MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 1- Considere el sistema

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2 MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

1- Considere el sistema

3 5 7 12 0

2 3 3 6 0

3 4 2 6 0

a) Estudie para qué valores del número real a, la única solución del sistema es la nula. b) Resuélvalo, si es posible, en el caso a=-1.

Asturias – Junio 2014 – Fase específica – Opción A

2- Considere la matriz 00

0 0 1 , ∈ , . a) Estudie para qué valores de θ la matriz A tiene inversa. b) Busque, si es posible, la matriz inversa de A cuando !

".

Asturias – Junio 2014 – Fase específica – Opción B 3- Dado el sistema

2 1

1 1

a) Estudie su compatibilidad según los valores del número real a. b) Resuélvalo, si es posible, cuando a = -1.

Asturias – Junio 2014 – Fase general – Opción A

4- Dado el número real a se considera la matriz 11 1 0 1

1 1 .

a) Halle los valores de a para los cuales la matriz A tiene inversa.

b) Obtenga la solución del sistema homogéneo cuya matriz es A en los casos en que sea compatible indeterminado.

(2)

3 2

3 2 2

3 2#

a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores del número real a. b) Resuélvalo, si es posible, en el caso a=1.

Asturias – Julio 2014 – Fase específica – Opción A

6- Considere la matriz 1 11 0 21 0 2 1 a) Halle el determinante de la matriz A. b) Halle el determinante de la matriz 3A. c) Halle el determinante de la matriz (3A)3.

Asturias – Julio 2014 – Fase específica – Opción B

7- En un partido de baloncesto femenino, el equipo de la Universidad de Oviedo ganó al de otra universidad española con un marcador 64 a 48. El marcador obtenido por el equipo ganador se consiguió mediante canastas de dos puntos, triples (canastas de tres puntos) y tiros libres (canastas de un punto). El número de tiros libres fue dos más que cinco veces el número de triples. Además, el número de canastas de dos puntos fue dos más que el número de tiros libres.

a) Plantee el sistema de ecuaciones resultante de lo anterior. b) Escriba la matriz ampliada del sistema obtenido en a).

c) ¿Cuántas canastas de cada tipo metió el equipo de la Universidad de Oviedo? Asturias – Julio 2014 – Fase general – Opción A

8- Dados los números reales a, b, c, d, se considera la matriz $ %

&'. Pruebe que el

polinomio ( & )* es ( * + & .

(3)

4 9- Dado el sistema

2 2

2 2

2 2 0 #

a) Estudie su compatibilidad según los valores del número real a. b) Resuelva el sistema, si es posible, cuando a = -4.

Asturias – Junio 2013 – Fase específica – Opción A

10- Dado el número real a se considera la matriz 11 1 12

* 1 .

a) Obtenga los valores del número real a para los que la matriz A tiene inversa. b) Busque, si es posible, la matriz inversa de A cuando a=0.

Asturias – Junio 2013 – Fase específica – Opción B 11- Dado el sistema

0 0 1#

a) Estudie su compatibilidad según los valores del número real a. b) Resuélvalo cuando a sea nulo si es posible.

Asturias – Junio 2013 – Fase general – Opción A

12- Dado el número real a se considera la matriz 11 1 01

1 0 0 . Halle el rango de la matriz

* , según los distintos valores de a.

Nota: At es la matriz traspuesta de A.

Asturias – Junio 2013 – Fase general – Opción B 13- Dado el sistema

1

3 0

2 2 2#

a) Estudie su compatibilidad según los valores del número real a. b) Resuélvalo, si es posible, cuando a = -2.

(4)

5 14- Considere la matriz 1 1 0

0 0 1 .

a) Escriba factorizado el polinomio p(x)=det(A-xI3) donde I3 es la matriz identidad de orden

3.

b) Busque las raíces de p(x).

c) Resuelva el sistema homogéneo con matriz A-xI3 cuando sea compatible

indeterminado.

Asturias – Julio 2013 – Fase específica – Opción B

15- Se considera la matriz 1 12 00

0 0 1 .

a) Obtenga los valores de a para los que det(A)=0.

b) Discuta el sistema homogéneo de matriz A según los valores del número real a. c) Resuélvalo, si es posible, en el caso a=1.

Asturias – Julio 2013 – Fase general – Opción A

16- En el primer curso de un centro de la Universidad de Oviedo se han matriculado 352 alumnos divididos en tres titulaciones distintas. En la tercera titulación hay la tercera parte de alumnos que en la primera, y la diferencia de alumnos que hay entre la primera titulación y la segunda es inferior en dos alumnos al doble de los alumnos que hay en la tercera.

a) Establezca un sistema de ecuaciones con las condiciones del problema, en función del número de alumnos de cada titulación, y obtenga e número de alumnos que hay en cada titulación.

b) Calcule el determinante de la matriz del sistema. Asturias – Julio 2013 – Fase general – Opción B

17- Dado el número real a se considera la matriz 0 1 2 1 1 1

1 1 .

(5)

6 18- Dado el sistema

1 2 1 1

1 1 2

a) Estudie su compatibilidad según los valores de a. b) Resuélvalo cuando a=0.

Asturias – Junio 2012 – Fase específica – Opción B

19- Se consideran las matrices

3 1 0

1 3 0 0 0 2 ).

1 0 0 0 1 0 0 0 1 a) Resuelva la ecuación det(A-xI3)=0.

b) Discuta el sistema de ecuaciones homogéneo de matriz A-xI3 según los valores del

número real x.

c) Resuélvalo en aquellos casos en que el sistema sea compatible determinado. Asturias – Junio 2012 – Fase general– Opción A

20- Dado el sistema

1 0

1 1#

a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores de a. b) Resuélvalo en el caso en que sea compatible indeterminado. Asturias – Junio 2012 – Fase general– Opción B

21- Sean las matrices 2 10 1 21

0 0 1 / $1

1 0 2 0 3'.

(6)

7 22- Se considera la matriz 0 1

% .

a) Obtenga el polinomio p(x)=Det(A).

b) Si c=0, busque las raíces de p(x) dependiendo de a y b. Asturias – Julio 2012 – Fase específica– Opción B 23- Dado el sistema

2 1 2 3#

a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores de a. b) Resuélvalo cuando sea compatible indeterminado. Asturias – Julio 2012 – Fase general– Opción A

24 Dados los números reales a, b, c, x, consideremos la matriz % 34

% .

a) Halle los valores de a, b, c, x, para los cuales A es antisimétrica. (Recuerde que la matriz A es antisimétrica si At=-A)

b) Si a=b=c=1, halle el rango de A según los valores de x. c) Si a=b=c=0, resuelva la ecuación | ,| 0.

Nota: At denota la matriz traspuesta de A.

Asturias – Julio 2012 – Fase general– Opción B 25- Dado el sistema

1#

a) Estudie su compatibilidad según los valores de a.

(7)

8 26- Dado el número real a se considera la matriz 11 1 01

1 0

a) Halle los valores de a para los cuales la matriz A tiene inversa. b) Obtenga la matriz inversa de A en los casos en que exista. Asturias – Junio 2011 – Fase específica– Opción B

27- Se considera la matriz

1 2 1

0 1 1

1 1

a) Obtenga los valores del número real a para los que A tiene matriz inversa. b) Halle, si es posible, la matriz inversa de A en el caso a=0.

Asturias – Junio 2011 – Fase general– Opción A 28- Dado el sistema

1 2 #

a) Estudie su compatibilidad según los valores de a.

b) Resuélvalo cuando el sistema sea compatible indeterminado. Asturias – Junio 2011 – Fase general– Opción B

29- Se consideran las matrices 2 10 1 21 1 0 1 /

1 1 1 0 1 1 1 2 0 . Resuelva, si es posible, la ecuación matricial AX=B.

Asturias – Julio 2011 – Fase específica– Opción A 30- Dado el sistema

1 0 1 #

a) Estudie su compatibilidad según los valores del número real a. b) Resuélvalo cuando a = 0 si es posible.

(8)

9 31- Sea la matriz 0 1

1 2

a) Estudie su rango según los valores del número real a.

b) Resuelva el sistema homogéneo cuya matriz es A en el caso a = -1. Asturias – Julio 2011 – Fase general– Opción A

32- Calcule los números a, b y c para que la curva de ecuación y=ax3+bx2+cx+4 pase por los puntos (1,10), (-1,2) y (2,26). Demuestre que la curva es única. Escriba dicha curva.

Asturias – Julio 2011 – Fase general– Opción B 33- Dado el sistema

2 #

a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores de a. b) Resuélvalo cuando sea compatible indeterminado. Asturias – Junio 2010 – Fase específica– Opción A

34- Dada la matriz 1 1 11 1 1 a) Resuelva la ecuación det(A) = 0.

b) Calcule el rango de la matriz A según los valores de x. Nota: det(A) denota el determinante de la matriz A. Asturias – Junio 2010 – Fase específica– Opción B 35- Dado el sistema

2 2

1 1#

a) Discuta su compatibilidad según los distintos valores de a. b) Resuélvalo, si es posible, cuando a = 0.

(9)

10 36- Dada la matriz 1 2 02 1 1

0 0 1

a) Calcule los valores de m para los que la matriz A-mI no tiene inversa. b) Calcule, si existe, la inversa de la matriz A-2I.

Nota: I es la matriz identidad de orden 3. Asturias – Junio 2010 – Fase general– Opción B 37- Dado el sistema

2 1

3 2 3

2 2#

a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores de a. b) Resuélvalo, si es posible, en el caso en que a = 0.

Asturias – Septiembre 2010 – Fase específica– Opción A

38- Dada la matriz 2 01 21 11

1 2 2

a) Halle, si existe, la matriz inversa de M. b) Calcule la matriz X que cumple XM+M=2M2.

Asturias – Septiembre 2010 – Fase específica– Opción B 39- Dado el sistema

1

2 3 1

4 3* 3

a) Estudie su compatibilidad según los valores de m. b) Resuélvalo cuando sea compatible indeterminado. Asturias – Septiembre 2010 – Fase general– Opción A

40- Dada la matriz

1 3 0 0 1 3

1 1 2

a) Calcule el determinante de A.

b) Indique los valores de m para los que A tiene matriz inversa. c) Halle, si existe, la matriz inversa de A cuando m=1.

(10)

11 41- Dado el número real a, se considera el sistema 1 #.

a) Discuta el sistema según los valores de a. b) Resuelva el sistema para el caso a=2. Asturias – Junio 2009 – Bloque 1

42- Se consideran las matrices 4 2 0 1 31 3 3 5

1 0 1 0 2 1 1 1 2 . a) Según los valores de ∈ 6, estudie el rango de P.

b) Para el caso a=1, halle X tal que PX=Q. Asturias – Junio 2009 – Bloque 2

43- Dado el número real m, se considera la matriz 1 1 11 3 1 3 1 1 a) Halle los valores de m para los que la matriz A tiene inversa. b) Para m = 2, halle, si existe, la inversa de A.

c) Para m = 2, calcule el vector X que verifique AX=B siendo / 14 4 . Asturias – Septiembre 2009 – Bloque 1

44- Se considera el sistema 2

2 3 0

1 1 .

a) Estudie el sistema, según los valores de ∈ 6. b) Resuélvalo cuando sea compatible indeterminado. Asturias – Septiembre 2009 – Bloque 2

45- Se consideran las matrices 7 0

1 8 , / 2 3 9 4 0 2 . a) Halle los valores de x, y, z para los que A no tiene inversa.

b) Determine los valores de a para los que el sistema BA=C tiene solución. c) Resuelva el sistema anterior cuando sea posible.

(11)

12 46- Dado el número real a, se considera el sistema

2 6 0

2 4 2

2 6 2#. a) Discuta el sistema según los valores de a.

b) Resuelva el sistema para el caso a = 1. Asturias – Septiembre 2008 – Bloque 1

47- Se considera una matriz cuadrada A de orden tres que verifica la ecuación A2=6ª-9I, donde ) 1 0 00 1 0

0 0 1 .

a) Exprese A4 como combinación lineal de I y A.

b) Estudie si la matriz / 12 6 13 1

2 3 2 verifica la ecuación B

2

=6B-9I. Determine si B tiene inversa y, si la tiene, calcúlela.

Asturias – Septiembre 2008 – Bloque 2

48- Sean las matrices

0 1 2 1 0 2 1 1 /

0 1 1

1 0 22

1 3 2 1 a) Estudia, en función de a, el rango de las matrices A y B. b) Calcula, para a=-1, la matriz X que verifica AX=B. Asturias – Junio 2007 – Bloque 1

49- Cierto país importa 21.000 vehículos de tres marcas A, B y C al precio de 10.000, 15.000 y 20.000 euros respectivamente. El total de la importación asciende a 322 millones de euros. Se ha observado que también hay 21.000 vehículos contando solamente los de la marca B y α veces los de la marca A.

a) Plantea un sistema de ecuaciones con las condiciones del problema en función del número de vehículos de cada marca.

b) Establece el número de vehículos de cada marca suponiendo α=3.

c) Estudia si existe algún valor de α para el cuál la situación no pueda darse en el campo de los números reales.

Asturias – Junio 2007 – Bloque 2

50- Sea la matriz 11 22 12

0 1 1

(12)

13 c) Basándose en los apartados anteriores y sin recurrir al cálculo de inversas halla la matriz X que verifica la igualdad A2X+I=A.

Asturias – Septiembre 2007 – Bloque 1

51- Dado el sistema : 2

1 1

a) Estudia su compatibilidad según los valores de a. b) Resuélvelo cuando sea posible.

Asturias – Septiembre 2007 – Bloque 2

52- Dada la matriz

1 0 1

0 3

4 1 donde x es un número real. Halla: a) Los valores de x para los que la matriz A posee inversa.

b) La inversa de A para x = 2.

c) Con x = 5, el valor de % ∈ 6 para que la matriz bA tenga determinante 1. Asturias – Junio 2006 – Bloque 1

53- Dado el sistema :

1 1 1

a) Estudia su compatibilidad según los valores de a. b) Resuélvalo cuando sea posible.

Asturias – Junio 2006 – Bloque 2

54- Sean las matrices 1 02 ;

0 1 , / $; 0 1 1 1 2 '

a) Estudia, en función de valores reales de k, si la matriz BA tiene inversa. b) Lo mismo para la matriz AB.

(13)

14 55- Dado el sistema : < 2< < 1 3 3

< 1

a) Estudia su compatibilidad según los valores de α. b) Resuélvelo para el caso α=-1.

Asturias – Septiembre 2006 – Bloque 2

56- Resuelve las siguientes ecuaciones en la variable x

a) = 0 1

1

1 = 0

b) =

1 1 1

1 1

1 1 *= 0

Asturias – Junio 2005 – Bloque 1

57- En un cajero automático se introducen billetes de 10, 20 y 50 euros. El número total de billetes es 130 y el total de dinero es 3000 €. Se sabe que el número de billetes de 10 € es α veces los billetes de 50 €.

a) Calcula el número de billetes de cada tipo suponiendo α=2. b) Para α=3 ¿Qué ocurre con la situación del cajero planteada?

c) Siguiendo con α=3, si se tuvieran 100 billetes en el cajero ¿cuánto dinero debería haber para que sea posible una composición del cajero?

Asturias – Junio 2005 – Bloque 2

58- Dado el sistema :

1 < 0

1 < < < 1

a) Estudia su compatibilidad según los valores de α. b) Resuélvelo para α=2.

(14)

15 59- Si la matriz & >

? @ tiene determinante k ¿Cuáles son los valores de los siguientes determinantes?

a) =

& 2 > 2% 2? @=

b) =

% % 2 & 2>

? ? 2@=

Asturias – Septiembre 2005 – Bloque 2

60- Dadas las matrices 1 0 22 1 1 0 9

1 0 0 1

0 0 A $1 00 1' a) ¿Para qué valores de x la matriz A posee inversa?

b) Calcula la inversa de A para el valor x=-1.

c) ¿Qué dimensiones debe tener una matriz B para que la ecuación matricial AB=CD tenga sentido? Calcula B para el valor x=-1.

Asturias – Junio 2004 – Bloque 1

61- Las edades (en años) de un niño, su padre y su abuelo verifican las siguientes condiciones: La edad del padre es α veces la de su hijo. El doble de la edad del abuelo más la edad del niño y más la del padre es de 182 años. El doble de la edad del niño más la del abuelo es 100.

a) Establece las edades de los tres suponiendo que α=2. b) Para α=3, ¿qué ocurre con el problema planteado?

c) Siguiendo con α=3, ¿Qué ocurre si en la segunda condición la suma es 200 en vez de 182?

Asturias – Junio 2004 – Bloque 2

62- Sea el sistema :

2 < 2 < 1

< 0

a) Estudia su compatibilidad según los valores de α.

(15)

16 63- Dadas las matrices 3 2 62 3 4

2 3 6 /

2 2 1 0

1 2 a) Discute el rango de A según los valores de m.

b) ¿Qué dimensiones ha de tener la matriz X para que sea posible la ecuación AX=B? c) Calcula X para m=0.

Asturias – Septiembre 2004 – Bloque 2

64- Sea el sistema B

3 1

2

3 2 0

4 C 5

a) Discutir su compatibilidad según los distintos valores de λ. b) Resolverlo para λ=7.

Asturias – Junio 2003

65- a) Si A es una matriz no singular y / 9 0, siendo 0 la matriz nula, comprobar que B=C.

b) Según el resultado del apartado anterior, cuando $ 2 6

1 3 ', la única matriz X que verifica la ecuación XA=0 es la matriz nula. ¿Es cierta la afirmación? ¿Por qué?

NOTA: Matriz singular es aquella de determinante nulo. Asturias – Junio 2003

66- Considera la matriz 01 34 45

1 3 4

a) Comprueba que se verifica A3+I=0, siendo I la matriz identidad y 0 la matriz nula. b) Justifica que A tiene inversa.

Asturias – Septiembre 2003

67- Estudia, según los valores de a, la compatibilidad del sistema: :

1 1 2

(16)

17 68- Sea la matriz D 2 2

2 E

a) Calcular el valor de su determinante en función de a. b) Encontrar su inversa, si existe, cuando a = 1.

Asturias – Septiembre 2002 69- Sean las matrices $2 3

3 1' / $1 01 5'

a) Calcular las matrices C y D tales que AC=BD=I, siendo I la matriz identidad de orden 2. b) Discutir y resolver el sistema 9FG AFG $ ' $12' si C-1 y D-1 son las inversas de las

matrices C y D indicadas en el apartado anterior. Asturias – Septiembre 2002

70- Dado el sistema de ecuaciones

: 2 12

H C

a) Discute su compatibilidad según los valores de λ. b) Resuélvelo para λ = 3.

Asturias – Junio 2001 71- Sea A una matriz mxn

a) ¿Existe una matriz B tal que BA sea una matriz fila? Si existe, ¿Qué orden tiene?

b) ¿Se puede encontrar una matriz B tal que BA sea una matriz fila? Si existe, ¿qué orden tiene?

c) Busca una matriz B tal que BA=(0 0) siendo 1 20 1 0 0

Asturias – Junio 2001

72- a) Calcula todas las matrices diagonales de orden dos que coinciden con su inversa. b) Si A es una de estas matrices, calcula su cuadrado.

(17)

18 73- Se considera el sistema de ecuaciones I1 <

J 1K $ ' $1 J< '

a) Calcula los valores de α y β sabiendo que el punto P=(2,1) satisface la primera ecuación y el punto Q=(2,0) satisface la segunda.

b) ¿Es compatible y determinado el sistema que resulta al sustituir los valores de α y β calculados? Justifica las respuestas.

Asturias – Junio 2000 74- Sea $ %

&'

a) Calcula las matrices que verifican la relación | | | )| (I es la matriz identidad y |A| representa el determinante de A)

b) Calcula todas las matrices diagonales, que no poseen inversa y que verifican la relación anterior.

c) ¿Se verifica para cualquier par de matrices B y C la relación |B+C|=|B|+|C|? Si no es cierto pon un contraejemplo. Justifica todas las respuestas.

Asturias – Septiembre 2000

75- a) Determina una matriz A para que el sistema homogéneo AX=0 sea equivalente a la ecuación matricial 12 12

1 2 0 0

b) Calcula las soluciones de módulo uno. Justifica las respuestas. Asturias – Junio 1999

76- Sea 1 0 00 1 0 0 %

a) ¿Cuándo el determinante de A es el seno de algún número real? b) Calcula la inversa de A cuando exista.

(18)

19 77- Sea 1 2 C

1 1 3 donde λ es un número real. a) Halla los valores de λ para los cuales A no tiene inversa.

b) Calcula el valor de % ∈ 6 para el que la matriz bA tiene determinante 1. Asturias – Septiembre 1999

78- Dado el sistema $ 0

0 1 ' 7 8 $00'

a) Determina para qué valores de a el conjunto solución son los puntos de una recta. b) Halla un valor de a para el que se pueda construir un cuadrado de área 1 de modo que sus vértices sean soluciones del sistema. Razona las respuestas.

Asturias – Septiembre 1999

79- Dada la identidad matricial L $2 1 3 1'

1 2 3 4 5 6

a) ¿Cuáles son las dimensiones de una matriz solución de la identidad anterior? b) Calcula una solución.

c) ¿Es única la solución? Razona las respuestas. Asturias – Junio 1998

80- a) Define una matriz triangular superior y calcula su determinante.

b) Halla todas las matrices triangulares superiores, de orden dos, que verifican que su cuadrado es la matriz identidad.

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Referencias