Modelación y Control Difuso de un Prototipo a Escala de una Grúa de Techo -Edición Única

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Modelación y Control Difuso de un Prototipo a Escala de una

Grúa de Techo -Edición Única

Title

Modelación y Control Difuso de un Prototipo a Escala de

una Grúa de Techo -Edición Única

Authors

Martín Gutiérrez Delgado

Affiliation

Tecnológico de Monterrey, Campus Monterrey

Issue Date

1995-12-01

Item type

Tesis

Rights

Open Access

Downloaded

18-Jan-2017 14:31:02

INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS

SUPERIORES DE MONTERREY

C A M P U S M O N T E R R E Y

P R O G R A M A D E G R A D U A D O S E N INGENIERÍA

M O D E L A C I Ó N Y C O N T R O L DIFUSO D E U N

P R O T O T I P O A E S C A L A D E U N A G R U A D E T E C H O

TESIS

P R E S E N T A D A C O M O REQUISITO P A R C I A L

P A R A OBTENER EL G R A D O ACADÉMICO D E :

M A E S T R O E N CIENCIAS

ESPECIALIDAD E N INGENIERÍA D E C O N T R O L

M A R T I N GUTIÉRREZ D E L G A D O

I N S T I T U T O T E C N O L Ó G I C O Y D E E S T U D I O S

S U P E R I O R E S D E M O N T E R R E Y

C A M P U S M O N T E R R E Y

P R O G R A M A D E G R A D U A D O S E N I N G E N I E R Í A

M O D E L A C I Ó N Y C O N T R O L D I F U S O D E U N

P R O T O T I P O A E S C A L A D E U N A G R Ú A D E T E C H O

T E S I S

P R E S E N T A D A C O M O R E Q U I S I T O P A R C I A L P A R A

O B T E N E R

E L

G R A D O A C A D É M I C O D E

M A E S T R O E N C I E N C I A S

E S P E C I A L I D A D E N I N G E N I E R Í A D E C O N T R O L

M A R T I N G U T I É R R E Z D E L G A D O

I N S T I T U T O T E C N O L Ó G I C O Y D E E S T U D I O S S U P E R I O R E S D E M O N T E R R E Y

C A M P U S M O N T E R R E Y

D I V I S I Ó N D E G R A D U A D O S E I N V E S T I G A C I Ó N

P R O G R A M A D E G R A D U A D O S E N I N G E N I E R Í A

Los miembros del comité de tesis recomendamos que la presente tesis del Ing. Martín Gutiérrez Delgado sea aceptada como requisito parcial para obtener el grado

académico de Maestro en Ciencias especialidad en:

I N G E N I E R Í A D E C O N T R O L

Comité de tesis:

Rogelio Soto Rodríguez, P h . D .

ASESOR

Federico Viramontes 'Brown^HPnTD. Director del Programa de Graduados

en Ingeniería

Reconocimientos

• Quiero agradecer a Dios el haberme dado la oportunidad de poder realizar las metas que me he propuesto así como el apoyo que he recibido en los momentos más difíciles que he vivido.

• A toda m i familia le debo un reconocimiento especial por todo el apoyo incondi-cional que he recibido a lo largo de toda m i vida.

• A mis amigos les doy las gracias por todos los momentos que han compartido conmigo y por todas las ideas y comentarios que contribuyeron al mejoramiento de esta tesis, en especial a Antonio Castillo por toda su ayuda para la construcción del prototipo a escala de la grúa de techo.

• Este trabajo no hubiera sido posible sin todas las facilidades otorgadas por el Dr. Jorge Olvera, Director del Departamento de Ciencias Computacionales del I T E S M Campus Monterrey, para la construcción y ubicación del prototipo a escala de la grúa de techo.

• Finalmente doy las gracias al D r . Rogelio Soto, asesor de esta tesis, y al D r . José de Jesús Rodríguez, sinodal de la misma; por todo el apoyo recibido durante mis estudios de maestría así como durante el desarrollo de la tesis.

M A R T Í N G U T I É R R E Z D E L G A D O

Modelación y Control Difuso de un Prototipo a

Escala de una Grúa de Techo

Martín Gutiérrez Delgado, M . C .

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, 1995

Asesor de la tesis: Rogelio Soto Rodríguez, P h . D .

R E S U M E N

Í

ndice General

Reconocimientos vii

Resumen ix

Capítulo 1 Introducción 1

Capítulo 2 Modelación e Identificación del Sistema 5 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2.1 Introducción 5

2.2 Descripción del Prototipo de l a Grúa 6

2.2.1 Simbología 7 2.2.2 Instrumentación 8 2.3 Modelación Matemática del Sistema 9

2.3.1 Modelación del Motor de c.d 10 2.3.2 Modelación del Carro y l a Carga de l a Grúa 15

2.3.3 Modelación del Sistema Completo 19 2.3.4 Modelación de las Fricciones de Coulomb 20

2.4 Identificación del Sistema 23 2.4.1 Estimación Aproximada de las Constantes 24

2.4.2 Obtención de Datos para Validar y Optimizar los Modelos . . . 32

2.4.3 Validación del Modelo Identificado 33 2.4.4 Optimización del Modelo Aplicando Máxima Verosimilitud . . . 37

2.4.5 Validación del Modelo Optimizado 40 2.4.6 Comparación Entre el Modelo No Optimizado y el Modelo O p t i

-mizado 43 2.5 Conclusiones sobre l a Modelación e Identificación del Sistema 43

Capítulo 3 Control Lineal 45

3.1 Introducción 45 3.2 Identificación Paramétrica del Sistema 46

3.2.1 Pruebas SBSA(Secuencia Binaria Seudo Aleatoria) -46

3.2.4 Validación del Modelo Lineal Estimado 52 3.3 Controlabilidad y Observabilidad del Sistema 55

3.4 Diseño del Control Óptimo 56 3.5 Consideraciones Adicionales al Diseño del Controlador 60

3.6 Funcionamiento del Control Óptimo 63

Capítulo 4 Control Difuso 69

4.1 Introducción 69 4.2 Preliminares de Lógica Difusa 70

4.2.1 Perfil Histórico de l a Lógica Difusa 70

4.2.2 Conjuntos Difusos 72 4.2.3 Variables Lingüísticas 77 4.2.4 Proposiciones Difusas 78 4.3 Estructura y Diseño del Control Difuso . 80

4.3.1 Normalizado 80 4.3.2 Emborronado 81 4.3.3 Conjunto de Reglas 85

4.3.4 Inferencia 94 4.3.5 Desemborronado 95

4.3.6 Denormalizado 98 4.4 Consideraciones Adicionales al Diseño del Controlador 98

4.5 Funcionamiento del Control Difuso 99

Capítulo 5 Comparación de los Controladores 103

5.1 Introducción 103 5.2 Criterios de Comparación , 104

5.3 Cambio en el Parámetro de Longitud de Travesía del Carro de l a Grúa 106

5.4 Cambio en el Parámetro de Masa de l a Carga 111 5.5 Cambio en el Parámetro de Longitud del Cable de l a Grúa 113

5.6 Conclusiones Acerca de las Comparaciones 115

Capítulo 6 Conclusiones 117

Apéndice A Construcción e Instrumentación del Prototipo a Escala de

la Grúa de Techo 121

A . l Introducción 121 A , 2 Construcción y Descripción del Prototipo a Escala de l a Grúa 121

A . 3 Actuador(Motor de c.d.) 123

A . 4 Sensores 124 A.4.1 Codificador Óptico 125

Bibliografía 133

Capítulo 1

Introducción

Nos hemos empezado a dar cuenta de la importancia de la automati-zación, no como un medio para dejar a la gente sin su trabajo, sino como un medio para complementar las actividades humanas. El hecho de que la tecnología es universal es actualmente aceptado en todo el planeta, y no-sotros como ingenieros profesionales, hemos sido llamados para actuar de una manera socialmente responsable. Existen muchos retos de importancia vital por enfrentar, no solo en el desarrollo de nuevas teorías y nuevas tec-nologías, sino en el intento de hacerlas funcionar en la práctica, no para el beneficio de un país o una comunidad aislada, sino en beneficio de la humanidad.

- M . G . Rodd "Meeting the Real Needs of the Automation Industry" Editorial de la publicación: "Control Engineering Practice" [25].

Actualmente, con l a formación de grandes bloques económicos, l a apertura de nuevos mercados, el crecimiento de las economías de paises en desarrollo, además del surgimiento de una impresionante estructura de comunicaciones, cuyos mejores días están por venir, nos damos cuenta de que este mundo cada vez es más competitivo. L a industria, como base de l a economía de un país, cada vez juega un papel más importante en el desarrollo socioeconómico del mundo. Es por esto que debemos considerar como primordial l a automatización de los procesos en l a industria. Y a no podemos ni debemos depender de l a habilidad o destreza de alguna persona para llevar a cabo las principales tareas del proceso de producción. U n a de estas tareas es el transporte y manejo de cargas dentro y fuera de las fábricas. Aquí es donde las grúas desempeñan una actividad m u y importante, y a que si se hace m a l este trabajo se corre el riesgo de dañar l a carga, o en el mejor de los casos de hacer las cosas de una manera innecesariamente lenta ocasionando con esto los llamados "cuellos de botella" que perturban severamente el proceso de producción.

para cargar la mercancía en un barco, tren o camión. Siendo este tipo de grúas tan versátil, es difícil tener un controlador que tome en cuenta todos los parámetros que se pueden ver afectados en el sistema. Es por esto que en l a mayoría de las veces es un operador humano el que las maneja; no obstante, estas personas requieren de mucha destreza, entrenamiento, experiencia y capacidad de concentración para poder hacer bien este trabajo. E l menor descuido que tenga el operador puede provocar desde pérdidas humanas hasta graves pérdidas económicas. Con todo esto se puede visualizar la importancia de automatizar l a operación de una grúa.

Son muchos los esfuerzos que se han hecho para crear algoritmos de control que permitan l a operación automática de una grúa. No obstante, de la bibliografía consul-tada, ninguno presenta una solución completa. Esto incluso después de haber aplicado algoritmos de control lineal [24], no lineal [8], óptimo [29], adaptable [3, 4], con trayec-torias precalculadas [16, 26] etc. Además en estas publicaciones casi todos los trabajos son teóricos, ya que solamente en algunos de estos trabajos utilizan simulaciones em-pleando modelos simplificados de una grúa y en muy pocos trabajan con prototipos a escala de grúas. Solamente en una publicación [27] mencionan estar trabajando con una grúa real, de más de cien metros de longitud, instalada en un puerto. Con esto se comprueba que l a teoría de control lleva un adelanto de una o más décadas con respecto a la práctica del control [25]. Con esto en mente, se tuvo como principal objetivo para el desarrollo de esta tesis, el construir un prototipo a escala de una grúa lineal de techo, con el fin de poder probar los algoritmos de control que se diseñaran. Además de este objetivo se plantearon otros dos de suma importancia: hacer un modelo matemáti-co de l a grúa que describiera las dinámicas más importantes del sistema (incluyendo efectos no lineales y fricciones viscosas y de Coulomb) con el fin de poder simular por computadora los algoritmos de control que se desarrollaran antes de probarlos en el prototipo a escala de la grúa. E l otro objetivo fue el de diseñar un controlador difuso con la espectativa de que éste sea más robusto que un control lineal con respecto a l a incertidumbre en los parámetros.

Se decidió hacer un control difuso porque se sabe que éste es especialmente efectivo en el control de procesos no lineales, como es el caso de l a grúa. Además esto se hizo con l a motivación de probar el control difuso en un proceso real y así poder evaluar sus ventajas y desventajas con respecto a un control convencional.

la longitud del cable que sostiene a la carga.

Para poder cumplir con los objetivos planteados, se pensó en la siguiente metodo-logía:

1. Construir el prototipo a escala de la grúa de techo.

2. Hacer un modelo matemático del prototipo que incluya la características no l i -neales como son las relaciones trigonométricas y las fricciones de Coulomb. 3. Diseñar un control lineal con el fin de poderlo comparar contra el control difuso. 4. Diseñar un control difuso.

5. Hacer pruebas para comparar y confrontar los controladores lineal y difuso. 6. E m i t i r conclusiones acerca de lo más destacado del trabajo hecho en los anteriores

puntos.

Capítulo 2

Modelación e Identificación del Sistema

El primer instinto de los científicos es ajustar un modelo lineal a un mundo no lineal. Esto crea otro problema de incongruencia, el dilema del que hace un modelo matemático: matemáticas lineales, mundo no lineal.

-Bart Kosko [17]

2.1 Introducción

E n este capítulo se muestra l a obtención de un modelo matemático del sistema confor-mado por el prototipo a escala de l a grúa de techo. Para l a realización de esta tesis es importante contar con un buen modelo matemático del sistema porque éste facilita el desarrollo e implementación de los diferentes controladores que se piensan diseñar, ya que permite l a simulación computacional de los controladores antes de probarlos en el prototipo. De hecho si se cuenta con un buen modelo matemático del sistema se puede estar seguro de que un controlador se comportará en el sistema real de forma m u y similar a l a que se comportó en l a simulación. Además en las simulaciones se pueden probar los cambios o mejoras que se hagan al controlador sin correr el riesgo de dañar nada, y a que al menos con este sistema, es muy fácil golpear l a carga contra los soportes de l a grúa o chocar el carro en los extremos del riel si el controlador no está bien diseñado. Por otra parte se tiene l a ventaja de que en l a simulación es m u y fácil hacer cambios tanto del sistema como del controlador a diferencia del prototipo de la grúa en el que hay que programar los cambios de los controladores en l a computadora o hacer los cambios físicos del sistema directamente en el prototipo.

C o n el fin de tener un buen modelo matemático de la grúa, que refleje fielmente las principales dinámicas del sistema, se decidió hacer un modelo no lineal del sistema; y a que de antemano se sabe que el proceso no es lineal. Además se modelan las fricciones viscosas y de Coulomb, tanto del motor como del carro de l a grúa.

la estructura matemática con los efectos dinámicos que se desean modelar aplicando las leyes de la física del movimiento mediante el uso de ecuaciones diferenciales. E n seguida se hace la identificación del sistema, entendiendo que es la estimación numérica de las constantes del modelo matemático a partir de las mediciones tomadas del sistema real. Esta parte se subdivide en dos: primeramente una estimación aproximada de las constantes del sistema con su respectiva validación y una segunda parte en la que se aplica el método de estimación de máxima verosimilitud con el fin de mejorar la estimación de las constantes del sistema; además de la validación final del modelo. Finalmente se presentan conclusiones acerca de la calidad del modelo obtenido.

2.2 Descripción del Prototipo de la Grúa

E l prototipo a escala de la grúa de techo consta básicamente de las siguientes partes: un motor de corriente directa (c.d.), una banda, un carro, un riel, un alambre de acero y una carga esférica. Estas partes se detallan en la Figura 2.1.

Figura 2.1: Dibujo del prototipo a escala de la grúa de techo.

dientes de l a banda de modo que es imposible que l a banda se resbale sobre el cabezal del motor. L a longitud del riel es aproximadamente de 1.8 metros. L a carga de la grúa está unida al carro por medio de un cable de acero. Este cable puede tener una longitud desde 0.1 m hasta 1.1 m. L a longitud del cable no puede variar durante el movimiento del carro, por lo que se considera a esta dimensión como una constante. L a carga es una masa esférica de 0.566 K g , pudiendo ser de hasta 3 K g . Las dimensiones del prototipo y en general todas las mediciones que se presenten a lo largo de esta tesis serán en el sistema m.k.s. ( metro, kilogramo y segundo).

De acuerdo a [27] para que un prototipo a escala pueda modelar las características dinámicas y estructurales de una grúa real, se permite una relación máxima de 1:20. C o n esto podemos inferir que con el prototipo, que se construyó para l a realización de esta tesis, se pueden modelar grúas de hasta 36 metros de largo por 17 metros de alto; por lo tanto, se está abarcando una amplia gama de grúas industriales. No obstante, l a mayoría de las conclusiones que se obtengan pueden extrapolarse para grúas más grandes.

2.2.1 Simbología

E n la Figura 2.2 podemos apreciar un esquema de la grúa en el que se presentan las principales variables y constantes del sistema. A continuación se detallan los símbolos del esquema.

Figura 2.2: Esquema del prototipo de l a grúa con simbología.

v(t) = Voltaje aplicado al motor de corriente directa, en voltios ( V ) .

XM ( Í ) = Posición del carro de la grúa en el eje X, en metros (m). zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

¿ AÍ(Í) = Velocidad del carro de l a grúa en el eje X, en metros sobre

a(t) =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Angulo desde la vertical hasta el cable de l a grúa, en grados sexagesimales (°). E l ángulo es positivo en el sentido contrario al de las manecillas del reloj.

Velocidad del ángulo de l a grúa en grados sobre segundo (°/s). M a s a del carro de l a grúa, en kilogramos (Kg).

Masa de l a carga de l a grúa, en kilogramos (Kg).

Longitud del cable que sostiene a l a carga de l a grúa, en metros (m).

E s t a simbología es l a que se empleará a lo largo de esta tesis. Con esto podemos ver a l a grúa como un sistema de una entrada y cuatro salidas, donde l a entrada es el voltaje aplicado al motor de c.d. y las salidas son l a posición del carro y el ángulo de la grúa con sus respectivas derivadas como se muestra en l a Figura 2.3.

Figura 2.3: Representación gráfica del sistema.

2.2.2 Instrumentación

Para hacer l a adquisición de datos y l a manipulación del actuador de l a grúa se cuenta con una computadora I B M P S / 5 5 386 a 16Mhz. E l actuador, en este caso el motor de c.d., está controlado a través del puerto paralelo de l a computadora. E n este puerto se tiene conectado un convertidor digital-análogo de 8 bits ( D A C - 0 8 C P ) en configuración bipolar con voltajes máximos de ±10 voltios. Entre el convertidor y el motor se cuenta con u n a etapa de potencia, a base de transistores, que asegura un suministro suficiente de corriente al motor.

la medición actual y dividiendo sobre el periodo de muestreo. E n el Apéndice A se encuentra una explicación detallada del actuador y los sensores anteriores.

Periodo de Muestreo

Para escoger el periodo de muestreo se tomaron en cuenta diversos factores. Por ejem-plo, l a velocidad máxima de muestreo para la posición del carro de la grúa, a través del codificador óptico, puede ser de casi 1 M H z , ya que en todo momento se dispone del dato; aunque para efectos prácticos se puede considerar como l O K h z la velocidad máxi-ma. E n el caso del ángulo, la velocidad máxima de muestreo del sensor de ultrasonido es de 50Hz. E n cuanto a l a medición de las velocidades de las variables anteriores, éstas presentan las mismas limitantes de su respectiva variable. Por otro lado las dinámicas principales de l a grúa son lentas con respecto a estas velocidades de muestreo; por

ejemplo el periodo de oscilación de l a carga de la grúa conzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA L = 0.76 m y m = 0.566 K g es de 1.75 segundos. También hay que tomar en cuenta l a cantidad de operaciones

matemáticas que requieren hacer los controladores; esto con el objeto de que tengan tiempo suficiente para calcular l a manipuladora en cada periodo de muestreo. E n e s t e rubro se calculó que l a computadora podía hacer 40000 operaciones de punto flotante por segundo (debido a que la computadora cuenta con un coprocesador matemático Intel 80387).

Consultando la bibliografía, para prototipos de grúas similares a la construida para esta tesis, se tiene que en [27, 24] se emplea un tiempo de muestreo de 40 ms (milisegundos), en [4] 30 ms, y en [16] 47 ms. Tomando en cuenta toda esta información se escogió un periodo de muestreo de 20 ms que corresponde a l a velocidad máxima de muestreo del sensor de ultrasonido. Se escogió este periodo de muestreo porque si se tiene u n muestreo más rápido implica tener que estimar mediciones del ángulo y velocidad del cable de l a grúa lo cual presupone l a utilización de alguna técnica para hacer esto (filtro de K a l m a n , splines, estimadores, etc.) además de complicar demasiado y quizá innecesariamente la estrategia de control. P o r otro lado en un periodo de muestreo de 20 ms se pueden hacer 800 operaciones de punto flotante. Considerando que se van a diseñar dos tipos de controladores a lo largo de esta tesis: lineales y difusos, 800 operaciones de punto flotante por periodo de muestreo son suficientes. Finalmente, un periodo de muestreo de 20 ms es alrededor de 30 veces más rápido que las principales dinámicas del sistema por lo que asegura un buen desempeño de los controladores.

2.3 Modelación Matemática del Sistema

las fricciones de Coulomb y las relaciones trigonométricas entre algunos componentes del sistema. Esto representa una ventaja con respecto a los modelos lineales, ya que de antemano se sabe que la grúa es un sistema no lineal.

Para facilitar l a modelación, se procede a dividir el problema en las siguientes partes: modelación del motor de c.d., modelación del carro de la grúa con el péndulo y la modelación del sistema completo. A l final de esta sección se describirá l a forma en que se modelan las fricciones de Coulomb de la grúa.

2.3.1 Modelación del Motor de c.d.

E l motor de c.d. se modela tomando como base el modelo dinámico de un motor de c.d. hecho en [21]. E l motor de corriente directa es de imán permanente y controlado por la armadura. E n l a Figura 2.4 podemos observar un dibujo del motor de c.d., donde:

Figura 2.4: Motor de c.d. de imán permanente.

Voltaje aplicado al motor de corriente directa, en voltios ( V ) . Es el torque ejercido por el eje del motor, en newton por metro (N-m).

Es l a posición angular del eje del motor, en revoluciones (rev). Es el radio del cabezal del motor de c.d. = 0.008106 metros (m). A h o r a l a estructura eléctrica interna del motor se modela de acuerdo a l esquema presentado en l a Figura 2.5 donde:

Voltaje aplicado al motor de corriente directa, en voltios ( V ) .

Resistencia del devanado de la armadura, en ohmszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (íl).

Figura 2.5: Esquema eléctrico del motor de c.d. de imán permanente.

Voltaje de reacción contra-electromotriz, en voltios ( V ) . Corriente de campo, en amperios (A).

Coeficiente de fricción viscosa del motor, en newton por metro por segundo sobre revoluciones (N-m-s/rev).

Torque de fricción, en newton por metro (N-m). Con este térmi-no se pretende modelar l a fricción de Coulomb. A l final de esta sección se da una explicación más detallada de este término. Torque desarrollado por el motor, en newton por metro (N-m). Momento de inercia del rotor, en kilogramos por metro cuadrado sobre revoluciones ( K g - m2/ r e v ) .

Torque desarrollado por la carga acoplada al motor, en newton por metro (N-m).

A continuación se presenta el resto de l a simbología necesaria para hacer la mo-delación matemática del motor.

Flujo magnético del entrehierro, en voltios por segundo ( V s ) . Constante de proporcionalidad, en ohms por segundo (íí-s). Constante de proporcionalidad, sin unidades.

Constante motor-par, en voltios por segundo (V-s).

Constante de reacción contra-electromotriz, en voltios por se-gundo sobre revoluciones (V-s/rev).

Procediendo a hacer la modelación matemática del motor tenemos que el flujo magnético es directamente proporcional a l a corriente de campo

(2.1)

y el par desarrollado por el eje del motor es directamente proporcional al producto del flujo magnético por la corriente de armadura

luego si sustituimos l a Ecuación 2.1 en la Ecuación 2.2 tenemos:

(2.3) Agrupando constantes en un solo término

(2.4) y sustituyendo la Ecuación 2.4 en la Ecuación 2.3 llegamos a:

(2.5) Como se puede ver, el par desarrollado por el motor es directamente proporcional a la corriente de armadura. Luego, analizando la malla del circuito presentado en l a Figura 2.5, vemos que la ecuación de la malla es:

(2.6) donde el voltaje de reacción contra-electromotriz está dado por:

(2.7) A h o r a de acuerdo a [21]zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA La suele ser muy pequeña, por lo que puede considerarse

con valor de cero. Tomando este factor en cuenta y sustituyendo la Ecuación 2.7 en la Ecuación 2.6 tenemos:

(2.8) despejando la corriente de armadura:

(2.9) Por otra parte, como se puede ver en el esquema de la Figura 2.5, la ecuación que describe l a dinámica del rotor, aplicando la Segunda ley del Movimiento de Newton para el caso rotacional, es decir, haciendo la inercia rotacional por aceleración angular igual a l a sumatoria de torques, está dada por:

(2.10) Si sustituimos la Ecuación 2.9 en l a Ecuación 2.5 y a su vez en la Ecuación 2.10 tenemos:

(2.11) E n seguida, despejando el voltaje aplicado al motor, tenemos que l a ecuación diferencial que representa l a dinámica del motor es:

E l motor de c.d. está acoplado al carro de la grúa por medio de una banda dentada; de modo que el movimiento rotacional del cabezal del motor se traduce en un movimiento lineal en el carro. Con el fin de simplificar la unión de la ecuación del motor con las ecuaciones del resto de la grúa se hace un cambio de variable para transformar

la posición angular del cabezal del motorzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

(0

(t))

conocemos el radio ( rm) del cabezal del motor, como se puede apreciar en la Figura 2.4.

Por lo tanto:

(2.20)

Modelación de las Fricciones del M o t o r .

Finalmente es importante explicar l a forma en que se modelan las fricciones del motor. Se tiene l a fricción viscosa y l a fricción de Coulomb. L a fricción viscosa es directamente

(2.13) De igual forma se transforma el torque de carga en el eje del motor

(Tcarga(t))

distancia; en este caso la distancia es el radio del cabezal del motor (rT O):

(2.14) A h o r a sustituyendo las Ecuaciones 2.13 y 2.14 en l a Ecuación 2.12 tenemos:

(2.15)

Finalmente, en esta ecuación hay muchas constantes del motor que no conocemos; no obstante, lo que realmente nos interesa saber es l a dinámica del motor completo y no las constantes internas del mismo. Por esto podemos asumir que:

(2.16)

(2.17)

(2.18)

(2.19)

proporcional a la velocidad de giro del motor; de modo que está dada por:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA fm 9(t). L a

fricción de Coulomb es como la que se describe en [18], esta fricción es una fuerza constante que se opone al giro del eje del motor, cuando éste está girando. E n [7] se le llama torque de fricción. Experimentalmente se puede comprobar que al aplicar voltajes pequeños al motor, el eje del mismo no se mueve; y no es sino hasta que se supera cierto umbral de voltaje, al que llamaremos Vu, cuando empieza a girar el eje;

es decir, cuando se supera el torque de fricción. E n l a Ecuación 2.19 se convierte el torque de fricción (zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAT / ( Í) ) en un voltaje de fricción (u/(í)) por facilidad en el manejo de

las ecuaciones, además de que facilita la identificación del mismo, ya que es más fácil identificar un voltaje que un torque. E l voltaje de fricción es una función que depende de la velocidad de giro del eje del motor(0(í)) y de l a suma de torques aplicados al mismo. A continuación se presenta esta función:

donde T¡Torquesv es la sumatoria de torques aplicados al eje del motor,

exceptuan-do al torque o voltaje de fricción. HTorquesv está expresado en unidades de voltaje;

esto se hace para simplificar el álgebra, ya que si consideramos a la sumatoria de torques expresada en newtons por metro (ETorques) tenemos:

(2.21)

E l valor de Y¡Torquesv se puede derivar partiendo de la Ecuación 2.20. Y si además

consideramos que en l a Ecuación 2.21 solamente aparece el término de HTorquesv

cuando l a velocidad es cero tenemos:

(2.22) C o n l a función indicada en la Ecuación 2.21 se trata de hacer una modelación de la fricción de Coulomb lo más real y congruente posible, ya que hay que considerar los diferentes casos que se pueden presentar; por ejemplo, cuando el eje del motor está en reposo, si no se aplica ningún torque externo, la fricción de Coulomb debe ser cero, pero si se empieza aplicar voltaje sin superar el umbral de voltaje (Vu), l a fuerza de

2.3.2 Modelación del Carro y la Carga de la Grúa

E l objetivo ahora es obtener un modelo del carro, el cable y l a carga de l a grúa. Esta configuración se muestra en el esquema de l a Figura 2.6. A continuación se presenta un explicación de los diferentes términos presentados en este esquema:

Figura 2.6: Esquema del carro, el cable y l a carga de l a grúa.

FzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(t) = Fuerza aplicada al carro de l a grúa, en newtons ( N ) .

XM{Í) — Posición del carro de l a grúa en el eje X , en metros (m).

ar(t) = Angulo desde l a vertical hasta el cable de l a carga, en radianes

(rad). Este ángulo es el mismo que a(t); l a diferencia estriba en que ar(t) está expresado en radianes y a(t) está en grados

sexagesimales; es decir:

Coordenada sobre el eje X de l a carga, en metros (m). Coordenada sobre el eje Y de l a carga, en metros (m). Tensión en el cable de l a grúa, en newtons (N).

Fuerza normal ejercida por el carro sobre el riel, en newtons ( N ) . Esta fuerza es l a ejercida por el peso del carro de l a grúa más l a tensión ejercida por el cable de l a grúa; por lo que tenemos que

N{t) = Mg + T{t)cos(ar{t))

Fuerza correspondiente a l a fricción de Coulomb, en newtons (N).

Masa de l a carga, en kilogramos (Kg).

Masa del carro de la grúa, en kilogramos (Kg). Longitud del cable de l a grúa, en metros (m).

Las fricciones, viscosas y de Coulomb, se modelan por medio de los términoszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Fjv(t)

y Ffc(t). E l término Fjv(t) sirve para modelar l a fuerza de fricción viscosa que ocurre

entre el carro y el riel por donde se desliza. Esta fuerza es directamente proporcional

a l a velocidad del carro de l a grúa ( ¿zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAM ( Í ) ) por l a fuerza normal (N(t)) y está dada

por: F/V(t) = fv N(t)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA XM{t), donde fv es una constante de proporcionalidad. E s t a

fricción se considera así debido a que experimentalmente se pudo comprobar que esta fricción aumentaba en forma directamente proporcional a l a velocidad del carro, pero además, había otro factor que influía de forma determinante siendo este factor l a fuerza normal ejercida por el carro contra el riel; es decir, a mayor fuerza entre el carro y el riel había mayor fricción. De los modelos matemáticos de l a grúa hechos en diferentes publicaciones solamente en [8] se toma en consideración un término parecido a éste, y a que en [8] consideran Ffv(t) = fv XM(t). C o n el término Fjc(t) se modela l a fricción de

Coulomb; esta fuerza no es mas que una fricción constante debida a l a fuerza n o r m a l ejercida por el peso del carro y l a tensión del cable. Esta conclusión se obtuvo en base a observaciones que se hicieron directamente en el prototipo y que posteriormente se comprobaron al hacer l a identificación. Matemáticamente este término está represen-tado por l a expresión: Ffc(t) = fc(t) N(t) donde fc(t) es una función que depende del

la velocidad del carro (¿M(¿))> de l a fuerza normal (N(t)) y de l a sumatoria de fuer-zas (YlFuerzas) aplicadas al carro de l a grúa, con excepción del término de fuerza de fricción de Coulomb. Experimentalmente se puede comprobar que al aplicar fuerza al carro de l a grúa, éste no se empieza a mover sino hasta que se alcanza cierto umbral de fuerza; siendo este umbral: CfcN(t), donde Cjc es una constante de proporcionalidad.

Con esto, el término fc(t) queda expresado por l a siguiente función:

E l objetivo ahora es obtener el modelo matemático del sistema conformado por el carro, el cable y la carga de la grúa. Para obtener las ecuaciones dinámicas se utiliza la Segunda Ley de Movimiento de Newton, es decir, se hace la sumatoria de fuerzas en cada masa; las sumas de fuerzas deben ser igual a las masas multiplicadas por sus

respectivas aceleraciones. Analizando primeramente la masa del carro de la grúazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (M),

como lo podemos ver en el esquema de la Figura 2.6, tenemos:

(2.24)

Para poder describir las friccioneszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Ffv(t) y Ffc(t) es necesario saber l a fuerza que

ejerce el carro sobre el riel. Esta fuerza es normal al carro y está descrita por:

(2.25)

Para modelar la fricción viscosa tenemos:

(2.26)

y ahora sustituyendo la Ecuación 2.25 en la Ecuación 2.26 queda l a fuerza de fricción viscosa desglosada:

(2.27)

L a fricción de Coulomb la modelamos como:

(2.28)

igualmente sustituyendo la Ecuación 2.25 en la Ecuación 2.28 tenemos a la fuerza de fricción de Coulomb desglosada:

(2.29)

U n a vez definidas las fricciones, podemos sustituirlas en la ecuación dinámica de la masa del carro, es decir, sustituyendo las Ecuaciones 2.27 y 2.29 en l a Ecuación 2.24:

E s t a ecuación representa la dinámica del carro de la grúa; no obstante, todavía queda por definir l a tensión (T(i)) en el cable de l a grúa. Para esto es necesario hacer el análisis de fuerzas en la masa de l a carga, pero antes se define l a posición de l a carga. Considerando el esquema de la Figura 2.6 tenemos que la coordenada en el eje X de la carga de l a grúa:

y l a coordenada sobre el eje Y :

(2.36) (2.32)

Haciendo ahora el análisis de fuerzas sobre l a masa de l a carga, en el eje X , tenemos:

(2.33) repitiendo el análisis en forma respectiva para el eje Y :

(2.34)

Para obtener l a ecuación del péndulo despejamos l a tensión del cablezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (T(t)) de las Ecuaciones 2.33 y 2.34 para luego igualarlas y llegar a:

(2.35)

E n esta ecuación todavía queda por conocer las aceleraciones ym( í ) y xm(t) por

lo que obtenemos l a doble derivada, con respecto al tiempo, de las Ecuaciones 2.31 y 2.32 y las sustituimos en l a Ecuación 2.35. Simplificando algebraicamente el resultado llegamos a l a ecuación dinámica que describe al cable y carga de l a grúa:

Observando l a Ecuación 2.30, que describe l a dinámica del carro, se puede ver que aparecen los términos T(t) sen(ar(í)) y T(t) cos(ar(í)). Si despejamos estos términos de

las Ecuaciones 2.33 y 2.34 y a su vez obtenemos l a doble derivada de las Ecuaciones 2.31 y 2.32 para sustituirlas en las ecuaciones anteriores:

(2.37)

y

T(t) cos(orr(í)) = mg + mLá2r{t) cos(ar(t)) + mLáT(t) sen(ar(í)) (2.38)

Estos términos los podemos sustituir en l a Ecuación 2.30, con lo cual, llegamos a la ecuación que describe l a dinámica del carro de l a grúa:

2.3.3 Modelación del Sistema Completo

E n seguida el objetivo es unir las ecuaciones del motor, del carro y de la carga de la grúa para obtener las ecuaciones del sistema completo. Primeramente podemos unir l a ecuación del motor y l a ecuación del carro de l a grúa. Partiendo de l a Ecuación 2.20, que describe l a dinámica del motor, y que a continuación se reproduce:

y observando el dibujo de la grúa en la Figura 2.1, podemos apreciar que el carro está acoplado al motor de c.d. por medio de una banda dentada, por lo tanto, podemos inferir que l a fuerza de carga (.Fcarga(í)) del motor en l a Ecuación 2.40 es igual a l a

fuerza aplicada al carro de l a grúazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (F(t)) en l a Ecuación 2.39:

por lo tanto podemos despejar l a fuerza de carga (Fcarga(t)) en l a Ecuación 2.40

y sustituirla en l a Ecuación 2.39 en lugar de F(t):

Desacoplando l a ecuación anterior, es decir, resolviendo el sistema anterior para las variables de aceleración, tenemos l a ecuación matricial que describe l a dinámica del sistema completo del prototipo a escala de la grúa de techo:

(2.40)

(2.41)

(2.43) Por último, hay que recordar que, con el fin de facilitar l a visualización de las varia-bles de ángulo; estas magnitudes se presentarán en las gráficas en grados sexagesimales (°) utilizando l a relación:

2.3.4 Modelación de las Fricciones de Coulomb

Finalmente queda por clarificar el funcionamiento de los términos que incluyen a l a fricción de Coulomb dentro del modelo matemático de l a grúa mostrado en l a Ecua-ción 2.43. E n esta ecuaEcua-ción están presentes tanto los términos de fricEcua-ción de Coulomb del motorzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (vf(t)) como los del carro de l a grúa ( /c( í ) ) - Aquí ya no es tan obvia l a forma

de tratar estos términos, sobre todo cuando l a velocidad del carro de l a grúa es cero. E n cambio, cuando l a velocidad del carro es diferente de cero podemos seguir aplicando las Ecuaciones 2.21 y 2.23 que se presentaron con anterioridad para explicar el fun-cionamiento de las fricciones de Coulomb. Estas ecuaciones y a no se pueden aplicar directamente cuando l a velocidad del carro es cero, y a que ahora al estar acoplado el motor con el carro de l a grúa por medio de una banda, estas dos fricciones están interac-tuando; de modo que para poder analizar el funcionamiento de los términos de fricción cuando l a velocidad del carro de l a grúa es cero, debemos hacer un replanteamiento a partir de l a Ecuación 2.24 que se reproduce a continuación:

(2.44)

Esta ecuación modela l a dinámica del carro de l a grúa. S i sustituimos las Ecua-ciones 2.26 y 2.28 en l a Ecuación 2.44 podemos clarificar los términos de fricción:

Considerando que se está haciendo un análisis para cuando la velocidad del carro de la grúa es cero, podemos simplificar la Ecuación 2.45:

(2.46) Si ahora recordamos l a Ecuación 2.20, que describe la dinámica del motor, y

despejamos l a fuerza de cargazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (Fcarga(t)) tenemos:

(2.47) De nuevo, como se ha considerado el caso cuando la velocidad del carro de la grúé es cero, podemos simplificar l a ecuación anterior:

(2.48)

FzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAca.r ga(t) en l a ecuación anterior es igual al término F(t) de l a Ecuación 2.46, ya

que el carro de l a grúa está acoplado al cabezal del motor de c.d. por medio de una banda dentada; por lo tanto podemos sustituir la Ecuación 2.48 en la Ecuación 2.46:

(2.49) Si se hace el siguiente reacomodo de términos:

(2.50) podemos ahora observar a las fuerzas aplicadas al carro, ubicadas en el lado iz-quierdo de l a ecuación y las fuerzas de fricción del lado derecho; por lo tanto, podemos considerar que la parte izquierda de la Ecuación 2.50 corresponde a l a sumatoria de fuerzas (TiFuerzas) presentada en la Ecuación 2.23 con lo que tenemos:

(2.51) y sustituyendo l a ecuación anterior en la Ecuación 2.50 llegamos a:

(2.52) Es importante recordar que esta ecuación solamente es válida cuando l a velocidad del carro de l a grúa es igual a cero. L a Ecuación 2.52 es muy importante porque nos permite comprender la forma en que se modelan las fricciones de Coulomb. Antes de continuar se recuerda el significado de los siguientes términos: Vu es el umbral de

voltaje a partir del cual el eje del motor empieza a girar y CjcN(t) es el umbral de

1. Si l a velocidad del carro es mayor que cero ( ¿ A Í ( ¿ ) > 0):

3. Si l a velocidad del carro es igual a cerozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (¿Af(í) = 0), hay que observar si l a suma de fuerzas es positiva o negativa:

(a) Si l a sumatoria de fuerzas es positiva o cerozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (LFuerzas > 0), hay que comprobar si esta suma es suficiente o no para vencer el umbral máximo de

la fuerza de fricción de Coulomb del motor:

i . Si la sumatoria de fuerzas es mayor que el umbral máximo de l a fuerza de fricción de Coulomb del motor (EFuerzas > el siguiente paso es comprobar si la sumatoria de fuerzas es suficiente para empezar a mover el carro:

A . Si la sumatoria de fuerza es mayor que la suma de las dos fuerzas de fricción (HFuerzas > ^ + CfcN(t)), tenemos:

B . Si la sumatoria de fuerza es mayor que el umbral máximo de l a fuerza de fricción de Coulomb del motor (EFuerzas < ^L + Cf

c N(t)), pero

no es suficiente para mover el carro de la grúa:

i i . Si l a sumatoria de fuerzas es menor que el umbral máximo de l a fuerza de fricción de Coulomb del motor (T,Fuerzas < ^):

(b) Si la sumatoria de fuerzas es negativa {^¡Fuerzas < 0), hay que comprobar si esta suma es suficiente o no para vencer el umbral negativo de l a fuerza de fricción de Coulomb del motor:

Si la sumatoria de fuerzas es menor que el umbral máximo de la fuerza

de fricción de Coulomb del motorzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (EFuerzas <zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA —7^), el siguiente paso es comprobar si la sumatoria de fuerzas es suficiente para empezar a

mover el carro:

A . Si l a sumatoria de fuerza es menor que la suma de las dos fuerzas de fricción (EFuerzas < — CfcN(t)), tenemos:

B . Si la sumatoria de fuerzas es menor que el umbral negativo de la fuerza de fricción de Coulomb del motor, pero no es suficiente para mover el carro de la grúa (EFuerzas > —^ — CfcN(t)):

2.4 Identificación del Sistema

U n a vez hecha l a modelación del sistema se procede a hacer l a identificación del pro-totipo a escala de l a grúa de techo. Por identificación del sistema se entiende que es l a estimación del valor de las constantes del modelo dinámico de l a grúa (Ecuación 2.43). Este modelo se desarrolló en la sección anterior. E n este modelo se presentan nueve constantes, algunas de las cuales son más fáciles de identificar que otras; por ejemplo, la masa de l a carga (m) se puede obtener directamente en una pesadora, en cambio, el coeficiente de fricción viscosa del carro (/„) requiere de u n método de medición indirec-to y por lo tanindirec-to más laborioso. E l proceso de identificación se dividió en dos etapas: primeramente se hizo una estimación aproximada del valor de cada constante y luego se i i . Si la sumatoria de fuerzas es mayor que el umbral negativo de la fuerza

de fricción de Coulomb del motor (EFuerzas > —7^):

empleó un proceso de optimización del modelo basado en un método de estimación por máxima verosimilitud. Para estimar en forma aproximada las constantes del modelo se emplearon varios métodos; desde l a medición directa de una magnitud física hasta la implementación de pruebas o experimentos con el fin de calcular el valor de alguna constante en forma indirecta; luego se hace una validación del modelo con el fin de verificar l a calidad de éste antes y después de haber sido optimizado. Para optimi-zar el modelo, se decidió utilioptimi-zar un método de estimación por máxima verosimilitud implementado en el módulo de identificación de sistemas del paquete computacional M a t r i x X [2]. Este método requiere de estimaciones iniciales, ya que si el método parte con valores iniciales de cero o aleatorios lo más seguro es que proporcione estimaciones equivocadas atribuidas a algún mínimo local; fue por esto que primeramente se hizo la etapa de l a estimación aproximada de las constantes. Finalmente se hace u n a va-lidación del modelo con el objeto se verificar l a calidad del modelo identificado y al mismo tiempo comparar la. calidad de éste con l a calidad del modelo antes de optimizar y así poder tener una conclusión acerca de la importancia de l a etapa de optimización.

2.4.1 Estimación Aproximada de las Constantes

A continuación se presenta l a estimación de cada una de las constantes presentes en el modelo matemático de l a grúa correspondiente a l a Ecuación 2.43:

Identificación de las Masas del Carro (M) y la Carga (m)

Estos son los parámetros más fáciles de estimar. Se pesaron ambas masas en una balanza de precisión y se obtuvieron las siguientes mediciones:

• Masa del carro de l a grúa:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA M = Q.371Kg

• Masa de l a carga de l a grúa: m = 0.56QKg

Aquí cabe precisar que l a masa del carro y a no puede cambiar; no así l a masa de l a carga que se alterará con el objetivo de probar l a robustez de los controladores que se diseñen, pero cuando esto se haga, se indicará el cambio y su magnitud.

Identificación del Voltaje de Fricción del M o t o r (u/(í))

Como se presenta en l a Ecuación 2.19, el voltaje de fricción (vf(t)) corresponde al torque de fricción del motor multiplicado por una constante. E l torque de fricción es una función que modela las fricciones de Coulomb dentro del motor. E l voltaje de fricción se describe en l a Ecuación 2.21. Esta función depende de un solo parámetro que es Vu. E l parámetro Vu es el umbral de voltaje aplicado al motor a partir del cual

siguiente experimento: aumentar gradualmente el voltaje aplicado al motor, partiendo de cero voltios, y registrando el valor de voltaje en el momento en que empieza a girar

el eje del motor. Este valor de voltaje corresponde azyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Vu. E l experimento se debe hacer

con el motor solo, es decir, no debe estar acoplado al carro de la grúa por medio de la banda. E l umbral de voltaje también se puede obtener disminuyendo gradualmente de voltaje aplicado al motor, partiendo de cero voltios, y registrar el negativo del valor de voltaje en el instante en que empieza a girar el eje del motor. Se hicieron los dos experimentos, aumentando y disminuyendo el voltaje, y se obtuvo el mismo resultado:

Se hizo el experimento de poner a oscilar el péndulo con una amplitud pequeña. Los resultados se muestran en la Figura 2.7. E n esta figura se puede observar que se indicó, por medio de dos líneas verticales en los cruces por cero, un periodo (T) completo de oscilación. E l primer cruce está en 0.6862 segundos y el segundo cruce está en 2.4357 segundos, por lo tanto T — 1.7494 segundos. Si ahora sustituimos este valor de T en la Ecuación 2.53 y despejamos el valor de la longitud del cable (L) tenemos:

• Longitud del cable de la grúa: L = 0.759 m

De modo que se comprueba l a primera medición y además se mejora l a estimación del parámetro.

Identificación de co y c\ Utilizando Respuesta al Escalón del M o t o r

P a r a identificar el valor de las constanteszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CQ y c\ se hace un experimento de respuesta al escalón. Primeramente se parte de la Ecuación 2.20 que describe la dinámica del

motor y que a continuación se reproduce:

(2.53)

(2.54)

Identificación de la Longitud del Cable de la Grúa

t(seg)

Figura 2.7: Oscilación de l a carga de la grúa.

E l experimento se hace con el motor solo, por lo tanto la fuerza de cargazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (Fcarga(t))

es igual a cero:

(2.55) L a prueba escalón consiste en aplicar un voltaje constante al motor y observar l a respuesta en velocidad que éste presenta. E l voltaje que se aplique debe provocar u n torque superior al de la fricción de Coulomb con el objeto de poder observar l a respuesta

del motor; por lo tanto consultando la definición dezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Vf(t) en la Ecuación 2.21 podemos inferir que el valor del voltaje de fricción durante la prueba escalón estará dado por:

(2.56)

Sustituyendo l a Ecuación 2.56 en l a Ecuación 2.55 y rearreglando los términos:

(2.57)

A l observar l a ecuación anterior se puede considerar a la resta de términos

como el voltaje aplicado al motor, por lo que podemos hacer el siguiente cambio de variable:

(2.58) de aquí si sustituimos l a Ecuación 2.58 en l a Ecuación 2.57:

(2.59) Si ahora aplicamos transformada de Laplace a la ecuación anterior:

reordenando los términos tenemos la siguiente función de transferencia:

XM(s) _(2.61)

tenemos ahora un sistema lineal de primer orden con ganancia:

y constante de tiempo:

(2.62)

(2.63) Por lo tanto si conocemos la ganancia y l a constante de tiempo del sistema po-demos conocer los valores de CQ y c\. Se procedió a hacer l a prueba de respuesta al escalón; las gráficas del voltaje de entrada y la velocidad de salida se presentan en la Figura 2.8.

Figura 2.8: Respuesta al escalón del motor de c.d.

De acuerdo a [21], la constante de tiempo de un sistema lineal de primer orden está dada por el tiempo que tarda la respuesta del sistema en alcanzar el 63.2% de su respuesta en estado estable. Si se observa l a Figura 2.8 en la gráfica de l a salida de velocidad se puede ver que la velocidad en estado estable es aproximadamente: 0.443 m / s . A esta velocidad en estado estable le llamaremos: ¿o- Luego se encuentra marcado el punto en que se llega al 63.2% de ¿0. Aquí, por medio de una proyección al

eje del tiempo, se puede observar que la constante de tiempo ( rm) es de 0.024 segundos.

U n a vez que conocemos los valores de l a constante de tiempo y de l a ganancia del sistema los podemos sustituir en las Ecuaciones 2.62 y 2.63 para luego despejar los valores dezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CQzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y c\.

• Constante del Modelo de l a Grúa: co = 0.2866 • Constante del Modelo de l a Grúa: c\ = 11.9413

Identificación de c2, fv y fc(t) Utilizando Respuesta al Escalón del Carro

Por último se identifican los términos c2, / „ y fc(t)- Estos términos se identifican en

forma simultánea debido a l a interrelación que existe entre ellos. Para poder estimar el valor de las constantes se plantean dos experimentos. E n ambos experimentos se emplea el carro de l a grúa acoplado al motor por medio de l a banda pero sin l a carga ni el cable de l a grúa; es decir, como se muestra en el esquema de l a Figura 2.9.

Figura 2.9: Configuración de l a grúa para identificar c2, fv y fc

(t)-E n el primer experimento se aplicará voltaje en forma gradual al motor de l a grúa, partiendo de cero, y se registrará el valor de voltaje en el momento en que se empieza a mover el carro. E n el segundo experimento se hará una prueba de respuesta de velocidad del carro al escalón de voltaje. A continuación se hace un análisis del sistema mostrado en l a Figura 2.9 con el fin de poder plantear l a estrategia de identificación de las constantes. Haciendo sumatoria de fuerzas igual a masa por aceleración en l a masa del carro tenemos:

(2.65) básicamente es una constante de voltaje igual a 6 voltios. L a ganancia del sistema se calcula dividiendo l a velocidad de salida en estado estable x0 entre l a magnitud del

escalón de voltaje, pero como se hizo un cambio de variable entonces tenemos:

en esta ecuación sabemos que la fuerza de cargazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (FcaTga(t)) es igual a la fuerza

aplicada al carro (F(t)) debido a que el carro está acoplado al cabezal del motor por medio de una banda dentada. Por lo tanto si sustituimos l a Ecuación 2.65 y las Ecua-ciones 2.26 y 2.28, que corresponden a los términos de fricción, en l a Ecuación 2.64:

(2.66)

Como en estos experimentos no está la carga de la grúa, el término N(t) no es variable y está dado por:

(2.67) Podemos simplificar los términos de fricción si vemos que en los dos experimentos se va a aplicar voltaje positivo y además como en el primer experimento se va a ver el punto en que empieza a moverse el carro y en el segundo experimento se va a aplicar un escalón de voltaje desde el inicio, entonces, consultando la definición de los términos

vf(t) y fc(t) e n las Ecuaciones 2.21 y 2.23 tenemos:

(2.68) (2.69)

A h o r a sustituyendo las Ecuaciones 2.67, 2.68 y 2.69 en la Ecuación 2.66 tenemos:

(2.70)

E l primer experimento consiste en ir aumentando el voltaje aplicado al motor de la grúa en forma gradual, partiendo de cero voltios, y registrar el valor de voltaje en el momento en que empieza a moverse el carro de la grúa; a este voltaje le llamaremos

Vc. Por lo tanto podemos considerar que en ese momento límite tanto la velocidad del

carrozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ( ¿ M( ¿ ) ) c o m o s u respectiva aceleración _{(X M ( Í) )} s o n cero, por lo que aplicando

estas consideraciones a la Ecuación 2.70 tenemos:

(2.71)

Despejando de l a anterior ecuación el términozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA C¡c y substituyéndole Vc en lugar

de v(t):

(2.72) Se llevó a cabo este experimento y se registró un voltaje de 1.6 voltios en el momento en que empezó a moverse el carro de l a grúa. De modo que VC = 1.6V.

voltaje constante al motor de la grúa y se registrará la respuesta transitoria de la velo-cidad del carro de la grúa (¿zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAA Í ( Í))- Observando la Ecuación 2.70 podemos considerar a toda l a parte derecha de l a ecuación como el voltaje aplicado al sistema haciendo el siguiente cambio de variable:

donde l a ganancia del sistema es:

(2.76)

(2.77)

y l a constante de tiempo está dada por:

(2.78)

E n l a Figura 2.10 podemos observar el resultado de la prueba escalón. E n la gráfica superior se puede ver que se aplicó un voltaje al motor de siete voltios y en la gráfica inferior se aprecia l a respuesta de l a velocidad del carro de la grúa.

A l igual que en la estimación dezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CQ y c\ podemos estimar el valor de l a constante de tiempo del sistema si calculamos el tiempo que tarda l a respuesta de velocidad en alcanzar el 63.2% de la respuesta en estado estable. E n la Figura 2.10 podemos ver que la respuesta de velocidad en estado estable es de 0.375 m/s; a este valor le llamaremos ¿o- E l 63.2% corresponde a 0.2371 m/s. L a constante de tiempo está señalada por medio de l a proyección sobre el eje del tiempo del punto en que l a velocidad del carro alcanza el 63.2% de l a respuesta en estado estable y es igual a 0.041 segundos. L a ganancia del sistema está dada por l a respuesta de velocidad en estado estable (¿o) entre l a magnitud del escalón de voltaje de entrada; pero como se hizo un cambio de variable en el voltaje aplicado al motor tenemos:

(2.73) Sustituyendo l a Ecuación 2.73 en l a Ecuación 2.70 tenemos:

(2.74) Aplicando transformada de Laplace a la ecuación anterior:

(2.75) y rearreglando los términos llegamos a l a siguiente función de transferencia lineal de primer orden:

Figura 2.10: Respuesta al escalón de voltaje del carro de l a grúa.

A h o r a si sustituimos l a Ecuación 2.77 en l a Ecuación 2.78 y despejamoszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Gc:

(2.80)

Sustituyendo l a Ecuación 2.72 en l a Ecuación 2.79 y luego igualándola con l a Ecuación 2.80 tenemos:

Despejando c2 de l a ecuación anterior tenemos:

(2.81)

(2.82)

Como podemos ver en l a ecuación anterior todas las constantes de l a parte derecha son conocidas. Por lo tanto si sustituimos todos estos valores en l a Ecuación 2.82:

(2.83) U n a vez que se calculó el valor de c2 podemos calcular el valor de C /c. Esto se

hace si sustituimos el valor de c2 y demás constantes conocidas en l a Ecuación 2.72:

Finalmente si despejamos / „ de l a Ecuación 2.78 tenemos:

y de aquí podemos calcular el valor de / „ sustituyendo el valor de las demás constantes conocidas con lo que llegamos a:

Por último se presenta un resumen de la estimación de la magnitud de todas las constantes del modelo matemático del sistema:

2.4.2 Obtención de Datos para Validar y Optimizar los M o

-delos

Con el fin de poder avanzar en el análisis de la identificación del sistema es necesario obtener datos experimentales que contengan información, de ser posible, de todas las dinámicas o modos del sistema. E n los textos de identificación de sistemas se sugieren algunas opciones. U n a alternativa muy común es hacer pruebas S B S A1 (Secuencia

B i n a r i a Seudo Aleatoria). Estas pruebas consisten en aplicar una secuencia de dos valores a l a entrada del sistema en forma alternada y con tiempos de duración aleatorios; no obstante, en [20] se indica que cuando se desea identificar un sistema no lineal es recomendable utilizar señales de entrada que tengan más de dos niveles de magnitud; y de alguna manera esto es lógico ya que al menos en nuestro caso, si deseamos tener datos que reflejen el comportamiento de las fricciones de Coulomb, debemos aplicar toda una gama de voltajes para visualizar los umbrales de fricción. Tomando en cuenta este aspecto se diseñó una prueba parecida a la S B S A , pero en lugar de hacer el cambio de u n voltaje al otro en forma inmediata, se decidió "barrer", durante un tiempo aleatorio, el rango de voltaje entre los dos valores previamente escogidos. A estas pruebas les

llamaremos S C S A : Secuencia Continua Seudo Aleatoria. E n estas pruebas se tomaron m i l puntos de muestra por cada variable de entrada o salida; es decir, considerando que el tiempo de muestreo es de 20 milisegundos, l a duración de cada prueba fue de 20 segundos. Debido a las limitantes de espacio sobre el riel de l a grúa, hubo necesidad de poner l a restricción de que el carro no se alejara demasiado del centro de l a grúa. Los tiempos aleatorios asignados a cada nivel de voltaje, aplicado al motor de l a grúa, se eligieron dentro de u n rango en cual pudieran excitar las principales dinámicas del prototipo de l a grúa.

Como en toda medición física, los datos obtenidos con las pruebas S C S A presentan diversas características; algunas de éstas no deseables. Por ejemplo, los datos de velo-cidad del carro de l a grúa y l a velovelo-cidad del ángulo están contaminados con ruido. E n el caso de l a velocidad del ángulo este ruido es bastante grande. Para poder hacer una identificación del sistema de mayor calidad, se filtraron los datos de salida del sistema. Este proceso se hizo en forma digital por medio de un filtro paso-bajo tipo Butterworth con frecuencia de corte de 10Hz y desfasamiento cero para u n periodo de muestreo de 20ms. L a función de transferencia del filtro es l a siguiente:

E n l a Figura 2.11 se puede apreciar una de las pruebas S C S A que se hicieron con el prototipo a escala de l a grúa de techo. E n l a gráfica superior tenemos el voltaje

de entrada al sistemazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (v(t)), luego está l a posición del carrozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (XM(Í))zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAI en seguida l a

velocidad del carrozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ( ¿ A Í ( Í) ) , abajo se encuentra el ángulo de cable del la grúa (ce(t)) y por último l a velocidad del ángulo del cable (á(í)).

Para poder optimizar y validar los modelos es necesario contar con más de una prueba, de modo que en total se hicieron cuatro pruebas, una para optimizar y las otras tres para validar. L a prueba para optimizar el modelo se hizo con voltajes en un rango entre -6.5 y 6.5 voltios, a esta prueba le llamaremos P S C S A 2 ; de hecho esta es l a prueba que aparece en l a gráfica de l a Figura 2.11. Las pruebas para validar se hicieron con rangos de voltaje de entrada de: -5.5 a 5.5V, -6.5 a 6.5V y -7.5 a 7.5V, mismas que llamaremos: P S C S A l v , P S C S A 2 v y P S C S A 3 v respectivamente. Esto se hizo con el objetivo de verificar l a calidad de l a identificación no solamente con una prueba de características similares a l a prueba con que se hizo l a optimización, sino de observar las posibles alteraciones que pudiera presentar l a respuesta del modelo ante los cambios en l a magnitud del voltaje de entrada al motor de l a grúa.

2.4.3 Validación del Modelo Identificado

Figura 2.11: Ejemplo de prueba S C S A .

calidad del modelo antes y después de haber sido optimizado. Para validar el modelo se harán dos análisis: uno cualitativo y el otro cuantitativo. E n el análisis cualitativo se comparará en forma gráfica la respuesta presentada por el prototipo de la grúa en l a prueba P S C S A 2 con l a respuesta presentada por el modelo del sistema ante el mismo perfil de voltaje de entrada y en l a cuantitativa se obtendrá una medida de l a diferencia en porcentaje que existe entre l a salida del prototipo y la salida del modelo para u n mismo perfil de voltaje de entrada.

Comparación Cualitativa Entre el Modelo y el Sistema Real.

Figura 2.12: Empalme de l a prueba P S C S A 2 ( ) con l a respuesta del modelo ( ).

notablemente; esto se puede explicar de l a siguiente manera: las respuestas presentan l a m i s m a forma porque se cuenta con una estructura del modelo m u y buena, es decir, el modelo de l a grúa presentado en l a Ecuación 2.43 refleja fielmente las dinámicas del sistema real; por otra parte las ganancias no concuerdan y esto se debe a que l a identificación de las constantes se hizo con los componentes de l a grúa separados, de modo que no se pudo observar e identificar l a interacción de estos componentes en l a constitución del sistema completo. Por lo tanto sabemos que contamos con un buen modelo matemático y lo único que falta es mejorar l a identificación de las constantes del sistema.

Comparación Cuantitativa Entre el M o d e l o y el Sistema R e a l .

Para facilitar l a comparación se utiliza una medición del error en porcentaje como se define en la siguiente ecuación:

donde j/¿ es el vector de salidas del sistema real en el tiempozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA iT (T es el tiempo de muestreo del sistema igual a 20 ms.) y y, es el vector de salidas del modelo del sistema

en el tiempo iT. Podemos ver que este criterio nos proporciona un error cuadrático medio. Esta medida de error se aplicó a las pruebas para validar el modelo ( P S C S A l v , P S C S A 2 v y P S C S A 3 v ) y a la prueba con que se optimizará el modelo ( P S C S A 2 ) . Los resultados se muestran en l a Tabla 2.1.

Tabla 2.1: Errores obtenidos con el modelo matemático no optimizado.

E n esta tabla podemos observar los errores que se tuvieron en cada salida (xjif (í), zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA xM(t), a(t) y á(t)) de cada prueba ( P S C S A l v , P S C S A 2 , P S C S A 2 v y P S C S A 3 v ) .

Luego se tiene un promedio de errores por columna, es decir, con respecto a cada salida para todas las pruebas, también se tiene un promedio de error por renglón indicando el error por prueba y por último se tiene el promedio de todos los errores en l a esquina inferior derecha. E n general vemos que los errores están entre el 35 y el 45% aunque es

interesante ver que para l a variable de salida de posición del carrozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ( X M ( Í ) ) los errores

son mayores con respecto a las otras salidas, incluso en la prueba P S C S A l v se tiene un error de 59.29%. O t r a observación interesante es que el error disminuye conforme se aumenta el voltaje de entrada en l a prueba, esto se puede ver en l a última columna de los errores por prueba, ya que para la prueba P S C S A l v el voltaje de entrada estuvo entre -5.5 y 5.5 voltios, para las pruebas P S C S A 2 y P S C S A 2 v el voltaje de entrada estuvo entre -6.5 y 6.5 voltios y para la prueba P S C S A 3 v el voltaje de entrada estuvo entre -7.5 y 7.5 voltios. Finalmente, viendo la Tabla 2.1, podemos concluir que tenemos un error total para el modelo matemático no optimizado de 39.1924%.