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(1)

Leyes de Képler

Antes de entrar a deducir y demostrar laprimera ley de Képler, es bueno cono-cer un poco acono-cerca de quién era este personaje:

(2)

0.0.1.

Primera ley de Képler:

Los planetas giran en órbitas elípticas alrededor del Sol, con este en uno de sus focos. ver figura 1

Figura 1: El Sistema Solar conformado por el Sol, Mercurio, Venus, la Tierra con su Luna, Marte, Júpiter y Saturno propuesto por Képler. Para la época no se conocían los demás planetas

Demostración:

De acuerdo con la ley de gravitación universal la fuerza entre el Sol y un planeta vine dada por

− →

F =GM m

r2 br (1)

donde M es la masa del Sol, m la masa del planeta y G es la costante de grav-itación universal, luego el planeta se mueve con una aceleración dada por

a =GM

r2 rb=

d−→v

dt (2)

Que también podemos escribir como

a = d−→v

dt =−

GM

r3 br (3)

(3)

− →

L =−→r × −→p m−→r × −→v (4)

Donde, en nuestro caso,−→r es el vector de posición que va desde el Sol hasta el planeta y−→p el momento lineal del planeta. ver figura2

− →r

x

y z

− →v m

− →L

=m−→r × −→v

Figura 2: Momento angular

Mostraremos primero que los planetas se mueven en un plano alrededor del Sol; para hacerlo, derivamos el momento angular con respecto al tiempo.

d−→L

dt =m

d(−→r × −→v)

dt (5)

d−→L

dt =m

d−→r

dt × −→v +−→r × d−→v

dt

(6)

pero como la velocidad es d−→r

dt , el primer producto es nulo, y por ser la

acel-eración , se tiene que−→r × −→a =−→0 lo que implica que la derivada del momento angular es cero y por lo tanto ésta es una constante del movimiento e indica que el movimiento de los planetas es central y en un plano, ver 3

Si multiplicamos vectorialmente el momento angular por la aceleración, ten-emos

a ×−→L =m−→a ×(−→r × −v ) = GM m

(4)

− →r

x

y

− →v m

Figura 3: El movimiento de los planetas está en el plano, formado por el vector de posición y el vector velocidad

El producto entre parentesis se escribe

(−→r × −→v ) =−→r ×rdbr

dt =−→r × drbr

dt (8)

donde br representa el vector Juan Jose Quiros Arroyaveunitario en la dirección del Sol al planeta,

Desarrollando el triple producto vectorial, que resulta en la ecuación (7) se tiene

a ×−→L =GM

r3

r ×−→r ·rdbr

dt

−rdbr

dt (−→r · −→r)

(9)

−GM mr3 −→r ×

r ×rdrb

dt

=GM mdbr

dt (10)

Simplificando el tiempo a ambos lados de la ecuación (10), se obtiene

d−→v ×−→L=mGM dbr (11)

Integrando a ambos lados, la ecuación que resulta es

v ×−→L=mGM

r −→r +−→c (12)

(5)

Si escribimos el vector−→r como la longitud del vector de posición por el vec-tor unitario en la dirección del Sol al planeta y si luego pos multiplicamos escalar-mente por el vector de posición, tenemos:

v ×−→L· −r =mGM

r −→r · −→r +−→c · −→r (13)

pero

v ×−→L· −r = L2

m y por lo tanto podemos escribir

L2

=GmM r+crcosθ (14)

dondeθes el ángulo que forman −→r y−→c, como se ve en la figura 4; al despejar r se tiene que

− →r

c

θ

x

y z

Figura 4: Constante vectorial c y el vector de posición

predice

L2

=r(GmM +ccosθ) (15)

Despejando

r= L

2

GmM +ccosθ (16) Dividiendo numerador y denominador porGmM se tiene

r =

L2 GmM GmM

GmM +

ccosθ

GmM

(17)

r=

L2 GmM

(6)

dondee= c

GmM es la escentricidad

La ecuación 18 es la ecuación polar de una cónica, sie está entre cero y la unidad, la cónica es una elipse, efectivamente como lo había observado cualitati-vamente Képler

0.0.2.

Segunda ley de Képler:

Segunda ley de Képler: El radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales figura 5.

− →r

∆S

− →r

θ

x

y z

Figura 5: Ley de las áreas

Demostración: Es la conservación del momento angular, como la fuerza es central,

entoces−→r ×−→F = 0, pero como−→F = d−→p

dt ,tal que

d[−→r × −→p]

dt = 0por tanto, ya

que−→L =−→r × −→p, o sea que d − →

L

dt = 0lo que implica que el momento angular es

constante y como consecuencia los planetas semueven en un plano. La magnitud del momento angular es por sudefinición |−→L| = |−→r × −→p| = mrv. También se tiene que para la sección triangular de arco, el área viene dado por

∆A= 1

2r∆S, (19)

pero∆S =v∆t, dondev es la rapidez orbital del planeta ytel tiempo que tarda el planeta en recorrer el segmento de arco∆S, luego, reemplazando, se tiene

∆A= 1

(7)

de donde

∆A

∆t =

1

2rv, (21)

ya que rv = L

m y el momento angular L es constante, como se demostro en la

primera ley de Keppler, se concluye que la razón de cambio del área es constante, es decir

∆A

∆t = L

2m, (22)

A si queda demostrado que el radio vector −→r barre áreas iguales en tiempos iguales

0.0.3.

Tercera ley de Keppler

El cuadrado del período de un planeta es directamente proporcional al cubo de la distancia que lo separa del sol

Demostración:

De la ley de gravitación universal

− →

F =GM m

r2 br (23)

y teniendo en cuenta que la trayectoria es casi una circunferencia, La acelaración

dominante es la centrípeta, a = v

2

r , luego que v = ωr y ω = 2π/periodo al

reemplazar se tiene

GM

r2 =

v2

r =

(2πr/T)2

r (24)

quedando finalmente:

GM = 4π 2

r3

T2 (25)

A si que

T2

= 4π

2

r3

GM (26)

T2

=Kr3

(27)

Figure

Figura 1: El Sistema Solar conformado por el Sol, Mercurio, Venus, la Tierra con su Luna, Marte, Júpiter y Saturno propuesto por Képler

Figura 1:

El Sistema Solar conformado por el Sol, Mercurio, Venus, la Tierra con su Luna, Marte, Júpiter y Saturno propuesto por Képler p.2
Figura 2: Momento angular

Figura 2:

Momento angular p.3
Figura 3: El movimiento de los planetas está en el plano, formado por el vector de posición y el vector velocidad

Figura 3:

El movimiento de los planetas está en el plano, formado por el vector de posición y el vector velocidad p.4
Figura 4: Constante vectorial c y el vector de posición predice L 2 = r (G mM + c cos θ) (15) Despejando r = L 2 G mM + c cos θ (16)

Figura 4:

Constante vectorial c y el vector de posición predice L 2 = r (G mM + c cos θ) (15) Despejando r = L 2 G mM + c cos θ (16) p.5

Referencias

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