ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
UNIDAD PROFESIONAL “ADOLFO LÓPEZ MATEOS”
“ANÁLISIS FRACTAL DEL FLUJO DE INFORMACIÓN EN EL CENTRO
DE ATENCIÓN A USUARIOS DEL BANCO IXE”
TESIS
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD
EN INGENIERÍA DE SISTEMAS
PRESENTA:
ING. NORMA ANGELICA ROMERO BADILLO
DIRECTOR:
DR. ALEXANDER BALANKIN
iv
AGRADECIMIENTOS
Deseo expresar mi agradecimiento al Instituto Politécnico Nacional y en especial a la
Sección de
Estudios de Posgrado de Ingeniería en Sistemas
por darme la oportunidad de alcanzar un paso
más en mi formación profesional.
En especial a mi asesor el Dr. Alexander Balankin por todo el apoyo brindado durante todo el
proceso que condujo a la exitosa terminación de este trabajo.
A los profesores miembros del jurado, Dr. Luis Manuel Hernández Simón, M. en C. Efraín
Martínez Ortiz, Dr. Oswaldo Morales Matamoros, Dr. Miguel Patiño Ortiz, Dr. Jaime Reynaldo
Santos Reyes por los comentarios y correcciones que sirvieron para darle mayor calidad a este
trabajo.
Un muy sincero agradecimiento a todo personal de Sistemas de Banco IXE que contribuyó directa
e indirectamente en la realización de este proyecto.
A mi familia, mis amigos, compañeros de trabajo.
Y a mi esposo Rodrigo Ocón (Cactli) por ser la persona que me motivo y apoyo con su experiencia
en este trabajo de tesis.
Dedico este trabajo a todos aquellos que siempre están en busca del conocimiento.
CONTENIDO GENERAL
Resumen
viii
Abstract
ix
Lista
de
Figuras
x
Lista
de
Tablas
xi
Glosario
xii
Introducción
xv
i. Antecedentes y Planteamiento
del
problema
xvi
ii.
Justificación
xviii
iii.
Objetivo
General
xix
iv.
Objetivos
Específicos
xix
v.
Organización
de
la
tesis
xix
vi.
Metodología
xx
Capítulo 1
. Marco Teórico: Sistemas Complejos, Caos y Fractales
1.1.
Sistemas
no
lineales 1
1.2
Sistemas
Complejos 2
1.3
Leyes de Potencia en el comportamiento de sistemas complejos
2
1.4 Redes Complejas y de pequeño mundo
4
vi
1.5
Matemáticas Fractales
6
1.5.1
Definición
de
Fractales
6
1.5.2
Fractales
y
Auto-Similitud
9
1.5.3
Fractales
y
Auto-Afinidad
9
1.5.4
Los
Fractales
y
el
Caos
10
1.6
Sistemas
Críticamente
Auto-organizados 10
1.6.1 Ejemplo de la pila de arena
11
1.7
Serie
de
tiempo
auto-afines 12
1.7.1 Métodos de estimación del exponente de Hurst
13
1.7.1.1 Análisis del rango escalado
13
1.7.1.2 Método de rugosidad–longitud
14
1.7.1.3
Método
de
las
Ondoletas
15
1.7.1.4
Función
de
Auto-correlación
15
Capítulo 2.
Sistema Remedy y Gestión de la información
2.1 Sistema Remedy para gestión de la información
17
2.2
Descripción y aplicación del Sistema Remedy en el Centro de
Atención
a
Usuarios 19
2.3 Organización y manejo de la información
21
2.4 Organización de las series de tiempo de flujo de información
en
el
banco
IXE
23
Capítulo 3.
Análisis estadístico y de series de tiempo
3.1 Organización y manejo de las series de tiempo
25
3.1.1
Análisis
estadístico
25
3.2 Distribución de Pareto de
segundo
orden 26
Capítulo 4
. Análisis fractal de las series y evaluación de resultados
4.1
Cálculo del exponente de escalamiento
30
CONCLUSIONES
34
Recomendaciones para Trabajos Futuros
35
Referencias
36
Apéndices:
Apéndice A. Software para análisis utilizado
38
A.1
RISK
4.5
(Best
Fit)
38
A.2
Benoit
1.2
38
viii
RESUMEN
El presente trabajo muestra una investigación encaminada a estudiar y
comprender el comportamiento de un sistema social complejo, por medio de
analizar el flujo de información en el Centro de Atención a Usuarios del Grupo
Financiero IXE, aplicando técnicas estadísticas y matemática fractal.
Primeramente, se mencionan algunos conceptos básicos de sistemas complejos,
redes complejas, teoría de caos y fractales. Posteriormente los datos, con
información de un año de actividades en el Centro de Atención a Usuarios (CAU),
que fueron obtenidos a partir del sistema de gestión de información del banco
(Remedy), se analizan y procesan para conformar series de tiempo que son
sometidas, en primer lugar, a un análisis estadístico. Estas series se dividen en
dos tipos: a) tiempo entre generación de reportes y b) tiempo entre asignación y
resolución de reportes. En el análisis estadístico se demuestra que las series de
tiempo analizadas se ajustan mejor a distribuciones de colas pesadas (distribución
de Pareto de segundo orden) en diferentes horizontes de tiempo, lo cuál índica un
comportamiento de leyes de potencia en las series. Una vez confirmada la
naturaleza fractal de estas series (comportamiento de colas pesadas), se realiza
un estudio matemático de las características fractales (similitud y
auto-correlación) de las series, determinando los exponentes locales de escalamiento
(exponente de Hurst) y la dimensión fractal, por los métodos: rango-reescalado,
rugosidad longitudinal y ondoletas, principalmente.
En la parte final, se discuten los resultados obtenidos, demostrando que el flujo de
información en el centro de atención a usuarios no es un proceso aleatorio en
periodos de actividad mensual y presenta un comportamiento de naturaleza fractal
el cual puede ser modelado por medio de distribución de probabilidad del tipo
Pareto de segundo orden. Los resultados indican que es más probable tener
incidencias de reportes en tiempos cortos que en tiempos largos y lo mismo puede
afirmarse con respecto al tiempo de solución de los reportes, es decir, es más
probable que los reportes se solucionen en tiempos menores. Respecto al análisis
fractal, se concluye que las series son anti-persistentes, lo cual indica que,
tomando como base periodos de tiempo mensuales, existe mayor probabilidad de
que si se genera un reporte en un tiempo dado, el siguiente reporte que llegue
aparecerá en un periodo de tiempo menor que la media estadística.
ABSTRACT
The present work shows an investigation focused to study and understands the
behavior of a social complex system by the analysis of the information generated
by the users help department (UHD), of IXE Bank, using statistical techniques and
fractal mathematics.
First, some basic concepts about complex systems, complex networks, chaos
theory and fractals are mentioned.
Then more than one year data acquired by using the information management
system (Remedy) from IXE bank users help department were processed and
analyzed in order to obtain time series that were first analyzed using statistical
tools. These time series are divided on two groups: a) time interval between
reports and b) time interval between report assign and report resolved.
During statistical analysis, it is shown that the time series has heavy tail distribution
behavior (second kind Pareto distributions) on different time intervals, which it
mean that a power law behavior is present on time series.
Once the fractal behavior of the time series were confirmed, a mathematical study
focus to self-similarity and self-correlation characteristics were also performed, and
the local Hurst exponent and fractal dimension were calculated on each case using
rescaled-range, roughness length, and wavelet methods.
Finally, some results are discussed showing that the users help department data
flow is not random process on monthly time intervals, and shows a fractal behavior,
that can be modeled using a second kind Pareto distributions.
The analysis also shows that is more probable to have report events on short time
intervals that on long time intervals; and similar behavior was found with respect to
report assign and report resolved, i.e. it is more probable that reports are solved on
short time intervals (regarding with mean value).
Regarding to fractal analysis, the time series display anti-persistence which it mean
that taking as a reference the monthly time intervals, there is a big probability that if
we have some report at any time, the next report will appear on a time intervals
less that the statistical mean.
x
LISTA DE FIGURAS
Figura 1
Metodología utilizada durante la presente investigación
xxi
Figura 2
Mapa Mental de la Metodología utilizada durante la
presente investigación
xxii
Figura 1.1
Red
regular
4
Figura 1.2 Red de pequeño mundo aleatoria
5
Figura 1.3 Red de pequeño mundo exponencial
5
Figura 1.4
Red
de
pequeño
mundo
Fractal
5
Figura 1.5
El
triángulo
de
Sierpinski.
7
Figura 1.6 Ejemplo de una transformación de similitud
9
Figura 1.7 Ejemplo de un fractal
auto-afin
determinístico
9
Figura 2.1 Datos adquiridos por el sistema
Remedy 21
Figura 2.2
Datos adquiridos por el sistema Remedy
22
Figura 2.3. Ejemplo de organización de datos en Excel
23
Figura 2.4 Fragmento del tipo de series de datos generados
para el
análisis
24
Figura 3.1
Gráfico de la serie entre reportes, mostrando
los parámetros estadísticos calculados por RISK y el
ajuste a una distribución de probabilidad de Pareto de
2
Orden
26
Figura 3.2
Gráfico de la serie entre asignación y resolución
de reportes, mostrando los parámetros estadísticos
calculados por RISK y el ajuste a una distribución de
probabilidad de Pareto de Segundo Orden
26
Figura 3.3 Ejemplo de curva de Densidad de Probabilidad de
Pareto de Segundo
Orden
27
Figura 3.4 Ejemplo de curva Acumulativa de Probabilidad
de
Pareto
de
Segundo
Orden
28
Figura 4.1 Serie de tiempo del mes de febrero (entre reportes) y a la
izquierda los resultados de Benoitt, con la curva de
ajuste para el método R/S, para la serie
31
Figura 4.2 Serie de tiempo del mes de febrero (asignación–solución de
reportes) y a la izquierda los resultados de Benoit, con
LISTA DE TABLAS
Tabla 1.1 Relación entre Exponente de Hurst, Dimensión Fractal,
Correlación y Comportamiento del proceso
8
Tabla 3.1
Parámetros estadísticos del ajuste de las series de tiempo
28
Tabla 3.2
Parámetros estadísticos del ajuste de las series de tiempo
considerando todos los datos del año
29
Tabla 3.3
Parámetros estadísticos del ajuste de las series de tiempo para el
mes
de
febrero
29
xii
GLOSARIO
ACD. Equipo distribuidor de llamadas telefónicas
Action Request System (AR System).
Aplicación de software cliente-servidor
Acuerdos de Niveles de Servicio (SLA). Tiempo que designa el área del centro
de atención a usuarios para resolver un problema de acuerdo a su prioridad.
Aleatorio. Resultado que depende de la suerte o el azar.
Auto-Correlación. Se define como la correlación cruzada de la señal consigo
misma.
Función de auto correlación. Ecuación matemática que resulta de gran utilidad
para encontrar patrones repetitivos dentro de una señal, como por ejemplo, la
periodicidad de una señal.
Auto-Similitud. Cuando se cambia de escala en la representación de algún fractal
la imagen que resulta es de gran similitud a la imagen origen.
Hablando de series de tiempo se tienen diferentes escalas pero su
comportamiento es similar.
Antipersistente. Un periodo de crecimiento es seguido de otro de decrecimiento.
Caos. En Mecánica y Matemáticas, es el comportamiento de sistemas dinámicos
gobernados por leyes determinísticas, el cual es aparentemente azaroso o
impredecible. Es decir un comportamiento estocástico que ocurre en un sistema
determinístico.
Caracterizar.
Determinar los atributos peculiares de alguien o de algo, de modo
que claramente se distinga de los demás.
Centro de Atención a Usuarios (CAU). Área del banco IXE encargada de la
atención a usuarios con problemas en los sistemas de cómputo.
Closterización. En una red se refiere a la forma de conectividad entre los nodos.
y causas de un fenómeno.
Dinámica. Parte de la mecánica que trata de las leyes del movimiento en relación
con las fuerzas que lo producen.
Distribución de Colas Pesadas. Son distribuciones de probabilidad con un
decremento de ley de potencia en sus colas.
Estocástico. Aleatorio
Fractal.
Un
conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente
mayor que su dimensión topológica.
Fenómeno aleatorio. Es aquel que bajo el mismo conjunto de condiciones
iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el
resultado de cada experiencia particular.
Fenómeno deterministico. Es aquel en que se obtiene siempre el mismo
resultado bajo las mismas condiciones iniciales.
Ixenet.
Nombre del área del banco IXE que se encarga de dar servicio a dudas
referentes con la página de Internet.
IXE. Nombre del grupo Financiero.
Mesa de ayuda. (Help desk). Recurso de asistencia e información para resolver
problemas relacionados con las computadoras
Modelo estocástico. Modelo matemático basado en las probabilidades; la
predicción del modelo no es un único número fijo, sino un rango de números
posibles
Sistemas no lineales. Representan sistemas cuyo comportamiento no es
expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. Más
formalmente, un sistema físico, matemático o de otro tipo es no lineal cuando las
ecuaciones de movimiento, evolución o comportamiento que regulan su
comportamiento son no lineales
Persistente. Un periodo de crecimiento es seguido de otro análogo.
Red. Conjunto de nodos y enlaces.
xiv
Reescalado.
Consistente en multiplicar por un valor indicado en el factor de
escala.
Redes Complejas. Se refiere a una red que posee ciertas características
topológicas no triviales que no ocurren en redes simples.
Redes de Pequeño Mundo. Es una propiedad que presentan algunas redes
sociales. Se da en aquellas redes en las que, a pesar de existir un gran número de
nodos, es posible encontrar sendas cortas que conecten dos nodos cualesquiera.
Sistema.
Conjunto de elementos interrelacionados entre si con un objetivo en
común.
Sistemas Críticamente Organizados. Sistemas cuya característica principal es
que evolucionan hacia un estado crítico sin la necesidad de un ajuste fino de sus
parámetros.
Sistemas Dinámicos. Es un sistema complejo que presenta un cambio o
evolución de su estado en un tiempo, el comportamiento en dicho estado se puede
caracterizar determinando los límites del sistema, los elementos y sus relaciones;
de esta forma se puede elaborar modelos que buscan representar la estructura del
mismo sistema.
Sistema complejo. Un sistema complejo es un sistema compuesto por varias
partes interconectadas o entrelazadas cuyas interrelaciones son no lineales.
SLA. Siglas en inglés de Acuerdos de Niveles de Servicio
SOC. Sistemas Críticamente Organizados
Tecnologías de información (TI). Según lo definido por la asociación de la
tecnología de información de América (ITAA), es “el estudio, diseño, desarrollo,
puesta en práctica, ayuda o gerencia de los sistemas de información
computarizados, particularmente usos del software y hardware”
INTRODUCCIÓN
En años recientes el estudio y análisis de la dinámica de los sistemas complejos
se ha difundido enormemente, debido a que el estudio del caos y las matemáticas
fractales han proporcionado nuevas herramientas conceptuales y teóricas, que
facilitan categorizar y entender el comportamiento complejo de muchos
fenómenos, que se pensaban eran totalmente aleatorios o por el contrario
totalmente deterministas.
Dentro del grupo de mecánica fractal de la ESIME Zacatenco se han desarrollado
e implementado diversas metodologías con el fin de evaluar métodos de análisis
fractal, así como su aplicación a la morfología y proyección del comportamiento de
los sistemas sociales complejos.
Algunas aplicaciones del análisis fractal incluyen estudios de la bolsa de valores,
reacciones químicas, sismos, contaminantes, crecimiento de poblaciones, tráfico,
climas, manchas solares, medicina, música, comportamiento de redes sociales,
aplicaciones financieras, etc.
Por otra parte, un sistema [5] es un conjunto de objetos unidos por alguna forma
de interacción o Interdependencia para llegar a un objetivo en común y existe una
gran variedad de sistemas y una amplia gama de tipologías para clasificarlos, de
acuerdo con ciertas características básicas: a) su constitución pueden ser físicos o
abstractos, b) en cuanto a su naturaleza, los sistemas pueden ser cerrados o
abiertos, y c) en cuanto a su origen, los sistemas pueden ser naturales o
artificiales. Sin embargo, Independientemente de su clasificación, normalmente el
objetivo al estudiar un sistema aparte de comprender su dinámica, es desarrollar
modelos que permitan predecir su comportamiento.
El comportamiento complejo puede suscitarse en cualquier sistema que esté
constituido por elementos que interactúen de manera no-lineal; por ejemplo
átomos en un sólido, células en un organismo vivo, paquetes de información en
una red, etc. El análisis cuantitativo de los datos generados por los sistemas
complejos es un problema común en la física estadística, la cual encuentra
aplicaciones en varias ramas de las ciencias naturales y sociales.
La eficiencia de un sistema, en términos de flujo de información, está íntimamente
relacionada con la topología del modelado de la red. En este contexto, en la última
década se ha despertado un enorme interés en las llamadas
redes complejas
que
poseen la propiedad de
pequeño mundo
(del ingles “
small-world-effect”
[1]); es
decir, el número de enlaces
n
que uno debe recorrer para conectar dos sitios de
xvi
contraste con el caso de redes regulares en donde
n
es directamente proporcional
a
N
.
En el presente trabajo se realizó el análisis del flujo de información en el centro de
atención a usuarios del banco IXE. Dicha información se crea a partir de la
interacción entre los usuarios y los técnicos responsables del mantenimiento de la
red de cómputo del banco IXE. Este sistema, visto como una red social compleja,
fue analizado, en primer lugar, utilizando herramientas estadísticas, con el fin de
verificar si su comportamiento era completamente aleatorio o si existía algún nivel
de organización en ciertos intervalos de tiempo. A partir de este análisis, y una
vez verificada la existencia de leyes de potencia (comportamiento fractal de las
series), se procedió a realizar un análisis más profundo del grado de auto-afinidad
de las series. El objetivo perseguido fue, en primer lugar, comprender la
naturaleza compleja de estas interacciones y, en segundo lugar, obtener un
modelo que sirva como base para la predicción de su comportamiento,
i. ANTECEDENTES Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Uno de las áreas más excitantes y con mayor desarrollo en las investigaciones
modernas es el estudio cuantitativo de la complejidad. El objetivo principal de la
ciencia de la complejidad es el desarrollo de métodos matemáticos capaces de
discriminar entre la constitución microscópica y macroscópica del sistema
complejo y describir sus interrelaciones de una manera concisa. Históricamente el
estudio de las redes complejas se ha realizado por el deseo de comprender el
funcionamiento de los sistemas reales. Haciendo un poco de historia, las redes
fueron descritas por modelos aleatorios en la decada de los 50´s, basado en los
estudios de dos matemáticos Húngaros: Paul Erdös y Alfréd Rényi (modelo ER).
Este tipo de redes eran estadísticamente homogéneas y su grado de distribución
era una distribución de Poisson; no obstante, los estudios recientes [6] indican que
el grado de distribución sigue una ley de potencia y muestran distribuciones
heterogéneas.
Entre las redes complejas, las redes sociales aparecen de manera muy natural,
jugando un importante papel. Las redes sociales, como las naturales, están
conformadas por un gran número de individuos, quienes generalmente tienen
interacciones locales entre ellos mismos. De manera similar, a los sistemas físicos
susceptibles a acciones y campos externos, el comportamiento de las redes
sociales también depende de factores externos. Por ello, las herramientas
matemáticas desarrolladas en el contexto de la física estadística, para tratar con
fenómenos colectivos, se han venido aplicando a diversos problemas sociales en
los últimos años [2,7, 9]. Las redes sociales analizadas son tan variadas como: (
i
)
las redes de amistades y conocidos en grupos sociales restringidos, como actores,
sectas religiosas y partidos políticos, entre otros; (
ii
) redes de mercados
colaboraciones científicas; (
v
) redes de contactos sexuales, y muchas otras. En [2]
se describen brevemente algunos ejemplos, de los que podemos mencionar: el
crecimiento de poblaciones, tráfico, relaciones sexuales humanas [10], procesos
electorales [7], terrorismo, citas técnicas de científicos, flujo de información en la
red [9], etc.
Los modelos simples sobre el comportamiento cooperativo en los sistemas
sociales eran ya conocidos por economistas y sociólogos desde hace muchos
años, sin embargo, recientemente, el análisis de estas redes ha demostrado que
la estructura de una red social no es puramente aleatoria, como venía suponiendo
la sociología desde hace muchos años, sino más bien son redes de pequeño
mundo [1], similares a la red de interacciones genéticas y las redes metabólicas o
de tendido eléctrico. Lo que resulta realmente sorprendente es que muchos de
estos modelos clásicos en la sociología fueron simplemente reformulados en
términos de modelos existentes en mecánica estadística, tales como el “Juego de
la Minoría”, el modelo de Axelrod de formación de dominios culturales o
coaliciones políticas, los modelos económicos basados en el concepto de
equilibrio local de Nash, entre otros.
Los estudios recientes han demostrado que la estructura de una red social no es
completamente aleatoria pues presentan ciertas estructuras características que
son comunes en la naturaleza, tales como la capacidad de
auto-organización
,
cooperación
y
adaptación
[2]. Además, frecuentemente, el análisis estadístico ha
mostrado que muchos sistemas presentan comportamientos descritos por
distribuciones de ley de potencia, indicando que los sistemas sociales
auto-organizados fluyen hacia un estado crítico sin escalas características de tiempo o
longitud [1,2,7,9].
Por otra parte, dentro de cualquier empresa moderna el uso de equipos de
cómputo es prácticamente indispensable y, dependiendo de la complejidad y giro
de la misma, es también común contar con un departamento técnico especializado
para dar soporte a los usuarios. Este soporte incluye tareas como el cambio de
contraseñas de usuario, descompostura de equipos, errores de software de
aplicación, capacitación con nuevas versiones de software, fallas eléctricas,
olvidos de contraseñas, problemas de comunicación de la red, etc.
El Banco IXE cuenta con un moderno sistema de gestión de la información. Este
sistema cuenta con un módulo de niveles de servicio donde se puede medir los
tiempos del Centro de Atención a Usuarios (CAU).
Los objetivos específicos de dicho sistema son, entre otros:
xviii
• Definir los Acuerdos de Niveles de Servicio (SLA) con las distintas áreas.
• Capacitar y reconvertir a los recursos humanos, a fin de adecuarlos al
nuevo entorno.
• Reducción de quejas de los clientes.
Este sistema ha operado satisfactoriamente por más de 3 años desde su
implementación y una de sus ventajas principales es la capacidad de
almacenamiento de información. Esta información incluye datos como: tipo de
reporte (ó problema), hora del incidente, tiempo de solución al mismo, técnico
encargado, etc.
Sin embargo, a pesar de la ayuda para el control de información que este tipo de
sistemas proporcionan; cuestiones como la programación y asignación de tareas
al personal, capacitación y contratación de personal externo, son actualmente
definidas en base a la experiencia del jefe de área.
El problema es que actualmente no se cumple con los tiempos previamente
definidos para la solución de reportes de las distintas áreas del banco y por esta
razón el CAU ha buscado herramientas que le permitan realizar las actividades
anteriormente mencionados de una manera más eficiente.
ii. JUSTIFICACIÓN
La adecuada administración de los recursos materiales, económicos y humanos
para una correcta operación en un centro de atención a usuarios (CAU),
incluyendo elementos como la selección del número de personas requeridas,
asignación de horarios, planificación de recursos de cómputo, capacitación, entre
otras, es de vital importancia para la correcta operación del sistema.
Por otra parte, aunque frecuentemente se ha pensado que el flujo de información
en sistemas como el descrito anteriormente es de un carácter completamente
aleatorio, las investigaciones y desarrollos recientes en el campo de los sistemas
sociales complejos, teoría del caos y las matemáticas fractales han demostrado
que estos sistemas complejos pueden presentar características predecibles.
Tomando en cuenta el problema anteriormente planteado, construir un modelo que
permita predecir el comportamiento del flujo de información en una red social (en
este caso particular la información entre usuarios y el CAU) ayudará a administrar
de una manera más eficiente los recursos materiales y humanos del centro de
atención a usuarios, trayendo un beneficio a la empresa, impactando directamente
en aspectos de mejora de servicio.
iii. OBJETIVO GENERAL
Analizar la estructura compleja del flujo de información del centro de atención a
usuarios del banco IXE.
iv. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Recabar, organizar y analizar la información representativa, obtenida con el
sistema REMEDY (sistema de gestión de información).
• Realizar un análisis estadístico de las series seleccionadas.
• Verificar la existencia de leyes de potencia en las series.
• Realizar un estudio fractal de las series.
v. ORGANIZACIÓN DE LA TESIS
La tesis se organiza en cuatro capítulos. En el capítulo 1 se presenta el marco
teórico de los sistemas complejos, donde se incluyen conceptos relacionados con
las matemáticas fractales y redes sociales. En el capítulo 2 se describe la
estructura del sistema de gestión de información (Remedy) utilizado por el banco
IXE, a partir del cual fue posible obtener la información necesarias para construir
las series de tiempo analizadas; además, en este capítulo se muestran los
procedimientos utilizados para formatear los datos obtenidos directamente del
sistema Remedy y formar las series de tiempo en periodos de tiempo definidos,
para el análisis del flujo de información.
En el capítulo 3 se presentan los resultados del análisis estadístico aplicado a las
series de tiempo y se discuten los resultados obtenidos en referencia al tipo de
distribución de probabilidad que más se acerca para modelar el comportamiento
de la distribución de las series (distribución de Pareto de segundo orden).
xx
vi. METODOLOGÍA
La Teoría General de Sistemas (TGS) es la historia de una filosofía y un método
para analizar y estudiar la realidad y desarrollar modelos, a partir de los cuales se
puede intentar una aproximación paulatina a la percepción de una parte de esa
globalidad que es el Universo, configurando un modelo de la misma no aislado del
resto al que llamaremos sistema [5].
Dentro de las metodologías para la línea de investigación de operaciones,
utilizadas para la elaboración de una tesis, existen tres enfoques: a) cualitativo, b)
cuantitativo, y c) mixto [11]. En el presente trabajo se siguió el enfoque mixto. El
cual es la combinación de dos enfoques: cualitativo y cuantitativo. El primero se
basa en una recolección de datos, descripciones, observaciones, interpretación
del contexto y se está más interesado en el entendimiento del problema. En el
segundo caso, se utiliza la recolección y análisis de datos con una medición
numérica y se prueban hipótesis a través de la estadística.
En este trabajo se desarrollaron las cuatro primeras fases definidas en [11], como
se describe a continuación y se observa en las figuras 1 y 2.
Durante la primera fase de esta metodología, definición del problema; puesto
que me encontraba directamente involucrada con el manejo de la información del
centro de atención a usuarios del banco IXE (el mundo real en este caso [11]), el
paso de arranque en la investigación consistió en identificar las posibles áreas de
oportunidad, definir alcances y objetivos perseguidos, particularizando el problema
a solamente el análisis de la información generada por los reportes de usuario. El
conocimiento del organigrama, la administración y la forma de operación del CAU
del banco IXE, facilitaron estas tareas.
Las actividades posteriores, y principales realizadas, fueron: adquisición de datos
relacionados con el comportamiento del sistema, búsqueda en la red de
información sobre el comportamiento de sistemas complejos, interacción con
personas especializadas en el área y la recolección de bibliografía especializada.
Al finalizar estas actividades quedó definida, en forma general, la problemática y el
diagnóstico del tema bajo estudio, las cuales fueron descritas con mayor detalle en
el presente capítulo.
El resultado de esta etapa principalmente consistió en relacionar los datos bajo
estudio con un modelo estadístico para describir el comportamiento del flujo de
información. El uso de herramientas de software, como Excel y Risk fue de vital
importancia para identificar los parámetros del modelo y completar esta etapa.
En la siguiente etapa de la investigación, la cual principalmente consistió en la
simulación, se realizó la identificación del modelo que, como ya se mencionó, se
trataba principalmente de un modelo estocástico de naturaleza no lineal
(distribución de Pareto de segundo orden, el cual sigue un comportamiento de
leyes de potencia). Una de las principales actividades realizadas fue el estudio de
las características fractales de auto afinidad de los datos, apoyado en el uso de
herramientas de software como el programa Benoit. Con esto fue posible
caracterizar el comportamiento fractal y de auto-afinidad de los datos analizados.
Para este caso, la etapa final de la investigación consistió en la evaluación de los
resultados obtenidos, realizando actividades como la evaluación del
comportamiento fractal del modelo en diferentes escalas de tiempo, la
comparación entre el comportamiento de las diferentes series de tiempo utilizadas,
análisis de los resultados para verificar la intensidad de dependencia a largo plazo
y el tipo de correlación en las series y, fundamentalmente, la obtención de
conclusiones referentes a la predicción del comportamiento del flujo de
información del CAU del banco IXE.
Las etapas posteriores de implementación y control y retroalimentación, no
fueron realizadas y son planteadas como aspectos de trabajos futuros derivados
de la presente investigación; los cuales son descritos con mayor detalle al final de
la tesis.
[image:21.612.115.517.528.687.2]La metodología anteriormente descrita es mostrada en forma resumida en la figura
1 y en la figura 2 se muestra esta metodología en forma de un mapa conceptual,
relacionado con los temas específicos de la investigación.
Figura 1
. Metodología utilizada durante la presente investigación.
FASE 1. Definición del Problema
FASE 2. Modelación
FASE 3. Simulación
FASE 4. Evaluación FASE 6.
Control y Retroalimentación
FASE 5. Implementación
Trabajo Futuros Problemática
Mundo Real Modelo
Resultados
xxii
1
)
(
)
(
++
=
qqb
x
qb
x
f
Mundo Real
CAU
Recolección y organización de Información
Análisis y modelado
Evaluación de resultados
1
)
(
)
(
++
=
qqb
x
qb
x
f
Mundo Real
CAU
Recolección y organización de Información
Análisis y modelado
1
)
(
)
(
++
=
qqb
x
qb
x
f
Mundo Real
CAU
Recolección y organización de Información
Análisis y modelado
[image:22.612.104.539.74.423.2]Evaluación de resultados Evaluación de resultados
Capítulo 1
Marco Teórico:
SISTEMAS COMPLEJOS, CAOS Y FRACTALES
1.1. Sistemas no Lineales
Un sistema no-lineales aquel que se puede modelar matemáticamente con
ecuaciones que en algunos casos evolucionan con el tiempo y éstas son
no-lineales [12].
Para sistemas no-lineales, un cambio pequeño en uno de sus parámetros
puede conducir a cambios radicalmente diferentes, tanto en el comportamiento
cuantitativo como en el cualitativo. Para un valor definido es posible que el
comportamiento sea periódico, para otro valor ligeramente diferente es posible
que el comportamiento sea completamente aperiódico. Se podría señalar que
casi todos los sistemas reales son no-lineales, al menos en alguna extensión.
Modificando ligeramente los parámetros de entrada en sistemas no-lineales
éstos pueden dar lugar a un comportamiento complejo llamado Caos. El
sustantivo Caos y el adjetivo caótico con frecuencia son usados para describir
cómo en un sistema dado, al transcurrir el tiempo, evoluciona en un movimiento
aperiódico (es decir que nunca se repite exactamente igual) y es
aparentemente aleatorio o ruidoso
1.Si vemos un sistema con un comportamiento complejo que parece aleatorio,
podemos tratar de explicarlo dando un argumento basado en la noción de
“ruido” o uno basado en el de la “complejidad”. Si estamos de acuerdo con el
primer argumento, entonces, en consecuencia, el comportamiento complejo
puede deberse a la influencia de efectos externos que no fueron controlados
como picos eléctricos, vibraciones mecánicas o fluctuaciones de temperatura.
Ya que estas perturbaciones externas están cambiando de una forma
incontrolada (y tal vez aleatoria).
Por otro lado, si estamos de acuerdo con el argumento de complejidad, vemos
que la mayoría de los sistemas reales en Biología, Química, Física, Ingeniería y
en muchas disciplinas más están hechos de billones y billones de átomos y
moléculas, todos ellos interactuando y, debido a que no se tiene control preciso
(ó aun conocido) del comportamiento de todos esos átomos y moléculas, no es
sorprendente que esta carencia de control conduzca a fluctuaciones y
aleatoriedades en el comportamiento total del sistema. Para ser un poco más
precisos, podemos decir que esos sistemas complejos tienen muchos grados
de libertad
2y su actividad es lo que conduce al comportamiento aparentemente
aleatorio.
Una de las consecuencias del estudio del Caos es que éste provee una
explicación alternativa para esta aparente aleatoriedad; una que no depende
del ruido sino de la complejidad.
1.2. Sistemas Complejos
Los sistemas complejos se caracterizan fundamentalmente porque su
comportamiento es imprevisible. Sin embargo, complejidad no es sinónimo de
complicación. En realidad, y por el momento, no existe una definición precisa y
absolutamente aceptada de lo que es un sistema complejo, pero pueden darse
algunas peculiaridades comunes. En primer término, está compuesto por una
gran cantidad de elementos relativamente idénticos. Por ejemplo, el número de
células en un organismo, o la cantidad de personas en una sociedad. En
segundo lugar, la interacción entre sus elementos es local y origina un
comportamiento emergente que no puede explicarse a partir de dichos
elementos tomados aisladamente.
La dinámica de los sistemas complejos reales manifiesta una parte aleatoria, la
cual es causada por la no-linealidad, que es una característica de los sistemas
dinámicos y/o por el ruido estocástico externo. Sistemas de cómputo, físicos,
biológicos, sociales y económicos son ejemplos de sistemas dinámicos
complejos [2].
1.3. Leyes de potencia en el comportamiento de sistemas complejos
Recientemente han aparecido estudios empíricos sobre la estructura de redes
naturales muy diversas [2, 8]. Pero, ¿qué tienen en común?. Muchas presentan
estructura de pequeño mundo o estructura de red libre de escala. En todo caso
no presentan ni regularidad en sus conexiones ni azar puro. Muchas de las
redes investigadas poseen distribuciones que decaen como leyes de potencias.
Las redes que presentan esta distribución han sido denominadas libres de
escala por su analogía con los fractales, donde no podemos definir una escala
característica. Estas redes presentan “efecto de pequeño mundo”: crecen de
manera similar a las aleatorias, pero es posible encontrar sendas cortas que
conecten dos de sus nodos cualesquiera. Una propiedad especialmente
interesante de estas redes es que la conexión entre dos nodos cualesquiera se
mantiene robusta frente a la eliminación aleatoria de nodos o conexiones.
Muchas distribuciones empíricas halladas en sistemas económicos, sociales y
otros campos de investigación muestran un comportamiento de ley de potencia.
Las distribuciones de ley de potencia
no varían ante un cambio en la escala de
tiempo, o sea que la probabilidad relativa para observar un evento de cierto
tamaño y un evento diez veces más grande es independiente de la escala de
referencia [2,13]. Por ejemplo, a diferencia de una distribución Gaussiana, la
probabilidad de que se forme un grupo de tamaño muy grande no es
despreciable. Una distribución que sigue una ley de potencias (invariante de
escala) nos indica que la dinámica del sistema se encuentra en una situación
entre orden y desorden, lo cual es característica de los sistemas complejos.
EI decremento exponencial de la cola es generalmente considerado como la
frontera que separa a las distribuciones de colas gruesas de aquellas de colas
ligeras. En la literatura, las distribuciones con un decremento de ley de potencia
en sus colas son conocidas como distribuciones de “
colas pesadas
”.
EI primer uso de una distribución de ley de potencia fue hace mas de 100 años
cuando el economista y sociólogo italiano Vilfredo Pareto investigo el carácter
estadístico de la riqueza de los individuos en una economía estable. La
distribución de la riqueza individual F(X) es frecuentemente descrita, en su cola
asintótica, por una ley de potencia dada por la ecuación (1):
0 1
0
,
)
(
para
X
X
X
X
X
F
=
−µ>>
µ
(1)
Donde:
F(X): Es la distribución de riqueza en una economía.
µ: Es el coeficiente que caracteriza el decrecimiento de la distribución
para las grandes riquezas (X).
X
0: Es el nivel de riqueza típico de la población.
De acuerdo con (1) conforme el valor de µ es más pequeño, el decrecimiento
es más lento, y es más grande la brecha entre los más ricos y los más pobres.
En resumen, en una población de Pareto de tamaño N, el cociente de la
riqueza mas grande y la riqueza típica (mediana) crece como N
(1/µ).
En el caso de que µ < 1, la riqueza promedio diverge: esto corresponde a una
economía en donde una fracción finita de la riqueza total está en manos de
muy pocos individuos. Por el contrario, cuando µ > 1, los individuos más ricos
solo poseen una fracción de la riqueza total. Empíricamente, el exponente está
en el rango:
µ
∈
[1,2].
1.4. Redes complejas y de pequeño mundo
En la actualidad muchos sistemas pueden ser descritos adecuadamente a
través de redes complejas
[1]
. Existen diversos tipos de redes: Sociales,
Biológicas, Tecnologías y de Información. En todas ellas existen nodos que
representan individuos, organizaciones, computadoras, y los enlaces que
simbolizan las interrelaciones entre los nodos.
Muchos sistemas biológicos, sociales o de comunicación se pueden describir
adecuadamente a través de redes complejas cuyos nodos representan
individuos u organizaciones y los enlaces simbolizan las interacciones entre
ellos. Una clase importante de redes son aquellas que cumplen con las reglas
denominadas de "mundo pequeño", cuya topología exhibe dos rasgos
esenciales: todo nodo está fuertemente conectado con muchos de sus vecinos,
pero débilmente con algunos pocos elementos alejados (fenómeno conocido
como apiñamiento, agrupamiento o
closterización
) y todo nodo puede conectar
a cualquier otro con sólo unos cuantos saltos (en otras palabras, existe una
pequeña "distancia" entre ellos). Esto implica dos cosas: que la información se
transfiere muy rápidamente entre dos elementos cualesquiera y que existe un
pequeño número de nodos claves por donde circula un gran porcentaje del
tráfico total. Es obvio que la estructura de una red es determinante en su
funcionamiento.
Existen diferentes tipos de redes sociales, clasificadas en función de la forma
en que se interrelacionan sus nodos. Algunas de las más importantes se
mencionan a continuación.
[image:26.612.199.414.501.627.2]a)
Red Regular.
En una red regular la longitud de enlaces en promedio es
proporcional al número de nodos y la distribución del número de enlaces por
nodo es muy estrecha (ver figura 1.1).
Figura 1.1.
Red regular
[image:27.612.104.497.71.196.2]
(28)Figura 1.2.
Red de pequeño mundo aleatoria
[image:27.612.222.390.275.409.2]c) Red de pequeño mundo exponencial: Aquí la distribución de enlaces entre
nodos es una distribución exponencial y hay muy pocos nodos con número de
enlaces más que el promedio de enlaces por nodo (ver figura 1.3).
Figura 1.3.
Red de pequeño mundo exponencial
d) Red de pequeño mundo fractal: Aquí la distribución de enlaces entre nodos
es una distribución tipo ley de potencia con el exponente
℘
= 1 + 1/(
∝
-1) > 3; la
conectividad de la red es auto-similar en diferentes escalas.
Figura 1.4.
Red de pequeño mundo Fractal.
[image:27.612.227.387.490.625.2]proteínas en una célula humana, los patrones lingüísticos, las relaciones entre
especies de un ecosistema, las redes de colaboración social, etc.
Muchas de estas redes de mundo pequeño son también "redes independientes
de la escala" (scale-free networks), que se caracterizan por un escaso número
de nodos con muchos enlaces (denominados "concentradores" o "hubs") y una
enorme cantidad de nodos con muy pocas conexiones. Este tipo de estructura
explica porqué algunas redes son generalmente muy estables y robustas
(frente a posibles errores aleatorios), pero muy propensas a ocasionales
colapsos catastróficos (por posibles ataques maliciosos). En efecto, si se
elimina una gran fracción de nodos al azar, la red todavía es capaz de
funcionar con normalidad; pero si se quita alguno de los concentradores, el
sistema puede sufrir una hecatombe
1.5. Matemáticas Fractales
Lo que se conoce como fractales en matemáticas, o a veces geometría fractal,
se expresa mediante algoritmos ó procedimientos secuenciales e iterativos,
que por lo general requieren la ayuda de una computadora. La idea esencial es
que mediante un proceso iterativo se logre construir una figura ó serie de
tiempo, que tenga una estructura esencial, que ya entendemos por fractal y
que sea invariante a diferentes escalas. El término fractal fue acuñado por
Benoit Mandelbrot, físico de origen polaco que estudió e inició la era de los
fractales en 1975.
La geometría fractal puede considerarse como una extensión de la geometría
euclidiana en donde a diferencia de ésta, la dimensión de un objeto fractal es
un número fraccionario [2]. Mientras que con el uso de la geometría euclidiana
es complejo y en ocasiones imposible, resolver problemas relacionados con
fenómenos irregulares tales como la forma de las nubes, de las plantas, las
siluetas de las montañas, el perímetro de las costas, etc. Con el uso de la
geometría fractal es posible representar infinita cantidad de formas irregulares y
no lineales. Por esta razón, la geometría fractal es el medio idóneo en el
estudio de fenómenos caracterizados por la complejidad.
1.5.1. Definición de fractales
De acuerdo con estudios modernos [2], el uso de la geometría fractal presenta
ventajas como:
•
Proveer dimensiones adicionales y más cercanas a la realidad en
comparación con la geometría euclidiana.
•
La mayoría de los sistemas complejos son caóticos, y éstos exhiben
conductas extrañas asociadas con límites o campos que no pueden ser
representados en dimensiones enteras.
•
Sistemas dinámicos como la variación de precios del petróleo, el
comportamiento de la bolsa de valores, el flujo de información en
Internet, etc., pueden ser representados en series de tiempo que pueden
analizarse con herramientas de auto-afinidad.
•
Los fractales son escalables, esto es, se puede reducir o ampliar su
análisis para observar detalles, mientras que las formas básicas se
conservan en cada escala.
Los procesos matemáticos que crean las estructuras fractales son iteraciones
de reglas simples en objetos iniciales. Las mutaciones pequeñas de reglas
simples crean variedad enorme de modelos macroscópicos. La esencia de los
fractales es la "retroalimentación". El punto de partida es una información
original, se procesa y se obtiene un resultado. Éste se procesa de nuevo (se
itera) y se obtiene otro resultado similar al anterior y se continúa haciendo lo
mismo indefinidamente con cada resultado. Un ejemplo que no deja de ser
mencionado en toda la literatura sobre los fractales es la construcción del
triangulo de Sierpinski (Braun, 1996).
[image:29.612.194.422.523.634.2]Se une la mitad de cada lado de triángulo (primera fase), en cada triángulo
formado se une la mitad del triángulo formado (segunda fase), y así
sucesivamente. Ver figura 1.5.
Figura 1.5.
El triángulo de Sierpinski, después de cuatro iteraciones.
variables que gobiernan su dinámica. Esto nos posibilita a emplear el enfoque
de escalamiento para obtener los fractales auto-similar y auto-afines.
Los fractales presentan dos importantes propiedades:
auto-similitud
y
auto-afinidad
. En la auto-similitud a diferentes escalas, un fractal conserva la misma
apariencia y siempre existe una clara similitud entre partes muy distantes de
una misma figura fractal. La auto-afinidad es la invariancia bajo cambios de
escala o tamaño de objeto.
La dimensión fractal
(D) está dada por:
D = 2 – H.
(2)
Donde H es el
exponente de Hurst
, que es una medida de la tendencia o
persistencia de una serie de tiempo. El exponente de Hurts es también un
indicador para determinar si un fenómeno o una serie de tiempo presenta un
comportamiento fractal, además de que mide la intensidad de dependencia a
largo plazo de una serie de tiempo. De lo anterior se puede mencionar que un
fenómeno analizado es aleatorio cuando H = 0.5, es persistente cuando 0.5 < H
< 1 (existe in variancia en la escala asociada a correlaciones positivas a largo
plazo) y es antipersistente cuando 0 < H < 0.5 (existe in variancia en la escala
asociada a correlaciones negativas a largo plazo).
La relación que existe entre H, D, la correlación y el comportamiento del
proceso es mostrada en la tabla 1.1.
Tabla 1.1.
Relación entre Exponente de Hurst, Dimensión Fractal,
Correlación y Comportamiento del proceso.
H D Correlación Comportamiento
del Proceso
> 0.5
< 1.5
Positiva
Persistente
= 0.5
= 1.5
Cero
Aleatorio
< 0.5
> 1.5
Negativa
Anti-Persistente
Existen diferentes métodos para calcular el exponente de Hurst como son [2]:
- Análisis del rango reescalado.
- Método del espectro de potencia.
- Método de rugosidad – longitud.
- Método del Varigrama.
- Método
de
Ondoletas.
La dimensión fractal sirve como un cuantificador de la complejidad [21], pues
esta mide la razón de incremento en el detalle estructural respecto al cambio
de escala ó resolución. Desde un punto de vista práctico la dimensión fractal
proporciona una estimación del mínimo número de grados de libertad
necesarios para describir el comportamiento dinámico del sistema [2].
1.5.2. Fractales y Auto-similitud
Los fractales
auto-similares son estructuras que permanecen invariantes a los
cambios de escala, son isotrópicos
(tienen las mismas propiedades en todas
las direcciones), permanecen invariantes cuando cambia la escala
uniformemente
en todas las direcciones. En la figura 1.6. se muestra un
[image:31.612.203.407.266.342.2]ejemplo de una transformación de similitud T(x,y) = (ax,ay) donde: a > 1.
Figura 1.6
: Ejemplo de una transformación de similitud
1.5.3. Fractales y Auto-afinidad
Un objeto fractal se dice que es auto-afín cuando permanece invariante bajo
una escala de transformación anisotrópica
(diferentes escalas en todas las
direcciones). A pesar de sus diferencias, en una escala de transformación, las
direcciones no son completamente independientes. Si al hacer un
acercamiento, uno de los ejes de coordenadas se transforma en un factor
b
,
x
→
bx
, el resto de los ejes coordenados deben ser reescalados en un factor
b
αi, x
i→
b
αix
i, con el objeto de preservar el conjunto invariante. Los exponentes
α
i
son llamados
exponentes de Hurst
y nos indican cuál es el grado de
anisotropía del conjunto. En la figura 1.7.se muestra un ejemplo de un fractal
auto-afín.
Figura 1.7
: Ejemplo de un fractal auto-afín determinístico [15].
x
y
x
y
[image:31.612.180.432.556.669.2]Los modelos que representan un sistema fractal tienen auto-similitud a un nivel
macro y a un nivel micro. Pequeños cambios crean enorme variedad de
patrones tanto a nivel micro como a nivel macro. La creatividad de la
naturaleza, según parece, viene de este procedimiento iterativo [14].
El análisis fractal permite determinar la dimensión fraccional y detectar las
propiedades de auto-similitud y auto-afinidad en los objetos ó series de tiempo
sujetas a investigación y que poseen características complejas.
1.5.4. Los Fractales y el Caos
Aunque los conceptos de fractales y caos están muy relacionados, estos no
deben confundirse. Las palabras claves para el caos son dependencia sensible
y las palabras claves para los fractales son auto-similitud e invariancia de
escala.
1.6. Sistemas Críticamente auto-organizados
Consideremos una colección de electrones, o una pila de granos de arena, o
un balde de agua, o una malla de muelles elásticos, o un ecosistema, o el
colectivo de los almacenistas-distribuidores. Cada uno de estos sistemas, está
constituido por muchos componentes que intercambian entre sí fuerzas o
información
[16 ]
.
Además de estas interacciones internas, el sistema puede estar afectado por
alguna fuerza externa: un campo eléctrico o magnético, el campo gravitatorio,
cambios en el medio ambiente, etc. El sistema evolucionará ahora bajo la
influencia de las fuerzas externas y de las interacciones internas.
La cuestión que se plantea es si exista algún mecanismo simplificador que
produce un comportamiento típico, compartido por amplias clases de sistemas,
o, por el contrario, el comportamiento del sistema dependerá siempre de forma
esencial de los detalles específicos de cada sistema. En [16] se plantea la
hipótesis de que los sistemas que consisten en un colectivo de muchos
constituyentes que interactúan entre sí, pueden exhibir algún comportamiento
general característico.
Aunque la respuesta dinámica del sistema es compleja, en el sentido de que no
existe un tamaño de acontecimiento ni una escala característicos, el aspecto
simplificador es que las propiedades estadísticas se describen mediante leyes
de potencia simples, cuyos exponentes pueden ser semejantes para sistemas
que presentan una apariencia muy diferente.
Muchos fenómenos en la ciencia y en la naturaleza permiten un modelo
compatible con esta teoría. Los primeros ejemplos han sido pilas de arena,
terremotos e incendios en el bosque. Últimamente la idea ha sido extendida a
la economía y a las teorías sobre evolución biológica.
1.6.1. Ejemplo de la Pila de Arena
Los principios de la auto-organización crítica se ilustran haciendo uso de un
autómata celular bidimensional. Consideremos una caja cuadrada dividida en
n
2cajas de lado
L
/
n
. El fenómeno que queremos estudiar se refiere a la
evolución del sistema que resulta cuando añadimos granos de arena a cada
caja, de acuerdo con un algoritmo establecido.
Al añadir arena en una caja determinada, la pendiente de la correspondiente
pila se ve incrementando, hasta llegar a un valor crítico. En tal caso, la pila se
derrumba y transmite arena a las cajas vecinas que, a su vez, pueden alcanzar
una pendiente crítica, por esta razón o por la adición de arena desde el
exterior.
El derrumbamiento de la pila correspondiente a una caja, libera la tensión
acumulada en el pasado, pudiendo de nuevo admitir nuevas aportaciones de
arena (tensión), hasta, eventualmente, alcanzar un nuevo estado crítico.
El modelo recibe partículas y las pierde por el contorno lateral de la caja
‘madre’.
El algoritmo con el que intentamos describir el modelo es como sigue:
1.- Se añade una partícula al azar a una de las cajas.
2.- Cuando una caja tiene cuatro partículas, se vuelve inestable, y las
cuatro partículas son transmitidas a las cajas vecinas, quedando vacía la
caja considerada.
3.- Si después de la redistribución de partículas desde una caja a sus
vecinas cualquier caja adyacente tiene 4 o más partículas, se convierte
en inestable, lo que puede provocar una o más redistribuciones
adicionales. En cajas grandes, son posibles múltiples acontecimientos
de esta clase.
4.- Si no existe caja adyacente, la partícula se pierde por el contorno. En
promedio, el número de partículas añadidas y pérdidas es el mismo.
Un acontecimiento múltiple, puede alcanzar proporciones considerables,
abarcando una fracción de cajas importante.
El comportamiento del sistema está caracterizado por la distribución estadística
frecuencia-tamaño de los acontecimientos. El tamaño de un acontecimiento
múltiple puede ser caracterizado de diversas formas. Una de ellas consiste en
evaluar el número de cajas afectadas por inestabilidad en un acontecimiento
múltiple.
En las primeras etapas de adición de partículas no hay redistribuciones ni
pérdidas por el contorno. Eventualmente, el sistema alcanza un estado de
casi-equilibrio, en el que la distribución frecuencia-tamaño es fractal. Este es el
estado que corresponde a la auto-organización crítica.
MODELO MATEMÁTICO.
Designamos con (
x
,
y
) a una caja genérica y
instante dado. Si la variable
z
excede un valor crítico
z
c, entonces se produce
una actualización sincronizada como sigue:
z(x,y)
→
z(x,y)
-4
(3)
z(x
±
1, y)
→
z(x
±
1, y ) +1
(4)
z(x, y
±
1)
→
z(x, y
±
1
)
+1
(5)
Los grupos de las localizaciones alcanzadas por el efecto dominó D(s), siguen
una ley de potencias:
τ
−
