Descripción de la variación entre términos de una sucesión

(1)

w

.c

im

ea

c.

co

m

U

no de los objetivos marcados por RES es que “el alumno pueda construir sucesiones de núme-ros a partir de una regla dada y determinar expresiones generales que definen las reglas de sucesiones numéricas y figurativas”.

Una dificultad que hemos detectado al realizar observaciones en diferentes colegios es que los maes-tros tienen dificultades para explicar a los alumnos esta segunda parte, la de determinar la expresión que define una regla dada. Los maestros obtienen fácilmente la regla y dicen a los alumnos cuál es, les explican porqué esa es la regla, pero tienen dificultad para darles sugerencias de cómo obtener la regla. La reforma es clara al señalar:

Sucesiones numéricas

1_{Indica qué número sigue en cada una de las}

secuencias numéricas.

7, 10, 13, 16, _, _

15, 19, 23, 27, _, _

4, 8, 16, 32, _, _

49, 64, 81, 100, 121, 144,_,_

4, 12, 36, 108,_, _

a)

b)

c)

d)

e)

“Es necesario no caer en la tentación de decirles cuál es la regla general de la su-cesión, sino animarlos a probar distintas alternativas hasta que encuentren una que les satisfaga”.

La actividad “sucesiones numéricas” (Pagina 44 del libro de primero de secun-daria) tiene como objetivo desarrollar algunas habilidades que pueden facilitar a los alumnos la entrada al lenguaje algebraico y en esta asesoría analizaremos recursos útiles para el maestro en la explicación de cómo obtener la regla. Descripción de la variación entre términos de una sucesión

El primer bloque de esta actividad es el siguiente.

El objetivo de este bloque es que los alumnos observen la forma en que varían los términos de una sucesión, puedan describirla y a partir de esta descripción puedan obtener los términos siguientes. En las sucesiones a y b los términos se forman sumando una constante al término anterior (se suman tres en la a y cuatro en la b). Permita que sean los alumnos quienes expliquen cómo se forman los términos

En la sucesión c cada término se forma multiplicando el previo por 2.

La sucesión d puede obtenerse mediante el cuadrado de números enteros, comenzando con el 7

7

2

_{, 8}

2

_{, 9}

2

_{, 10}

2

_{, 11}

2

_{, 12}

2

_,...

(2)

w

.c

im

ea

c.

co

m

49 64 81 100 121 144

15

17

19

21

23

Sin embargo no todos los alumnos lo ven de dicha manera.

Tenga en cuenta que, al igual que ocurre en este caso, en el resto de las sucesio-nes puede ocurrir que los alumnos describan reglas muy diferentes a las espe-radas por nosotros y sin embargo son correctas. Cuando se dé este caso de a los alumnos la oportunidad de que expliquen sus métodos, ya que cada una de esas soluciones permite observar diferentes propiedades de las sucesiones.

En la quinta sucesión cada número se forma multiplicando por 3 el término an-terior.

Obtención de la expresión que describe a una sucesión La actividad continúa con el siguiente ejercicio

2 La siguientes secuencias de figuras se cons-truyen utilizando regletas blancas:

Secuencia 1

Secuencia 2

a) ¿Cuántas regletas serán necesarias para las siguientes tres figuras de cada secuencia? b) ¿Cuantas se necesitan para construir la figura número 10 de cada secuencia?

c) ¿Cuántas se necesitan para construir la figura número 15 de cada secuencia?

d) ¿Cuántas se necesitan para construir la figura número 19 de cada secuencia?

e) ¿Cuántas se necesitan para construir la figura número 24 de cada secuencia?

f) ¿Cuántas se necesitan para construir la figura número 43 de cada secuencia?

(3)

w

.c

im

ea

c.

co

m

Resultará fácil para los alumnos determinar la cantidad de regletas necesarias para las siguientes tres figuras de cada secuencia, pero para obtener la 9ª o la 43ª tendrán dificultad y surgirá la necesidad de determinar una regla de cons-trucción de las sucesiones.

Número de la figura Figura Cantidad de regletas_usadas

1

2

3

4

Al llenar la columna “cantidad de regletas usadas” podrá observarse una secuen-cia numérica.

1

2

3

4

1

4

7

10

Sobre esta sucesión numérica se pueden aplicar los métodos de descripción usados en la actividad anterior. Puede observarse que la secuencia se forma su-mando 4 al término anterior. Algunos alumnos intentarán usar esta suma para determinar cuántas regletas se usan para términos posteriores, sin embargo aún será difícil determinar la cantidad de regletas necesarias para un número de fi-gura muy grande.

La siguiente columna la utilizaremos para describir cómo se va formando cada nuevo número tomando el número anterior.

Secuencia 1

(4)

w

.c

im

ea

c.

co

m

1

2

3

4

1

4

7

10

1

1 + 3

1 + 3 + 3

1 + 3 + 3 + 3

Esta última columna hace muy explícito el proceso de adición necesario para construir el siguiente término. A esta columna le llamaremos descripción aditiva. Pida a sus alumnos que verbalicen la operación que se realiza en el renglón 3 y 4. En el caso de la operación +3+3, surgirá una verbalización muy útil: “uno más dos veces el tres”. Aproveche esta verbalización para que la operación +3+3+3 se describa como “uno más tres veces el tres”.

Aproveche esta verbalización para llenar la siguiente columna a la que llamare-mos descripción multiplicativa. Aumente la cantidad de columnas para motivar la generalización de esta regla.

1

2

3

4

1

4

7

10

1

1 + 3

1 + 3 + 3

1 + 3 + 3 + 3

1+2(3)

1+3(3)

5

6

7

1+4(3)

1+5(3)

1+6(3)

(5)

w

.c

im

ea

c.

co

m

momento cuando podemos trabajar con la fila 2 y la fila . Si nos regresamos en esa secuencia de operaciones, la tabla quedará como sigue.

1

2

3

1

4

7

1

1 + 3

1 + 3 + 3

1+0(3)

1+1(3)

1+2(3)

Para determinar de que depende el número faltante, comparemos la primer co-lumna (“Número de figura”) y la coco-lumna de la descripción multiplicativa.

Número de figura

1+0(3)

1

1+1(3)

2

1+2(3)

3

1+3(3)

4

1+4(3)

5

1+5(3)

6

1+6(3)

7

La comparación de estas columnas facilitará a los alumnos observar que ese “algo” faltante corresponde al número de figura menos . Conviene que antes de escribir la fórmula usando variables, se use una combinación de operaciones y palabras que faciliten al alumno entender la expresión final. Con esta combina-ción de operaciones y palabras la fórmula quedará de la siguiente manera:

Sugiera a los alumnos que en lugar de utilizar la frase completa “número de figu-ra”, por comodidad usaremos solamente la inicial. De esta manera, la expresión quedará:

1+ (3)

Numero de

Figura-1

(6)

w

.c

im

ea

c.

co

m

Variaciones obtenidas por los alumnos

Una variación menor surge cuando los alumnos verbalizan de manera diferente la columna de descripción aditiva

+3+3 “uno más el tres dos veces” +3(2)

+3+3+3 “uno más el tres tres veces” +3(3)

+3+3+3+3 “uno más el tres cuatro veces” +3(4)

Al pedir a los alumnos que describan que es lo se mantiene constante y que es lo que varía, llegaremos a la expresión

Esta misma variación puede obtenerse cuando algunos alumnos construyen la sucesión con las regletas de la siguiente forma

1

2

3

1

4

7

4 10

En este caso la descripción aditiva no es necesaria. La construcción con regle-tas lleva directamente a verbalicaciones que permiten obtener una descripción multiplicativa.

1

2

3

1

4

7

4 10

5 13

“uno mas tres veces

la regleta 2” 1+3 (2)

1+3(3)

1+3(4)

“uno mas tres veces la regleta 3”

(7)

w

.c

im

ea

c.

co

m

Variación 2

Una variación que nos parece muy interesante es la que surge cuando algunos alumnos visualizan las figura como regletas que se enciman, de la siguiente for-ma.

Podemos ver que al construir la figura de esta forma, hay las tres regletas se enci-man en un área equivalente a una regleta blanca, por lo que estamos contando 2 “cuadros” de más. La descripción quedaría de esta manera

Número de la figura Figura Cantidad de regletas usadas

1

2

3

1

4

7

4 10

“tres veces la regleta

3 menos 2” 3(3)-2

3(4)-2

“tres veces la regleta 4 menos 2” “tres veces la regleta

2 menos 2” 3(2)-2

Al pedir a los alumnos que describan que es lo que cambia y que se mantiene constante en la última columna, obtendremos la siguiente expresión

2

3 −

=

n

C

Observe que esta forma de interpretar la construcción no se puede realizar física-mente con regletas, aunque usted si la puede realizar con sus regletas de imán. Un alumno que hace esta interpretación ya no está dependiendo de las regletas físicas, sino en las imágenes y en el área que éstas cubren.

Si ya ha trabajado con los alumnos la propiedad distributiva, puede invertir algo de tiempo comparando ambas expresiones

C =

1 + (3) (

n

-1)

(8)

w

.c

im

ea

c.

co

m

Sucesión de triángulos

Aunque puede parecer muy obvio que el número de triángulos corresponde al número de figuras, hay alumnos que no logran verlo hasta que comienza a llenar una tabla. Para obtener la expresión para calcular la cantidad de regletas utilizadas llenaremos nuevamente una tabla

3 Las figuras mostradas fueron construidas con regletas amarillas.

Figura 1 Figura 2

Figura 3

Indica en cada caso cuántos triángulos se forman y cuántas regletas son necesarias para formarlos.

Nº de figura _triángulosNº de _regletasNº de

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Si continuas la secuencia:

a) ¿Cuántos triángulos tendrá la séptima figura de la secuencia? ¿Y la octava?

b) ¿Cuántas regletas serán necesarias para construir la séptima figura?

¿Y la octava?

c) ¿Cuántas regletas serán necesarias para

construir la figura 15 de la secuencia?

d) ¿Cuántas regletas serán necesarias para construir la figura 25 de la secuencia?

¿Puedes explicar como va creciendo el patrón?

¿Cuántas regletas serán necesarias para construir la figura 80 de la secuencia anterior?

1

2

3

5 _3(2)-2

(9)

w

.c

im

ea

c.

co

m

Haciendo una descripción aditiva obtenemos

Llenando una columna con la descripción multiplicativa tendremos

De la última columna podemos obtener la expresión C=3+2(n-) Número de la figura Figura Cantidad de regletas

usadas

1

2

3

5

3 ₇

1+2

1+2+2

1+2+2+2

1+2(2)

1+2(3)

1

2

3

5

3 ₇

3+2+2+2 4

3

3+2

3+2+2

1

2

3

5

3 ₇

3+2+2+2 4

3

3+2

3+2+2

3+2(3) 3+2(1)

3+2(2)

Una variación de la tabla sería la siguiente.

(10)

w

.c

im

ea

c.

co

m

Nuevamente, puede comparar las diferentes expresiones resultantes.

Responde las siguientes preguntas:

Figura 20

¿Cuántas regletas serán necesarias para cons-truir la figura 20 de la secuencia mostrada arriba?

¿Cuántos cuadrados se formarán?

Figura 25

Figura 40

Si tuvieras 128 regletas, ¿cuántos cuadrados se pueden formar?

Las tablas para resolver el ejercicio de la figura formada por palillos es la siguiente

1

2

4

7

3 ₁₀

4 ₁₃

4

4+3

4+3+3

4+3+3+3

4+3

4+3(2)

4+3(3)

(11)

w

.c

im

ea

c.

co

m

1

2

4

10

4

4+6 4+6

3 16 4+6+6 4+6(2)

4 22 4+6+6+6 4+6(3)

La expresión que se obtiene de la tabla es la siguiente: C = 4+ (n-)

Número de la figura Cantidad de regletas usadas

1 4

2 13

Figura

3 22

4

4+9 4+9

4+9+9 4+9(2)

4 31 4+9+9+9 4+9(3)

(12)

w

.c

im

ea

c.

co

m

Comentarios finales:

Descripción de la variación entre términos de una sucesión

U

Sucesiones numéricas

7, 10, 13, 16, ___, ___

15, 19, 23, 27, ___, ___

4, 8, 16, 32, ___, ___

49, 64, 81, 100, 121, 144,___,___

4, 12, 36, 108,___, ___

7

, 8

, 9

, 10

, 11

, 12

,...

49 64 81 100 121 144

15

17

19

21

23

1+ (3)

Numero de

Figura-1

2

3

−

=

n

C

C =

1 + (3) (

n

-1)

7, 10, 13, 16, _, _

15, 19, 23, 27, _, _

4, 8, 16, 32, _, _

49, 64, 81, 100, 121, 144,_,_

4, 12, 36, 108,_, _

_{, 8}

_{, 9}

_{, 10}

_{, 11}

_{, 12}

_,...