1
MATEMÁTICA 2 IPA PROF: ADRIÁN MILANO
Profesorado de Física 2018
MATRICES
Informalmente podemos decir que una matriz de números es un conjunto de números ordenados por filas y columnas en una tabla rectangular.
Ejemplos de matrices son:
−
−
−
=
1
0
2
1
1
i
i
A
,
−
=
2
3
1
1
B
,C
=
(
1
−
1
−
1
i
7
)
y
=
1
1
D
Las matrices tienen sus aplicaciones en la economía, ingeniería, medicina, sociología y otras ramas del conocimiento. Permiten organizar datos y sirven para esquematizar situaciones reales. Por ejemplo, las calificaciones obtenidas por Ana, Luis, José, Pedro y Lucía en matemática, física e historia en un curso de primer año de bachillerato, pueden formar una matriz cuyas columnas correspondan a las materias mencionadas y las filas a cada uno de los alumnos. En la intersección de una fila con una columna aparece la calificación obtenida por el alumno en la materia considerada.
Historia Física Ingles
9 12 8
12 8 9
7 5 3
10 8 4
3 7 8
Las matrices son muy útiles en la resolución de sistemas lineales de ecuaciones. Fue el matemático Arthur Cayley quien, en el siglo XIX, observó que las tablas numéricas podían ser miradas como objetos matemáticos. Definió matriz y estudió sus propiedades, contribuyendo al desarrollo del álgebra matricial, herramienta fundamental del álgebra lineal.
1. DEFINICIÓN DE MATRIZ
Sean
m
yn
números naturales positivos,K
un conjunto cualquiera yD
el conjunto de todos los pares(
i
,
j
)
de números naturales tales que1
≤
i
≤
m
y1
≤
j
≤
n
, es decir,D
=
{
1
,
2
,
...,
m
} {
×
1
,
2
,...,
n
}
.A cualquier función
A
de dominioD
y codominioK
se llama matriz de orden, tamaño o dimensiónm
×
n
definida sobre el conjuntoK
.Dicho de otra forma, si
I
=
{
1
,
2
,
...,
m
}
yJ
=
{
1
,
2
,...,
n
}
, una matrizA
de tamañom
×
n
es cualquier función de dominioI
×
J
y codominioK
.La imagen del par
(
i
,
j
)
por la funciónA
en vez de anotarseA
((
i
,
j
))
se le suele anotara
i j. ji
a
se llama elemento o entrada de la matriz en la posición ij.Las entradas de una matriz pueden ser elementos de cualquier naturaleza, como por ejemplo, números, funciones, etc. Como la función
A
tienem
⋅
n
imágenes o entradas, esta se puede describir completamente escribiendo las entradas en un rectángulo dem
filas yn
columnas como el siguiente:
mn m
m m
n n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
...
3 2 1
2 23
22 21
1 13
12 11
En esta forma de ordenar las entradas de una matriz, la entrada
a
i j es la que pertenece a la fila i y a la columnaj
de la matrizA
.2
Llamamos diagonal principal de la matriz
A
a los elementos de la formaa
ii coni
∈
N
,
1
≤
i
≤
n
.Haciendo abuso del lenguaje, en general identificamos la función
A
con el rectángulo donde se muestran sus imágenesy escribimos:
=
mn m
m m
n n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
...
3 2 1
2 23
22 21
1 13
12 11
o mas brevemente
A
=
(
a
ij)
m×n oA
=
(
a
ij)
Como casos particulares de matrices tenemos:
1) Si
m
=
n
, decimos queA
es una matriz cuadrada de tamañon
2) Sim
=
1
, decimos queA
es una matriz fila y3) Si
n
=
1
, decimos queA
es una matriz columna.A lo largo de este material, el conjunto
K
será, salvo se mencione lo contrario, el cuerpo de los números reales o el de los números complejos.Utilizaremos la notación Mm×n(K) para indicar el conjunto de las matrices de tamaño
m
×
n
cuyas entradaspertenecen al conjunto
K
.2. IGUALDAD ENTRE MATRICES
Se consideran las matrices
A
=
(
a
ij)
yB
=
(
b
ij)
de tamañom
×
n
con entradas en un cuerpoK
.Decimos que
A
yB
son matrices iguales (y escribiremosA
=
B
) si y sólo sia
i j=
b
ij para cada pareja)
,
(
i
j
de números naturales con1
≤
i
≤
m
y1
≤
j
≤
n
.Es decir, dos matrices son iguales cuando son del mismo tamaño y tienen las mismas entradas situadas en la misma posición. Esto es consecuencia de que las matrices son funciones y dos funciones
f
yg
son iguales si tienen el mismo dominioD
, el mismo codominio yf
(
x
)
=
g
(
x
)
,
∀
x
∈
D
.3. OPERACIONES CON MATRICES
3.1 SUMA DE MATRICES
Dadas las matrices
A
=
(
a
ij)
yB
=
(
b
ij)
de tamañom
×
n
con entradas en un cuerpoK
.Llamamos matriz suma de
A
yB
, a la matriz de tamañom
×
n
, que anotaremosA
+
B
, y que está definida sobre el cuerpoK
de la siguiente forma:A
+
B
=
(
a
ij+
b
ij)
para cada pareja(
i
,
j
)
de números naturales conn
j
m
i
≤
≤
≤
≤
1
1
y .La matriz
A
+
B
es de tamañom
×
n
y sus entradas se obtiene sumando las entradas deA
yB
que ocupan la misma posición.3
Ejercicio 11) Hallar todas las sumas posibles que se pueden realizar entre las siguientes matrices.
−
−
−
=
1
2
0
1
1
1
A
,
−
=
1
1
2
0
1
1
B
,
−
=
1
2
3
0
1
1
C
,
=
3
1
2
0
0
1
D
y
=
2
1
E
2) Dadas las matrices
−
+
−
+
+
=
a
c
b
b
a
a
b
d
M
3
3
2
3
y
−
−
−
=
b
c
b
a
a
P
1
3
1
2
donde
a
,
b
,
c
yd
sonnúmeros reales cualesquiera. Hallar
a
,
b
,
c
yd
sabiendo que
+
+
−
−
=
+
3
2
6
2
1
4
b
a
c
b
a
P
M
PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
Si
A
,
B
yC
son tres matrices cualesquiera de tamañom
×
n
con entradas en un cuerpoK
, entonces se cumplen las siguientes propiedades:1) Conmutativa:
A
+
B
=
B
+
A
2) Asociativa:
A
+
(
B
+
C
)
=
(
A
+
B
)
+
C
3) Existencia de Neutro: Existe una matriz
O
de tamañom
×
n
, llamada matriz nula, tal queA
+
O
=
O
+
A
=
A
La matriz nula de tamañom
×
n
es aquella matriz cuyas entradas son todas cero. Esta matriz se denota con el símboloO
o en el caso que se necesite aclarar su tamaño, se usa el símboloθ
mxn.4) Existencia de Opuesto: Para cada matriz
A
, existe una matriz de tamañom
×
n
, que anotaremos−
A
, llamada matriz opuesta deA
, que cumple:A
+
(
−
A
)
=
(
−
A
)
+
A
=
O
.Si
A
=
(
a
ij)
, entonces−
A
=
(
−
a
ij)
Las demostraciones de estas propiedades quedan a cargo del lector.
3.2 PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ
Sea
A
=
(
a
ij)
una matriz de tamañom
×
n
con entradas en un cuerpoK
yλ
∈
K
es un número.La matriz producto de
λ
porA
, es una matriz de tamañom
×
n
, que anotaremosλ
⋅
A
oλ
A
y que se define de la siguiente manera:λ
A
=
(
λ
a
ij)
, para cada pareja(
i
,
j
)
de números naturales con1
≤
i
≤
m
y1
≤
j
≤
n
. La matrizλ
A
es una matriz del mismo tamaño que la matrizA
y se obtiene multiplicando las entradas deA
porλ
.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ
Si
A
yB
son dos matrices cualesquiera de tamañom
×
n
con entradas en un cuerpoK
yλ
yµ
son dos números cualesquiera pertenecientes aK
, se cumplen las siguientes propiedades:1) Neutro del producto
1
A
=
A
4
Ejercicio 21) Hallar dos matrices
A
yB
que verifiquen simultáneamente
−
=
+
3
2
0
0
1
1
2
A
B
y
−
−
=
−
1
1
0
3
2
1
2
3
A
B
2) ¿Existen matrices
M
yP
que verifiquen simultáneamente
−
=
−
4
0
0
0
2
2
2
M
P
y
−
−
=
−
1
1
0
3
2
1
2
1
P
M
?3.3 PRODUCTO DE MATRICES
Ejercicio 3
Suponer que una empresa fabrica dos productos
p
1 yp
2. Para la fabricación de cada uno de estos productos utiliza diferentes cantidades de tres materialesA
,
B
yC
. Las cantidades de estos materiales (expresadas en gramos) utilizadas para la fabricación de estos productos, esta dado por la siguiente matrizM
.
M
C B A
=
4
2
1
4
2
3
Por ejemplo, la entrada
1
correspondiente a la segunda fila y primera columna de la matrizM
nos indica que para la fabricación de cada productop
2 se necesita1
gramo del productoA
.La empresa fabrica estos dos productos en dos plantas
X
eY
y los costos (en dólares) por gramo de cada uno deestos materiales, están dados por la matriz
P
:
Y X
P
=
3
2
5
3
7
4
C
B
A
a) Hallar el costo total de materiales que se utiliza para la fabricación de una unidad del producto
p
1 en la plantaX
y luego calcularlo en la plantaY
. Hacer lo mismo para el productop
2.b) Hallar la matriz
C
, cuyas entradas sean los costos totales de materiales necesarios para la fabricación de cada unidad de los productosp
1 yp
2 en las plantasX
eY
.
Y X
d
c
b
a
C
=
La matriz
C
, se llama matriz producto de la matrizM
por la matrizP
y escribimosC
=
M
⋅
P
21
p
p
2 1
5
DEFINICIÓN DE PRODUCTO DE MATRICES.
Consideremos dos matrices
A
=
(
a
ij)
yB
=
(
b
ij)
,A
de tamañom
×
p
yB
de tamañop
×
n
, ambas con entradas en un cuerpoK
.La matriz producto de
A
porB
, es una matriz con entradas enK
, de tamañom
×
n
, que anotaremosA
⋅
B
oAB
, en la cual la entrada situada en la filai
y columnaj
se obtiene sumando los productos de las entradas de la filai
de la matrizA
por las entradas de la columnaj
de la matrizB
de la siguiente forma:
(
)
i j i j ip pjj p j j p i i i
i
a
b
a
b
a
b
b
b
b
a
a
a
a
=
+
+
+
..
...
.
.
...
2 11 2 21
3 2
1
Es decir, la matriz producto
AB
es la matrizC
=
(
c
ij)
de ordenm
×
n
cuyas entradas pertenecen aK
y tal que
==
p k j k k i ji
a
b
c
1
∀
i
∈
N
,∀
j
∈
N
,1
≤
i
≤
m
y1
≤
j
≤
n
.
=
mn m m m j i n n pn j p p p p j i n j n j mp m m m p i i i i p pc
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
...
...
...
..
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
...
3 2 1 2 23 22 21 1 13 12 11 3 2 1 2 . 2 23 22 21 1 1 13 12 11 3 2 1 3 2 1 2 23 22 21 1 13 12 11 OBSERVACIONES1) Para calcular
AB
se debe verificar que el número de columnas deA
debe ser igual al número de filas deB
. Cuando se cumple esta condición se dice queA
es conformable conB
oA
yB
son matrices conformables. 2) El número de filas deAB
es igual al número de filas deA
y el número de columnas deAB
es igual al número de columnas deB
.Es aconsejable leer el anexo, al final de este material para poder entender mejor el porqué de esta forma de definir el producto de matrices.
EJEMPLO 1
Dadas las matrices
−
=
0
3
2
3
1
1
A
y
=
0
1
0
1
1
0
3
2
1
3
1
1
B
Observando que la matriz
A
tiene dos filas y tres columnas y que la matrizB
tiene tres filas y cuatro columnas, podemos efectuar el productoAB
. Este producto es una matriz de dos filas y cuatro columnas.
−
=
−
=
1
6
7
4
2
6
4
6
0
1
0
1
1
0
3
2
1
3
1
1
0
3
2
3
1
1
AB
6
Ejercicio 41) Dadas las matrices
−
−
=
2
1
1
0
2
1
4
1
2
A
,
−
−
=
1
1
2
0
2
1
B
,
=
2
2
1
C
,
=
1
3
1
1
1
0
0
2
1
D
e
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
I
Hallar
AB
,AC
,AA
=
A
2,AD
,DA
,IA
yAI
. 2) Dadas las matrices
=
1
1
0
1
3
2
M
,
−
=
0
1
1
N
yP
=
(
2
0
)
Realizar todos los productos de dos factores distintos que se pueden realizar con las matrices
M
,
N
yP
. 3) SeaC
una matriz de tamañom
×
n
yD
una matriz de tamañop
×
q
tales que es posible efectuar los productosCD
yDC
. ¿Qué relación deben cumplirm
,
n
,
p
yq
?4) Sean
P
yQ
dos matrices de tamañon
×
n
. ¿Se verificará(
P
−
Q
)(
P
+
Q
)
=
P
2−
Q
2? 5) Demostrar que existen matricesA
de tamaño2
×
2
no nulas tales queA
2=
O
.El ejercicio 4 permite observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa. Es decir, cuando se trata de matrices, el orden de los factores
altera
el producto.Ejercicio 5
1) Dada la matriz
=
1
1
0
1
A
a) Hallar todas las matrices
B
de tamaño2
×
2
que cumplanAB
=
BA
Cuando dos matrices cualesquiera
A
yB
cumplen queAB
=
BA
, se dice que conmutan o queA
conmuta conB
. b) Hallar una matrizM
de tamaño2
×
2
tal queAM
≠
MA
2) Dadas las matrices
C
,
D
yE
. SiC
conmuta conD
yD
conmuta conE
¿es cierto queC
conmuta conE
? Demostrar o dar contraejemplo. (Sugerencia: Usar la matriz
1
0
0
1
)
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES
1) Propiedad asociativa: Si
A
,B
yC
son tres matrices conformables, entonces(
AB
)
C
=
A
(
BC
)
2) Propiedad asociativa respecto al producto por un escalar:Si
A
yB
son matrices conformables, entonces(
λ
A
)
B
=
λ
(
AB
)
, para todoλ
∈
K
. 3) Propiedades distributivasa) Si
C
yB
son matrices de igual tamaño y la matrizA
es conformable conC
yB
, entonces se cumple queA
(
B
+
C
)
=
AB
+
AC
7
Supongamos que
A
tiene tamañom
×
s
yB
yC
son ambas de tamaños
×
n
y llamemos) ( , )
(dij E eij
D= = y F =(fij) a las siguientes matrices:
D
=
A
(
B
+
C
)
,
E
=
AB
y F= ACDebemos probar que cualesquiera sean los naturales
i
,
j
se cumple: dij =eij+ fij
==
=
d sd
j d d i j
i
a
b
e
1
,
==
=
d sd
j d d i j
i
a
c
f
1
y
=
=
+
=
d sd
j d j d d i j
i
a
b
c
d
1
)
(
Por lo tanto
(
)
[
(
)
]
=
=
=
= =
=
=
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
d sd
s d
d
j d j d d i j
d d i j d d i s
d
d
s d
d
j d d i j d d i j i j
i
f
a
b
a
c
a
b
a
c
a
b
c
A
B
C
e
1 1
1 1
)
(
Ejercicio 6
a) Si
=
2
2
1
1
A
, demostrar que existen infinitas matricesB
yC
no nulas tales queAB
=
CA
=
O
(Es decir el producto de dos matrices puede ser la matriz nula, sin ser ninguno de los factores la matriz nula) b) Investigar si la siguiente proposición es verdadera o falsa, justificando su respuesta.Si
A
,
B
yC
son matrices cuadradas del mismo tamaño,A
≠
O
yAB
=
AC
, entoncesB
=
C
4. MATRIZ TRASPUESTA
Si
A
=
(
a
ij)
es una matriz de tamañom
×
n
, se llama matriz traspuesta deA
a la matriz, que anotamosA
T, cuyo tamaño esn
×
m
y que está definida por:
A
T=
(
a
Tij)
cona
Tij=
a
ji ,∀
i
∈
N
,∀
j
∈
N
,1
≤
i
≤
m
y1
≤
j
≤
n
. La matriz traspuesta de una matriz se obtiene cambiando las filas por las columnas en la matriz.Por ejemplo, si
=
2
1
0
4
2
1
A
, entonces
=
2
4
1
2
0
1
T
A
Ejercicio 7
a) Dadas las matrices
−
=
1
3
2
1
A
y
=
2
1
1
0
B
.
Hallar
A
T,
B
T,
A
T+
B
T,
(
A
+
B
)
T,
(
AB
)
T,
(
BA
)
T,
A
TB
T yB
TA
T b) Hallar todas las matrices cuadradasX
de tamaño dos que cumplen:
=
+
1
2
2
1
TX
X
PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRASPUESTA
Si A∈Mm×n(K) y B∈Mm×n(K) , entonces se cumplen las siguientes propiedades: 1.
(
A
T)
T=
A
2.
(
A
+
B
)
T=
A
T+
B
T 3.(
λ
A
)
T=
λ
A
T ,∀
λ
∈
K
8
5. MATRICES SIMÉTRICAS Y ANTISIMÉTRICAS
Sea
A
una matriz cuadrada con entradas en el cuerpoK
. 1) Decimos que la matrizA
es simétrica si y sólo siA
=
A
T(Es decir una matriz cuadrada es simétrica cuando coincide con su traspuesta) 2) Decimos que la matriz
A
es antisimétrica o hemisimétrica si y sólo siA
=
−
A
T Es consecuencia inmediata de la definición que:1) La matriz
A
=
(
a
ij)
es simétrica si y solo sia
ij=
a
ji para todo par(
i
,
j
)
de números naturales entre1
yn
. 2) La matrizA
=
(
a
ij)
es antisimétrica si y solo sia
ij=
−
a
ji para todo par(
i
,
j
)
de naturales entre1
yn
.Ejercicio 8 (PROPIEDADES DE LAS MATRICES SIMÉTRICAS Y ANTISIMÉTRICAS) 1) Dar ejemplos de matrices simétricas y antisimétricas de tamaño dos y tres.
2) Sea A una matriz con entradas en un cuerpo
K
y de tamañon
×
n
.a) Demostrar que si
A
=
(
a
i j)
es antisimétrica, entoncesa
ii=
0
para todo número naturali
entre1
yn
. b) ¿Existe una matriz que sea simétrica y antisimétrica a la vez? Justificar su respuesta.c) Demostrar que:
1) Si
A
es simétrica o antisimétrica, entoncesλ
A
es simétrica o antisimétrica, cualquiera sea el númeroλ
∈
K
2)A
+
A
T es simétrica yA
−
A
T es antisimétrica.3) Deducir que cualquier matriz cuadrada se puede escribir como la suma de una matriz simétrica con una antisimétrica.
Como aplicación escribir
−
=
5
1
0
3
2
1
1
0
1
P
como la suma de una matriz simétrica y una antisimétrica.6. TRAZA DE UNA MATRIZ
Si
A
=
(
a
ij)
es una matriz cuadrada de tamañon
con entradas en un cuerpoK
, llamamos traza deA
, al númeroque anotamos
tr
(
A
)
y que se define por:
= =
=
+
+
+
+
=
k nk kk n
n
a
a
a
a
a
A
tr
1 33
22
11
...
)
(
La traza de una matriz cuadrada es la suma de todos los elementos de su diagonal principal.
PROPIEDADES DE LA TRAZA DE UNA MATRIZ
Si
A
yB
son matrices cuadradas de tamañon
con entradas en un cuerpoK
yλ
∈
K
, entonces se cumplen las siguientes propiedades:1)
tr
(
A
)
=
tr
(
A
T)
2)
tr
(
A
+
B
)
=
tr
(
A
)
+
tr
(
B
)
3)tr
(
λ
A
)
=
λ
tr
(
A
)
4)
tr
(
AB
)
=
tr
(
BA
)
Ejercicio 9
Hallar en cada caso dos matrices
A
yB
que cumplan: a)tr
(
AB
)
≠
tr
(
A
)
tr
(
B
)
9
7. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Consideremos el sistema lineal
(
S
)
dem
ecuaciones conn
incógnitasx
1,
x
2,
x
3,
...
..,
x
n
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
m n n m m
m
n n
n n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
S
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
:
)
(
2 2 1 1
2 2
2 22 1 21
1 1
2 12 1 11
Llamamos matriz del sistema
(
S
)
a la matriz
=
mn m
m m
n n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
...
3 2 1
2 23
22 21
1 13
12 11
y matriz incógnita a
=
n
x
x
x
x
X
....
....
3 2 1
La matriz
=
m
b
b
b
B
....
....
2 1se llama matriz de los términos independientes del sistema
(
S
)
.Observar que el sistema
(
S
)
se puede escribir de la formaAX
=
B
. Cuando un sistema de ecuaciones se escribe de esta forma, decimos que está escrito en forma matricial.Resolver la ecuación matricial
AX
=
B
dondeA
yB
son matrices conocidas, es equivalente a resolver el sistema de ecuaciones dado por su forma matricialAX
=
B
.Al intentar hallar la matriz
X
, conociendo las matricesA
yB
en la ecuaciónAX
=
B
, lo primero que se nos viene a la cabeza es plantearA
B
X
=
. Pero este planteo no tiene sentido en el contexto de las matrices.Supongamos que en la ecuación
AX
=
B
,A
yB
son números reales o complejos yA
≠
0
. Dado que todo número real o complejo no nulo tiene un inversoA
−1, podemos despejarX
de la siguiente manera:B
A
X
B
A
X
B
A
X
A
A
B
A
AX
A
1 1 1 1 1 11
)
(
)
(
− − − − −−
=
=
=
=
Podríamos entonces intentar dar significado, en el contexto de las matrices, a las expresiones
A
−1 y1
.Como bien es sabido,
1
es neutro de la multiplicación habitual enR
yC
y cumple:a
⋅
1
=
1
⋅
a
=
a
,
∀
a
∈
C
. La pregunta entonces es ¿existe una matriz que sea el neutro del producto de matrices? Es decir, ¿existe una matrizI
tal queA
⋅
I
=
I
⋅
A
=
A
, cualquiera sea la matrizA
?.La respuesta a esta pregunta se encontrará en el próximo ejercicio.
Ejercicio 10
Dada la matriz
−
=
1
0
0
1
2
1
A
Hallar todas las matricesI
eY
que verifiquenAI
=
A
yYA
=
A
.10
8. MATRIZ IDENTIDAD
Llamamos matriz identidad de tamaño
n
a la matriz den
×
n
, que anotaremosI
n , definida mediante:)
(
j i
e
I
n=
tal que
≠
=
=
j
i
j
i
e
ijsi si
0
1
Por ejemplo,
=
1
0
0
1
2I
y
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3I
Si
A
es una matriz cualquiera de tamañon
×
n
, es sencillo demostrar queAI
n=
I
nA
=
A
y que para cada0
≠
n
,I
n es la única matriz que verifica dicha igualdad. Por tal motivo,I
n es la matriz neutro del producto del conjunto de todas las matrices de tamañon
×
n
.9. LA MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ
Ya que sabemos que la matriz
I
n es la matriz neutro del producto del conjunto de las matrices de tamañon
×
n
es que daremos significado al símboloA
−1 para que de esta forma tenga sentido la igualdad:X
=
A
−1B
(en el universo de las matrices).DEFINICIÓN DE MATRIZ INVERSA
Dada la matriz
A
de tamañon
×
n
con entradas en un cuerpoK
, decimos que la matrizA
es invertible o regular si y sólo si existe una matrizB
de dimensiónn
×
n
tal queAB
=
BA
=
I
nEjercicio 11
1) Investigar si las siguientes matrices son invertibles.
=
5
2
3
1
A
,
=
4
2
-2
1
-B
,
=
0
1
0
0
1
1
0
0
1
C
y
=
0
1
3
1
0
2
0
0
1
D
2) Sean
A
,B
1 yB
2 matrices de tamañon
×
n
con entradas en un cuerpoK
.Si
AB
1=
B
1A
=
I
n yAB
2=
B
2A
=
I
n , demostrar queB
1=
B
2 (Sugerencia: Multiplicar a ambos lados de la igualdadAB
1=
I
n porB
2)Hemos demostrado que si existe una matriz
B
que cumpleAB
=
BA
=
I
n , es única. Por tal motivo llamaremos a la matrizB
que cumpleAB
=
BA
=
I
n, matriz inversa deA
y la anotaremosA
−111
PROPIEDADES DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ
Si
A
yB
son matrices cuadradas de tamañon
con entradas en un cuerpoK
yλ
∈
K
, se cumple: 1) SiA
es invertible, entonces su inversa es única.2) Si
A
es invertible, entonces(
A
−1)
−1=
A
3) Si
A
es invertible, entonces para cualquier númeroλ
≠
0
,λ
A
es invertible y(
A
)
−1=
1
A
−1λ
λ
4) Si
A
yB
son invertibles, entoncesAB
es invertible y(
AB
)
−1=
B
−1A
−1 5) SiA
es invertible, entoncesA
T es invertible y(
A
T)
−1=
(
A
−1)
TEjercicio 12
a) Demostrar las propiedades de la inversa de una matriz.
b) Si
A
yB
son matrices cuadradas de tamañon
con entradas en un cuerpoK
ambas invertibles, demostrar que no necesariamenteA
+
B
es invertible.c) Sean A∈Mn×n(K), B∈Mn×m(K) y C∈Mn×m(K).
1) Demostrar que si
A
es invertible yAB
=
AC
entoncesB
=
C
2) Mostrar con un ejemplo, que la propiedad demostrada en la parte c) 1) es falsa si se elimina la hipótesis que
A
es invertible.
ALGORITMO PARA HALLAR LA MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ
Consideremos la matriz
A
de tamañon
×
n
y la matrizB
de tamañon
×
1
ambas con entradas en un cuerpoK
. Supongamos que queremos resolver el sistemaAX
=
B
.Si
A
es invertible, podemos multiplicar a ambos lados de la igualdadAX
=
B
porA
−1 y usar a su vez el hecho queI
AA
−1=
para despejar
X
. Tenemos entonces:B
A
X
B
A
IX
B
A
X
A
A
B
A
AX
A
B
AX
1 1 1 1 1)
(
)
(
1 − − − −−
=
⇔
=
⇔
=
⇔
=
⇔
=
−Es decir, si
A
es invertible, entonces
=
n
x
x
x
X
.
.
2 1
es solución del sistema
AX
=
B
si y sólo siA
B
x
x
x
n
1 2 1
.
.
=
−
Para poder hallar cada incógnita del sistema,
A
debe ser invertible.12
EJEMPLO 2
Supongamos que queremos calcular la inversa de la matriz
=
3
4
1
2
A
La inversa de la matriz
A
, si existe, es una matriz
=
d
c
b
a
B
tal queAB
=
BA
=
I
2Escribimos
=
d
c
b
a
B
en la forma de columnas, es decirB
=
(
B
1B
2)
donde la matriz
=
c
a
B
1 y
=
d
b
B
2 .Dado que la primera columna de
AB
es igual al productoAB
1 y a su vezAB
=
I
2 concluimos que
=
0
1
1AB
Razonando análogamente podemos decir que
=
1
0
2AB
.Por lo tanto, hallar la matriz
B
, implica resolver los siguientes sistema de ecuaciones:
=
=
0
1
3
4
1
2
:
)
(
1 1c
a
AB
S
y
=
=
1
0
3
4
1
2
:
)
(
2 2d
b
AB
S
Resolveremos simultáneamente ambos sistemas por el método de Gauss.
Primer sistema:
=
⇔
=
0
1
3
4
1
2
0
1
1c
a
AB
Segundo sistema:
=
⇔
=
1
0
3
4
1
2
1
0
2d
b
AB
2
1
0
0
1
4
2
1
0
1
0
3
4
1
0
3
4
1
1
2
1 1 2 2 1 2 3 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1−
→
+
−
→
+
−
→
F
F
F
F
F
F
F
F
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
3
4
0
1
1
3
4
0
1
2
2 1 2 1 2 1 −Al resolver los sistemas
(
S
1)
y(
S
2)
se obtiene:a
=
32 ,c
=
−
2
,b
=
−12 yd
=
1
Observar que hemos realizado, en los sistemas
(
S
1)
y(
S
2)
las mismas operaciones elementales, ya que éstasdependen sólo de la matriz
A
y no de los términos independientes de los sistemas, es por tal motivo que podremos realizar simultáneamente la escalerización de ambos sistemas.Para resolver los sistemas
(
S
1)
y(
S
2)
a la vez, seguiremos los siguientes pasos:1) colocamos la matriz identidad a la derecha de la matriz
A
, obteniendo una nueva matriz:
=
1
0
3
4
0
1
1
2
)
/
(
A
I
2) mediante operaciones elementales sobre las filas de
(
A
/
I
)
“transformamos” , en caso de ser posible, la matrizA
en la matriz identidad
−
−
=
1
2
1
0
2
/
1
2
/
3
0
1
)
/
(
I
B
La matriz
B
obtenida de esta forma es la matriz inversa deA
, es decir
−
−
=
=
−1
2
2
/
1
2
/
3
1A
B
En resumen, hallar la matriz inversa de una matriz
A
(cuando existe), se reduce a llevar la matrizA
I
n a la matrizB
I
nmediante operaciones elementales. En el caso que esto sea posible tendremos que
1
−