Instituto Tecnológico de Tijuana
SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA
Departamento de sistemas y computación.
Materia:
Álgebra Lineal
Unidad 2: matrices y determinantes
Carrera:
Ing. Tecnologías de la información y
comunicaciones
Nombre:
Vázquez Bautista Mayra Josselin
No. De control:
12211509
Maestra:
M.C María Eugenia Bermúdez Jiménez
2.1 Definición de matriz
..………2
2.2 Operaciones con matrices
………..3
2.3 Clasificación de matrices
..………5
2.4 Transformaciones elementales por
renglón
..………8
2.5 Cálculo de matriz inversa
……….10
2.6 Definición de determinante de una
matriz
………11
2.7 Propiedades de los determinantes
………13
2.8 Inversa de una matriz a través de la
adjunta
….…………..15
2.9
Aplicación
de
matrices
y
determinantes
2.1 Definición de matriz.
Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en m filas y n columnas.
Las líneas horizontales reciben el nombre de filas renglones o hileras y las líneas verticales se llaman columnas. El número de filas puede ser menor, igual o mayor que el número de columnas. [4]
Ejemplos de matrices:
𝒂) 𝟑 −𝟒𝟓 𝟔 , 𝒃) −𝟑𝟖 𝟎. 𝟓𝟔 𝟏. 𝟑𝟑𝟎
Las filas se numeran de arriba hacia abajo y as columnas de izquierda a derecha. En el ejemplo a: la primera fila de la matriz es [3, -4] la segunda fila es [5, 6], la primera columna
𝟑
𝟓 y la segunda columna es −𝟒 𝟔 .
Aplicaciones:
Las matrices suelen utilizarse para organizar sistemáticamente información de carácter estadístico, útil para a toma de decisiones administrativas y/o económicas.
Ejemplo:
A sucursal Glorieta de la empresa comercial “Librería de marfil”, registra sus ventas mensuales de libros, de acuerdo con la siguiente clasificación: literatura, artes, ciencias y otros. A elaborar el informe para el primer trimestre de actividades, se han registrado los siguientes datos de ventas.[2] ) ) 𝑖 𝒊𝒊𝒊) 𝒍𝒊𝒃𝒓𝒐𝒔 𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕í𝒇𝒊𝒄𝒐𝒔 [ ] [ ] [ 𝑬𝒏𝒆𝒓𝒐 𝟏𝟗𝟏 𝑭𝒆𝒃𝒓𝒆𝒓𝒐 𝟏𝟐𝟐 𝑴𝒂𝒓𝒛𝒐 𝟗𝟗 ]
El resumen de esta situación puede representarse en forma sintética mediante la matriz:
[ 𝟏𝟗𝟏 𝟏𝟐𝟐 ] 𝟗𝟗
2.2 Operaciones con matrices:
) ) [ ] 𝑪) 𝒄𝟏𝟏 𝒄𝟏𝟐 𝒄𝟐𝟏 𝒄𝟐𝟐 Suma:Para sumar dos matrices se suman los elementos que aparecen en posiciones correspondientes. Por lo tanto, la suma de la matriz A y la matriz B se define del modo siguiente:[3]
[ ] [ ] Por ejemplo: − − − − − −
Resta de matrices:
De nuevo como el álgebra de los números reales, la resta de Matrices se puede definir en términos de sumar el inverso aditivo. Por tanto, la resta se define del modo siguiente:
Multiplicación escalar:
Cuando se trabaja con matrices. Por lo general a un solo número real se le refiere como escalar para distinguirlo de una matriz. Entonces, tomar el producto de un escalar t una matriz (con frecuencia llamada multiplicación escalar) se puede lograr al multiplicar cada elemento de la matriz por el escalar.[3]
Se define del modo siguiente:
[
]
𝑲 𝑲
Por ejemplo:
− − − [ (− ) (− ) ( ) (− ) ] − − −
Multiplicación de matrices:
Se usa un tipo especial de multiplicación matricial, en ocasiones conocida como “multiplicación renglón por columna”.
[
] [
]
Se multiplican los renglones de A por las columnas de B en forma pareada, y sume los resultados. Por ejemplo, el elemento en el primer renglón y la segunda columna del producto se obtiene al multiplicar los elementos de primer renglón A por los elementos de la segunda columna B y sumar los resultados:
[
] [ ]
Ejemplo:
) − ) − −
− − −
[(− )( ) ( )(− ) (− )(− ) ( )( )( )( ) ( )(− ) ( )(− ) ( )( ) ]
2.3 Clasificación de matrices:
Matriz fila: [1]
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
[ ] Matriz columna:
La matriz columna tiene una sola columna
Matriz rectangular:
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
)
Matriz cuadrada:
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
) [
]
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
Matriz nula:
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
)
Matriz triangular superior:
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
) [
Matriz triangular inferior:
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
) [
]
Matriz diagonal:
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
) [
]
Matriz escalar:
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
) [
]
Matriz identidad o unidad:
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
) [
]
Matriz regular:
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz singular:
Matriz traspuesta:
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
) [
] ) [
]
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A · B)t = Bt · At
Matriz idempotente
Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
Matriz involutiva:
Una matriz, A, es involutiva si:
A2 = I.
Matriz simétrica:
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica:
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At.
Matriz ortogonal
Una matriz es ortogonal si verifica que:
2.4 transformaciones elementales por renglón:
La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. En concreto, siempre será posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido que definimos a continuación.[4]
Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los números de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos pivote de F al primer número distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.
Una matriz escalonada es aquella que verifica las siguientes propiedades:
Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.
El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente más a la derecha que el pivote de la fila de encima.
Por ejemplo, entre las matrices:
[
]
[
𝟏 𝟎 −𝟑
𝟎 𝟏 𝟒
𝟎 𝟎 𝟎
]
A no es escalonada, mientras que By si lo son. C
Dada una matriz escalonada E se define el rango de E, que representamos por rg (E), como el número de filas no nulas de E.
Dada una matriz A cualquiera, las transformaciones elementales por filas de A son tres:
Intercambiar la posición de dos filas.
Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.
Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera.
El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.
Teorema:
A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.
2.5 Cálculo de la Matriz inversa:
En el conjunto de los números reales, para todo número existe un número A, llamado inverso multiplicativo (o recíproco), que verifica la propiedad [3]
Se sabe que 1 es un elemento identidad multiplicativo para el conjunto de los números reales. Esto
es, a(1) = 1(a) = a para cualquier número real a. ¿Existe un elemento identidad para matrices 2x2?
Si la matriz
Para obtener la A-1 requerimos usar la matriz identidad, utilizando el método de Gauss
A=[( | )]
Para comenzar el número que ocupa el lugar debe ser 1, por lo tanto pueden cambiar de lugar
e renglón 1 con el renglón 2
Ahora el número que se encuentra debajo de la posición sebe ser cero por lo tanto se hace la
operación:
− −
−
Los numero 1 de la diagonal deben ser positivos así que se multiplica el R2 por -1
− −
Para que se convierta en la inversa de la matriz debe quedar una matriz identidad de 2x2 en el lado derecho (antes de la línea punteada), debido a esto el número de la posición tiene que ser
igual a 0:
− −
Por lo tanto la inversa es:
−
−
Esto se puede comprobar, a demostrar que
−
−
2.6 Definición de determinante de una matriz:
Es cierta clase de función que asocia a un número real con una matriz cuadrada.[2]
[
]
El determinante de una matriz se representa como:
| | |
|
Y se define como:
| | |
| −
Ejemplo:
− − ( )(− ) − (− )( )
− − (− ) − | | −
Cofactor ij de A se obtiene tomando el determinante del menor ij y multiplicándolo por (− )
[
]
(− ) | |
Calculo de determinante de una matriz 3x3:
[
]
| | | | − | | | |
Ejemplo:
[ − ]
| | | | − | − | | − |
| | [( )( ) − ( )( )] − [( )( ) − ( )(− )] [( )( ) − ( )(− )]
| | [( ) − ( )] − [( ) − (− )] [( ) − (− )]
| | −
2.7 propiedades de los determinantes:
El determinante de una matriz A y el de su traspuesta son iguales[3]
| | | |
[
] | |
| |
Si dos renglones (o columnas ) de una matriz cuadrada A son idénticas , entonces | |
| | |
|
Si todos los elementos de un renglón son nulos
| | |
|
Si los elementos de una línea son combinación lineal de las otras
| | |
|
Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
| | |
|
Si en un determinante se cambian entre si dos líneas paralelas su determinante cambia de signo:
|
Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra columna paralela multiplicadas previamente por un número real el valor determinante no varía:
|
|
|
|
El determinante de un producto es igual al producto de los determinaste:
| | | | | |
Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.
|
| |
| | |
Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes
| | |
2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta:
Sea A una matriz cuadrada n x n. Entonces una matriz B es la inversa de A si satisface A ∙ B = I y B ∙ A = I, donde I es la matriz identidad de orden n x n.[5]
La inversa de A se representa por A-1. Así que A ∙ A-1 = A-1 ∙ A = I.
No toda matriz cuadrada tiene una inversa.
Si A tiene inversa, entonces decimos que A es invertible.
Propiedades de la inversión de matrices
1. La matriz inversa, si existe, es única
2. A-1A=A·A-1=I 3. (A·B) -1=B-1A-1
4. (A-1) -1=A
5. (kA) -1=(1/k·A-1
6. (At) –1=(A-1) t
Dada la matriz buscamos una matriz que cumpla A·A-1 = I, es decir
Para ello planteamos el sistema de ecuaciones:
2.9 Aplicaciones de matrices y determinantes:
las matrices se utilizan en diferentes sectores como administración de la producción, análisis de mercados, contabilidad de costos, análisis macroeconómicos de relaciones interindustriales y análisis sociológico de organizaciones:[2]
Ejemplo:
La Empresa minera “Trisco ” S.A esta estudiando un plan de inversiones de capital para el próximo año de actividades. La gerencia de planeación está interesada en iniciar un proceso de integración vertical para lo que se ha sugerido ingresar al área de la producción siderúrgica. La gerencia general ha autorizado la evolución de 3 propuestas alternativas que implican la construcción de una planta :
i. Para la producción de cobre electrolítico
ii. Para la producción de acero inoxidable
iii. Para la producción aluminio anodizado.
Independientemente de los problemas de financiamiento de la inversión se ha hecho énfasis en la condicionalidad de las utilidades esperadas, dependiendo de que la empresa rival “zirconio”, S.A. decida o no competir en el mismo rubro de actividades a este respecto se tienen algunas estimaciones preliminares. La planta de cobre electrolítico puede lograr una utilidad de 4.35 millones al año si no tiene competencia, y 1.82 millones en caso contrario. La planta de acero inoxidable puede llegar 3.70 millones anuales si es la única en su ramo, y 2.10 en caso contrario. Finalmente, la planta de aluminio tiene asegurado un mercado estable que le redituaría 2.75 millones anuales, en cualquiera de las circunstancias mencionadas.
El problema puede sistematizarse en la siguiente presentación matricial:
. . . . . .
Ejemplo [5]
Resolver el siguiente sistema de ecuación por el método Gauss-Seidel utilizando un = 0.001.
0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = -19.30
3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.85
0.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 = 71.40
Primero ordenamos las ecuaciones, de modo que en la diagonal principal esten los coeficientes mayores para asegurar la convergencia.
3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.85
0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = -19.30
0.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 = 71.40
Despejamos cada una de las variables sobre la diagonal:
Suponemos los valores iniciales X2 = 0 y X3 = 0 y calculamos X1
Este valor junto con el de X3 se puede utilizar para obtener X2
En la segunda iteración, se repite el mismo procedimiento:
Comparando los valores calculados entre la primera y la segunda iteración
Como podemos observar, no se cumple la condición
Entonces tomamos los valores calculados en la última iteración y se toman como supuestos para la siguiente iteración. Se repite entonces el proceso:
Comparando de nuevo los valores obtenidos
Así que hacemos otra iteración
Comparando los valores obtenidos
Dado que se cumple la condición, el resultado es:
X1 = 3.0
X2 = -2.5
X3 = 7.0
Bibliografía
[1]Vitutor. (2010). Obtenido de http://www.vitutor.com/algebra/matrices/tipos.html
[2]Ariel Kleiman, E. d. (1979). matrices : aplicaciones matemáticas eneconomia y adminitración.
México: limusa.
[3]Jerome E. Kaufmann, K. L. (2010). Álgebra. CENGAGE learning.