PROBLEMARIO
Ejercicios de Dualidad y Análisis de Sensibilidad
1. Radioco fabrica dos tipos de radios. El único recurso escaso que se necesita para producir los radios es la mano de obra. Actualmente, la compañía tiene dos trabajadores. El trabajador 1 está dispuesto a trabajar hasta 40 horas a la semana y se le paga BsF 5 la hora. El trabajador 2 está dispuesto a trabajar hasta 50 horas a la semana y se le paga BsF 6 la hora. La Tabla 1 muestra los costos de la materia prima, los recursos de mano obra que requiere cada radio y sus respectivos precios de venta. La empresa desea determinar como organizar la producción de radios para maximizar sus ganancias.
Tabla 1
RADIO 1 RADIO 2
Precio (BsF) 25 22
Costo materia prima (BsF) 5 4
Horas trabajador 1 1 2
Horas trabajador 2 2 1
Con el problema formulado y resuelto con WINQSB conteste las siguientes preguntas del análisis de sensibilidad:
a. ¿Para qué valores del precio del radio 1 la base actual permanece óptima?
b. ¿Para qué valores del precio del radio 2 la base actual permanece óptima?
c. Si el trabajador 1 estuviera dispuesto a trabajar solamente 30 horas a la semana. ¿Qué pasaría con la solución óptima del problema?
d. Si el trabajador 2 estuviera dispuesto a trabajar hasta 60 horas a la semana. ¿Qué pasaría con la solución óptima del problema?
e. Si el trabajador 1 estuviera dispuesto a trabajar horas adicionales. ¿Cuál sería la máxima cantidad que estaría X1 = cantidad de radios tipo 1
X2 = cantidad de radios tipo 2
Max Z(X) = 3 X1 + 2 X2
SA
X1 + 2X2 ≤ 40 2X1 + X2 ≤ 50
2. La empresa PETROLEO MUNDIAL C.A. puede comprar dos tipos de petróleo crudo: crudo ligero a un costo de $120 por barril, y petróleo pesado a $ 100 por barril. Cada barril de petróleo crudo ya refinado, produce tres productos: gasolina, turbosina y querosene. La Tabla 2 indica las cantidades en barriles de gasolina, turbosina y querosene producidos por barril de cada tipo de petróleo crudo:
Tabla 2
Tipo de Crudo GASOLINA TURBOSINA QUEROSENE
Crudo Ligero 0.45 0.18 0.3
Crudo Pesado 0.35 0.36 0.2
La refinería se ha comprometido a entregar 1.260.000 barriles de gasolina, 900.000 barriles de turbosina y 300.000 barriles de querosene. Como gerente de producción, usted formuló un modelo lineal para determinar la cantidad de cada tipo de petróleo crudo a comprar para minimizar el costo total y al mismo tiempo satisfacer la demanda apropiada de cada producto refinado. Con la formulación y resolución mediante WINQSB, que se muestran a continuación, conteste las siguientes preguntas.
a. ¿Cuál es el plan óptimo de compra y el costo total del petróleo crudo comprado? X1 = barriles (en miles) de crudo ligero
X2 = barriles (en miles) de crudo pesado
Min Z(X) = 120000 X1 + 100000 X2
SA
0.45X1 + 0.35X2 ≥ 1260 0.18X1 + 0.36X2 ≥ 900 0.30X1 + 0.20X2 ≥ 300
PROBLEMARIO
3. Un fabricante produce tres componentes para venderlos a compañías de refrigeración. Los componentes se procesan en dos máquinas: conformadora y ensambladora. Los tiempos (en minutos) requeridos por cada componente en cada máquina se indican en la Tabla 3:
Tabla 3
Máquina
Componente Conformadora Ensambladora
1 6 4
2 3 5
3 4 2
La conformadora está disponible por 120 horas y la ensambladora está disponible por 110 horas. No se pueden vender más de 200 unidades del componente 3, pero se pueden vender hasta 1000 unidades de los otros dos componentes. De hecho la fábrica tiene órdenes de venta por cumplir del componente 1 de 600 unidades. Las utilidades por la venta de cada componente 1, 2 y 3 son, respectivamente BsF8, BsF6 y BsF9. Con el modelo lineal formulado para este problema y resuelto con WINQSB, conteste las siguientes preguntas:
X1 = cantidad de componentes 1 X2 = cantidad de componentes 2 X3 = cantidad de componentes 3
Max Z(X) = 8X1 + 6X2 + 9X3
SA
6X1 + 3X2 + 4X3 ≤ 7200 4X1 + 5X2 + 2X3 ≤ 6600 X3 ≤ 200 X1 + X2 ≤ 1000 X1 ≥ 600
a. ¿Cuánto debe ser la utilidad del componente 2 para que se fabrique?
b. ¿Qué sucede si la ensambladora sólo está disponible por 90 horas?
c. Si se pudieran conseguir más horas de la máquina ensambladora, ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar el fabricante?
d. ¿Qué sucede si se incrementa el compromiso de vender unidades del componente 1 a 800 unidades? ¿Y si se incrementa a 1200 unidades?
e. Si se pudieran vender más unidades del componente 3 reduciendo su precio en BsF4, ¿Valdría la pena hacerlo?
4. Los laboratorios PHARMA pueden manufacturar su más reciente producto bajo cualquiera de tres procesos distintos:
• El proceso 1 cuesta BsF 14 por activación, requiere 3 toneladas de materia prima A, 1 tonelada de materia prima B y produce 2 toneladas del producto.
• El segundo proceso cuesta BsF 30 por activación, requiere 2 toneladas de materia prima A, 7 toneladas de materia prima B y produce 5 toneladas del producto.
• El tercer proceso cuesta BsF 11 por activación, requiere 9 toneladas de materia prima A y 2 toneladas de materia prima B y produce 1 tonelada del producto.
Laboratorios PHARMA quiere encontrar la forma menos costosa de producir por lo menos 50 toneladas del nuevo producto, dado que dispone de 75 toneladas de la materia prima A y 60 toneladas de la materia prima B.
Con el problema formulado y resuelto con WINQSB como se indica a continuación, conteste las siguientes preguntas:
a. Defina el problema dual asociado e interprete su significado y unidad de medida, esto incluye: X1 = # activaciones del proceso 1
X2 = # activaciones del proceso 2 X3 = # activaciones del proceso 3
Max Z(X) = 14X1 + 30 X2 + 11 X3
SA
3X1 + 2X2 + 9X3 ≤ 75 X1 + 7X2 + 2X3 ≤ 60 2X1 + 5X2 + X3 ≥ 50
PROBLEMARIO
e. ¿Cuánto más económico o menos costoso tendrá que hacerse el proceso 3 para que sea conveniente su activación o puesta en marcha?
f. ¿Cuánto aumentaría el costo de producción de las 50 toneladas de producto si el costo de activar el proceso 2 aumenta a BsF 32?
g. ¿Cuánto disminuiría el costo de producción si el costo de activar el proceso 1 disminuye a BsF 13?
h. Suponga que el departamento de ingeniería está programando un nuevo proceso que produce 6 toneladas del producto utilizando 3 toneladas de cada una de las materias primas. ¿Cuál debería ser el costo de este nuevo proceso para que sea atractiva su utilización o activación?
i. Suponga que los tres procesos actualmente utilizan 1, 3 y 2 toneladas por lote de una tercera materia prima, pero no se sabe cuánta materia prima se tiene disponible. Determine el monto mínimo requerido de esta materia prima para que la solución óptima obtenida en la tabla no cambie.
5. HiDec produce dos modelos de artefactos electrónicos que utilizan resistores, capacitores y chips. La Tabla 5 resume los datos de la situación. Se formuló el modelo lineal para que HiDec maximice sus ganancias y se resolvió mediante WINQSB. Conteste las siguientes preguntas:
Tabla 5
Recursos por unidad Tipo de Recurso Modelo 1
(unidades)
Modelo 2 (unidades)
Disponibilidad Máxima (unidades)
Resistor 2 3 1200
Capacitor 2 1 1000
Chips 0 4 800
a. Explique la solución óptima obtenida
b. En términos de la utilidad óptima, determine el valor de un resistor, de un capacitor y de un chip.
c. Determine el rango de aplicabilidad de los precios duales para cada recurso.
d. Si el número disponible de resistores se incrementa a 1300 unidades, ¿Qué pasaría con la solución óptima?
e. Si el número disponible de chips se reduce a 350 unidades, ¿Qué pasaría con la solución óptima?
f. Un nuevo contratista ofrece venderle a HiDec resistores adicionales a BsF 0,40 cada uno, pero sólo si HiDec compra por lo menos 500 unidades. ¿Debe HiDec aceptar la oferta?
g. Encuentre el rango de utilidad por unidad para el modelo 1 que mantendrá óptima la solución actual.
h. Encuentre el rango de utilidad por unidad para el modelo 2 que mantendrá óptima la solución actual. X1 = cantidad de unidades del modelo 1
X2 = cantidad de unidades del modelo 2
Max Z(X) = 3 X1 + 4 X2
SA
2X1 + 3X2 ≤ 1200 2X1 + X2 ≤ 1000 4X2 ≤ 800
PROBLEMARIO
Tabla 4
PRODUCTO 1 PRODUCTO 2 PRODUCTO 3
Mano de obra por unidad 3 h 4 h 6 h
Materia prima por unidad 2 unid. 2 unid. 5 unid.
Utilidad por unidad (BsF) 6 8 13
Conteste las siguientes preguntas:
a. ¿Cuál es la máxima cantidad que estaría dispuesta a pagar la compañía por otra unidad de materia prima?
b. ¿Cuál es la máxima cantidad que estaría dispuesta a pagar la compañía por otra hora de trabajo?
c. Si se pueden comprar 100 horas de mano de obra. ¿Cuál sería la utilidad de la compañía?
d. Encuentre una nueva solución óptima si el producto 3 se vende a BsF 15 por unidad
e. ¿Cuál tendría que ser el precio de venta del producto 1 para que la compañía lo fabricara?
f. ¿Qué sucede si sólo se pueden comprar 70 horas de mano de obra?
g. ¿Cuál sería la utilidad de la compañía, si sus clientes le exigen la fabricación de por lo menos 10 unidades del producto 2?
h. Si la compañía decide fabricar una producción combinada de al menos 15 unidades de los productos 2 y 3, ¿Cuál sería la nueva utilidad de la empresa?
X1 = cantidad de productos tipo 1 X2 = cantidad de productos tipo 2 X3 = cantidad de productos tipo 3
MO = cantidad de horas de mano de obra a pagar
Max Z(X) = 6X1 + 8X2 + 13X3 – MO SA
MO ≤ 90
3X1 + 4X2 + 6X3 – MO ≤ 0 2X1 + 2X2 + 5X3 ≤ 60
7. La Federación de Deportes Universitarios está elaborando planes para distribuir entradas para los próximos campeonatos de las ligas de béisbol universitario. Los 10.000 puestos disponibles deberán ser distribuidos entre los medios de comunicación, las universidades, los institutos competidores y el público general. Los medios de comunicación deberán ser admitidos gratis, sin embargo, la Federación de Deportes Universitarios recibirá BsF45 por cada entrada de las universidades y BsF100 por cada entrada del público general.
Al menos 500 entradas deben reservarse para los medios de comunicación y al menos la mitad de las entradas destinadas al público general deberán apartarse para las universidades. Con el problema fue formulado y resuelto en WINQSB como se muestra a continuación, conteste las siguientes preguntas:
a. Explique el significado de la formulación de este problema.
b. Interprete los resultados obtenidos, identificando los recursos, variables, actividades, decisiones, objetivo.
c. Formule el problema dual e interprete el significado del objetivo, de cada variable de decisión y cada restricción X1 = entradas asignadas a medios de comunicación
X2 = entradas asignadas a universidades/institutos participantes X3 = entradas asignadas público general
Max Z(X) = 45 X2 + 100 X3
SA
X1 + X2 + X3 = 10000 X1 ≥ 500
2X2 – X3 ≥ 0
PROBLEMARIO
h. El entrenador de uno de los equipos quiere restringir los asientos destinados a los medios de comunicación a 20% de aquellos destinados a las universidades. ¿Cambiaría esta política la solución óptima? ¿Si la restricción fuera del 10%?
