FUTUROS Y FORWARDS 2
Precio futuro y Precio forward
Supuestos:
Se permiten ventas en corto.
No hay costos de transacci´on.
Se puede invertir y pedir prestado a la misma tasa libre de riesgo rf.
Precio forward
Notaci´on:
T =Fecha de entrega del contrato forward o futuro.
St =Precio del activo subyacente en el instantet.
F(t,T) =Precio forward en el instantet para un contrato con vencimiento en T.
Precio forward
Activos que no pagan dividendos:
F(t,T) =Sterf(T−t)
Activos que pagan dividendos: Si un activo paga dividendos Dτk, en las fechas τ1<τ2< ... <τN, entonces:
F(t,T) =Sterf(T−t)− N
∑
k=1
Dτke rf(T−τk)
= [St−I]erf(T−t)
donde I=∑Nk=1Dτke
Precio forward
Activos que pagan dividendos continuamente: Si el activo subyacente paga dividendos a una tasa qcompuesta
continuamente:
Valor de un contrato forward
Para0≤t≤T, el valor de un contrato forward en posici´on larga ent es:
V(t) = [F(t,T)−F(0,T))]e−rf(T−t)
y para la posici´on corta es:
V(t) = [F(0,T)−F(t,T))]e−rf(T−t)
Notas:
1. Se tiene que: V(t) =St−S0erf(t)
2. Si el precio forward pactado esK, entonces:
Valor de un contrato forward
3. Si el subyacente paga dividendos Dτk, en las fechas
τ1<τ2< ... <τN,y se defineI=∑Nk=1Dτke−rf(τk), entonces:
VK(0) =S0−I−Ke−rfT
4. Si hay un pago continuo de dividendos a una tasa compuesta continuamente q se tiene que :
Precio futuro y precio forward
Sirf es constante (compuesta continuamente), entonces el precio
forwardF(0,T)es igual al precio futuro f(0,T)si los contratos son pactados sobre el mismo subyacente.
Demostraci´on:
Forwards sobre ´ındices
Forwards sobre ´ındices:
En este caso el activo de inversi´on es el portafolio de activos sobre los cuales se calcula el ´ındice.
Se consideran los dividendos recibidos por el poseedor del portafolio como un retorno continuoq.
En este caso:
Forwards sobre ´ındices
Ejemplo
Consideremos un forward a 3 meses sobre el S&P 500 talque el retorno es del 1% anual, que el valor del ´ındice es 1300 y la
rf =5%.
El precio forward es:
Futuros y forwards sobre monedas
El subyacente es una unidad de una monedad extranjera.
S0=Precio spot corriente en moneda local de una unidad de
la moneda extranjera.(Tasa de cambio)
F(0,T) =Precio forward sobre una unidad de la moneda extranjera.
rf =tasa libre de riesgo local.
Futuros y forwards sobre monedas
Consideremos un agente que en este instante poseeM unidades de una moneda extranjera. El tiene dos formas de convertirla en moneda local para el instanteT.
1. En t=0 invertirM a la tasa libre de riesgo extranjera durante el periodo de 0 aT, y tomar posici´on corta en un forward con precio forward F(0,T) para convertir su inversi´on a moneda local.
Futuros y forwards sobre monedas
2. En t=0 cambiar lasM unidades de moneda extranjera a moneda local, e invertir lo conseguido a la tasa libre de riesgo local entre 0 y T.
M·S0·erfT
Si no hay oportunidades de arbitraje se tiene que:
M·erfeT·F(0,T) =M·S
0·erfT
Futuros y forwards sobre monedas
Ejemplo
Suponga que la tasa de inter´es en Colombia a dos a˜nos es del
5.39% y en Estados Unidos es de6.38%. la tasa de cambio spot peso-dolar es 1759.58. ¿Cu´al es el precio forward de un contrato a dos a˜nos?
ComoF(0,T) =S0e(rf−rfe)T, se tiene que:
Forwards sobre commodities
Por lo general este tipo de activos generan costos (almacenaje, transporte,...) que pueden ser tratados como dividendos negativos.
SiU es el valor presente de todos los costos durante la vida del contrato, se tiene que:
Forwards sobre commodities
Ejemplo
Considere un contrato futuro a un a˜no sobre un commoditie que genera costos de almacenaje de $2 por unidad del activo, pagados al final del a˜no. El precio spot del subyacente es $450 por unidad y
rf =7%, entonces:
U=2e−(0.07)(1)=1.865
F(0,1) = [450+1.865]e(0.07)(1)=484.63
Nota: Si los costos netos en los que se incurre se componen continuamente a una tasau, entonces:
Commodities para consumo
Para este tipo de productos se tiene que:
F(0,T) = [S0+U]erfT
Ejercicio: Mostrar que la igualdad se debe tener por no arbitraje.
Si una compa˜n´ıa o un agente poseen un activo de consumo es para utilizarlo en alg´un momento, luego no quiere venderlo en el
mercado spot ni tampoco adquirir un forward que no puede consumir.
Commodities para consumo
Lo anterior indica que la igualdad se tiene si existe unretorno de conveniencia(y) compuesto continuamente tal que:
F(0,T)eyT = (S0+U)erfT ⇒F(0,T) = (S0+U)e(rf−y)T
Cost carry
Elcost carryes el costo o ingreso que se puede tener por mantener una posici´on.
Este par´ametro mide: Costos de almacenamiento + Costos de financiamiento - Ingresos ganados por el activo.
Tipo de activo Cost carry (c)
No paga dividendos rf
´Indice rf−q
Monedas rf−rfe
Precio forward vs. Precio spot esperado
En general se tiene que:
F(0,T) =S0erfT
Dado el desconocimiento del precio del activo subyacente en el futuro, podemos considerar que la estrategia en el derivado surge de una consideraci´on de la forma:
F(0,T) = (E[ST]e−γ
1T
)erfT
F(0,T) =E[ST]e(rf−γ)T
Precio forward vs. Precio spot esperado
El retorno requerido por el inversionista depende del riesgo sistem´atico, entendiendo este como la correlaci´on entre el retorno del activo y el mercado.
Si γ=rf (no hay correlaci´on) entoncesF(0,T) =E[ST].
Si γ>rf (Positivamente correlacionado) entonces F(0,T)<E[ST](Backwardation).
