CÁLCULO DE LÍMITES EJERCICIO 1 : Da una definición para estas expresiones y represéntalas gráficamente: a)

TEMA 8 – LIMITES

CÁLCULO DE LÍMITES

EJERCICIO 1 : Da una definición para estas expresiones y represéntalas gráficamente:

a) 

 

 _{x 1}

x 3

2 2 1 x

lím b) 6

3 x

9 x2

3 x

 

 

lím c) 2

1 x

2 x 2

2 2 x

 

 

lím

d)

 

 

 x f

2 x

lím e) 5

x 2 x

1 x 5

2 2 x

 

   lím

Solución:

a) Cuando x se aproxima a “1”, la función se hace muy grande

b) Cuando x se aproxima a “3”, la función se aproxima a “6”

c) Cuando x toma valores muy grandes negativos la función se aproxima a 2.

d) Cuando x se aproxima a 2, con valores menores que 2, la función toma valores muy grandes negativos.

EJERCICIO 2 : Calcula:



e x 1



a) x 2

x

   

lím

2 4

x _x

x 3 x b)

log

lím 



 

 

 

   

1 x x 3

c) 2 9

x

lím

1 x

e d)

x xlím 

x 2 x 3 e)

2 xlím log

 

 x ₂x

1 x

f) 



lím





2 x x

x 2

g) 

 

lím

 

x 1 x h)

2 x

 

 ln lím



x x



i) 3

x

log

lím 



 _{x 1}

3 j)

2 x xlím _

Solución:



 







 1

a) _{lím e}x _x2

x

Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.

   



  

 2

4 2

4

3 3

b)

x log

x x lím x

log x x lím

x x

Porque una potencia es un infinito de orden superior a un logaritmo.

    

 

  

   

   

 

 

  



2 9

x 9

2

x

x 1

x x 3

c) lím lím

0 0 1 x e 1

x e )

d

x

x x

x

      



   



lím lím

   

 x

2 x 3 e)

2

x log

lím

Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logartimos.

    



   

 x x x

x ₂

1 x

2 1 x

f) lím lím







 



2 x

x

x 2 g) lím

Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.

 





₀

x 1 x x

1 x h)

2

x 2

x

 

 



  



ln lím ln

lím

Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.







 



x x

i) 3

x

log lím

Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.

0 0

1 x

3

1 x

3 j)

2 x

x 2

x

x _  _  

   



EJERCICIO 3 : Halla los límites:         

 5x 2x 3x

a) 2 x lím x 2 x 1 x 3 x b) 6 2 x _     lím 1 x 2 1 x 2 3 c) 4 4 x _     lím             

 _{x 1}

x 2 x 1 x d) 2 3 2 xlím 1 x 3 x 5 2 x 3 e) 2

x _{ }

 



lím _

       

 x 3x 2x

f) 2 x lím _        

 3x 1 2x

g) 2 x lím 2 x 1 x 2 h) 4 3 5 x _    lím            

 x 1

x 1 x x 3 i) 2 3 2 x lím 1 x 3 3 x 2 j) 2 x _    lím Solución:          _{ }       _{ }      _{ }   

 _{x x x}

x x x x x x lím x x x lím x x 3 2 5 3 2 5 3 2 5 3 2 5 a) 2 2 2 2                 x x x x x lím x x x x x x lím x x 3 2 5 2 4 3 2 5 9 2 5 2 2 2 2 2 0 2 1 3 2 1 3 b) 6 2 6 2             x x x x lím x x x x lím x x 2 2 2 1 x 2 1 x 2 3 1 x 2 1 x 2 3 c) 4 4 x 4 4 x                lím lím                                

 _{x x 2x 2}

x 2 x 1 x ) 1 x ( ) 2 x ( ) 2 x ( x ) 1 x ( ) 1 x ( 1 x x 2 x 1 x d) 2 3 3 4 4 x 2 3 2 2 x 2 3 2 x lím lím lím 2 2 2 1 2 2 3 3         

 _{x x x}

x lím x 5 5 3 5 3 1 x 3 x 5 2 x 3 e) 2

x _{ }  

   lím                                          

 _{x 3x 2x}

x 2 x 3 x x 2 x 3 x x 2 x 3 x x 2 x 3 x f) 2 2 2 x 2 x 2 x lím lím lím                 x x x x x lím x x x x x x lím x x 2 3 3 3 2 3 4 3 2 2 2 2 2                                      

 _{3x 1 2x}

x 4 1 x 3 x 2 1 x 3 x 2 1 x 3 x 2 1 x 3 x 2 1 x 3 g) 2 2 2 x 2 2 2 x 2 x lím lím lím          x x x lím x 2 1 3 1 2 2 0 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 h) 4 3 5 x 4 3 5 x            lím lím                                    

 _{x x x 1}

EJERCICIO 4 : Calcula:

a) 3

2 3

2 3 1

x _{3x 8x 7x 2} 1 x 3 x 2       lím b) 1 1 x 2 4 x 2 0

x  

   lím c) 1 x x x 2 x x 3 2 3 2 1

x _{  }

  

 lím

d) _

        

 x 3

1 x 9 x x 2 2 3 x

lím e)

4 x 3 x 10 x x 2 2 3 2 2

x  

   lím

Solución:

a)



 





 



3 3 1 x 3 2 2 1 x 3 2 3 2 3 1 x 3 2 x 3 1 x 2 1 x 2 x 3 1 x 1 x 2 2 x 7 x 8 x 3 1 x 3 x 2                  lím lím lím

b) 

                           

 (x 1 1) ( 2x 4 2)

) 1 1 x ( ) 4 4 x 2 ( ) 2 4 x 2 ( ) 1 1 x ( ) 1 1 x ( ) 1 1 x ( ) 2 4 x 2 ( ) 2 4 x 2 ( 1 1 x 2 4 x 2 0 x 0 x 0 x lím lím lím 1 4 4 2 4 x 2 ) 1 1 x ( 2 ) 2 4 x 2 ( x ) 1 1 x ( x 2 0 x 0 x               lím lím

c)









 









(0)

5 1 x 1 x 2 x 3 1 x 1 x 2 x 3 1 x 1 x x x 2 x x 3 1 x 2 1 x 2 3 2 1 x                       lím lím lím

Hallamos los límites laterales:

















           

 x 1 x 1

2 x 3 ; 1 x 1 x 2 x 3 1 x 1 x lím

lím  No existe

d)



 





 









 







                      

 x 3 x 3

3 x 4 x x 2 3 x 3 x 3 x 1 x x 2 3 x 1 x 9 x x 2 2 3 x 3 x 2 3

xlím lím lím



 



(0)

18 3 x 3 x 3 x 2 x2 3 x          lím

Hallamos los límites laterales:

















             

 x 3 x 3

3 x 2 x ; 3 x 3 x 3 x 2 x 2 3 x 2 3 x lím

lím  No existe

e)



















(0)

9 2 x 1 x 5 x 2 2 x 1 x 2 x 5 x 2 4 x 3 x 10 x x 2 2 x 2 2 x 2 3 2 2 x                  lím lím lím

Hallamos los límites laterales:

















         

 x 1 x 2

5 x 2 ; 2 x 1 x 5 x 2 2 x 2 x lím

lím  No existe

EJERCICIO 5 : Calcula los límites:

a) x 1

x 3 2

1

x x x 6 4 x 2             

lím b) x 2

x 2

2

x x 2x 4 2 x 3             

lím c) x 3

x 2 2

3

x 4x 4 1 x x 2              lím

d) x

3 2

0

x 5x 1

1 x 3 x            

lím e) x 1

1 2

1

x x 1

3 x 2 x              lím Solución:

a) _    

                                          

 _{(x x 6)(x 1)}

) x 3 ( ) 2 x 3 x ( 1 x x 3 · 6 x x 6 x x 4 x 2 1 x x 3 · 1 6 x x 4 x 2 1 x x 3 2 1 x 2 2 1 x 2 2 1 x 2 1 x e e e 6 x x 4 x

2 lím lím lím

lím 2 1 6 3 6 x x ) 2 x ( x 3 ) 1 x ( ) 6 x x ( ) 1 x ( ) 2 x ( x 3 e e e

ex 1 2 x 1 2

                lím lím

b) _    

                                          

 _{(x 2x 4)(x 2)}

x ) 6 x 5 x ( 2 x x · 4 x 2 x 4 x 2 x 2 x 3 2 x x · 1 4 x 2 x 2 x 3 2 x x 2 2 x 2 2 2 x 2 2 2 x 2 2 x e e e 4 x 2 x 2 x

3 lím lím lím

lím 2 1 4 2 ) 4 x 2 x ( ) 3 x ( x ) 2 x ( ) 4 x 2 x ( ) 2 x ( ) 3 x ( x e e e

ex 2 2  x 2 2  

c)                _{ }                               3 x x 2 · 4 x 4 3 x 5 x 2 3 x x 2 · 4 x 4 4 x 4 1 x x 2 3 x x 2 · 1 4 x 4 1 x x 2 3 x x 2 2 3 x 2 3 x 2 3 x 2 3 x e e e 4 x 4 1 x x

2 lím lím lím

lím

      

  

  8

21 16 42 4 x 4 x 2 1 x 2 3 x 4 x 4 x 2 3 x 1 x 2 e e e

ex 3  x 3  

         lím lím d)    _                                            

 _{x5x 1}

8 x x 3 x 3 · 1 x 5 x 8 x x 3 · 1 x 5 1 x 5 1 x 3 x x 3 · 1 1 x 5 1 x 3 x x 3 2 0 x 0 x 2 0 x 2 0 x 2 0 x e e e e 1 x 5 1 x 3

x lím lím lím lím

lím   24 1 x 5 8 x 3 e

ex 0 _ 



  lím

e)    

           _  _ _                          1 x 1 · 1 x 2 x 3 x 1 x 1 · 1 x 1 x 3 x 2 x 1 x 1 · 1 1 x 3 x 2 x 1 x 1 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x e e e 1 x 3 x 2

x lím lím lím

lím

   

    2

1 1 x 2 x 1 x · 1 x 1 x · 2 x e e

ex 1 x 1

        

  lím

lím

EJERCICIO 6 : Calcula estos límites:

2 x x 2x 1

x 3 2 a)            lím 1 x 2 x 2 5 x 2 x 2 1 b)           lím 3 x 2 x 4 5x

2 x 5 c)          lím 1 x x 2 5 x 3 2 x 4 d)           lím 3 x 2 x x 1 2 e)          lím 2 1 x 2 2 x _{2 3x}

x 3 f)             lím x 2 2 2

x _{x 2}

1 x g)             lím x 2 2 x _{3x 9x}

7 x 4 h)             lím 2 x x 3x 2

1 x 2 i)           lím 1 x x 3 2x

2 x 2 j)           lím Solución:                                  ₂ 3 1 2 3 2 1 2 3 2

a) 2 2

x x x x _x x lím x x lím     0 5 2 2 1

b) 2 5

4 8 1 2 · 5 2 5 2 2 1 1 2 · 1 5 2 2 1 1

2 2 _{2 2} 2

                                             

 _{e e e}

e x x lím x x lím x x x x lím x x x lím x x x x x 5 4 15 12 x 15 12 x 12 3 x 2 · x 5 4 x 5 4 2 x 5 3 x 2 · 1 x 5 4 2 x 5 3 x 2

x 4 5x e e e e e

2 x 5

c) x x x

                                    

 lím lím lím

lím                                    3 4 5 x 3 2 x 4 5 x 3 2 x 4 d) 1 x x 1 x x 2 2 lím lím 0 2 x 1 2 x 1 2 e) 3 x 2 x 3 x 2

x   

                     lím lím 1 e e e e x 3 2 x 3

f) 4 6x 0

2 x 2 2 1 x · x 3 2 x 3 2 x 3 2 1 x · 1 x 3 2 x 3 2 1 x 2 2 x 2 x 2 2 2 x 2 2 x                                                        

 lím lím

lím lím 1 e e e e 2 x 1 x

g) x 2 0

x 6 x 2 · 2 x 2 x 1 x x 2 · 1 2 x 1 x x 2 2 2 x 2 x 2 2 2 x 2 2 x                _{ }                        

 lím lím

lím lím 0 4 3 3 4 x 9 x 3 7 x 4 x 9 x 3 7 x 4 h) x 2 2 x x 2 2

x  

0 3 2 2 x 3 1 x 2 2 x 3 1 x 2 i) 2 2 x x x

x  

                             lím lím     2 5 x 2 3 5 x 5 1 x · x 2 3 x 2 3 2 x 2 1 x · 1 x 2 3 2 x 2 1 x

x 3 2x e e e e

2 x 2

j) x x x

                                     

   lím

lím lím

lím

EJERCICIO 7 : Halla los límites:

    _{  }   1 x x 3 x lím

a) 2 2

x _{x 5x 3x 9}

3 x lím b) 2 3 3

x _{  }



 x senx

1 e lím c) x 0 x    1 x 2 x x x lím d) 2 3 1

x _{ }





1 x x 4 3x

2 x 3 lím e)    _       2 3 0

x _{x 3x}

x sen x lím f)   2 x x 3 x lím g) 2 5 3 x _             

 x 2

1 x 4 x x 3 lím h) 2 2

x x senx

x sen 2 x 2 lím ) i 0 x    2 x x 6 x x lím j) 2 2 2

x _{ }

       _{ } 

 x x x

lím

k) 2

x x 0 _x2

x cos 4 4 lím l)              

 _{x 1}

x 3 1 x x 3 lím m) 2 3 2 x x 1 1 1

x 2x 2

3 x lím n)   _       x sen x cos x x lím ñ) 3 0

x 

Solución:           _{  }       _{  }      _{  }   

 _{3 1}

1 3 1 3 1 3 a) 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x lím x x x lím x x





_                           1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x lím x x x x x x lím x x x x x x lím x x x 2 3 3      

 _{x x}

x lím x ) 0 ( 1 ) 1 ( ) 3 ( 1 ) 1 ( ) 3 ( 3 9 3 5 3 b) 3 2 3 2 3

3 _{ }  _{ } 

       

 _{x x} lím _{x x}

x lím x x x x lím x x x

Hallamos los límites laterales:

          _

 (x 3)(x 1)

1 lím ; ) 1 x ( ) 3 x ( 1 lím 3 x 3

x  Como son distintos  No existe el límite

2 1 x cos 1 e lím * 0 0 x sen x 1 e lím c) x 0 x x 0 x             

 * Hemos aplicado la regla de L'Hôpital.



 







) 0 ( 2 1 x 1 x x lím ) 1 x ( 1 x 1 x x lím 1 x 2 x x x lím d) 1 x 2 1 x 2 3 1 x              

Hallamos los límites laterales:









          _  1 1 ; 1 1 1 1 x x x lím x x x lím x

x _{ Como son distintos  No existe el límite}

 

                 _                          4 x 3 6 x 6 lím 1 x · x 3 4 x 3 4 2 x 3 lím 1 x · 1 x 3 4 2 x 3 lím 1 x x x x x e e e 1 x 3 4 2 x 3 lím e) 2 2 1 e e    3 1 6 2 6 x 6 x sen x x cos x cos lím * 0 0 x 6 x 3 x cos x x sen lím * 0 0 x 3 x x sen x lím f) 0 x 2 0 x 2 3 0

x   

                       

0 x x lím 2 x x 3 x lím 2 x x 3 x lím g) 5 3 x 2 5 3 x 2 5 3 x               



 



                      

 _{x 4}

2 x 3 x x 3 lím 4 x 2 x 1 x x 3 lím 2 x 1 x 4 x x 3 lím h) 2 2 2 x 2 2 x 2 2 x ) 0 ( 6 4 2 2 2 2        _x x lím x

Hallamos los límites laterales:

            _  4 2 ; 4 2 2 2 2 2 2 2 x x lím x x lím x

x _{ No existe el límite}

0 1 1 2 2 x cos 1 x cos 2 2 lím * 0 0 x sen x x sen 2 x 2 lím i) 0 x 0 x                  

* Hemos aplicado la regla de L'Hôpital.

3 5 1 x 3 x lím ) 1 x ( ) 2 x ( ) 3 x ( ) 2 x ( lím 2 x x 6 x x lím j) 2 x 2 x 2 2 2 x                          _{ }       _{ }      _{ }      _{ }     

 _{x x x}

x x x x . x x lím x x x lím x x x lím k) 2 2 2 x 2 x 2 x 2 1 2 2 2 2 2                         _x x lím x x x lím x x x x lím x x x x x x lím x x x x 2 1 x cos 2 lím * 0 0 x x sen 2 lím x 2 x sen 4 lím * 0 0 x x cos 4 4 lím l) 0 x 0 x 0 x 2 0 x                       

* Hemos aplicado la regla de L'Hôpital.





3 1 x x 3 lím 1 x x 3 x 3 x 3 lím 1 x x 3 1 x x 3 lím 1 x x 3 1 x x 3 lím m) 2 2 x 2 3 2 3 x 2 3 2 x 2 3 2 x                             

 

4

1 2 x 2 1 lím ) 1 x ( ) 2 x 2 ( 1 x lím 1 x 1 · 2 x 2 2 x 2 3 x lím 1 x 1 · 1 2 x 2 3 x lím 1 x 1 1 x e e e e e 1 2 x 2 3 x lím

n) x 1 x 1 x 1 x 1

                                           0 2 0 x cos x sen x x cos x 3 lím * 0 0 x sen x cos x x lím ñ) 2 0 x 3 0 x                * Hemos aplicado la regla de L'Hôpital.

CONTINUIDAD

EJERCICIO 8 :

 

, estudiasucontinuidad.Indicaeltipode

10 x 3 x 5 x x 15 x 3 x f función la Dada 2 2 3      

discontinuidad que hay en los puntos en los que no es continua.

Solución:

 











x 5

 

x 2



1 x 3 5 x 10 x 3 x 5 x x 15 x 3 x f 2 2 2 3           

Dominio R {5, 2} f (x) es continua en R {5, 2}.

Veamos que tipo de discontinuidad que presenta en x 5 y en x  2:

 

7 76 7 76 2 x 1 x 3 x f 2 5 x 5 x            lím

lím  Discontinuidad evitable en x 5.

 

. Hallamosloslímiteslaterales:

) 0 ( 13 2 x 1 x 3 x f 2 2 x 2 x       lím

lím

 



 



    x f ; x f 2 x 2 x lím lím

EJERCICIO 9 : Estudia la continuidad de la función:

 

      

 

  

 

1 x si x 4

1 x 0 si 1 x 3

0 x si e

x

f 2

x

ln

Solución: Dominio R

Si x  0 y x  1  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

En x  0:

 

 





 

 

x escontinuaen x 0. f

1 0 f

1 1 x 3 x

f

1 e x

f

2 0 x 0

x

x 0 x 0

x



   

    

 



  

 

 

 

 

 

lím lím

lím lím

En x  1:

 





 





 

 

x escontinuaen x 1. f

4 1 f

1 x 4 x

f

4 1 x 3 x

f

1 x 1

x

2 1 x 1

x



  

   

 



  

  

 

 

 

 

ln lím lím

lím lím

Por tanto, f (x) es continua en R.

EJERCICIO 10 : Estudia la continuidad de la siguiente función. En los puntos en los que no sea continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta:

 

10 x 3 x

8 x 2 x 3 x f

2 2

 

  

Solución:

 



 





x 5

 

x 2



2 x 4 x 3

10 x 3 x

8 x 2 x 3 x f

2 2

 

    

  

Dominio R {5, 2} f (x) es continua en R {5, 2}.

Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x 5 y en x  2:

 

. Hallamosloslímiteslaterales: )

0 (

11 5

4 3

5 5

  

 

  

 _x

x lím x f lím

x

x _xlím_5f

 

x  ; _xlím_5f

 

x 

Discontinuidad de salto infinito en x 5.

 

7 10 5 x

4 x 3 x

f

2 x 2 x

 

 

 

lím

lím  Discontinuidad evitable en x  2.

EJERCICIO 11 : Estudia la continuidad de la siguiente función:

 

  

   

 

 

   

  



2 x si 1 x 3

2 x 1 si 2 x

1 x si x

3 x 2

x

f 2

Solución: Dominio R

En x 1:

 

 





 

 

x escontinuaen x 1. f

1 1 f

1 2 x x

f

1 x

3 x 2 x

f

2 1 x 1

x

1 x 1

x

 

  

   

 

  

   

   

 

 

  



  



lím lím

lím lím

En x  2:

 





 





 

finito. salto

de idad discontinu una

Hay . 2 x en a discontinu es

x f

7 1 x 3 x

f

2 2 x x

f

2 x 2

x

2 2 x 2

x 

    

  

  

 

 

 

 

lím lím

lím lím

EJERCICIO 12 : Estudia la continuidad de la siguiente función. Si en algún punto no es continua, indica el tipo de discontinuidad que hay:

 

1 x

3 x 5 x x x f

2 2 3

    

Solución:

Dominio R {1, 1}. f(x) es continua en R {1, 1}.

Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x 1 y en x  1:



 















0 2 0 1

3 1 1

1 3 1 1

3 5

1 2

1 2

2 3

1 _ _ 

  

 

  

   

  

 

 _x

x x lím x

x x x lím x

x x x lím

x x

x

Discontinuidad evitable en x 1.

 







. Hallamosloslímiteslaterales: )

0 (

4 1

3 1

1 1

  

  



 _x

x x lím x f lím

x

x _xlím_1f

 

x ; _xlím_1 f

 

x 

Discontinuidad de salto infinito en x  1.

EJERCICIO 13 : Calcula los valores de a y b para que la siguiente función sea contínua:

 

      

    



  

 

1 si

1 1 si 1

1 si

2

2 2 3

x ax

x bx

x

x a

x x

x f

Solución:

- Si x  1 y x  1  f (x) es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.

- En x 1:

 





 





 

        

  

    

    

 

 

  



  



b 2 1 f

b 2 1 bx x lím x

f lím

3 a a x x 2 lím x

f lím

2

1 x 1

x

2 3

1 x 1

x



Para que sea continua en x  1, ha de ser a  3  2  b.

- En x  1:

 





 

 

 

      



 

    

 

 

 

 

a 1 f

a ax lím x

f lím

2 b 1 bx x lím x

f lím

1 x 1

x

2

1 x 1

x

Uniendo las dos condiciones anteriores, f (x) será continua si:

      

 

  

 

  

2 3 b

2 7 a

2 b a

b 2 3 a

EJERCICIO 14 : Estudia la continuidad de la función:

 

 

  

 

 

  



 



1 x si x ln 1

1 x 0 si 1 x x

0 x si 2 x 3

x

f 2

x 2

Solución:

- Si x  0 y x  1  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

- En x  0:

 





 





 

 

0 x en

continua es

x f

1 0 f

1 1 x x lím x

f lím

1 2

x 3 lím x

f lím

2

0 x 0

x

x 2

0 x 0

x

 

       

 

   

   

 

 

 

 

- En x  1:

 





 





 

      



 



    

 

 

 

 

1 1 f

1 x ln 1 lím x

f lím

1 1 x x lím x

f lím

1 x 1

x

2

1 x 1

x

 Hay una discontinuidad de salto finito en x  1.

EJERCICIO 15 : Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:

 

    

 

  

 

  

2 x si 2

2 1 si 3

1 si 1

2 2

x log

x a

x

x bx

x x f

x

Solución:

- Si x  1 y x  2  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

- En x  1:

 





 





 

      

 

   

     

 

 

 

 

a 3 1 f

a 3 a x 3 lím x

f lím

2 b 1 bx x lím x

f lím

1 x 1

x

2

1 x 1

x

Para que sea continua en x 1, ha de ser b 2  3 a.

- En x  2:

 





 





 

        



 



   

 

 

 

 

5 2 f

5 x log 2

lím x

f lím

a 6 a x 3 lím x

f lím

2 x

2 x 2

x

2 x 2

x

Para que sea continua en x2, ha de ser 6a  5, es decir a  1.

4 1 1

3 2

     

  

b a

a

a b

EJERCICIO 16 : Estudia la continuidad de la siguiente función. Si en algún punto no es

continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta:

 

6 x x

x 3 x 2 x x f

2 2 3

 

  

Solución:

 

) 2 ( ) 3 (

) 1 ( ) 3 ( 6

3 2

2 2 3

 

    

  

x x

x x x x

x

x x x x f

Dominio R {2, 3}

f (x) es continua en R {2, 3}. Veamos el tipo de discontinuidad que hay en x 2 y en x  3: - En x 2:

 



 



 

  



x f lím ; x

f lím

2 x 2

x

Hay una discontinuidad infinita en x 2.

- En x  3:

 





5 12 2 x

1 x x lím x f lím

3 x 3

x

 

 

 

Hay una discontinuidad evitable en x  3.

EJERCICIO 17 : Estudia la continuidad de la siguiente función:

 

  

   

 

   

  

 

1 x si x

1

1 x 1 si e

1 x si 3

1 x 2

x

f x 1

2

2

Solución:

- Si x 1 y x  1  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas en los intervalos en los que están definidas.

- En x 1:

 

 

 

. 1 x en finito salto de

idad discontinu una

Hay

1 1 f

1 e

lím x

f lím

3 1 3

1 x 2 lím x

f lím

1 x

1 x 1

x

2

1 x 1

x

2

 

  

   

 

 

 

  

   



  



 

 

- En x  1:

 

 

 

 

. 1 x en

continua es

x f

1 1 f

1 x 1 lím x

f lím

1 e

lím x

f lím

1 x 1

x

1 x

1 x 1

x

2

 

       



 

 

 

 

 

  

EJERCICIO 18 : Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:

 

    

 

  



 



2 si

1 3

2 1 si 2

1 si

3 2

x x

x a

bx x

x a

x x

f

Si x  1 y x  2  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

En x  1:

 





 





 

   

    

 

  

     

   

 

 

 

 

a b 2 1 f

a b 2 a bx x 2 x

f

a 3 a x 3 x

f

2 1 x 1

x

1 x 1

x

lím lím

lím lím

Para que f (x) sea continua en x  1, ha de ser:3  a  2  b  a  2a  b  1

En x  2:

 





 





 





  

 



  

     

 

 

 

 

7 2

7 1 3

2 8 2

2 2

2

2 2

f

x lím x f lím

a b a

bx x lím x f lím

x x

x x

Para que f (x) sea continua en x  2, ha de ser: 8  2b  a  7  a  2b 1 Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que:



1 2



1 2 4 1 3 3 1; 1

2 2 1 1 2

1 2

  

             

       

 

b a

a a

a a

a

a b

b a

b a

EJERCICIO 19 : Calcula el valor de a para que la siguiente función sea continua:

 

  

 

 

 

1 si 3

1 si 1 2 2

x x

ln a

x x

ax x f

Solución: Dominio R

Si x  1  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

En x  1:

 





 





 



 

    

 

 

  

    

 

 

 

 

1 a 1 f

a 3 x a 3 x

f

1 a 1 x 2 ax x

f

1 x 1

x

2 1 x 1

x

ln lím

lím

lím lím

Para que f (x) sea continua en x  1, ha de ser:

2 1 a 1

a 2 a

3 1

a     

EJERCICIO 20 : Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua en x  2:

 

      

  

 

   

2 si

2 si 8 8 14 4

4 8 11 3

2 3

2 3

x k

x x

x x

x x x

x f

Solución:

Para que f (x) sea continua en x  2, ha de tenerse que: f

   

x f 2

2 x





lím

     

    10

7 2 4

1 3 2

4 2

1 3 2 8

8 14 4

4 8 11 3

2 2

2 2 2

3 2 3 2

2 _ 

 

 

 

   

   

 



 _x

x lím x

x

x x

lím x

x x

x x x lím x f lím

x x

x x

f (2)  k

10 7 : ser de ha tanto,

Por 

EJERCICIO 21 : Calcula los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:

 

    

 

  



 



2 si

3

2 1 si 4

1 si

2 2

2

x b

x

x b

ax x

x x

ax x

f

Solución:

Si x  1 y x  2  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

En x  1:

 





 





 

_

 

    

 

  

     

   

 

 

 

 

b a 4 1 f

b a 4 b ax x 4 x

f

2 a x 2 ax x

f

2 1 x 1

x

2

1 x 1

x

lím lím

lím lím

Para que f (x) sea continua x  1, ha de ser: a  2  4  a  b  b 6

En x  2:

 





 





 



 

    

 



  

    

 

 

 

 

0 2 f

0 6 x 3 x

f

a 2 10 6 ax x 4 x

f

2 x 2

x

2 2 x 2

x

lím lím

lím lím

Para que f (x) sea continua en x  2, ha de ser: 10  2a  0  2a 10  a 5 Por tanto, f (x) será continua si a 5 y b 6.

EJERCICIO 22 : Halla el valor de a para que la siguiente función sea continua:

 

  

 



 



1 si 5 3

1 si 2

2

x a

x

x a

x f

x

Solución:

Si x  1  la función es continua, pues está formada por funciones continuas.

En x  1:

 





 





 

_

 

    

 

 

    

   

 

 

 

 

a 2 1 f

a 3 6 5 a 3 x x

f

a 2 a 2 x

f

2 1 x 1

x

x

1 x 1

x

lím lím

lím lím

Para que f (x) sea continua en x  1, ha de ser: 2  a  6  3a  4a  4  a  1

TEOREMAS

EJERCICIO 23 : Dada la función f (x)  x3 _{ 2x  1, encuentra un intervalo de amplitud}

menor que 2 en el que f (x) corta al eje OX.

Solución:

f (x) es continua en R, pues es una función polinómica. Tanteando, encontramos que f (1) 2, f (0)  1.

Es decir:

 





 

 

_

 



 0 de signo 1 de signo

0 , 1 en continua es

f f

Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que existe, al menos, un c  (1, 0) tal que f (c)  0. f (x) cortará al eje OX en x  c.

EJERCICIO 24 : Halla un intervalo de amplitud menor que 2 en el que la siguiente ecuación tenga, al menos, una raíz real: 3x3 _{ 2x  7  0}

Solución:

Consideramos la función f (x)  3x3_{ 2x  7, continua por ser polinómica.}

Tanteando, encontramos que f (1) 2; f (2)  21.

Es decir:

 





 

 

_

  signode 2 1

de signo

2 , 1 en continua es

f f

x f

Por el teorema de Bolzano, sabemos que existe, al menos, un c  (1, 2) tal que f (c)  0. La raíz de la ecuación es c.

EJERCICIO 25 : Prueba que la función f (x)  3x  cos x  1 corta al eje OX en el intervalo [1, 0].

Solución:

f (x) es una función continua en R, pues es suma de funciones continuas. En particular, será continua en [1, 0].

Por otra parte:

 

 

0 2 0 signode

 

1 signode

 

0 0

3 1

f f

f f

  

   

   

Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que existe, al menos, un c  (1, 0) tal que f (c)  0. f (x) cortará al eje OX en x  c.

EJERCICIO 26 : Demuestra que la ecuación: 7 3 2 2 1 0

  

 x x

x tiene, al menos, una solución

real. Determina un intervalo de amplitud menor que 2 en el que se encuentre la raíz.

Solución:

Consideramos la función f (x)  x7_{ 3x}2_{ 2x  1, que es continua por ser polinómica.}

Tanteando, encontramos que f (2) 111; f (1)  5.

Es decir:

 





 

 

_

  



 

1 de signo 2 de signo

1 , 2 en continua es

f f

x f

Por el teorema de Bolzano, sabemos que existe, al menos, un c  (2, 1) tal que f (c)  0. La raíz de la ecuación es c.

EJERCICIO 27 : Demuestra que la ecuación e3x _{ 4x 2  0 tiene, al menos, una solución}

real en el intervalo [0, 1].

Solución:

Consideramos la función f (x)  e3x_{ 4x 2, continua en R, pues es suma de funciones}

continuas. En particular, será continua en [0, 1]. Por otra parte, tenemos que:

 

 

1 2 0 signode

 

0 signode

 

1 0

1 0

3 f f

e f f

 

    

  

