Leyes de Képler
Antes de entrar a deducir y demostrar laprimera ley de Képler, es bueno cono-cer un poco acono-cerca de quién era este personaje:
0.0.1.
Primera ley de Képler:
Los planetas giran en órbitas elípticas alrededor del Sol, con este en uno de sus focos. ver figura 1
Figura 1: El Sistema Solar conformado por el Sol, Mercurio, Venus, la Tierra con su Luna, Marte, Júpiter y Saturno propuesto por Képler. Para la época no se conocían los demás planetas
Demostración:
De acuerdo con la ley de gravitación universal la fuerza entre el Sol y un planeta vine dada por
− →
F =−GM m
r2 br (1)
donde M es la masa del Sol, m la masa del planeta y G es la costante de grav-itación universal, luego el planeta se mueve con una aceleración dada por
−
→a =−GM
r2 rb=
d−→v
dt (2)
Que también podemos escribir como
−
→a = d−→v
dt =−
GM
r3 br (3)
− →
L =−→r × −→p ≡m−→r × −→v (4)
Donde, en nuestro caso,−→r es el vector de posición que va desde el Sol hasta el planeta y−→p el momento lineal del planeta. ver figura2
− →r
x
y z
− →v m
− →L
=m−→r × −→v
Figura 2: Momento angular
Mostraremos primero que los planetas se mueven en un plano alrededor del Sol; para hacerlo, derivamos el momento angular con respecto al tiempo.
d−→L
dt =m
d(−→r × −→v)
dt (5)
d−→L
dt =m
d−→r
dt × −→v +−→r × d−→v
dt
(6)
pero como la velocidad es d−→r
dt , el primer producto es nulo, y por ser la
acel-eración , se tiene que−→r × −→a =−→0 lo que implica que la derivada del momento angular es cero y por lo tanto ésta es una constante del movimiento e indica que el movimiento de los planetas es central y en un plano, ver 3
Si multiplicamos vectorialmente el momento angular por la aceleración, ten-emos
−
→a ×−→L =m−→a ×(−→r × −→v ) = GM m
− →r
x
y
− →v m
Figura 3: El movimiento de los planetas está en el plano, formado por el vector de posición y el vector velocidad
El producto entre parentesis se escribe
(−→r × −→v ) =−→r ×rdbr
dt =−→r × drbr
dt (8)
donde br representa el vector Juan Jose Quiros Arroyaveunitario en la dirección del Sol al planeta,
Desarrollando el triple producto vectorial, que resulta en la ecuación (7) se tiene
−
→a ×−→L =−GM
r3
−
→r ×−→r ·rdbr
dt
−rdbr
dt (−→r · −→r)
(9)
−GM mr3 −→r ×
−
→r ×rdrb
dt
=GM mdbr
dt (10)
Simplificando el tiempo a ambos lados de la ecuación (10), se obtiene
d−→v ×−→L=mGM dbr (11)
Integrando a ambos lados, la ecuación que resulta es
−
→v ×−→L=mGM
r −→r +−→c (12)
Si escribimos el vector−→r como la longitud del vector de posición por el vec-tor unitario en la dirección del Sol al planeta y si luego pos multiplicamos escalar-mente por el vector de posición, tenemos:
−
→v ×−→L· −→r =mGM
r −→r · −→r +−→c · −→r (13)
pero
−
→v ×−→L· −→r = L2
m y por lo tanto podemos escribir
L2
=GmM r+crcosθ (14)
dondeθes el ángulo que forman −→r y−→c, como se ve en la figura 4; al despejar r se tiene que
− →r −
→c
θ
x
y z
Figura 4: Constante vectorial c y el vector de posición
predice
L2
=r(GmM +ccosθ) (15)
Despejando
r= L
2
GmM +ccosθ (16) Dividiendo numerador y denominador porGmM se tiene
r =
L2 GmM GmM
GmM +
ccosθ
GmM
(17)
r=
L2 GmM
dondee= c
GmM es la escentricidad
La ecuación 18 es la ecuación polar de una cónica, sie está entre cero y la unidad, la cónica es una elipse, efectivamente como lo había observado cualitati-vamente Képler
0.0.2.
Segunda ley de Képler:
Segunda ley de Képler: El radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales figura 5.
− →r
∆S
− →r
θ
x
y z
Figura 5: Ley de las áreas
Demostración: Es la conservación del momento angular, como la fuerza es central,
entoces−→r ×−→F = 0, pero como−→F = d−→p
dt ,tal que
d[−→r × −→p]
dt = 0por tanto, ya
que−→L =−→r × −→p, o sea que d − →
L
dt = 0lo que implica que el momento angular es
constante y como consecuencia los planetas semueven en un plano. La magnitud del momento angular es por sudefinición |−→L| = |−→r × −→p| = mrv. También se tiene que para la sección triangular de arco, el área viene dado por
∆A= 1
2r∆S, (19)
pero∆S =v∆t, dondev es la rapidez orbital del planeta ytel tiempo que tarda el planeta en recorrer el segmento de arco∆S, luego, reemplazando, se tiene
∆A= 1
de donde
∆A
∆t =
1
2rv, (21)
ya que rv = L
m y el momento angular L es constante, como se demostro en la
primera ley de Keppler, se concluye que la razón de cambio del área es constante, es decir
∆A
∆t = L
2m, (22)
A si queda demostrado que el radio vector −→r barre áreas iguales en tiempos iguales
0.0.3.
Tercera ley de Keppler
El cuadrado del período de un planeta es directamente proporcional al cubo de la distancia que lo separa del sol
Demostración:
De la ley de gravitación universal
− →
F =−GM m
r2 br (23)
y teniendo en cuenta que la trayectoria es casi una circunferencia, La acelaración
dominante es la centrípeta, a = v
2
r , luego que v = ωr y ω = 2π/periodo al
reemplazar se tiene
GM
r2 =
v2
r =
(2πr/T)2
r (24)
quedando finalmente:
GM = 4π 2
r3
T2 (25)
A si que
T2
= 4π
2
r3
GM (26)
T2
=Kr3
(27)
