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1

MATEMÁTICA PROF. ADRIÁN MILANO

2020

Tema 0: REVISIÓN

De forma breve y esquemática resumiremos algunos de los conceptos básicos que el lector estudió en los cursos de matemática del bachillerato y que utilizaremos a lo largo de todo el curso.

Los números reales se pueden clasificar en:

Números naturales:

0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...

. El conjunto de los números naturales se representa con . Números enteros:

... 3 ;

2 ; 1 ;0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...

El conjunto de los números enteros se representa con

Números racionales: Son aquellos que se pueden expresar de la forma

a

b

donde

a

y

b

son números enteros con

b

0

. El conjunto de los números racionales se representa con .

Los números racionales tienen una representación decimal finita o infinita periódica. Ejemplos de números

racionales son:

5

1, 66666...

1, 6 ;

4 ;

1

1,142857 ; 12,3578 ; 11

3

7

y

1

0,3

3

  

.

Números irracionales: Son aquellos números que no son racionales y por lo tanto, no pueden expresarse de la

forma

a

b

con

a

y

b

números enteros. El conjunto de los números irracionales se representa con

. Los números irracionales tienen una representación decimal no finita ni periódica. Ejemplos de números

irracionales son:

2 ;

;

3

;

5

3

2

y

1,34304300430004...

1

0,3

3

  

Ejercicio 1

Marcar con una cruz, los conjuntos a los cuales pertenece cada uno de los números indicados en la primera columna de la tabla. (En la segunda fila de la tabla se marcó todos los conjuntos a los cuales pertenece el

2

)

2

x x x x

3

2

3

3

1

,

414213562

1

2

2

1,9

22

1,356

121

(2)

2

CONJUNTOS

La mayoría de las ramas de la matemática que hoy se estudian, como el álgebra, la geometría, el análisis y la probabilidad y estadística se desarrollan apelando al lenguaje de los conjuntos. Dado que a lo largo del curso utilizaremos constantemente la notación de conjuntos, haremos una breve revisión para que el lector conozca y maneje fluidamente dicho lenguaje.

Sin ánimo de querer definir la palabra conjunto, podemos decir que un conjunto es una colección de objetos de cualquier naturaleza, a los cuales llamamos elementos del conjunto. Por ejemplo, la familia de una persona es un conjunto y cada uno de sus integrantes es uno de sus elementos.

En general, en la mayoría de las ramas de la matemática, los conjuntos suelen representarse por letras mayúsculas y a sus elementos con letras minúsculas, salvo en geometría, que se suele nombrar los conjuntos usando letras minúsculas y a sus elementos con letras mayúsculas.

Si

x

es un elemento que forma parte del conjunto

A

, decimos que

x

pertenece a

A

y escribimos:

x

A

, por el contrario, si

x

no es un elemento del conjunto

A

, decimos que

x

no pertenece a

A

y escribiremos:

x

A

.

Algunos conjuntos se representan escribiendo sus elementos entre llaves separados por una coma o por un punto y una coma, teniendo en cuenta que el orden en que se escriben sus elementos es irrelevante. Por ejemplo, el conjunto

T

cuyos elementos son solamente

a

,

b

y

c

se puede escribir de cualquiera de las siguientes formas:

a

b

c

T

,

,

,

T

a

,

c

,

b

,

T

b c a

, ,

,

T

b a c

, ,

,

T

c

,

a

,

b

o

T

c

,

b

,

a

Un conjunto muy particular y que utilizaremos muchas veces es el conjunto vacío, que tiene la característica de ser un conjunto que no tiene elementos. El símbolo que utilizaremos para representarlo es:

o

 

.

Decimos que dos conjuntos

A

y

B

son iguales (y anotamos:

A

B

) cuando

A

y

B

tienen los mismos elementos o son ambos vacíos.

Por ejemplo:

1

,

2

,

3

 

3

,

1

,

2

,

1

,

2

,

3

,

1

,

3

,

1

 

3

,

1

,

2

,

3

,

1

,

2

  

2

,

3

y

n

/

n

0

Dicho de otra manera,

A

B

si, y solo si, todo elemento que pertenece a

A

pertenece a

B

y todo elemento que pertenece a

B

pertenece a

A

.

Diremos que dos conjuntos

A

y

B

son distintos y escribimos

A

B

, cuando no se cumple que

A

B

.

La igualdad entre dos conjuntos puede definirse a partir del concepto de inclusión entre ellos.

Dados conjuntos

A

y

B

, decimos que

A

es un subconjunto de

B

, que

A

está incluido en

B

y anotamos

B

A

, si y solo si, todo elemento que pertenece a

A

pertenece a

B

.

Cuando

A

B

, también decimos que

B

contiene a

A

o que

A

está contenido en

B

. Por ejemplo,

  

2

,

3

1

,

2

,

3

,

4

y

 

.

Aclaramos que la notación

A

B

no excluye la posibilidad

A

B

.

En el caso que

A

no sea un subconjunto de

B

, escribiremos

A

B

.

El hecho que

A

B

quiere decir que existe algún elemento que pertenece a

A

y no pertenece a

B

. Por ejemplo,

A

1

,

3

,

7

no es un subconjunto de

B

1

,

3

,

5

,

9

dado que

7

A

y

7

B

. La pertenencia es una relación entre un elemento y un conjunto, mientras que la inclusión es una relación entre dos conjuntos. Teniendo esto en cuenta, si

x

es un elemento del conjunto

A

es correcto escribir

A

x

o

 

x

A

pero no es correcto escribir

x

A

o

 

x

A

.

Por ejemplo, si

P

es un punto perteneciente a la recta

r

, escribiremos

P

r

y no

P

r

.

(3)

3

MATEMÁTICA TEMA 0 : REVISIÓN

Usando la relación de inclusión, la igualdad entre conjuntos puede definirse de la siguiente manera: Dos conjuntos

A

y

B

son iguales si, y solo si,

A

B

y

B

A

.

DIAGRAMAS DE VENN

Es común, representar los conjuntos utilizando los llamados diagramas de Venn introducidos en 1880 por el lógico y matemático inglés John Venn (1834 – 1923). Usando estos diagramas, que Venn llamaba “circuitos eulerianos”, se representan los conjuntos mediante curvas cerradas y a veces, a sus elementos como puntos en el interior de dichas curvas. Este tipo de representaciones permite visualizar las relaciones existentes entre dos o más conjuntos.

Por ejemplo, el hecho que

A

esté incluido en

B

se puede representar así:

B

A

Si

A

B

, podemos tener las siguientes dos representaciones, la primera, que muestra que

A

y

B

tienen elementos comunes y la segunda, que

A

y

B

no tienen elementos en común.

B

A

A

B

Las figuras geométricas, que son conjuntos de puntos, como, por ejemplo, el segmento, la recta, la circunferencia, el cubo, el cilindro, no son representadas utilizando los diagramas de Venn, éstas tienen otras representaciones que resultan más útiles y que seguramente el lector ya conoce.

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

Si

U

y

A

son dos conjuntos y

A

U

, el complemento de

A

con respecto a

U

, es el conjunto cuyos elementos pertenecen a

U

y no pertenecen a

A

. El complemento de

A

con respecto a

U

se suele simbolizar

A

U .

Muchas veces, cuando no da lugar a confusión,

A

U se simbolizará

A

o

A

C.

En símbolos:

A

U =

A

C

x

/

x

U

x

A

En este caso el conjunto

U

suele llamarse universo o

conjunto universal.

Por ejemplo,

Si

U

es el conjunto de todas las personas del planeta tierra y

A

es el conjunto de las personas que estudiaron matemática, entonces

A

es el conjunto de las personas que no estudiaron matemática.

(4)

4

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Introducimos a continuación las operaciones entre conjuntos.

UNIÓN

Dados los conjuntos

A

y

B

, llamamos conjunto unión de

A

y

B

al conjunto, que anotamos

A

B

, cuyos elementos pertenecen a

A

o pertenecen a

B

.

Decir que

x

A

B

equivale a decir que

x

A

o

x

B

.

Hay que tener en cuenta que el “o” en matemática, no es exclusivo, es decir, cuando decimos que un elemento

x

pertenece a

A

o pertenece a

B

queremos decir que

x

pertenece a

A

, pertenece a

B

o pertenece a ambos.

Por ejemplo, si

T

B C

,

,

E

y

S

C M E

,

,

, entonces

T

 

S

B C M E

,

,

,

,

(

)

y

 

.

INTERSECCIÓN

Dados los conjuntos

A

y

B

, llamamos conjunto intersección de

A

y

B

al conjunto, que anotamos

B

A

, cuyos elementos pertenecen a

A

y pertenecen a

B

.

Decir que

x

A

B

significa que

x

A

y

x

B

.

Por ejemplo: si

A

2

,

3

,

,

p

,

m

y

B

2

,

a

,

,

m

,

b

, entonces

m

B

A

2

,

,

.

En el caso que

A

B

diremos que

A

y

B

son conjuntos disjuntos.

(5)

5

MATEMÁTICA TEMA 0 : REVISIÓN

DIFERENCIA

Dados los conjuntos

A

y

B

, llamamos conjunto diferencia entre

A

y

B

al conjunto, que anotamos

A

B

cuyos elementos pertenecen a

A

y no pertenecen a

B

.

Si

A

y

B

son conjuntos contenidos en un universo

U

, decir que

x

A

B

significa que

x

A

y

B

x

y por tal motivo

A B

  

A

B

.

Por ejemplo, si

A

2

,

3

,

,

p

,

m

y

B

2

,

a

,

,

m

,

b

, entonces

A

B

3

,

p

y

a

b

A

B

,

. Con este ejemplo, debe quedar claro, que en general,

A

B

B

A

.

EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES

Probablemente, el lector conozca a los números reales y muchas de sus propiedades como, por ejemplo, que todo número real multiplicado por cero da cero y que el producto de números reales negativos es un número real positivo. Lo que quizás desconozca, es que todas las propiedades de los números reales se pueden deducir aceptando unas pocas, llamadas axiomas.

Las teorías axiomáticas en la matemática tienen su origen aproximadamente 300 A.C con el matemático Euclides de Alejandría cuando este publica su obra “Elementos”, una colección de trece libros en los que son tratados diversos tópicos de matemática, y en especial de geometría. En dicha obra, luego de veintitrés definiciones, aparecen cinco axiomas relativos a la geometría plana y diversas proposiciones que pueden deducirse a partir de dichos axiomas.

Los axiomas son supuestos iniciales que entrelazan ciertos elementos no definidos, llamados elementos

primitivos. Los axiomas se aceptan sin demostración y son el punto de partida del desarrollo de una determinada teoría. Los axiomas y definiciones junto con las reglas de la lógica usual permiten enunciar nuevas propiedades, llamadas teoremas, que son proposiciones demostrables a partir de los axiomas y sus consecuencias.

Una vez que son establecidos los elementos primitivos y se enuncian los axiomas de una teoría matemática, todo lo demás debe ser definido y todas las proposiciones que se enuncien deben ser demostradas a partir de ellas. Desde los comienzos del siglo XX los matemáticos han estado interesados en decidir cuáles son los axiomas y los teoremas de una determinada teoría matemática, es decir, ¿cuáles son los supuestos y cuáles son las propiedades que son consecuencias de esos supuestos? Ha llevado años decidir que propiedades pueden ser consideradas axiomas y cuáles teoremas.

En la actualidad dentro de la axiomática de los números reales se distinguen tres axiomas que son, el axioma de cuerpo, que reúne las propiedades asociadas a la igualdad, el axioma de orden, que trata propiedades

relacionadas con la desigualdad y el axioma de completitud que permiten marcar la diferencia entre los números racionales y los números reales. Con este conjunto de axiomas se pueden deducir todas las propiedades de los números reales.

(6)

6

EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES

El axioma de cuerpo de los números reales acepta el hecho de que existe un conjunto no vacío , el cual llamamos conjunto de los números reales, y en el cual se definen dos operaciones: adición y multiplicación, las cuales verifican ciertas propiedades. Este axioma, hace referencia a las dos operaciones más elementales que pueden realizarse entre los números reales y enuncia las propiedades algebraicas básicas (o propiedades de “operatoria”) entre ellos.

AXIOMA DE CUERPO

La adición de números reales, se simboliza por

, y asocia a cada par de números reales

a

y

b

un único número real denotado por:

a

b

, llamado suma de

a

y

b

. En este caso,

a

y

b

se llaman sumandos. La multiplicación de números reales, se simboliza por

, y asocia a cada par de números reales

a

y

b

un único número real denotado por

a

b

(también representado como

ab

) llamado producto de

a

por

b

. En este caso,

a

y

b

se llaman factores.

La adición y multiplicación cumplen las siguientes propiedades, cualesquiera sean los números reales

a b

,

y

c

. 1) Propiedad conmutativa:

a

b

b

a

y

a

b

b

a

2) Propiedad asociativa:

a

b

c

 

a

b

c

y

a

   

b

c

a

b

c

3) Propiedad de neutro:

i) Existe un número real representado por

0

, llamado neutro de la suma o neutro aditivo que cumple:

a

   

0

0

a

a

, cualquiera sea el número real

a

.

ii) Existe un número real representado por

1

y

1

0

, llamado unidad , neutro del producto o neutro multiplicativo que cumple

1

   

a

a

1

a

cualquiera sea el número real

a

.

4) Propiedad de opuesto o simétrico:

Para cada número real

a

, existe un único número real simbolizado por

(

a

)

o

a

, llamado opuesto de

a

, tal que

a

     

(

a

)

(

a

)

a

0

.

5) Propiedad de inverso:

Para cada número real

a

0

existe un único número real simbolizado por

a

1, llamado inverso de

a

, tal que

a a

1

a

1

 

a

1

6) Propiedad distributiva del producto respecto a la suma:

a

(

b

c

)

a

b

a

c

Decir que

(

, , )

 

es un cuerpo significa que en están definidas dos operaciones: adición y multiplicación y que ellas cumplen las seis propiedades mencionadas anteriormente.

Las propiedades enunciadas en el axioma de cuerpo permiten demostrar propiedades tan conocidas por el lector como las siguientes:

Si

a b

,

y

c

son números reales cualesquiera, entonces se cumple:

a) Propiedad cancelativa de la suma: Si

a

  

b

a

c

, entonces

b

c

. b) Propiedad cancelativa del producto: Si

a b

  

a c

y

a

0

, entonces

b

c

. c) Propiedad de absorción :

a

   

0

0

a

0

Dados dos números reales

a

y

b

, llamamos diferencia o resta entre

a

y

b

al número real

x

  

a

(

b

)

La suma

a

 

(

b

)

la solemos anotar de la forma:

a

b

, es decir,

a

   

b

a

(

b

)

.

Si

b

0

, llamamos cociente de

a

entre

b

al número real

x

 

a b

1 El producto

x

 

a b

1 se suele anotar de la forma:

x

a

b

, es decir,

a b

1

a

b

. En particular:

x

1

1

x

b

a

se llama fracción de numerador

a

y denominador

b

.

Es importante recalcar que

0

es el único número real que no tiene inverso. Esto hace que no sea posible efectuar

la división entre

0

y que la expresión

0

a

(7)

7

MATEMÁTICA 1 TEMA 0 : REVISIÓN

La siguiente propiedad, llamada propiedad hankeliana, es de gran importancia en la resolución de ecuaciones y afirma que cada vez que el producto de dos números reales es cero, es porque alguno de sus factores es cero.

PROPIEDAD HANKELIANA

Cualesquiera sean los números reales

a

y

b

, si

a b

 

0

entonces

a

0

o

b

0

.

Por ejemplo, resolveremos la siguiente ecuación:

(2

x

5)(3

x

)

0

Para que

(2

x

5)(3

x

)

0

debe ocurrir que

2

x

 

5

0

o

3

 

x

0

Dado que

2

x

 

5

0

cuando

5

2

x

 

y

3

 

x

0

cuando

x

3

, el conjunto solución de la ecuación

(2

x

5)(3

x

)

0

es

5

; 3

2

S

 

Las siguientes propiedades, probablemente ya conocidos por el lector, son las propiedades usuales del álgebra elemental y pueden demostrarse usando el axioma de cuerpo o alguna de sus consecuencias.

REGLA DE LOS SIGNOS

Cualesquiera sean los números reales

a

y

b

se cumple:

1)

(

a

)

a

2)

(

a b

)

   

a

(

b

)

ab

3)

(

a

)(

b

)

ab

REGLA DE LOS INVERSOS

Cualesquiera sean los números reales

a

0

y

b

0

.

1)

 

1 1

a

 

a

2)

(

ab

)

1

a b

1 1 ,

 

a

,

 

b

,

a

0 ,

b

0

OPERACIONES CON FRACCIONES

Si

a

,

b

,

c

y

d

son números reales cualesquiera, entonces se cumplen las siguientes igualdades:

1)

a

a

1

2)

a

b

 

)

(

)

(

b

a

b

a

b

a

si

b

0

3)

a

b

b

a

1

si

a

0

y

b

0

4)

b

c

a

b

c

b

a

,

bd

cb

ad

d

c

b

a

si

bd

0

5)

bd

ac

d

c

b

a

si

b

0

y

d

0

6)

bc

ad

d

c

b

a

si

b

0

,

c

0

y

d

0

7)

b

a

bd

ad

y

b

a

d

b

d

a

si

bd

0

Ejercicio 2

a) Resolver las siguientes ecuaciones:

1)

4

5

1

3

x

  

x

2)

(

x

5)(3 4 )(2

x

x

 

3)

0

b) Un corredor inicia su carrera en el principio de una pista y corre a una velocidad constante de

10

Km/h. Cinco minutos después, un segundo corredor inicia su carrera en el mismo punto que el anterior y corre por la misma pista a una velocidad constante de

13

Km/h.

(8)

8

CUADRADO DE UN BINOMIO Y UN TRINOMIO Y BINOMIO CONJUGADO Teniendo en cuenta que

a

a

a

2, se cumplen las siguientes igualdades:

1)

(

a

b

)

2

a

2

2

ab

b

2 ,

(

a

b

)

2

a

2

2

ab

b

2 llamadas cuadrado de un binomio. 2)

(

a

b

)(

a

b

)

a

2

b

2 llamada binomio conjugado

3)

(

a

 

b

c

)

2

a

2

b

2

c

2

2(

ab

ac

bc

)

llamada cuadrado de un trinomio:

Estas últimas igualdades pueden ser interpretadas geométricamente de la siguiente forma:

(

a

b

)

2

a

2

2

ab

b

2

(

a

 

b

c

)

2

a

2

b

2

c

2

2(

ab

ac

bc

)

Ejercicio 3

a) Demostrar las cuatro igualdades enunciadas en el recuadro anterior. b) Hallar todos los

a

y

b

para los cuales

(

a b

)

2

a

2

b

2.

c) Resolver las siguientes ecuaciones usando las igualdades del último recuadro.

1)

9

x

2

 

1 0

2)

4

x

2

4

x

 

1 0

3)

(3

x

8)

2

5

4)

(3

x

1)

2

x

2

0

ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

Además de las propiedades algebraicas de es importante destacar las propiedades que forman parte del llamado axioma de orden para . Este axioma, toma como concepto primitivo el de “número real positivo” y permite establecer un orden entre los elementos de compatible con las operaciones de adición y

multiplicación, permitiendo decidir si un número real es menor o mayor que otro dado.

El axioma de orden establece las reglas para el trabajo con desigualdades.

AXIOMA DE ORDEN

El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que existe un subconjunto de , llamado conjunto de losnúmeros reales positivos o conjunto de los positivos, que se denota con el símbolo:

y cuyos elementos cumplen las siguientes propiedades: 1) Propiedad de tricotomía:

Cada número real

a

cumple una y solo una de las siguientes proposiciones: a)

a

0

b)

a

 o c)

 

a

 2) Propiedad de estabilidad o clausura de  :

Si

a

y

b

 , entonces

(

a

 

b

)

 y

a b

 

.

Es decir, la suma y el producto de números reales positivos es un número real positivo.

OBSERVACIONES

Con el axioma de orden queda claro que

0

no es un número real positivo.

Si

a

, decimos que

a

es un número real positivo y si

 

a

 que

a

es un número real negativo . Si llamamos  al conjunto de los números reales negativos tenemos que 

 

a

/

a

.

(9)

9

MATEMÁTICA TEMA 0 : REVISIÓN

A partir del conjunto  es posible definir el orden entre los números reales y dar significado a los símbolos de

,

 

,

y

, que seguramente el lector ya conoce de sus cursos de secundaria.

Sean

x

e

y

dos números reales cualesquiera.

1) Decimos que

x

es menor que

y

(y anotamos:

x

y

) si, y solo si,

(

y

 

x

)

. 2) Decimos que

x

es mayor que

y

(y anotamos:

x

>

y

) si, y solo si,

y

es menor que

x

.

3) Decimos que

x

es menor o igual que

y

( y anotamos

x

y

) si, y solo si,

x

<

y

o

x

y

. 4) Decimos que

x

es mayor o igual que

y

( y anotamos

x

y

) si, y solo si,

y

x

o

x

y

.

Enunciaremos a continuación una lista de propiedades de las desigualdades que son consecuencia del axioma de orden y que permiten trabajar con las desigualdades. Es fundamental que el lector logre asimilarlas pues varios de los conceptos matemáticos que se trabajará en el curso son definidos a partir de ellas.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

Cualesquiera sean los números reales

a b

,

,

c

y

d

se cumplen las siguientes propiedades:

Tricotomía: Se cumple una y solo una de las siguientes relaciones:

a

b

o

a

b

o

b

a

Transitiva: Si

a

b

y

b

c

entonces

a

c

.

Antisimétrica: Si

a

b

y

b

a

entonces

a

b

. Monotonía de la suma: Si

a

b

entonces

a

  

c

b

c

Monotonía del producto: Si

a

b

y

c

 entonces

ac

bc

Si

a

b

y

c

 entonces

ac

bc

.

Como caso particular: si

a

b

, entonces

  

a

b

. Monotonía generalizada: Si

a

b

y

c

d

entonces

a

  

c

b

d

. Si

0

 

a

b

y

0

 

c

d

entonces

ac

bd

.

Ejercicio 4

a) Hallar en cada uno de los siguientes casos los

x

que verifican la desigualdad planteada.

1)

2

x

 

5

0

2)

4

x

 

5

2

x

5

3)

(

x

3)(2

x

4)

(

x

4)(2

x

1)

4)

2

3

1

x

 

5)

2 5

4

3

x

x

 

6)

2

1

3

2

x

x

 

b) Un triángulo equilátero tiene lado que mide

x

y un rectángulo tiene un lado que mide

4

y otro

x

. 1) Hallar los valores de

x

para que el perímetro del rectángulo sea mayor que el perímetro del triángulo equilátero.

2) Hallar los valores de

x

para que el área del rectángulo sea mayor que el área del triángulo equilátero. c) Si

a

y

b

son dos números reales cualesquiera y

a

0

, hallar en cada caso, discutiendo según

a

y

b

, los

x

para los cuales se cumple: 1)

ax

 

b

0

2)

ax

 

b

0

Los resultados extraídos de la parte c) de este ejercicio se suelen esquematizar de la siguiente manera:

sig ax

(

b

)

0

sig a

sig a

b

a

Ejercicio 5

Sean

a

y

b

dos números reales cualesquiera.

Investigar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justificar las falsas. 1)

ab

es positivo si, y solo si,

a

y

b

son ambos positivos o ambos negativos. Establecer la condición que deben cumplir

a

y

b

de modo que

ab

0

.

2)

a

2

b

2

0

si, y solo si,

a

b

.

3)

a

b

si, y solo si,

a

2

b

2. 4) Si

a

b

, entonces

a

2

b

2. 5) Si

0

a

b, entonces

a

2

b

2.

6) Si

0

a

b

, entonces

a

1

b

1

(10)

10

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS REALES

Es consecuencia del axioma de orden que los números reales puedan ser ordenados sobre una recta,

interpretándolos, así como puntos de ella. El procedimiento comienza tomando una recta horizontal

r

y sobre ella un punto cualquiera

O

al que llamaremos origen y al cual le asignamos el número real

0

. A la derecha del punto

O

, elegimos sobre

r

, un punto cualquiera al que llamaremos

U

. Fijamos el segmento

OU

como unidad de longitud (unidad que es tomada arbitrariamente) asociando al punto

U

el número real

1

. De esta forma queda determinada la escala a considerar. Cada número real se representa por un solo punto de la recta

r

y recíprocamente cada punto de la recta

r

representa a un único número real. Por tal motivo, es que se suele llamar al número real

a

punto

a

.

Si

x

e

y

son dos números reales cualesquiera, la desigualdad

x

y

significa geométricamente que, sobre la recta

r

, el punto

x

está a la izquierda del punto

y

. Como caso particular, los números reales positivos están a la derecha del cero y los reales negativos a la izquierda.

No entraremos aquí en detalles de cómo asociar a cada número real un punto de la recta.

En muchas ocasiones es conveniente trabajar con los llamados intervalos de números reales, que a continuación definimos.

INTERVALOS DE NÚMEROS REALES

Si

a

y

b

son números reales con

a

b

, llamamos intervalos de números reales a los siguientes conjuntos:

1)

( , )

a b

( ; )

a b

x

/

a

 

x

b

( intervalo abierto de extremos

a

y

b

o segmento abierto)

2)

    

a b

,

a b

;

x

/

a

 

x

b

(intervalo cerrado de extremos

a

y

b

o segmento cerrado)

3)

a b

,

a b

;

 

x

/

a

 

x

b

(intervalo cerrado por la derecha y abierto por la izquierda)

4)

a b

,

a b

;

x

/

a

 

x

b

(intervalo abierto por la derecha y cerrado por la izquierda)

5)

( ,

a

 

)

x

/

x

a

y

(



, )

b

x

/

x

b

(semirrectas abiertas)

6)

a

,

 

 

x

/

x

a

y



,

b

 

x

/

x

b

(semirrectas cerradas)

7)

(

  

,

)

Los intervalos abiertos se representanasí:

Los intervalos cerrados se representanasí:

Este tipo de intervalos se representan así:

Este tipo de intervalos se representan así:

(11)

11

MATEMÁTICA TEMA 0 : REVISIÓN

Ejercicio 6

a) Hallar las soluciones de cada una de las siguientes inecuaciones, expresando el conjunto solución mediante intervalos de números reales.

1)

(2

x

1)(2

3 )

x

0

2)

(2

x

1)(2

3 )

x

0

3)

4

x

2

 

1

0

4)

4

x

2

 

1

0

5)

2

6

3

1 2

x

x

x

6)

1

1

0

1

x

x

b) Demostrar que si

a

y

b

son números reales positivos, entonces

(

a

b

)

1

1

2

a

b

RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO REAL NO NEGATIVO

Definimos a continuación uno de los conceptos más usados en matemática, el de raíz cuadrada de un número real.

Dado un número real

b

no negativo, llamamos raíz cuadrada de

b

al único número real

a

no negativo que verifica la condición:

a

2

b

.

Si

a

es la raíz cuadrada de

b

, anotaremos

a

b

. Usando esta notación, si

b

0

, entonces

 

2

b

b

.

Por ejemplo:

16

4

y

1

1

4

2

. No es correcto escribir

16

 

4

A partir de la definición de raíz cuadrada se pueden demostrar las siguientes propiedades.

PROPIEDADES DE LA RAÍZ CUADRADA

Si

a

y

b

son dos números reales no negativos, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1) 2

si

0

si

0

a

a

a

a

a

 

2)

ab

a b

3)

 

1 1

a

a

 si

a

0

4)

a

a

b

b

si

b

0

Ejercicio 7

a) 1) Encontrar dos números reales

a

y

b

que verifiquen:

a

 

b

a

b

. 2) Hallar todos los números reales

a

y

b

que verifiquen:

a

 

b

a

b

.

b) Si

a

y

b

son números reales cualesquiera, demostrar que la igualdad

a

2

b

2

 

a

b

es falsa. c) Si

a

y

b

son dos números reales, demostrar que:

1)

0

 

a

b

a

b

2)

0

2

a

b

a

b

a

ab

b

(12)

12

RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de la forma

( ) :

E

ax

2

bx

 

c

0

donde

a

0 ,

b

y

c

son números reales conocidos, se llama ecuación de segundo grado.

Si

( ) :

E

ax

2

bx

 

c

0

es una ecuación donde

a

0 ,

b

y

c

son números reales, entonces

1) Si

a

0

entonces

( ) :

E

ax

2

0

tiene una única solución que es

x

0

.

2) Si

a

0

y

b

0

entonces

( ) :

E

ax

2

bx

0

tiene dos soluciones reales y distintas que son

x

0

y

x

b

a

 

. En efecto:

ax

2

bx

x ax b

(

)

0

x

0

x

b

a

    

.

3) Si

a

0

y

c

0

entonces

( ) :

E

ax

2

 

c

0

x

2

c

a

 

Si

c

0

a

,

( )

E

no tiene raíces reales y si

0

c

a

,

( )

E

tiene dos raíces reales y reales que son

c

a

 

.

4) En el caso

a

0 ,

b

0

y

c

0

para resolver la ecuación

( )

E

utilizaremos la famosa fórmula de Bhaskaras (Bhaskaras, India:1114-1185)

. Si llamamos discriminante de la ecuación

ax

2

bx

 

c

0

al número real

 

b

2

4

ac

tenemos que: a) Si

 

b

2

4

ac

0

, entonces la ecuación

ax

2

bx

 

c

0

tiene dos raíces reales y distintas que

son:

2

4

2

b

b

ac

x

a

 

(Esta fórmula se conoce como fórmula de Bhaskaras )

b) Si

 

b

2

4

ac

0

, entonces la ecuación

ax

2

bx

 

c

0

tiene una sola raíz real que es

2

b

x

a

. Esta raíz comúnmente se la llama raíz doble de la ecuación.

c) Si

 

b

2

4

ac

0

, entonces la ecuación

ax

2

bx

 

c

0

no tiene raíces reales.

Observar que en el caso que la ecuación

ax

2

bx

 

c

0

tenga raíces reales y que sea

b

0

o

c

0

las soluciones también se pueden obtener con la fórmula de Bhaskaras.

Ejercicio 8

Resolver las siguientes ecuaciones:

1)

x

x

2 2)

  

1

x

x

2 3)

5

x

x

2

6

4)

(

x

2

3

x

1)(4

x

2

)

0

5)

x

3

x

2 6)

(2

x

2

5)(4 3 )

x x

0

7)

3

4

1

(

1)(

2)

x

x

x

x

x

8) 2

3

7

1 9

4

4

16

x

x

x

x

9)

2(

1)

2

3

2

2

2

1

x

x

x

x

x

x

x

 

10)

2

2

2

3

2

1

2

1

4

x

x

x

x

11)

x

2

4

x

 

4

1

12)

x

2

4

x

  

4

1

(13)

13

MATEMÁTICA TEMA 0 : REVISIÓN

Ejercicio 9

Dos ciclistas parten de un mismo punto y al mismo tiempo y en direcciones que forman un ángulo recto entre sí. Ambos se desplazan con velocidad constante, pero uno de ellos se desplaza a

7

km/h más rápido que el otro. A las tres horas se encuentran a

39

km uno del otro. Hallar la velocidad de cada ciclista.

SIGNO DE UN TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO

Si

a

0 ,

b

y

c

son números reales, el signo del trinomio

ax

2

bx

c

cualquiera sea el número real

x

es el siguiente:

1) Si

 

b

2

4

ac

0

, entonces la ecuación

ax

2

bx

 

c

0

admite dos raíces reales y distintas

y

y por lo tanto podemos escribir:

ax

2

bx

 

c

a x

(

)(

x

)

.

Si supongamos que

 

, entonces el signo del trinomio

ax

2

bx

c

se puede esquematizar así:

sig ax

(

2

bx

c

)

siga

0

sig a

0

sig a

2) Si

 

b

2

4

ac

0

, entonces la ecuación

ax

2

bx

 

c

0

tiene una sola raíz real que es

2

b

a

.

y en este caso:

sig ax

(

2

bx

c

)

0

2

siga

sig a

b

a

3) Si

b

2

4

ac

0

entonces la ecuación

ax

2

bx

 

c

0

no tiene raíces reales y en este caso:

sig ax

(

2

bx

c

)

siga

Ejercicio 10

Resolver en

( , , , )

  

las siguientes inecuaciones:

1)

(

x

2

4

x

4)(1 2 )(

x x

2

3

x

1)

x

0

2)

3 (2

x

x

) (

2

x

 

1)

0

3)

(

x

2

x

)(2

x

 

3) 2

x

 

3

0

4)

(3

x

5)(2

x

3)(

x

2)

x x

(

2)

5)

2 2

2

(

1)(4

)

0

2

x

x

x

x

x

  

 

6)

2

0

x

x

7)

x

x

2

0

8)

2

9

0

1

x

x

9)

2

(3

)

0

2(4

)

1

x

x

x

10)

1

x

x

11)

3

4

1

(

1)(

2)

x

x

x

x

x

12)

2

3

3

3

(

1)(3

)

(

1)(3

)

x

x

x

x

x

x x

x

(14)

14

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL

El valor absoluto de un número real, es la distancia que existe, sobre la recta real, entre dicho número y el

0

.

DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL

Dado

x

, se llama valor absoluto de

x

, al número real que denotamos por:

x

y que definimos de la

siguiente manera: si

x

0

entonces

x

x

y si

x

0

entonces

x

 

x

En forma resumida:

si

0

si

0

x

x

x

x

x

 

Por ejemplo,

4

4

,

 

4

4

y

0

0

.

A partir del valor absoluto de un número real podemos definir el concepto de distancia que usualmente utilizamos en de la siguiente forma:

Si

x

e

y

entonces

si si

( , )

x

y

x

y

d x y

x

y

y

x

x

y

   

En particular,

x

es la distancia de

x

a

0

.

Es consecuencia inmediata de la definición de valor absoluto que

x

0 ,

 

x

.

En muchas situaciones en la que aparece el valor absoluto conviene, de acuerdo a la definición, considerar los dos casos posibles: cuando la expresión entre barras es positiva y cuando es negativa. De esta manera, resolvemos un problema donde no aparece el valor absoluto.

EJEMPLO

Resolver la ecuación

3

x

  

6

2

x

Solución: Por definición de valor absoluto:

3

6

3

6

si 3

6

0

3

6 si 3

6

0

x

x

x

x

x

 

  

 

o lo que equivale a decir

que:

3

6

3

6

si

2

3

6 si

2

x

x

x

x

x

  

Por lo tanto, resolvemos las ecuaciones

3

6

2

si

2

3

6

2

si

2

x

x

x

x

x

x

  

   

La primera ecuación tiene solución

6

5

x

, pero no verifica la condición

x

2

y la segunda tiene solución

6

x

que no cumple

x

2

. Concluimos de esta manera que la ecuación

3

x

  

6

2

x

tiene solución vacía.

Ejercicio 11

1) Escribir los siguientes números sin usar valor absoluto:

1

2

y

4

2

3

.

2) Resolver las siguientes ecuaciones.

a)

x

4

b)

2

x

 

1

0

c)

2

x

 

1

6

d)

2

x

  

1

6

e)

x

 

1

2

x

f)

x

  

1

2

x

g)

4

x

 

1

2

x

0

h)

x

2

2

x

x

Ejercicio 12

Encontrar el valor máximo y el valor mínimo de

x

y

sabiendo que

x

 

1

,

3

e





;

8

(15)

15

MATEMÁTICA TEMA 0 : REVISIÓN

Ejercicio 13

(PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO)

Demostrar que para cualquier par de números reales

a

y

b

se cumplen las siguientes propiedades:

1)

a

2

a

2 2)

a

b

    

a

b

a

b

3)

ab

a b

4)

a

a

(

b

0)

b

b

5)

a

 

a

a

6)

a

b

   

b

a

b

7)

a

b

a

   

b

a

b

8) Desigualdad triangular:

a

 

b

a

b

Sugerencia: Para demostrar la desigualdad triangular usar las propiedades 5) y 6)) ¿Qué condición deben cumplir

a

y

b

para que se verifique

a

 

b

a

b

?

OBSERVACIÓN

Todas las propiedades enunciadas en el ejercicio 13 son válidas si se cambia el símbolo de

por

.

Ejercicio 14

Completar la siguiente tabla:

En términos de valor absoluto

En términos de distancia

En términos de Intervalo

x

3

1

d x

( ; 4)

2

d

(

x

;

4

3

x

 

6

,

10

Ejercicio 15

Resolver las siguientes inecuaciones:

1)

x

 

3

6

2)

4

x

 

5

2

3)

x

 

2

2

x

1

4)

2

x

 

4

2

x

4

Ejercicio 16

Sean

a

,

b

y

números reales.

1) Demostrar que si

a

 

b

, entonces

b

 

a

b

.

2) Deducir que si

a

 

b

, entonces

a

b

SOLUCIONES DE ALGUNOS EJERCICIOS

Ejercicio 2 b) Si

t

es el número de horas que recorre el primer corredor, entonces en el instante en que

ambos corredores se alcanzan recorrieron la misma distancia y por lo tanto

10

13

1

12

t

t

Resolviendo esta ecuación se obtiene la solución buscada que es

13

0,36

36

t

horas lo que equivale a

21,6

minutos aproximadamente.

Ejercicio 8 11)

S

  

1; 3

12)

S

13)

S

 

4

14)

1

2

S

  

 

 

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