les
2012
–
2013
Índice
Sistemas de ecuaciones lineales
1
Interpretación geométrica y definición
1
Método de eliminación
4
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
6
Sistemas compatibles
6
Sistemas incompatibles
9
Trabajo práctico
11
Ejemplos con Sage
12
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
12
Sistemas de ecuaciones lineales
Interpretación geométrica y definición
Observaciones preliminares1. El problema central del álgebra lineal esresolver sistemas de ecua-ciones.
2. Estas ecuaciones son siemprelineales, osea que lasincógnitas aparecen solomultiplicadas por números.
3. En estos sistemas de ecuacionesnuncaencontraremos expresio-nes comoxyo√xo sinxo logy.
4. Les decimossistemas, porque la solución (si existe) debe satisfa-cer atodaslas ecuacionessimultáneamente.
1 y
1 2 3 4
x
x−2y= 1
3x +
2y =
11
Figura1: el único punto del planoxyque pertenece a am-bas rectas es la única solución del sistema de ecuaciones. Dos ecuaciones, dos incógnitas, una solución
x−2y= 1 3x+2y=11
Las rectas se cortan únicamente enx =3 ey=1.
Se dice entoces que el conjunto de solucionesStienesolo un elemento
S={(3, 1)}
1 y
1 2 3 4
x
x−2y
=1 −x+2
y=12
Figura2: ningún punto del planoxyque pertenece a am-bas rectas, por lo tanto el sis-tema de ecuaciones no tiene solución.
Dos ecuaciones, dos incógnitas, ninguna solución
x−2y= 1 −x+2y= 12
Cada fila (ecuación) corresponde a una recta en el plano.
Pero las rectas no se cortan, ya que son paralelas.
El conjunto de solucionesSes entonces el conjunto vacío
S=∅
1 y
1 2 3 4
x
x−2y=
1 −
x+2y=
−1
Figura3: infinitos puntos del planoxyque pertenece a am-bas rectas, ya que en realidad son idénticas, por lo tanto el sistema de ecuaciones tiene∞
soluciones. Dos ecuaciones, dos incógnitas,∞soluciones
x−2y= 1 −x+2y=−1
Cada fila (ecuación) corresponde a una recta en el plano.
Las dos rectas se superponen, hay infinitas soluciones.
Por ejemplox=1 ey=0, o tambiénx=3 ey=1, etc.
El conjunto de solucionesStiene∞elementos
S={(1, 0),(3, 1),(5, 2), . . .}
Generalización para múltiples incógnitas
1. Los sistemas de ecuaciones linealessiemprepueden interpretarse como el problema de encontrar intersecciones.
2. Con dos incógnitas, intersección de rectas; con más incógnitas, intersección de “planos”.
Ejemplo1. El sistema de ecuaciones lineales
3x+2y− z= 1 2x−2y+4z=−2 −x+ y− z= 0 corresponde a la intersección de tres planos.
La única solución es
x = 2
5 y=− 3
5 z=−1
Figura4: en general los sis-temas de ecuaciones pueden representarse como colecciones de planos que se intersectan. ¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?
Definición1(sistema de ecuaciones lineales). Tenemosm
núme-rosb1, . . . ,bm.
Y tambiénm×nnúmerosaij, con 1≤i≤m, 1≤j≤n.
Se buscannnúmeros,x1, . . . ,xn, que satisfacen
a11x1+a12x2+· · ·+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+· · ·+a2nxn=b2 ... ... ... ... am1x1+am2x2+· · ·+amnxn=bm
Esto es unsistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Forma matricial de un sistema
Todo sistema de ecuaciones lineales puede expresarse como el producto entre una matriz y un vectorAx=b
A
z }| {
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... ... ... am1 am2 · · · amn
x z }| { x1 x2 ... xn = b z }| { b1 b2 ... bm
Aes lamatriz de los coeficientes.
xelvector de las incógnitas.
bes elvector de los coeficientes independientes.
La matriz aumentada de un sistema
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizaremos la matriz aumentada de coeficientes
A b =
a11 a12 · · · a1n b1 a21 a22 · · · a2n b2 ... ... ... ... ... am1 am2 · · · amn bm
En general representaremos los sistemas por su forma matricial
Ax=b, o por medio de la matriz aumentada A b.
Ejemplo2. Expresiones alternativas para el sistema
x−2y= 1 3x+2y=11
Utilizando subíndices
x1−2x2= 1 3x1+2x2=11
Como productoAx=b
1 −2
3 2
! x1 x2
!
= 1
11 !
Con su matriz aumentada
1 −2 1 3 2 11
!
Método de eliminación
Introducción al método de eliminación
Volvamos al primer sistema que graficamos
x1 − 2x2 =1 Ê
3x1 + 2x2 =11 Ë =⇒
x1 − 2x2 =1 Ê 8x2 =8 Ë
Ahora multiplicamosÊpor−3 y se la sumamos aË.
Luego de estaeliminación x1no aparece en lanuevasegunda ecuaciónË.
La segunda ecuación 8x2=8 indica quex2=1.
Substituyendo hacia atrásresultax1−2=1, de dondex1=3.
La solución es(x1,x2) = (3, 1)
1 x2
1 2 3 4
x1 x1−2
x2=1 3x
1+ 2x
2= 11
Figura5: el sistemaAx=b puede interpretarse como la intersección entre dos rectas. Interpretación geométrica de la eliminación
x1−2x2= 1 3x1+2x2=11
Ax=b
1 −2
3 2
! x1 x2
!
= 1
x1−2x2=1 8x2=8
Bx=c
1 −2
0 8
! x1 x2
!
= 1
8 !
1 x2
1 2 3 4
x1 x1−2
x2=1 8x2=8
Figura6: el sistemaBx=ces equivalente al sistema original
Ax=b, y puede interpretarse
también como la intersección entre dos rectas. ¡Aunque una de las rectas a cambiado, el punto de intersección es el mismo!
Operaciones elementales de fila
El método de eliminación consiste en hacercombinaciones lineales de las filas deAx=b.
Pueden utilizarse solamente tresoperaciones elementales de fila:
1. multiplicaciónde una fila por un númerocno nulo
2. reemplazode lar-esima fila, por la filarmáscveces la filas, conc6=0 yr6=s
3. intercambiode dos filas.
Definición2. Dado un sistemaAx=b, todo sistemaBx=cque se
obtenga aplicando las operaciones elementales de fila se denomina sistema equivalenteal original.
¿Por qué funciona la técnica de eliminación?
Bx=cse obtiene deAx=bmediante operaciones elementales
de fila.
Entonces,Ax=byBx=cson equivalentes.
Teorema1. Si dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes, tienen
exactamente las mismas soluciones.
EntoncesAx=byBx=ctienen las mismas soluciones.
¡PeroBx=cesmás fácilde resolver!
Repaso de ideas clave
1. Un sistema de ecuaciones lineales puede representarsesiempre comoAx=b.
2. Cada ecuación deAx=bse corresponde a una recta (sin=2) o un “plano” (sin≥3).
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas compatibles
El método de eliminación de Gauss-Jordan: Ejemplo A
2x1+4x2−2x3=2 2x1+4x2−2x3=2 4x1+9x2−3x3=8 1x2+1x3=4 −2x1−3x2+7x3=10 4x3=8
(A b) =
2 4 −2 2 4 9 −3 8 −2 −3 7 10
f2−(4/2)f1;
2 4 −2 2
0 1 1 4
−2 −3 7 10
;
f3−(−2/2)f1;
2 4 −2 2
0 1 1 4
0 1 5 12
f3−(1/1)f2;
2 4 −2 2 0 1 1 4 0 0 4 8
=(U c)
Hemos encontrado unamatriz triangularU.
Los números2,1y4son lospivotesdeU.
Pero para resolver el sistema debemos continuar...
2x1+4x2−2x3=2 x1=−1 1x2+1x3=4 x2=2
4x3=8 x3=2
(B c)=
2 4 −2 2 0 1 1 4 0 0 4 8
f1−(4/1)f2;
2 0 −6 −14
0 1 1 4
0 0 4 8
;
f1−(−6/4)f3;
2 0 0 −2 0 1 1 4 0 0 4 8
f2−(1/4)f3;
2 0 0 −2 0 1 0 2 0 0 4 8
;
;
(1/2)f1;
(1/4)f3;
1 0 0 −1 0 1 0 2 0 0 1 2
=(R d)
El sistema original es
2x1+4x2−2x3= 2 4x1+9x2−3x3= 8 −2x1−3x2+7x3=10
El sistema equivalente es
El conjunto de solucionesStiene entonces un solo elemento
S={(−1, 2, 2)}
Entonces este sistema de ecuaciones lineales es
1. compatible(porque tiene solución)
2. determinado(porque tiene exactamente una única solución).
El método de eliminación de Gauss-Jordan: Ejemplo B
x1+3x2−x3+x4=1 x1+3x2−x3+x4=1 −2x1+x2+2x3=7 x2−x4=0 x2−x4=0 x4=1
(A b) =
1 3 −1 1 1 −2 1 2 0 7 0 1 0 −1 0
f2−(−2/1)f1;
1 3 −1 1 1
0 7 0 2 9
0 1 0 −1 0
;
f2 f3;
1 3 −1 1 1 0 1 0 −1 0
0 7 0 2 9
f3−(7/1)f2;
1 3 −1 1 1 0 1 0 −1 0
0 0 0 9 9
;
(1/9)f3;
1 3 −1 1 1 0 1 0 −1 0
0 0 0 1 1
=(B c)
Hasta aquí hemos eliminado hacia abajo.
Ahora debemos continuar eliminando hacia arriba. . .
x1+3x2−x3+x4=1 x1−x3=−3
x2−x4=0 x2=1
x4=1 x4=1
(B c)=
1 3 −1 1 1 0 1 0 −1 0
0 0 0 1 1
f1−(1/1)f3;
1 3 −1 0 0 0 1 0 −1 0
0 0 0 1 1
;
f2−(−1/1)f3;
1 3 −1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1
f1−(3/1)f2;
1 0 −1 0 −3
0 1 0 0 1
0 0 0 1 1
=
=(R d)
El sistema original es
El sistema equivalente es
x1−x3=−3 x2=1 x4=1
Claramentex2 = 1 yx4 = 1, pero de la primer ecuaciónno pueden determinarse x1nix3. . .
Pero, simplemente dando un valorca x3, obtenemosx1=−3+c
El conjunto de solucionesStiene entonces∞elementos S={(−3+c, 1,c, 1)para todoc∈R}
Entonces este sistema de ecuaciones lineales es
1. compatible(porque tiene solución)
2. indeterminado(porque tiene infinitas soluciones).
Matrices escalón
Definición3(matriz escalón reducida por filas). Una matriz
esca-lónRtiene las siguientes características
1. Cada escalón tiene altura uno.
2. Debajo de la escalera todos los elementos de la matriz son cero.
3. En cada esquina de un escalón aparce un número1.
4. Toda columna que contiene un1en una esquina de un escalón tiene todos los demás elementos nulos.
Rango de una matriz
Definición4(rango de una matriz). El rango de cualquier matriz Aes igual al número de filas no nulas que tiene su matriz escalón
equivalenteRreducida por filas.
Ejemplo A
(R d) =
1 0 0 −1 0 1 0 2 0 0 1 2
Ry(R d)tienen3filas no nulas.
Entonces rango(A) =rango(A b)=3.
Ejemplo B
(R d) =
1 0 −1 0 −3
0 1 0 0 1
0 0 0 1 1
Ry(R d)tienen3filas no nulas.
Sistemas incompatibles
El método de Gauss-Jordan: Ejemplo C
x1−x2+x3=1 x1+ (2/3)x3=0
2x1+x2+2x3=0 x2−(1/3)x3=0
2x1−2x2+2x3=3 0=1
(A b) =
1 −1 1 1 2 1 1 0 2 −2 2 3
f2−(2/1)f1; f3−(2/1)f1;
1 −1 1 1 0 3 −1 −2
0 0 0 1
;
(1/3)f2;
1 −1 1 1
0 1 −1/3 −2/3
0 0 0 1
f1+f2;
1 0 2/3 1/3 0 1 −1/3 −2/3
0 0 0 1
; ;
f1−(1/3)f3; f2−(−2/3)f3;
1 0 2/3 0 0 1 −1/3 0
0 0 0 1
=(R d)
El sistema original es
x1−x2+x3=1 2x1+x2+2x3=0 2x1−2x2+2x3=3
El sistema equivalente es
x1+ (2/3)x3=0 x2−(1/3)x3=0 0=1
Claramente la tercer ecuación tiene siempre valor lógico falso, ya que 06=1. . .
El conjunto de solucionesSno tiene entonces ningún elemento
S=∅
Entonces este sistema de ecuaciones lineales es
1. incompatible(porque no tiene ninguna solución)
Ejemplo C
(R d) =
1 0 2/3 0 0 1 −1/3 0
0 0 0 1
(R d)tiene3filas no nulas.
EntoncesAtiene rango2pero(A b)tiene rango3. . .
Teorema2(Rouche-Frobenius). Sea r el rango deA, q el rango de
(A b)y n el número de incógnitas, entonces el sistemaAx=bserá:
1. compatible determinado si y solo si r=q=n
2. compatible indeterminado si y solo si r=q<n
3. incompatible si y solo si r<q.
Repaso de ideas clave
1. Aplicando el método de eliminación de Gauss-Jordan a una matrixApodemos encontrar su matriz escalónRequivalente.
2. Aplicando el método de eliminación de Gauss-Jordan a una matrix(A b)podemos resolvercualquiersistema de ecuaciones linealesAx=b.
3. El rango deAes igual a la cantidad de filas no nulas deR.
Trabajo práctico
1. Encontrar todas las soluciones (si existen) de cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, mediante el método de eliminación de Gauss-Jordan, y utilizandoexclusivamente
notación matricial
a) x1+x2= 1
x1−x2=−1 b)
x1+x2=1 2x1+x2=0
Pista: comience por escribir la correspondiente matriz ampliada (A b).
2. Utilizar operaciones elementales de fila para encontrar las ma-trices escalón equivalentes a las siguientes mama-trices. ¿Cual es el rango de cada matriz?
a)
1 3 7 4
6 −5 −1 2 7 −2 6 1
b)
0 0 1 0 1 0 1 0 0
c)
3 −1 3 1 0 −1 3 −1 1 −1 1 −1
d)
2 3 1 −4 2 1 2 1 −2 3 1 1 0 2 1
3. Encontrar todas las soluciones (si existen) de cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, mediante el método de eliminación de Gauss-Jordan, y utilizandoexclusivamente
notación matricial
a)
2x1+ x2+ x3=3 x1− x2+ x3=0 3x1− x2+2x3=2
b)
x1+2x2+4x3=1 x1+ x2+3x3=2 2x1+5x2+9x3=1
c)
2x1− x2+3x3= 9 3x1−5x2+ x3=−4 4x1−7x2+ x3= 5
d)
3x1+ x2− x3+ 2x4= 7 2x1−2x2+5x3− 7x4= 1 −4x1−4x2+7x3−11x4=−13
e)
x1+ x2+ x3=3 2x1− x2+3x3=4 3x1+ x2− x3=3 2x1−2x3=0
f)
x1+x2+x3+ x4=0 x2− x4=5 x1+x3+2x4=1 x1+2x2=0
Ejemplos con Sage
.
El código Sage en los siguientes recuadros puede ser seleccionado, copiado y pegado en una hoja de trabajo de Sage, para ejecutarlo y así obtener los resultados y los gráficos.Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Calcular el rango de matrices
# crear la matriz A
A = matrix([(1,1,1),(1,-1,6),(-1,-1,-1)])
# calcular r=rango(A)
r = A.rank()
print "r =", r # la respuesta es r=2
# crear la matriz B
B = matrix([(1,1,1),(1,-1,6),(-1,-1,1)])
# calcular q=rango(B)
q = B.rank()
print "q =",q # la respuesta es q=3
.
Puede utilizar estos ejemplos de código Sage como base para compro-bar los resultados de los ejercicios del trabajo práctico.Determinar si un sistema es compatible o incompatible
# crear la matriz A y el vector b
A = matrix([(1,-1,1),(2,1,2),(2,-2,2)]) b = vector((1,0,3))
# crear la matriz aumentada
B = A.augment(b)
# guardar n y calcular los rangos
n = A.ncols(); r = A.rank(); q = B.rank()
print "El sistema es",
if (r == q):
if (r == n):
print "compatible determinado."
else:
print "compatible indeterminado."
else:
print "incompatible."
Resolver un sistema por Gauss-Jordan
# crear la matriz de los coeficientes A
A = matrix([(2,4,-2),(4,9,-3),(-2,-3,7)])
# crear el vector independiente b
b = vector((2,8,10))
# crear la matriz aumentada
B = A.augment(b)
# comprobar que el sistema es compatible
# con la expresión rango(A) =rango(B)
print A.rank() == B.rank()
# si es compatible, la respuesta será "True"
# encontrar la matriz escalón equivalente a B
R = B.rref()
# mostrar R para ver la solución
