PROGRAMACIÓN LINEAL pdf

(1)

M

ATEMÁTICA PARA INGENIEROS

F

ORMACIÓN POR COMPETENCIAS

(2)

El oro puro es de 24K y es un material blando y que se usa muy poco en joyería. El oro alto es el de 18K, que tiene 18 partes de oro y 6 partes de otros metales. Los otros metales en la aleación pueden ser plata, cobre, níquel y paladio.

Los orfebres deben conocer los precios y las proporciones para poder determinar sus costos y maximizar sus ganancias.

Fabricación de Joyas

SITUACIÓN MOTIVADORA

¿Es posible aplicar las

propiedades de inecuaciones y de la recta en el plano

para modelar estas

(3)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

3

LOGROS DE APRENDIZAJE

 Resuelve problemas de optimización de recursos,

mediante la programación lineal.

 Evalúa resultados de la solución óptima, a un problema

(4)

Solución Gráfica de

(5)

5

Toda recta divide al plano en dos regiones, cada una de

las cuales se conoce como semiplano.

(6)

Una

inecuación en el plano

viene dada por alguna de las

siguientes desigualdades

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 ≥ 𝒄; 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 > 𝒄;

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 ≤ 𝒄; 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 < 𝒄

.

donde

𝑎 ≠ 0

o b

≠ 0

.

La

solución

(o

conjunto solución

) de una inecuación en el

plano es el conjunto de todos los puntos que verifican la

desigualdad.

(7)

Ejemplos para mostrar en clase

Resolución:

Ejemplo 1. Represente gráficamente la solución de la inecuación

(8)

Resolución:

La solución gráfica de una inecuación en 𝑥 e 𝑦 consiste en todos los puntos 𝑥; 𝑦 del plano cuyas coordenadas satisfacen dicha desigualdad.

Para determinar la solución gráfica de 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 6 siga los siguientes pasos:

Paso 1. Graficar la recta 2𝑥 + 3𝑦 = 6.

Paso 2. Tomar un punto arbitrario del plano que no esté en la recta y verificar si satisface o no la desigualdad.

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 2. Resuelva de manera gráfica la inecuación

(9)

Para (-1; 1) : 2(-1) + 3(1)  6 el punto (-1;1) satisface la inecuación

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x y

2 x

+ 3

y



6

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x y

(-1; 1)

.

2x +3y = 6

Se grafica

:

2x + 3y  6

Por tanto, el semiplano solución es aquel que contiene al punto (-1;1) 9

(10)

Resolución:

Ejemplo 3. Resuelva gráficamente la inecuación

2 2𝑥 − 𝑦 < 2 𝑥 + 𝑦 − 4

Paso 1. Ordenar y reducir la inecuación: 2𝑥 − 4𝑦 < −4

(11)

Paso 3. Tomar un punto arbitrario fuera de la recta , por ejemplo (0;0).

Paso 4. Verificar si el punto satisface o no la desigualdad.

(12)

Paso 5. Como el punto considerado no satisface la inecuación, la solución es el semiplano que no contiene a (0;0)

𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 < −𝟒

OBSERVACIÓN: La solución no considera la línea del

borde, puesto que la desigualdad es

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MATEMATICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

Sistema de

(14)

Sistema de inecuaciones lineales

El conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen de manera simultánea cada una de las inecuaciones del sistema.

Por ejemplo

Un sistema de inecuaciones lineales en el plano viene dado por un número finito de inecuaciones lineales.

𝑥 − 3𝑦 ≤ −6

𝑥 + 2𝑦 ≥ 4

3𝑥 + 𝑦 ≤ 12

es un sistema de inecuaciones lineales.

(15)

Resolución:

5

Ejemplo 4. Resuelva gráficamente el siguiente sistema

y



-2

x

+10

(16)

Resolución:

2 x

+

y

>

3 x



y

(17)

Resolución:

5

x-2y

≤ 6

x+y

≤ 4

Paso 1. Graficar en un mismo plano cartesiano las regiones(semiplanos)

(18)

(19)

Resolución:

5

2𝑥 + 3𝑦 ≤ 10

𝑥 − 𝑦 ≤ 2

𝑥 ≥ 1, 𝑦 ≥ 0

Paso 1. Graficar en un mismo plano cartesiano las regiones (semiplanos) correspondientes a cada una de las inecuaciones.

(20)

(21)

MATEMATICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

(22)

Programación Lineal (Parte II)

Programación Lineal es el campo de la optimización matemática dedicado a maximizar o minimizar (optimizar) una función lineal de varias variables, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a restricciones expresadas mediante un sistema de inecuaciones lineales.

1. Función Objetivo

Sujeta a:

2. Restricciones

Función lineal

Inecuaciones

(23)

23

Programación Lineal (Parte II)

I. Se gráfica la región R determinada por el sistema de restricciones. (Región factible)

II. Se encuentran las coordenadas de todos los vértices de R.

III. Se evalúa la función objetivo en cada vértice de R.

IV. Se halla el vértice que proporcione el máximo (mínimo) de la función objetivo. Si sólo existe un vértice con esta propiedad, entonces constituye una solución única del problema. Si la función objetivo se maximiza (minimiza) en dos esquinas adyacentes de R, entonces existe una infinidad de soluciones óptimas dadas por los puntos del segmento de recta determinado por estos dos vértices.

(24)

Resolución:

Ejemplo 8. Doña Cirila produce chompas hechas a mano y tapetes decorativos en una provincia de Tarma. La experiencia le indica que debe producir mínimo 10 tapetes; sin embargo por limitaciones de tiempo y de personal la producción se limita a un máximo de 60 tapetes y 120 chompas. Si la ganancia de un tapete es de 𝑆/.134, la de una chompa es 𝑆/.20, y puede fabricar a lo más 160 unidades combinadas, ¿Cuántas unidades de cada tipo debe producir para maximizar sus ganancias?

Paso 1. Primero se define claramente las variables:

𝑥 : Cantidad de tapetes producidos.

𝑦 : Cantidad de chompas producidas.

(25)

25

Paso 3. Establecer las restricciones:

Debe producir mínimo 10 tapetes:

x

 10

Produce como máximo 60 tapetes y 120 chompas

x

 60

y

 120

La fabrica produce a lo mas 160 unidades combinadas:

x

+

y

 160

Condición de no negatividad:

x



0

(26)

Luego el problema de programación queda de la siguiente forma:

Maximizar:

z

= 134

x

+ 20

y

10 

x

 60

y

 120

x

+

y



160 x

 0

y

 0

(27)

27

X Y

(10,120)

(10,0)

x + y = 160 (60,100)

(40,120)

(60,0)

R

x =10

y = 120

x = 60

y = 0

(28)

El valor de la función objetivo 𝒛 para cada vértice (𝒙; 𝒚) es:

Punto de esquina Valor de

z

= 134

x

+ 20

y

C(10,0)

1 340

C(60,0)

8 040

C(60,100)

10 040

C(40,120)

7 760

(29)

29

 Al producir 60 tapetes y 100 chompas hechas a mano, se obtiene una

ganancia máxima de S/.10 040

.

(30)

F ORM AC IO N BA SI CA

CINCO COSAS QUE DEBEMOS RECORDAR

1. Es importante recordar que en un problema contextualizado siempre debe iniciar definiendo las variables.

2. Sea cuidadoso al definir una variable. Por ejemplo 𝑥: Arroz (incorrecto), 𝑥: Cantidad de bolsas de arroz que se vende cada día (Correcto).

3. Si las variables representan cantidades, establezca las condiciones de no negatividad.

4. Para graficar correctamente la región factible es necesario recordar como se calculan las coordenadas de los puntos de intersección de dos rectas.

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31 F ORM AC IO N BA SI CA

Tome su tiempo para reflexionar antes de responder las siguientes preguntas:

Sobre la gráfica de la región factible

1. ¿Se te presentó alguna dificultad para determinar la región factible?

2. ¿Qué acciones tomaste para superar estas dificultades?

3. Finalmente, ¿crees que tú que superaste las dificultades?

Sobre el modelamiento del problema de PL

1. ¿Se te presentó alguna dificultad para modelar las inecuaciones y la función objetivo?

2. ¿Qué acciones tomaste para superar estas dificultades?

3. Finalmente, ¿crees que tú que superaste las dificultades?

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En el panorama del caso “Fabricación de joyas”, presentado al inicio de la semana, la familia Naquiche del distrito de Catacaos, en Piura, se dedica fabricación de dos tipos de joyas, anillos y pulseras de oro. Los anillos precisan 1 𝑔 de oro y 1,5 𝑔 de plata, vendiéndolas a 40 euros cada una. Para la fabricación de las pulseras se emplea 1,5 𝑔 de oro y 1 𝑔 de plata, y las vende a 50 euros. El orfebre tiene solo en el taller 750 𝑔 de cada uno de los metales. Describa explícitamente el procedimiento que usaría en los siguientes casos: