PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE CANTABRIA JUNIO - 2003 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

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I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA JUNIO - 2003

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos 1.-El ejercicio consta de tres bloques de problemas y cada bloque tiene dos opciones. Debe responderse necesariamente a los tres bloques, escogiendo en cada uno de ellos una sola de las opciones (A o B).

2.- Debe exponerse con claridad el planteamiento del problema o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas.

3.- Todas las preguntas se puntúan igual. BLOQUE 1 (Álgebra)

1-A) Calcular el valor de m para que el sistema

(

)

(

)

    

= +

= + + −

= − − +

1 3

1

0 1

z y

m z y x m

z y m x

:

a ) Tenga una única solución. Calcular dicha solución para m = 0. b ) Tenga infinitas soluciones.

c ) ¿Hay algún valor de m para el cual el sistema no tiene solución? Justificar la res-puesta.

--- a )

   

− = =

⇒

± = ± = + ± =

= − − =

+ + − = − + − − + − = −

− − =

     

   

−

− − =

     

   

−

− − =

1 2

2 3 1 2

9 1 2

8 1 1

0 2 ;

; 0 2 1

2 1

1 3

1 1 0

1 3 1

1 1 1

1 0

1 1 0

1 3 1

1 1 1

' ; ;

1 1 0

1 3 1

1 1 1

2 1

2 2

2

m m m

m m m

m m

m m

m

m

M

m m

m M

m

ado er

Compatible incógnitas

n M

Rango M

Rango m

m

Para ' 3 º det min

1 2

⇒

= = =

⇒    

 

− ≠

≠

Para m = 0 resulta el sistema:

    

= +

= + + −

= − −

1 0 3

0

z y

z y x

z y x

. Aplicando Cramer:

; ; 1 2 2 1 1 1 3

3 1

1 1 0

1 3 1

1 1 1

1 1 1

1 3 0

1 1 0

x

x = = =

− − +

+ − =

−

− −

− −

= y = − = = = y

−

−

= 0

2 0 2

1 1 2

1 1 0

1 0 1

1 0 1

z

z = − = = =

− −

= 1

2 2 2

1 3 2

1 1 0

0 3 1

0 1 1

b )

Para que el sistema tenga infinitas soluciones es necesario que los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada sean iguales; este rango tiene que ser menor o igual a dos.

{

}

{

}

{

}

2 '

0 3 2 2 1 1 1 1

2 1 3

0 1 1

, , '

0 1 2 1

1 1 0

2 1 1

0 1 1

, , '

0 1 2 3 1 1 0

2 3 1

0 1 1

, , '

: ' 2

4 3 2

4 3 1

4 2 1

=

⇒

       

       

 

= + − − = −

⇒ ⇒

= + − = −

⇒ ⇒

= − − =

⇒ ⇒

=

M Rango

C C C M

C C C M

C C C M

es M de rango el

{

}

{

}

{

}

2 '

0 3 2 1 2 1

1 1

1 1 3

0 1 2

, , '

0 2 1 1

1 1 0

1 1 2

0 1 1

, , '

0 4 1 3

1 1 0

1 3 2

0 2 1 ,

, '

: ' 1

4 3 2

4 3 1

4 2 1

=

⇒

       

       

 

= + − + − = − − −

⇒ ⇒

= − + = − −

−

⇒ ⇒

= − + = − −

−

⇒ ⇒

− =

M Rango

C C C M

C C C M

C C C M

es M de rango el

m Para

ado er

In Compatible incógnitas

n M

Rango M

Rango m

Para =−1 ⇒ = '=2< º ⇒ det min

c )

En este apartado, solamente vamos a resumir:

ado er

In Compatible Sistema

m m

ado Deter

Compatible Sistema

m m

min det

1 2

min 1

2

⇒   

− = =

⇒   

− ≠ ≠

Como quiera que se han estudiado todos los valores de m, podemos concluir: No existe ningún valor real de m para el cual el sistema es incompatible

2-A) a ) Calcular los valores de m para que la matriz

     

   

− − =

m m

m A

1 4

3 0

0 1

tenga inversa.

b ) Calcular A-1 para m = 2.

--- a )

Una matriz tiene inversa cuando su determinante es distinto de cero.

(

)

   

− = =

⇒

= − =

− =

− +

− = − − =

1 1 0

1 3

3 3 3 4 1

4

3 0

0 1

2 1 2

2 2

2

m m m

m m

m m

m m A

Para que A tenga inversa es necesario que m ≠1 y m≠ −1.

b )

Para m = 2 resulta la matriz:

     

   

− − =

2 1 4

3 2 0

2 0 1

A .

     

   

− −

= =

= − + − = − − =

2 3 2

1 2 0

4 0 1

; ; 9

3 16 4

2 1 4

3 2 0

2 0 1

T

A A A

( )

     

   

− −

− − − =

      

 

      

 

−

− − −

− −

−

− −

− − −

=

2 1 8

3 6 12

4 2 7

2 0

0 1 1

0 4 1 1

2 4 0

3 2

0 1 2

2 4 1 2

3 4 0

3 2

2 0 2

2 1 0 2

3 1 2

T

A Adj

     

   

− −

− − − = −

9 2 9 1 9 8

3 1 3 2 3 4

9 4 9 2 9 7 1

BLOQUE 2 (Análisis)

2-A) Considerar la función

( )

1 8 5

2 + +

+ = x x x x

f . Calcular:

a ) Su dominio, cortes con los ejes e intervalos de crecimiento y decrecimiento. b ) Sus asíntotas.

c ) A partir de los datos anteriores, representar gráficamente la función. ---

a )

El dominio de una función racional es R, excepto los valores reales de x que anu-lan el denominador.

( )

f R D

R x x

x

x + + = = − ± − = − ± − ⇒ ∉ ⇒ ⇒

2 3 1 2 4 1 1 ; ; 0 1 2

Los cortes con los ejes son:

( )

( )

( )

       ⇒ = = = ⇒ = ⇒       − ⇒ − = = + ⇒ = = ⇒ 8 , 0 8 1 8 0 0 0 , 5 8 5 8 ; ; 0 8 5 0 B f y x Y Eje A x x x f y X Eje

Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, derivamos:

( )

(

₍

)

(

₎

)(

)

₍

₎

(

)

f

( )

x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ' 1 3 16 5 1 8 16 5 10 5 5 5 1 1 2 8 5 1 5 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + − − − = = + + − − − − + + = + + + + − + + =

( )

     − = − = ⇒ ± − = − ± − = = + + ⇒ = 3 5 1 10 14 16 10 60 256 16 ; ; 0 3 16 5 0 ' 2 1 2 x x x x x x f

b )

Las asíntotas de la función son las siguientes:

Horizontales: son los valores finitos que toma y cuando x tiende a valer infinito; son de la forma y = k.

( )

0 ( )

1 8 5

2 y Eje X

x x

x x

lím x

f x

lím k

y = =

+ +

+ ∞

→ = ∞

→ = =

Verticales: son los valores de x que anulan el denominador.

⇒

∉ =

+

+x x R

x2 1 0 ;; No tiene asíntotas verticales

Oblicuas: No tiene.

(Para que una función racional tenga asíntotas oblicuas es necesario que el grado del numerador sea una unidad mayor que el grado del denominador).

c )

La representación aproximada de la función es la siguiente:

O

f(x)

X y = 0

2-B) a ) Calcular la expresión analítica de la función que cumple las siguientes condi-ciones:

- Es un polinomio de grado 3.

- Corta al eje OX en tres puntos que tienen por abscisas, respectivamente, x = 2, x = 4 y x = 6.

- Su valor en x = 0 es f(0) = -48.

b ) Hacer un esquema gráfico de la función f(x) que se haya obtenido en el apartado an-terior.

c ) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x), el eje X y las rectas x = 2 y x = 4.

--- a )

La función f(x), por ser un polinomio de tercer grado y cortar al eje X en los pun-tos de abscisas indicadas, es de la forma: f

( ) (

x =a x−2

)(

x−4

)(

x−6

)

.

Por ser f

( )

0 =−48 ⇒ a

( )( )( )

−2 −4 −6 =−48a=−48 ⇒ a=1

( ) (

x = x−2

)(

x−4

)(

x−6

)

o f

( )

x = x3−12x2 +44x−48 f

b )

La representación gráfica es, aproximadamente, la siguiente:

Y

x = 2

X f(x)

x = 4

S

2

c )

( )

(

)

(

)

[

]

[

(

)

]

(

) (

)

S u

x x

x x x

x x

x

x x

x x

dx x

x x

dx x f S

= =

+ − =

= +

− = − −

− =

− + − −

− + − =

=

   

 

   

 

− + − =

   

 

− +

− =

=

   

 

− +

− =

− + −

=

=

_∫

_∫

2

4

2 2

3 4

2 2

3 4

4

2 2

3 4

4

2

2 3

4

2

4 36 32

18 · 2 8 · 4 64 46 2 112 104 4 48 44 16 2 2 48 88 64 16 4

48 22 4

4 48

22 4

4

48 2

44 3

12 4 ·

48 44 12

·

BLOQUE 3 (Geometría)

3-A) Se considera la recta

  

= − +

= − ≡

0 0

z y x

y x

r y el punto P(1, 2, -1).

a ) Hallar la ecuación del plano π que contiene al punto P y es perpendicular a r.

b ) Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano que π y los ejes de coordenadas

--- a )

La expresión en unas ecuaciones paramétricas de r es la siguiente:

    

= = = ≡

⇒

= = =

⇒ 

 

= +

= −

⇒

=

⇒ 

 

= − +

= − ≡

k z

k y

k x r k y x k x k

y x

y x k

z z

y x

y x r

2 ;

; 2 2 2

0 2

0 0

Un vector director de r es v =

(

1,1, 2

)

. Un vector normal al plano π puede ser, recisamente, v , por lo cual su expresión es de la forma: π ≡x+ y+2z+D=0.

Como el plano π tiene que contener al punto P(1, 2, -1), tiene que satisfacer su ecuación:

(

)

1 2 2 0 ;; 1 2 1 0

1 , 2 , 1

0 2

= − + + ≡

⇒

− = =

+ − +

⇒   

−

= + + + ≡

z y x D

D P

D z y x

π π

b )

Los puntos de corte del plano π con los ejes se obtiene haciendo igual a cero las variables que no coincidan con el eje:

(

2

)

1

, 0 , 0 2

1 0

0

) 0 , 1 , 0 ( 1

0 0 ;

; ) 0 , 0 , 1 ( 1

0 0

C x

y x Z Eje

B y

z x Y Eje A

x z

y X

Eje

⇒

=

⇒      

= = →

⇒

=

⇒      

= = →

⇒

=

⇒      

= = →

Los vectores que determinan el triángulo son:

(

) (

) (

)

(

) (

) (

2

)

1 2

1

, 0 , 1 0

, 0 , 1 ,

0 , 0 ;

; 0 , 1 , 1 0

, 0 , 1 0 , 1 ,

0 − = − = − = − = −

= −

=B A AC C A

El área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo que determinan los vectores AB y AC. Conviene saber que el área del paralelogramo es igual que el mó-dulo del producto vectorial de los vectores que lo determinan, por lo tanto:

(

)

ABC ABC

S u

k j i j

k i k

j i k

j i AC

AB S

= =

+ + =

= + + =

+ + =

− − = −

− = ∧

=

2 2

2 2

2 1

4 6 2

1 1 · 4 1

2 ·

2 1 2

· 2 1

1 0 2

0 1 1 · 4 1

0 1

0 1 1 · 2 1 ·

2 1

3-B) Dadas las rectas    − = − = − + ≡    = + − = − + ≡ 2 2 0 0 2 9 2 4 y ax z y x s y z y x z y x r .

a ) Calcular el valor de a para que las rectas sean paralelas.

b ) Para el valor de a obtenido en el apartado anterior, calcular la ecuación del plano π que contiene a las rectas r y s.

--- a )

En primer lugar vamos a expresar las rectas por unas ecuaciones paramétricas:

(

)

         = + + + + − = + − + = ≡ ⇒ ⇒ = + + + + − = + + + + − = + − = + − + = − = + ⇒    − = − = +    − = − = + ⇒ = ⇒    − = − = − + ≡          = + = − = ≡ ⇒ = + = + − = + = − = − = ⇒    − = + + = +    − = − + = + ⇒ = ⇒    = + − = − + ≡ k z k a a a y k a a x s y k a a a k k a a k x y k a a x k x a y ax k y x y ax k y x k z y ax z y x s y k z k y k x r y k k k k x y k x k x k y x k y x k y x k y x k z z y x z y x r 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 ; ; 2 2 2 2 ; ; 2 2 2 2 2 2 2 2 ; ; 2 2 2 2 0 2 3 2 3 2 1 2 3 2 3 2 3 2 2 1 2 3 2 ; ; 2 1 2 3 ; ; 3 9 6 4 2 2 9 2 4 ; ; 2 9 2 4 0 2 9 2 4

Siendo las rectas paralelas, sus vectores directores tienen que ser linealmente de-pendientes, o sea, sus componentes tienen que ser proporcionales.

Los vectores directores son: 

     + + + − = →      ₋ =

→ ,1

2 ; ; 2 4 ; ; 2

2 2 1 1

1

2 4

2 3

2 2 2 1

= +

= +

=

⇒

=

+ + =

+ −

−

a a a

a a a

b )

Para a = 2, unas ecuaciones paramétricas de las rectas r y s son:

        

= + − =

− =

≡

        

= + =

− =

≡

k z

k y

k x

s

k z

k y

k x

r

2 3 2 1

2 1 2 1

; ; 2 3 2 3

2 1 2 3

Uno de los vectores del plano pedido π es cualquier vector linealmente depen-diente del vector de cualquiera de las rectas, por ejemplo: w =

(

−1, 3, 2

)

.

El otro vector que necesitamos puede ser t = AB, siendo A∈r y B∈s. Por ejemplo, para k = 1 los puntos son los siguientes: A(1, 3, 1) y B(0, 1, 1).

(

0,1,1

) (

− 1, 3,1

) (

= −1, −2,0

)

= − =

= AB B A

t .

Como punto puede tomarse cualquiera que pertenezca a una de las rectas; por ejemplo, tomamos el punto B.

(

)

(

) (

) (

)

0 3 5 2 4 ;

; 0 4 5 5 2 2

0 4 1 3 1 2 1 2 ; ; 0 0 2 1

2 3

1

1 1

, ;

= − + − ≡ =

+ − + + −

= + − + − + − − =

− − −

− −

≡

z y x x

z y

x z

z y

z y

x t

w B

π π