TEMA I EL MOVIMIENTO

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TEMA I EL MOVIMIENTO

I.1 POSICIÓN Y TRAYECTORIA

Ç

En física son muy importantes los elementos matemáticos llamados vectores Recuadro página 9 arriba a la derecha

La cinemática estudia el movimiento si tener en cuenta la causas que lo produce.

Características del Movimiento

 Es relativo, depende del objeto al que se refiere. página 8

 Consiste en un cambio de posición respecto al objeto al cual se refiere el movimiento (sistema de referencia). página 8

 Puede ser de rotación, traslación (cicular, rectilíneo, etc) o una combinación de ambos, página 9

Ninguna afirmación sobre el movimiento tiene sentido Si no se indica el sistema de referencia.

Elementos básicos del movimiento

 Posición: es la localización de un punto en el espacio. Página 9

Viene dada por el vector de posición

 Trayectoria Página 9

 Desplazamiento es la distancia entre dos puntos de la trayectoria Página 10

Viene dado por el vector desplazamiento y su módulo.

 Espacio recorrido (

e

Pág 2

Actividad 1 Explica qué significan las siguientes afirmaciones: “El movimiento es relativo”

“La trayectoria es relativa al sistema de referencia usado” “La elección del sistema de referencia es arbitraria”

b) Indica sobre el vector los elementos del mismo.

c) Realiza las actividades 4 (halla también el desplazamiento y el espacio recorrido), 7 y 8 tema 1 del libro de texto

Actividad 2 Cuando el movimiento es rectilíneo podemos elegir el Sistema de referencia (en adelante SR) para que coincida con la trayectoria. En este caso la posición r queda perfectamente conocida si damos la coordenada “x”, ya que entonces el vector de posición r tiene de módulo el valor de x del punto P en el que se encuentra el móvil, su dirección es la de la trayectoria y su sentido hacia la derecha (fíjate en la figura adjunta):

En estos casos es muy fácil hacer una representación gráfica del movimiento. Basta con representar la posición (x) en ordenadas y el tiempo (t )en abcisas.

Pág 3 I.2 VELOCIDAD

Ejemplo 1 Una noria de 11 m de radio describe una vuelta completa en 1 minuto. Halla la velocidad de cada asiento la noria y calcula la distancia recorrida por uno de ellos en 2 minutos

Actividad 3 Completa la tabla, referida. Utiliza factores de conversión para hacer el cambio de unidades:

OBJETO velocidad en m/s velocidad en km/h

nave Voyaguer 62.500

tren levitación magnética 600

récord velocidad de un coche 1552

pez espada 27,8

Record mundo 100 m 10,44

Velocidad máxima de un animal 42.7

Actividad 4 Actividades 10,11, 50, 51 y 52 del tema 1 del libro de texto. LA VELOCIDAD

La velocidad es la magnitud que mide la rapidez con la que cambia la posición de un móvil respecto al sistema de referencia. En la vida real solemos estar interesados sólo en conocer las distancias recorridas por los objetos en un tiempo determinado, sin importarnos mucho lo que ocurre en las etapas intermedias del viaje. En

estos casos nos basta con indicar la velocidad media (

v

La unidad SI de la velocidad es el m/s, aunque otra unidad muy utilizada es el km/h. Para expresar la velocidad en una u otra unidad usamos factores de conversión, como en los ejemplos siguientes:

La anterior expresión de la velocidad media nos permite hacer cálculos sencillos sobre distancias recorridas en determinado tiempo o viceversa, sobre todo si el objeto que se mueve lo hace siempre a la misma velocidad, ya que entonces la velocidad es la velocidad media:

Pág 4 como

AB4.7

VELOCIDAD INSTANTÁNEA

Se puede obtener mayor información sobre el movimiento si dividimos el movimiento en intervalos muy pequeños. Si hacemos esto y consideramos un desplazamiento pequeño, como el de la figura inferior, en el que el móvil se desplaza de la posición A la posición B, te darás cuenta que el vector velocidad, está relacionado con el vector desplazamiento.

Dicho vector nos indicia cómo cambia la posición y nos lleva desde A hasta B, por lo que si definimos el vector velocidad como entonces sabemos dónde vamos y con qué rapidez lo

hacemos.

Pero si hacemos el intervalo de tiempo extremadamente corto, prácticamente cero (en física se dice que el tiempo tiende a cero), entonces no hay pérdida alguna de información (pues coinciden espacio recorrido y desplazamiento) y tendremos la velocidad en un instante dado o velocidad instantánea.

 Velocidad instantánea V es el vector velocidad que tiene la partícula en un instante dado.

 Rapidez es modulo del vector velocidad instantánea.

fi

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ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO

Es evidente que cualquier movimiento queda completamente descrito si conocemos el valor de la posición del móvil en cada instante determinado. La ecuación que nos da la posición de un objeto en función del tiempo se denomina ecuación del movimiento y nos permite saber todo acerca de ese movimiento.

Encontrar la ecuación del movimiento no es fácil, exceptuando casos sencillos como es el MRU. Observa el gráfico adjunto, que hace referencia a un MRU de un objeto que pasa del punto de posición r0 (dada por la coordenada X0) en el instante inicial (t0) a otra posición r (dada por la coordenada X) en otro instante cualquiera (t):

La velocidad es constante en todo el tiempo y el módulo del vector desplazamiento vale (X- X0), por lo que podemos hacer los siguientes cálculos

Que es la ecuación del movimiento, ya que nos permite calcular todas las posiciones (dadas por x) sin mas que sustituir en ella:

Actividad 5 Piensa y responde:

a) ¿Cuánto vale el módulo del vector velocidad instantánea?

b) Giras en una curva pero el velocímetro de tu coche marca siempre 20 km/h. ¿cambia el vector velocidad?

c) En un movimiento circular en el que un objeto siempre se mueve a la misma velocidad, medida sobre la trayectoria.. ¿cambia el vector velocidad instantánea?

d) Si el vector velocidad instantánea permanece constante en el tiempo.. ¿qué tipo de línea es la trayectoria?.

I.3 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

Actividad 6 Dibuja la gráfica posición-tiempo de la tabla posición-tiempo del ejemplo del libro de la página 14 (arriba).

Movimiento rectilíneo uniforme MRU

 Es aquel en el que la velocidad es constante.

 La trayectoria es una línea recta.

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Por lo tanto la ecuación del movimiento para un MRU es

como

Ejemplo 2 “Juan va todos los días en bicicleta de Sevilla al Aljarafe (que está a 20 km de Sevilla) a una velocidad constante de 100 km/h. ¿A que distancia se encuentra del Aljarafe al cabo de 8 minutos?.”

Ejemplo 3“En el último tramo de un rally a 30 km de meta, pasa un coche por el control a velocidad constante de 100 km/h y 5 minutos después lo hace una moto a 136 km/h. ¿Cuál llega antes a la meta?, ¿A qué distancia alcanza la moto al coche?.

Método general para resolver problemas de movimiento

Para resolver problemas de movimiento usamos la ecuación del mismo, debes seguir el siguiente procedimiento:

1. Realiza un dibujo esquemático del problema. 2. Elige un SR.

3. Escribe los datos teniendo en cuenta el SR elegido y las unidades. 4. Escribe la ecuación (o ecuaciones) del movimiento.

5. Sustituye los datos en las ecuaciones y simplifica.

6. Ahora calcula las incógnitas, resolviendo las ecuaciones resultantes (no se te olviden las unidades).

7. Piensa si los resultados que has obtenido tienen sentido y son razonables. 8.

Pág 7 Actividad 7 Resuelve los siguientes problemas:

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Actividad 9 Resuelve gráficamente el problema 57 de la página 26 del libro de texto.

Actividad 10 Un coche parte del origen de coordenadas con velocidad constante de 5 m/s y otro parte a la vez a la vez con la misma velocidad constante pero partiendo de un punto situado a 400 m a la derecha del origen de coordenadas. Calcula gráficamente el tiempo que tardan en encontrarse y la posición en la que lo hacen.

S: 40 s y 200 m a la derecha del origen de coordenadas.

Actividad 11 Relaciona las gráficas v-t con su expresión de la ecuación del movimiento (recuerda que “e” es “x” en nuestra terminología).

Resolución gráfica de problemas de movimiento

Como ya sabemos la representación gráfica x-t de un MRU es una línea recta. Si comparamos la ecuación del moviendo del MRU y la expresión de la función afín, te darás cuenta que:

Por lo tanto es podemos encontrar fácilmente la ecuación del movimiento hallando gráficamente la ordenada en el origen y la pendiente de la recta:

Pág 9 I.4 ACELERACIÓN

AB4.7

Actividad 12 Define: aceleración media, aceleración instantánea, frenar, acelerar, aceleración tangencial.

Actividad 13 a) - En movimiento rectilíneo: ¿Cómo es el sentido del vector aceleración respecto al del vector velocidad cuando el objeto “acelera”?, ¿y cuando el objeto “frena”?, ¿Cuánto vale el módulo del vector aceleración?.

b) En un movimiento rectilíneo con aceleración… ¿Cómo elegiremos el SR?, ¿Cuándo será positiva la aceleración?, ¿Cuándo será negativa?, ¿es posible que el coche “acelere” y su aceleración sea negativa?. Dibuja un esquema para aclarar tus ideas.

c) Un coche pasa de una velocidad de 100 m/s a otra de 20 m/s en 5 s. ¿Cuánto vale su aceleración media?, ¿el coche “acelera” o “frena”?.

ACELERACIÓN

Cuando la velocidad instantánea de un objeto cambia con el tiempo, se dice que tiene aceleración. Definimos la aceleración como una magnitud que mide cómo cambia la velocidad con el tiempo. La

aceleración media

a

Y su unidad en el SI es el m/s2.

Cuando calculamos la aceleración media entre dos puntos A y B nos puede salir positiva o negativa. Los valores positivos de la aceleración media se corresponden con lo que entendemos por “acelerar” en la vida cotidiana y “frenar” si esta es negativa.

 Si

a

 Si

a

Pero si queremos obtener mas información sobre cómo cambia la velocidad durante el movimiento, haremos algo similar a lo que ya hicimos con anterioridad: tomar intervalos de tiempo cada vez mas cortos a fin de obtener mayor información. Si hacemos el intervalo extremadamente corto (que tienda a cero),

obtenemos la expresión de la aceleración instantánea:

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Actividad 14 Actividades 20 y 21 del tema 1 del libro de texto.

I.5 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

como

AB4.7

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA) Es aquel en el que la trayectoria es una línea recta y la aceleración es constante.

Fíjate que no decimos si el móvil “acelera” o “frena”, sólo que tienen aceleración constante. Al ser constante la

aceleración “

a

a

Expresión que nos permite hallar la velocidad del móvil en cualquier instante. No es fácil encontrar la ecuación del movimiento pero es posible demostrar (página 17) que para el MRUA es

Para resolver problemas de movimiento usando la ecuación del mismo, debes seguir el mismo procedimiento descrito cuando trabajos el MRU, sólo que usando las ecuaciones del MRUA:

Para trabajar con ella debes recordar que la posición viene dada por el vector de posición, que viene indicado por la coordenada x. Valores positivos de X indica que la posición es en el mismo sentido del SR elegido y negativo en el sentido contrario. Lo mismo es válido para la velocidad y para la aceleración Por lo tanto es imprescindible tener claro el SR, para que todas las ecuaciones y los números tengan sentido.

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Ejemplo 4 “Se deja caer una pelota desde 5 m de altura. ¿Cuanto tarda en llegar la pelota al suelo?.¿Con qué velocidad llega al suelo?. Dato aceleración de la gravedad = g = 9’8 m/s2” Ejemplo 5 Lanzamos, desde el suelo, una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 15 m/s. Halla la altura máxima alcanzada y el tiempo que tarda en llegar otra vez al suelo. ¿Con qué velocidad cae en el suelo?.”

Figura ejemplo 4 Figura ejemplo 5

Actividad 15 Actividades 24, 25, 26, 30, 31, 32 y 33 del tema 1 del libro de texto.

Actividad 16 Observa los ejemplos y dibuja las gráficas que correspondan a un MRUA de aceleración positiva, que parta con velocidad inicial negativa, desde el origen de coordenadas.

Se corresponde a un MRUA

con Vo y a en la misma

dirección y sentido (eligiendo el

SR en esa misma dirección y

sentido)

Pág 12 I.6 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Actividad 17 Actividades 35, 36, 37, 67,68 y 69 del libro de texto del tema 1. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)

Es aquel en el que la trayectoria es una circunferencia y el módulo de la velocidad es constante.

Hay aceleración porque cambia la dirección y sentido del vector velocidad. Esta aceleración se llama normal o centrípeta. No hay aceleración tangencial, porque no cambia el módulo de la velocidad.

Características del MCU:

1- Se recorren ángulos iguales en tiempos iguales. 2- El movimiento es periódico.

Ya que se repite cada cierto tiempo. 3- El ángulo se mide en radianes.

Un ángulo de 360º tiene 2 π radianes

4- La relación entre el ángulo girado

Δφ

Δt

Velocidad angular

ω

5- Podemos saber la posición del móvil indicando el valor del radio de giro R y el valor del ángulo girado φ.

6- Podemos describir la ecuación del MCU indicando el valor del ángulo en función del tiempo, tomando como origen el ángulo 0 radianes.

7- La velocidad de cada punto del objeto que gira depende de su distancia al centro de giro y se puede calcular de acuerdo a la siguiente ecuación:

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ACTIVIDADES DE REFUERZO

1.- Un coche inicia un viaje desde el mojón 20 km de una carretera y viaja a una velocidad uniforme de 90 km/h. Halla la ecuación del movimiento y calcula su posición y espacio recorrido al cabo de 2 horas. ¿Cuánto tiempo tardará en pasar por el mojón 150 km?. S: se encuentra en el mojón 200 km, ha recorrido 180 km y tarda 1’44 horas en pasar por el mojón de 150 km.

2.- Dos móviles salen uno en persecución del otro y separados una distancia de 1 km. Si las velocidades son de 10 y 12 km/h, halla las ecuaciones del movimiento y el tiempo y la posición en que uno alcanza al otro. S: se encuentran a las 0’5 horas y

a 6 km del origen.

3.- Un pasajero llega a una estación de tren con una hora de retraso y decide tomar el taxi para alcanzar al tren. Si el tren viaja a 60 km/h y el taxi a 90 km/h, halla las ecuaciones del movimiento (ojo, el tiempo cero debe ser el mismo para ambos) y el tiempo y la posición en la que el taxi alcanza al tren. S: se encuentran a las 2 horas y a 180 km de la estación.

4.- Dos nadadores saltan desde extremos opuestos de una piscina de 100m. Si uno nada a 4 m/s y el otro a 6 m/s. Calcula el tiempo y la distancia a la que se encuentran.

S: se encuentran a las 10 s y a 40 m del nadador mas lento.

5.- Dos locomotoras A y B se acercan moviéndose por vías paralelas y se encuentran a 8'5 km de distancia. Ambos trenes viajan a una velocidad constante de 120 km/h. Hallar: A) Ecuación del movimiento de cada tren, B) tiempo que tardan en encontrarse, C) Posición cuando se encuentran, D) Distancia que las separa al cabo de 10 minutos. S: 127'5 s, 4'25 km a la derecha del tren situado mas a la izquierda y 31'5 km.

6.- Dos autobuses parten al mismo tiempo de dos ciudades que distan 200 km y llevan velocidades de 70 y 90 km/h. Calcula el tiempo que tardan en cruzarse y el lugar en el que lo hacen. S: 1'25 h y a 87'4 km del mas lento.

7.- Un coche se encuentra a 300 km de una ciudad y dos horas después está a tan solo 100 km. Halla la ecuación del movimiento del coche y el tiempo que debe transcurrir hasta llegar a la ciudad. S: 3 h desde el inicio del viaje.

8.- Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 10 m/s desde un balcón a 5 m de altura. Calcula la altura máxima alcanzada, el tiempo que tarda en pasar otra vez por el balcón, el tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo y la velocidad en dicho instante. S: 10'1 m, 2'04 s, 2'46 s y 14'1 m/s.

9.- Las gaviotas pescan replegando sus alas y dejándose caer hacia el mar. Supongamos que las gaviotas no pueden cambiar de trayectoria una vez iniciada la caída libre y que una gaviota se zambulle desde una altura de 400 m para pescar un pez que nada en la superficie del mar. Si el pez necesita 0'1 s para moverse y evitar a la gaviota a qué altura sobre el agua debe el pez de notar a la gaviota para evitar ser devorado? S: 1'9 m.

10.- Dejamos caer una pelota desde 20 m de altura. Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo y la velocidad con que lo hace. S: 2'02 s y 19'8 m.