DIVISIBILIDAD EN K[X]
Consideremos ahora divisibilidad enK[x]. En general esto es simple-mente una traducci´on del caso de Z y la diferencia consiste esencial-mente en que, mientras enZsolamente 1 y −1 son unidades, en K[x] todo elemento de K, distinto de cero, lo es. Si se trabaja en K[[x]], como la mayor parte de sus elementos son invertibles, la divisibilidad pierde fuerza o es muy restringida.
Polinomios Asociados
Recordemos que K[x] es una K−´algebra. Estamos interesados en el hecho de queK[x] es un K−espacio vectorial. Sif(x)∈K[x] entonces el subespacio (subgrupo, cerrado para el producto por escalar) gene-rado por ´el, es Kf(x) = {kf(x) | k ∈ K}. El caso es que, desde el punto de vista de “divisibilidad”, los elementos de Kf(x) no son distinguibles en K[x], exepto por el cero que se distingue de todos, y por tanto deben estar relacionados por una equivalencia inducida por el orden de divisibilidad.
3.1 Definici´on. Sean f(x), g(x) ∈K[x]. Decimos que f(x) est´a asociada a g(x), denotado f(x) =a g(x), si existe k∈ K−0 tal quef(x) =kg(x) 2
Se tiene de manera inmediata que la relaci´on de asociaci´on es una relaci´on de equivalencia y algo mas:
3.2 Proposici´on.
i. = es una relaci´a on de equivalencia.
ii. Si f(x)∈ K[x] entonces la clase de equivalencia de f(x) por=a es K∗f(x) en donde K∗ =K−0.
iii. Sif(x)=a g(x) entoncesf(x) = 0 =g(x) ´oGr(f(x)) =Gr(g(x)).
iv. = es compatible con el producto. Es decir que sia f(x) =a g(x), entoncesf(x)h(x)=a g(x)h(x) 2
La clase de 0 es 0, por supuesto, en vista de la parte ii. Adem´as obviamente = no es compatible con la suma. En efectoa f(x)=a −f(x) pero si f(x)6= 0 yf(x) +f(x)6= 0 entonces no se cumple que f(x) + f(x)=a f(x)−f(x).
Note que si k6= 0 yf(x)6= 0→kf(x)6= 0. As´ı que, si representamos gr´aficamente aK[x] en un plano se tiene una visi´on lineal de la relaci´on de asociaci´on: las clases de equivalencia son rectas que pasan por el origen sin incluirlo y el origen mismo es una clase.
El hecho fundamental para nosotros es, sin embargo, queaes inducida por un preorden entre polinomios. Ve´amoslo.
Divisibilidad En K[x]
3.3 Definici´on. Sean f(x), g(x)∈ K[x]. Decimos que f(x) divide a g(x) y lo denotamosf(x)Dg(x) si existe h(x) ∈ K[x] tal que g(x) =h(x)f(x) 2
En el conjunto de los polinomios m´onicos y cero, la relaci´on Des una relaci´on de orden. Pero hay mas:
3.4 Proposici´on.
ii. (f(x)Dg(x))∧(g(x)Df(x)) si y s´olo si f(x) ag(x)
iii. Sif(x) yg(x) son m´onicos (f(x)Dg(x))∧(g(x)Df(x))→f(x) = g(x).
iv. Entre los polinomiosm´onicos Des una relaci´on de orden.
As´ı que = es la equivalencia del preordena D. Este es un caso muy especial de un preorden, en el cual las clases de equivalencia de la relaci´on de asociaci´on tienen elementos privilegiados. En efecto para=a la clase de 0 es{0}. Sip(x) tiene coeficiente directorb, entoncesq(x) = 1
bp(x) es m´onico, est´a en la clase dep(x) y si hay otro m´onicot(x) en esa clase, por 3.4 - iv, t(x) = q(x). As´ı pues los polinomios m´onicos junto con 0 forman una clase completa de residuos de K[x], para (o m´odulo) la relacion D. En cuanto a las propiedades elementales deD
enK[x] tambi´en son similares a las deZ. Lo vemos en la proposici´on que sigue, en dondeK∗f(x) = {kf(x)|k∈K− {0}}.
3.5 Proposici´on. En K[x] se tiene que
i. f(x)D0, para todof(x)∈K[x].
ii. 0Df(x)↔f(x) = 0.
iii. Sia(x)Db(x) ya(x)Dc(x), entoncesa(x)D(b(x)r(x) +c(x)u(x)) para todo r(x), u(x)∈K[x].
iv. f(x)Dg(x) ↔ K∗f(x)DK∗g(x) ( es decir, todo elemento de K∗f(x) divide a todo elemento deK∗g(x) ).
v. Si f(x)Dg(x) y g(x)6= 0 entonces Gr(f(x))≤Gr(g(x)).
todo elemento de K∗f(x) divide a todo elemento de K∗g(x). Como f(x)∈K∗f(x) y g(x)∈K∗g(x), entoncesf(x)Dg(x).
En cuanto a la parte v) si f(x)Dg(x), entoncesg(x) =h(x)f(x), para alg´un h(x)6= 0. Note que tambi´en f(x)6= 0. Entonces existen grados de los polinomiosf, g, hyGr(g(x)) =Gr(h(x))+Gr(f(x))≥Gr(f(x)) 2
Algoritmo de la Divisi´on
EnK[x], como enZ, existe el algoritmo de la divisi´on. En este ´ultimo, dados dos elementosayb, existen q yr tales quea=qb+r y se pide queqyrsean ´optimos paraayb. En el caso deZse hizo restringiendo r por una relaci´on m´as suave que la de divisibilidad, en aquel caso el orden normal de Z. En K[x] sucede lo mismo pero con un orden apropiado. En esta parte y las siguientes en el cap´ıtulo veremos las restricciones y las propiedades que se desprenden de ellas. Iniciemos con el orden (ver problema suplementario #15):
3.6 Definici´on. Sean a(x), b(x)∈K[x]. Tomamosa(x)< b(x) si
i. a(x) = 0 y b(x)6= 0 (es decir 0< b(x),∀b(x)∈K[X]−0) ´o
ii. En caso de a(x) 6= 0 y b(x) 6= 0, cuando Gr(a(x)) < Gr(b(x)). Adem´as tomamosa(x)≤b(x) sia(x)< b(x) ´o a(x) =b(x) 2
Entonces se tiene que ≤es un orden no total. Mas precisamente
3.7 Proposici´on.
i. <es antisim´etrica: sia(x)< b(x) yb(x)< a(x) entoncesa(x) = b(x).
ii. < es transitiva: si a(x) < b(x) y b(x) < c(x) entonces a(x) < c(x).
Demostraci´on: Como en el caso de Z, (i) se cumple puesto que a(x) < b(x) y b(x) < a(x) es una afirmaci´on falsa y la implicaci´on es entonces verdadera. En cuanto a (ii), se traduce a algo equivalente en
Nutilizando los grados. (iii) es rutina 2
Ahora podemos establecer el algoritmo de la divisi´on como en el caso de los n´umeros enteros, pero no hay que olvidar que ahora≤no es un orden total.
3.8 Teorema. Sean a(x), b(x) ∈ K[x] con b(x) 6= 0. Entonces existenq(x), r(x)∈K[x] tales que:
a(x) =q(x)b(x) +r(x) con 0≤r(x)< b(x) (AD)
Demostraci´on: Primero consideremos a(x) < b(x). En tal caso es claro que la igualdad a(x) = 0.b(x) +a(x) llena las condiciones. Supongamos ahora que a(x) ≥ b(x). Bajo esta condici´on a(x) 6= 0. As´ı puesa(x) tiene grado y podemos hacer inducci´on sobre ´el.
Si Gr(a(x)) = 0 entonces Gr(b(x)) = 0 y, digamos, a(x) = k y
b(x) = s y el algoritmo de la divisi´on se reduce a k = k
ss. Veamos ahora que, si se tiene AD para polinomiosa(x) yb(x) cualesquiera con Gr(a(x))≤n, entonces tambi´en se tiene paraGr(a(x)) =n+ 1. Sean
i=n+1 X
i=0
aixi, b(x) = i=m
X
i=0
bixi y n+ 1≥m. entonces:
a(x) = an+1 bm
xn+1−mb(x) +
a(x)−b(x)an+1 bm
xn+1−m
Ahora, el grado del polinomio en par´entesis es menor o igual an. As´ı pues, por la hip´otesis de inducci´on, se tiene que ´el mismo es igual a q(x)b(x) +r(x) donde 0≤r(x)< b(x) y por tanto
a(x) = an+1 bm
an+1
bm
xn+1−m+q(x)
b(x) +r(x) con0≤r(x)< b(x) 2
Existe una regla para acotar el grado de una suma de polinomios como en el caso del par´entesis de la ´ultima igualdad:
3.9 Problema.
1. Muestre que el grado de la suma de dos polinomios no cero bi´en no existe o bi´en es menor o igual que el m´aximo de los dos grados.
2. Decida si, cuando K es un anillo, el algoritmo de la divisi´on (AD) existe en K[x]. En todo caso establezca condiciones (de ser necesarias) y d´e ejemplos de ellas.
3. Efect´ue las divisiones siguientes en R[x],Q[x],Z[x],Z6[x],Z3[x] seg´un el algoritmo de la divisi´on, paraa(x) yb(x) en cada caso.
i. a(x) = 12x4+ 4x+ 12 b(x) = 3x3+ 12 ii. a(x) = 2x4+ 6x3+ 12x−3 b(x) = 2x5
iii. a(x) = 3x7+ 5x5+ 3x4+ 5x−3 b(x) =x−14.
4. Efect´ue las divisiones precedentes usando la notaci´on (a0, a1, a2, . . .) para P
aixi . D´e una regla para hacerlas (ll´amela
ex-tensi´on de la divisi´on sint´etica).
En cuanto a la unicidad del algoritmo tenemos:
3.10 Proposici´on. En K[x] si b(x) 6= 0 y q(x)b(x) + r(x) = p(x)b(x) +s(x), en donde 0≤r(x), s(x)< b(x), entoncesr(x) = s(x) y q(x) =p(x).
Subestructuras de K[x]
Contrario a lo que sucede en los enteros, en K[x] las subestructuras no coinciden. Se le pide para iniciar que de ejemplos que ilustren la diferencia as´ı:
3.11 Problema.
1. Muestre que enK[x] un subconjuntoB 6=φes un subgrupo si y s´olo si es cerrado para la diferencia.
2. Demuestre que para n ∈ N, los polinomios de grado menor o igual anforman un subgrupo deK[x], digamos Kn[x]. Muestre adem´as que Kn[x] es cerrado para la multiplicaci´on por escalar y no es cerrado para el producto.
3. Muestre que los polinomios de grado par, junto con el cero, no forman una K−sub´algebra de K[x]. Cual ser´ıa la K−sub´algebra generada por ellos?.
4. Llamemos polinomios “pares” aquellos en los cuales los coefi-cientes no cero van en los t´erminos pares. Muestre que los poli-nomios pares forman una K−sub´algebra de K[x] la cual no es un ideal deK[x].
5. Suponga que a los polinomios pares los llamamos tambi´en 2−po-linomios. Defina 3−polinomios y d´e su estructura. Defina p−po-linomios (p∈N) y determine su estructura 2
El problema precedente muestra que existen varios tipos de subestruc-turas enK[x]. Pero cuando se trata de ideales, entonces, como vere-mos, todos ellos son ideales principales y por lo tanto los ejemplos son inmediatos.
Demostraci´on: Sea I un ideal de K[x]. Si I = 0 entonces I es principal. Si I 6= 0, entonces sea p(x) un polinomio de I de grado m´ınimo. Veamos que todo otro polinomio (no cero) deI es de la forma p(x)q(x) para alg´un q(x) ∈ K[x]. En efecto, si h(x) ∈ I entonces h(x) = q(x)p(x) +r(x) en donde 0 ≤ r(x) < p(x). Como r(x) = h(x)−q(x)p(x)∈I la selecci´on dep(x) y la condici´on 0≤r(x)< p(x) implica que r(x) = 0 y entonces h(x) =q(x)p(x) 2
3.13 Problema. En cada caso de 1 a 5, d´e un elemento t´ıpico (o general) del ideal I en K[x].
1. I es el ideal generado por x.
2. I es el ideal generado por 1 + 1 (supuesto que 1 + 16= 0)
3. I es el ideal generado por x2.
4. I es el ideal generado por x2 y x.
5. I es el ideal x2K[x] +xK[x] (Verifique que en efecto el conjunto dado es un ideal).
6. Si Ii∈J es una familia de ideales de A, tome PIi∈J como
S
T (
P
Ii∈T) donde T recorre las partes finitas de J. Note que
la reuni´on de conjuntos finitos es finita. C´omo es un elemento t´ıpico de P
Ii∈J?. Demuestre que PIi∈J es un ideal de A. Si
A=K[x], cual es el generador de P Ii∈J?
7. Calcule un generador de (x+ 1)K[x] +xK[x] 2
M´aximo Com´un Divisor, M´ınimo Com´un M´ultiplo en K[x]
En el caso de polinomios el m´aximo com´un divisor (y dualmente el m´ınimo com´un m´ultiplo) se toma en el sentido de infimales en la relaci´on de divisibilidad que es un preorden. En general, dado un conjunto A⊆K[x], denotamos
M C(A) ={f ∈K[x]|gDf,∀g∈A}
a los conjuntos de divisores comunes y m´ultiplos comunes para los elementos deArespectivamente. Naturalmente estos no son otra cosa que el conjunto de cotas inferiores y el de las cotas superiores de A, respectivamente para el preordenD.
Recordemos que, en general si una relaci´on < en un conjunto A es un preorden antisim´etrico, entonces se denota por maxB a la clase m´axima del conjunto [B] = {[b] | b ∈ B} del orden inducido por el preorden D. Es decir maxB = max[B]. Esta es, por supuesto, una clase y es ´unica puesto que, al cociente de A sobre la relaci´on de equivalencia del preorden, el m´aximo, si existe es ´unico. Desde el punto de vista de (A, <), maxB es un conjunto (el de los elementos maximales) y no necesariamente un ´unico elemento. Igual cosa debe decirse para minB, supB e infB
3.15 Definici´on. SiA⊆K[x] entonces tomamosM CD(A) = inf[A] yM CM(A) = sup[A] 2
Note que, de manera obvia, se tiene que M CD(A) = maxDC(A) y que M CM(A) = minM C(A). En cuanto a aspectos pr´acticos para algunos c´alculos, note que 1 ∈ DC(A), para cada A ⊆ K[x], aun cuandoA sea vac´ıo. Aqu´ı nosotros estamos interesados en el casoA, tanto paraDC como paraM C.
Debe tenerse en cuenta que el cero suele representar problemas para los novatos y los conjuntos que lo contengan deben ser chequeados con cuidado. Algunas propiedades elementales de M CD(A) y M CM(A) son:
3.16 Proposici´on.
i. f(x)∈M CD(A)↔K∗f(x) =M CD(A). ii. f(x)∈M CM(A)↔K∗f(x) =M CM(A).
iv. DC(φ) =K[X].
v. M C(φ) =K[X]. 2
Esto nos remite a la siguiente:
3.17 Definici´on. SeaA⊆K[x].
i. Si M CD(A) 6= 0, al ´unico polinomio m´onico que pertenece a M CD(A) si existe se le llama el m´aximo com´un divisor de A y se le denotamcd(A). Si no existe se tomamcd(A) = 0.
ii. Si M CM(A) 6= 0, al ´unico polinomio m´onico, que pertenece a M CM(A) si existe se le llama el m´ınimo com´un m´ultiplo de A y se denota mcm(A). Si no existe se tomamcm(A) = 0
Note que, de 3.16, se sigue que M CD(A) es una clase de equivalen-cia por asoequivalen-ciaci´on. Por tanto M CD(A) = {0} ´o M CD(A) = [f(x)] para alg´un f(x) 6= 0. 3.17 afirma que si M CD(A) = {0}, entonces
mcd(A) = 0 y siM CD(A) = [f(x)]6={0}, mcd(A) = 1
af(x), donde a es el coeficiente director de f(x). Igual cosa paraM CM ymcm. Mas adelante veremos que, en el caso de K[x], mcd(A) y mcm(A) siempre existen para A6=φy a usted se l´e pide que decida sobre el casoA=φ
3.18 Problema.
1. i. Demuestre quef(x) =mcd(A) si y s´olo si:
M CD1) f(x) es m´onico y f(x)Dg(x) para todo g(x)∈A.
M CD2) Si h(x)Dg(x), para todo g(x)∈ A, entonces h(x)
Df(x).
2. Calcule elmcd(I) y elmcm(I) de todos los idealesI (triviales o no) deK[x].
3. Para cadaAen la lista que sigue calculeDC(A),M C(A),M CD(A), M CM(A), mcd(A), mcm(A) si existen.
i. A= {p(x)}(p(x)6= 0).
ii. A= {2x+ 3; 3x+ 4} enR[x].
iii. A= {2x+ 3; 3x+ 4} enC[x].
iv. A= {x2+1;x+ 3} en R[x].
v. A= {x2+1;x2+3} en C[x]. vi. A= {0;x+ 3;x2+7}en R[x].
vii. A= {0;x+ 3;x2+7}en C[x]
Existencia de MCM Y MCD en K[x]
En esta parte mostraremos que, como en el caso deZ, existenmcd(A) ymcm(A) para conjuntos finitosAque no contengan a cero, como es lo cl´asico. Para facilitar la demostraci´on usaremos letras (sin indetermi-nadas) para escribir polinomios y de paso mostrar que la situaci´on es mucho mas general. En los problemas suplementarios 12 y 16 se le pide completar al teorema de existencia en toda la generalidad prevista.
3.19 Proposici´on. Denotemos por A a K[x] por facilidad ti-pogr´afica. Sea {a1, . . . , an} ⊆ A, con ai 6= 0, para todo i.
En-tonces:
i. mcd({a1, . . . , an}) existe y es el generador m´onico de n
X
i=1 aiA.
ii. mcm({a1, . . . , an}) existe y es el generador m´onico de
n T
i=1 aiA.
Demostraci´on: Demostremos (ii). Supongamos pues que
con bm´onico y veamos queb=mcm{a1, a2, . . . , an}. En efecto como
b∈bA, entoncesb∈aiA, para cadai. Es decir queaiDb, para cada i.
Si por otro lado,aiDt, para todoi, entoncest∈aiApara cada iy por
tanto t ∈ ∩aiA = bA. Se tiene pues que bDt. Esto es independiente
de que tsea m´onico o no . En particular cuando lo es. Por tanto bes el minorante m´onico de los m´ultiplos de{a1, a2, . . . , an}.
3.20 Notaci´on. Tambi´en usaremos ((A)) para m´aximo com´un divi-sor de A y ((a1, a2, . . . , an)) en cambio de (({a1, a2, . . . , an})).
Similarmente se usar´a [A] para el m´ınimo com´un m´ultiplo de A y [a1, a2, . . . , an] en cambio de [{a1, a2, . . . , an}] 2
En las siguientes l´ıneas tocamos el algoritmo que permite calcularmcd, que ya sabemos que existe en el caso de un n´umero finito de polinomios no cero. En lo que sigue a, b, c, . . .denotar´an polinomios y A, B, C, . . . conjuntos de polinomios.
Tomemos A ≈ B ↔ ((A)) = ((B)). Es decir que dos conjuntos de polinomios est´an relacionados por≈si tienen el mismo m´aximo com´un divisor. Naturalmente una condici´on suficiente para queA≈B es que tengan los mismos conjuntos de divisores comunes. Este es el caso de un resultado muy f´acil de demostrar y que adem´as es muy ´util.
3.21 Proposici´on. SeanA, B⊆K[x]. Entonces A≈B si y s´olo si CD(A) =CD(B) 2
El Algoritmo de Euclides en K[x]
En el caso de conjuntos de dos polinomios (y entonces de un n´umero finito de ellos) se tiene una condici´on suficiente aun mas simple para que tengan divisores comunes.
De nuevo, el resultado es inmediato y as´ı , si a = bq +r entonces ((a, b)) = ((b, r)). Lo importante es que, dados a y b siempre existen q yr como en la proposici´on y adem´as con la propiedad extra de que r < b, con lo cual se disminuye la cota superior de trabajo. Esto est´a garantizado por el algoritmo de la divisi´on. Usando divisi´on se puede iterar el proceso hasta que el residuo sea cero y se obtiene
((a, b)) = ((b, r1)) = ((r1, r2)) =· · ·= ((rn,0)) =m(rn)
en dondem(rn) denota el polinomio m´onico asociado a rn.
Si al ´ultimo residuo no cero lo denominamosel residuo de ((a, b)) (que aqu´ı esrn) y lo denotamos res(a, b) entonces tenemos que ((a, b)) =
m(res(a, b)). Por ejemplo para calcular ((x3+ 3x+ 6, x2+x+ 1)) en R[x] se tiene:
((x3+ 3x+ 6, x2+x+ 1)) = ((x2+x+ 1,3x+ 7)) =
((3x+ 7,37/9)) = ((37/9,0)) = 1
Note que este algoritmo no depende realmente de los conceptos de ideales y de su uso en el teorema 3.19. Los problemas muestran como podemos explotarlo.
En cuanto a la relaci´on del m´aximo com´un divisor y del m´ınimo com´un m´ultiplo en K[x] se tiene que:
3.23 Proposici´on. Parap(x), q(x)∈K[x], [p(x), q(x)]((p(x), q(x))) =p(x)q(x).
Demostraci´on: Puesto que ((p(x), q(x)))Dp(x), existe c(x) tal que p(x)q(x) = c(x)((p(x), q(x))). Deseamos demostrar que c(x) = [p(x), q(x)]. Notemos primero queq(x)Dc(x) yp(x)Dc(x). En efecto, la primera afirmaci´on sigue de que, como para alg´un polinomio u(x), p(x) =u(x)((p(x), q(x))), se recibe
y como ((p(x), q(x))) 6= 0 entonces q(x)u(x) = c(x). Esto muestra que, en efecto, q(x)Dc(x). De la misma manera se demuestra que p(x)Dc(x).
Suponga ahora que p(x)Dt(x) y q(x)Dt(x) donde t(x) es un poli-nomio cualquiera. Entonces p(x)q(x) divide a q(x)t(x) y a p(x)t(x) y por ende a cualquier combinaci´on lineal de ellos en particular a t(x)((p(x), q(x))).
As´ı pues, puesto quep(x)q(x) =c(x)((p(x), q(x))) se recibe que
c(x)((p(x), q(x)))Dt(x)((p(x), q(x)))
y por ende c(x)Dt(x). As´ı, c(x) es un minimal de las cotas superiores de p(x) y q(x) y entonces c(x)= [p(x), q(x)]a 2
El resultado que sigue hace parte de los ejercicios del cap´ıtulo, pero dada su importancia lo resaltamos como una proposici´on.
3.24 Proposici´on. Seanpi(x)∈K[x], para i= 1, ..., n. Entonces:
((p1(x), ..., pn(x))) = 1↔ ∃q1(x), ..., qn(x)
tales que
n
X
i=1
pi(x)qi(x) = 1 2
Problemas Suplementarios
Con la notaci´on de 3.19:
1. i. Use 3.19 para demostrar que, en un dominio A existen
c, d∈A tales que ac+bd=m↔((a, b))Dm.
ii. Demuestre que existen c, d ∈ A tales que ac+bd = 1 ↔ ((a, b)) = 1.
2. Use el algoritmo de Euclides e inducci´on matem´atica (sobre la longitud del algoritmo) en cambio de 3.19 para demostrar lo pedido en el problema 1. Generalice los resultados de las partes i) y de ii) para un n´umero finito de polinomios en cambio dea yb(No se requiere el uso del algoritmo de Euclides). Generalice para un subconjunto cualquieraB de A.
3. Demuestre que ((a, b, c)) = ((e, c)) en donde ((a, b)) =ey ´uselo para demostrar afirmaciones del tipo del Problema 1 para tres (3) elementos en vez de dos (2) de ellos. Generalice an elementos.
4. Encuentre todos los posibles m ∈ Z tales que (x−3) D (x4+ x3+x+ 4) en
Zm[x].
5. i. Sean f, g, h ∈ K[x] y suponga que ((f, g)) = 1 y hDf. Muestre que entonces ((h, g)) = 1.
ii. Generalice a un conjuntoAcualquiera en cambio de{f, g}. Enuncie con toda precisi´on la generalizaci´on y demuestre sus afirmaciones.
iii. Generalice todo lo posible a i) cuando, en cambio de ((f, g)) = 1, se tiene ((f, g)) =p. Incluya la relaci´on entreDC{h, g} yDC{f, g}. As´ı mismo incluya expl´ıcitamente la relaci´on entreM CD{h, g} yM CD{f, g}. Ilustre con ejemplos. Fi-nalmente d´e la relaci´on entremcd{h, g}ymcd{f, g}.
iv. Decida si iii) de arriba se puede generalizar para un sub-conjuntoAde K[x] y un elemento f de A.
v. D´e y demuestre las afirmaciones ( de i a iv ) que correspon-den a m´ınimo com´un m´ultiplo en cambio de m´aximo com´un divisor.
6. Sea K2 un dominio extensi´on de K1. (Es decir que K1 es un subdominio deK2). Seanf, g∈K1. Responda:
i. Es posible que fDg en K1, pero no en K2?
iii. Cual es la relaci´on entre ((f, g)) enK1 en K2?
Demuestre cada una de las afirmaciones requeridas en sus respuestas.
7. Muestre que si K es un dominio, entonces el algoritmo de la divisi´on no necesariamente se da en K[x]. D´e una condici´on necesaria y suficiente para que el algoritmo de la divisi´on de a(x) con b(x)6= 0 se d´e en K[x] cuandoK es un dominio.
8. Haga un diagrama de flujo para calcular el m´aximo com´un divi-sor de dos polinomios usando el algoritmo de Euclides, en R[x].
9. Seapn(x) = 1+x+x2+· · ·+xn. Demuestre que ((pn(x), pm(x)))
=pd(x) donded= ((m+ 1, n+ 1))−1.
10. Decida si existen o no ( y en caso dado encu´entrelos), polinomios p(x) y q(x) tales quep(x)(x2−3x+ 2) +q(x)(x2+x+ 1) = 1, en Q{x}.
11. D´e, en cada caso, el conjunto de los divisores del polinomio
(a) x2+x+ 1 en Z2[x].
(b) x2+ 1 en Z7[x].
(c) x3−9 enZ31[x].
(d) x3−9 enZ11[x].
12. Muestre que mcd(A) =mcd(A∪0) y quemcm(A) = 0 si 0∈A. Calcule mcd(φ) y mcm(φ).
13. D´e, si existe, el mayor subconjunto A de K[x] para el cual M CD(A) = K[x]. Haga lo propio para M CM. Solucione las mismas preguntas usando “menor” en cambio de “mayor” y 1 en cambio de K[x] en la igualdad dada.
14. Para un anillo A tome aDb si existe c ∈ A tal que ac = b. Demuestre que:
ii. x=a y↔ ∃k∈ U(A) (las unidades de A) tal que x=ky.
iii. 0Da↔a= 0 yaD0, ∀a∈A.
iv. xDy ↔(U(A)x)D(U(A)y).
v. Para=, [x] =a U(A)x.
vi. x=a y→xz=a yz.
vii. U(A)DA.
viii. Para T ⊆A,aDT ↔aDI< T >.
(Recuerde queBC={bc|b∈B y c∈C})
15. SupongaAun conjunto yNe =N∪{e}cone /∈N(N={0,1,2,3, . . .}). El orden deNse extiende a Ne tomandoe < n, ∀n∈N.
i. Demuestre que≤enNe es un orden total y<es tricot´omico en el sentido de que∀a, b ∈ Ne, se d´a a lo m´as uno de a= b, a < b, b < a.
ii. Demuestre que sif :A→Ne es una funci´on y se toma enA, x < ysi (y solo si)f(x)< f(y), entonces<es antisim´etrico y transitivo enA pero no necesariamente total aunque s´ı es tricot´omico, en el sentido dei.
iii. Muestre que el orden de la definici´on 3.6 es del tipo de la parte ii).
iv. Generalice la parte ii) para producir ´ordenes (respectiva-mente ´ordenes totales) por medio de funciones
f :A→(B, <).
16. Sea Aun dominio y B⊆A. Demuestre que:
a) Si I< B > denota el ideal deA, generado por B, entonces I< B >=tA↔t=a mcd(B)
b) \
b∈B
bA=tA↔t=a mcm(B). (Asegurese que la afirmaci´on
