (shear-stress) que actúa. Generalmente, se ordenan las valores propios de acuerdo a su magnitud: σ

3

u

r

1>σ2>σ3.

Parte isotrópica y deviatórica del tensor de esfuerzos:

Toda matriz se puede descomponer un una parte isotrópica y una parte deviatórica (ver análisis linear). La parte isotrópica P es igual a la traza dividida por 3. La parte isotrópica del tensor de esfuerzos corresponde a la presión hidrostática.

Parte isotrópica = Presión hidrostática =

3

3

33 22 11 3 2

1

σ

σ

σ

σ

σ

σ

+

+

=

+

+

=

P

Como una traza es independiente de la base (es invariante, es decir que tiene el mismo valor en todas las bases), tenemos

σ

₁

+

σ

₂

+

σ

₃

=

σ

₁₁

+

σ

₂₂

+

σ

₃₃.

En la tierra, esta presión hidrostática es la presión litostática.

La parte deviatórica del tensor de esfuerzo corresponde al esfuerzo tectónico y es:

D

_ij

=

σ

_ij

−

P

δ

_ij.

ij

⎩

⎨

⎧

≠

=

=

j

i

si

j

i

si

ij

0

1

δ

o sea

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

1

0

0

0

1

0

0

0

1

ij

δ

Entonces tenemos:

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

+

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

P

P

P

P

P

P

33 23 13 23 22 12 13 12 11

0

0

0

0

0

0

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

Si notamos las compresiones positivas, y σ1 > σ2 > σ3 tenemos un:

- régimen de compresión cuando σ1 y σ2 son horizontales y σ3 vertical. Tenemos un dip de las fallas

típicamente de 30 grados para fallas inversas que tienen un strike paralelo a σ2.

- régimen de extensión cuando σ1 es vertical y σ3 es horizontal. Tenemos un dip de las fallas

típicamente de 60 grados para fallas normales.

Determinación del tensor de esfuerzos a partir de mecanismos focales:

El cálculo del tensor de esfuerzos fue primero deducido por los geólogos a partir de las direcciones las estrías en los planes de falla.

Se puede calcular también el tensor de esfuerzos directamente (in situ). Se puede también calcular el tensor de

esfuerzos de manera indirecta, vía los mecanismos focales. Vamos a exponer el método indirecto aquí para

deducir el tensor de esfuerzos a partir de mecanismos focales.

La mayor parte de los tensores de esfuerzos son determinados a partir del conocimiento de los mecanismos focales. Por ejemplo, el método de Angelier y Mechler, 1977 o Carey-Gailhardis y Mercier (1987) determina los ejes principales del tensor de esfuerzos con el método de los diedros rectos. Después de eso se determine los planos de fallas que son compatibles con el tensor de esfuerzos.

Otro método (Rivera y Cisternas, 1990) consiste a determinar al mismo tiempo los mecanismos focales y un tensor de esfuerzos único compatible con los mecanismos focales, a partir solamente de las polaridades de las ondas P. Se determina también los planos de fallas compatibles con el tensor determinado. Este método es más interesante, porque puede determinar de una manera objetiva los mecanismos focales, sobre todo cuando varias soluciones son posibles.

Condición de fracturación:

A continuación, vamos a suponer que no hay fallas pre-existentes en el medio.

Generalmente se dice que una roca se rompe después de un límite de ruptura y que este límite depende de la naturaleza de la roca. Eso es una aproximación, porque interviene también la velocidad de los esfuerzos aplicados en la roca y de la micro fisuración pre-existente de esta roca. No vamos aquí a considerar estos dos casos.

Se dice que hay fracturación cuando el esfuerzo de cizalla es máximo en la dirección del que será o es el plano de falla. Bott en 1959 dice:

Vamos después a considerar una superficie unitaria, así vamos a confundir la noción de esfuerzo con la noción de fuerza, solamente para simplificar las ecuaciones. Para obtener las fuerzas, hay que multiplicar el esfuerzo por la superficie.

Condición de fracturación sin fricción. Círculo de Mohr:

Hemos visto el caso de una fuerza

F

r

aplicada en una dirección cualquiera a un plano de falla. Es muy útil descomponer esta fuerza en dos direcciones: una perpendicular al plano de falla, de dirección

n

r

, y una tangencial al plano de falla, de dirección

t

r

, así:

n

S

_t

El vector tangencial es un vector en el plano de falla, perpendicular al vector

t

r

n

r

. Vamos después a decomponer la fuerza

F

r

en una parte normal y una parte tangencial:

t

F

n

F

F

r

=

_N

r

+

_T

r

o para el tensor de esfuerzos:

t

n

F

F

T N

r

r

r

r

σ

σ

σ

=

+

donde

F

r

es la norma del vector

F

r

.

Después, vamos a suponer que una falla se va a crear en una dirección

t

r

paralela al vector tangencial.

n

t

1

2

σ

σ

σ

σ

1

3

N

T

θ

σ

σ

σ

σ σ

1

1

3 3

θ n

El equilibrio de las fuerzas da, proyectando en el sistema de referencia ortonormal (

n

r

,

t

r

): σN SN = σ1 S1 cos(θ) + σ3S3 sen(θ)

σT SN = σ1 S1 sen(θ) - σ3S3 cos(θ)

σN es el esfuerzo normal (normal stress) y σT es el esfuerzo de cizalla (shear stress, que se nota a veces como

τ).

donde S1, S3 y S son las superficies de normal 1, 3 y n respectivamente, es decir:

S1 = SN cos(θ) y S3 = SN sen(θ).

Entonces :

σN = σ1 cos2(θ) + σ3sen2(θ) = (σ1 + σ3)/2 + (σ1 - σ3)/2 * cos(2θ)

σT = σ1 sen2(θ) - σ3cos2(θ) = (σ1 - σ3)/2 * sen(2θ)

Podemos también escribir como:

[σN - (σ1 + σ3)/2 ]2 + [σT]2 = [(σ1 - σ3)/2]2

Eso es la fórmula de un círculo de centro ((σ1 + σ3)/2, 0) y de radio R = (σ1 - σ3)/2. Este círculo se llama el

círculo de Mohr.

σ

N

σ

T

σ σ

1

+

3

2

2θ

R

σ

₁

σ

3

Se ve inmediatamente en el grafico que la cizalla σT es máximo para 2θ = +/- 90 es decir θ = +/- 45. Es decir

Esto se demuestra deciendo que σT es máximo para sen(2θ) = 1, es decir 2θ = +/- 90.

σ

σ

σ σ

1

1

3 3

Entonces en este caso, hay dos mecanismos focales (2 fallas) que tienen los mismos ejes P y T.

Condición de fracturación con fricción. Criterio de Coulomb:

En la práctica, hay fricciones en el medio elástico (en las rocas). Estas fricciones hacen que una falla no se va a romper a 45 grados de la dirección de esfuerzo máximo como era el caso sin fricción.

Vamos a tomar una fricción de manera típica en física: una fricción que es paralela al plano de falla, es decir en la dirección σT. Si aplicamos una fuerza en la dirección perpendicular al plano de falla, vamos a impedir un

fácil movimiento de la falla. Entonces, cuando más grande será σN, más grande será la fricción en el plano de

falla. Por eso vamos a tomar una fuerza de fricción proporcional a σN(Byerlee, 1978). Vamos a llamar el

esfuerzo de fricción σf :

σf

t

r

= -f σN

t

r

f es el coeficiente de fricción estático interno de la roca (típicamente f = 0.75 - 0.85 Byerlee, 1978). El signo ´-´ significa que es una fuerza que se opone al movimiento, entonces en el sentido opuesto al sentido de

t

r

o σT

t

r

.

Entonces, el esfuerzo total en la dirección

t

r

es:

σT total

t

r

= σT

t

r

+ σf

t

r

= (σT – f σN)

t

r

Ya hemos visto la relación entre σT y σN :

σN = (σ1 + σ3)/2 + (σ1 - σ3)/2 * cos(2θ)

σT = (σ1 - σ3)/2 * sen(2θ)

Entonces:

σT total = (σ1 - σ3)/2* sen(2θ) – f [(σ1 + σ3)/2 + (σ1 - σ3)/2 * cos(2θ)]

Tenemos una fractura en la dirección θ cuando σT total es extremo,es decir cuando su derivada respecto a θ es

nula. Es el criterio de Coulomb:

0

=

∂

∂

θ

σ

Ttotal

es decir:

cos(2θ) + f sen(2θ) = 0 f = - cotg(2θ)

Sin fricción, teniamos 2 fallas de direciones 2θ = +/- 90. Pero en la practica (es decir cuando hay fricción), se nota que este ángulo es más grande. Se nota que φ es más grande que 2 θ, es decir la desviación del ángulo relacionado con la fricción. Es por eso que se llama φ, al ángulo de fricción. Con esta definición, tenemos:

2θ − φ = +/− 90

Entonces, tenemos dos direcciones de ruptura: θ = +/− 45 + φ/2

σ

N

σ

T

2θ

φ

Entonces tenemos:

f = tg(φ)

Vamos a llamar σ0 el esfuerzo que anula la derivada de σT total es decir un esfuerzo de cizalla para que haya

ruptura, es el esfuerzo mínimo para que haya ruptura y corresponde a la cohesión del material. σ0 se llama el

factor de cohesión. Valores típicos de σ0 en la tierra pueden variar entre 0 Mpa y 10-40 Mpa.

Como teníamos:

σT total = (σT – f σN)

Y que tenemos f = tg(φ) para el valor σT total = σ0 entonces tenemos: σ0 = σT - tg(φ) σN

σT = σ0 + tg(φ) σN

σ

N

σ

T

2θ

R

φ

σ

₀

Cuando la fricción aumenta, el ángulo φ aumenta y entonces el ángulo 2θ aumenta, es decir que la falla se rompe con un ángulo menor a 45 grados respeto a σ1.

σ

σ

σ σ

1

1

3 3

θ n

σ

σ

σ σ

1

1

3 3

N.B. Para tener fricción, se necesita que la linear recta de Coulomg sea tengente al circulo de Mohr. Tenemos otra vez 2 fallas, pero ahora los ejes P y T de cada falla no coinciden.

Presencia de un fluido:

A veces, tenemos que tomar en cuenta fluidos (como agua, magma o gas), sobre todo en un volcan. Por ejemplo, si magma sube desde la profundidad hasta la superficie, la pression va aumentar y va a cambiar los esfuerzos. Cerca de la superficie, agua puede penetrar en las fallas, y debemos tomar este efecto en cinsideración. Si una falla contiene un fluido a una presión P, podemos añadir esta presión al tensor de esfuerzos de la manera siguiente:

ij ij efectiva

ij

σ

P

δ

σ

=

−

donde

δ

_ij es el símbolo de Kronecker, es decir:

δ

_ij= 1 si i = j y

δ

_ij= 0 si i

≠

j. Esto se puede porque hacemos elasticidad linear.

En este caso, el criterio de Coulomb es (Rubey and Hubbert, 1959):

σT = σ0 + tg(φ) [σN-P] = [σ0 - tg(φ) * P] + tg(φ) * σN

σ

N

σ

T

φ

σ

₀

φ

σ

0

-tg(φ)*P

Ya hemos visto que sin fluido teníamos:

σN = σ1 cos2(θ) + σ3sen2(θ) = (σ1 + σ3)/2 + (σ1 - σ3)/2 * cos(2θ)

σT = σ1 sen2(θ) - σ3cos2(θ) = (σ1 - σ3)/2 * sen(2θ)

Si ahora tenemos fluido, tenemos que remplazar σ1 y σ2 por (σ1 – P ) y (σ2 – P) respectivamente.

Entonces vamos a tener:

σN = (σ1 + σ3 - 2P)/2 + (σ1 - σ3)/2 * cos(2θ)

σT = (σ1 - σ3)/2 * sen(2θ)

Entonces, tenemos otra vez un círculo, de mismo rayo R = (σ1 - σ3)/2 (que en el caso sin fluido, solamente a

cambiado el centro del círculo, que se movió por la izquierda, el nuevo centro del círculo es ahora ( (σ1 + σ3 - 2P)/2 , 0 ) (círculo en línea discontinua = sin fluido, círculo en línea continua = con fluido):

σ

N

σ

T

2θ

R

σ

1

+ -2P

σ

3

2

σ

1

σ

3

σ

N

σ

T

2θ

R

φ

φ

En presencia de fluido en la falla, la ruptura se hace mas fácilmente porque la línea de ruptura es mas baja, pero las fallas van a romperse con las mismas orientaciones porque las pendientes φ de las dos líneas son iguales (entonces el ángulo θ será el mismo). Es decir cuando hay agua entre los 2 planes de una falla, σN va

disminuir y σT se queda igual, entonces hay menos fricción normal y la falla va a romper más fácilmente.

Aplicaciones

:

1- Sin fricción : φ es igual a cero, y la línea de fracturación de Coulomb es una línea horizontal (σT = σ0 ),

tangente en el círculo de Mohr en el punto mas alto (2θ = 90). En este caso, tenemos dos fallas ortogonales.

σ

N

σ

T

2θ

R

σ

₀

2- A veces, se define un coeficiente interno de frición efectivo, feff, de la manera siguiente:

= σ

σT 0 + feffσN

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

n eff

P

f

f

σ

1

. Para rocas conteniendo agua, podemos tener un valor tipico de f

En este caso, eff =0.6.

Propiedades

:

Los ejes P y T de los 2 tensores de los momentos sísmicos (de las 2 fallas) corresponden con los ejes principales del tensor de esfuerzos cuando tg(φ) = 0, es decir cuando no hay fricción y cuando no hay fallas pre-existentes en el medio. Hemos visto que en presencia de fricción (que siempre existe en la naturaleza) los planos de falla no se rompen a 45 grados de σ1, es decir que los ejes P y T rara vez coinciden con los ejes

principales del tensor de esfuerzos.