Curso B ´asico de C ´alculo

(1)

Curso B ´asico de C ´alculo

Jos ´e L. Estrada P.(joselep2011@hotmail.es)

Departamento Acad ´emico de Ciencias B ´asicas y Humanidades

(2)

Contenidos

(3)

L´ımites y continuidad

1 _{L´ımites y Continuidad}

El concepto de l´ımite ´

Algebra de l´ımites

Indeterminaciones y su resoluci ´on As´ıntotas de una funci ´on

Continuidad

(4)

Aproximaci ´on al concepto de l´ımite

El concepto de l´ımite est ´a ligado al de tendencia.

Decimos quextiendea un valora, y lo escribimosx→a, si se pueden tomar valores dextan pr ´oximos aacomo se quiera, pero sin llegar a valer

a.

Si la aproximaci ´on es por defecto (con valores menores quea) se dice que

xtiende aapor la izquierda, y se escribex_→a−_{, y si es por exceso (con} valores mayores quea) se dice quextiende aapor la derecha, y se escribe

x_→a+_.

Cuando la variablexde una funci ´onf tiende a un valora, cabe preguntarse si sus im ´agenes mediantef tienden a otro valor concreto:

¿A donde se aproximaf(x)cuandoxse aproxima aa?

Sif(x)tiende a un valorlcuandoxtiende aa, se dice queles ell´ımitede

f(x)cuandox→a, y se escribe

l´ım

(5)

L´ımites laterales

Sif(x)tiende alcuandoxtiende aapor la izquierda, entonces se dice quel

es ell´ımite por la izquierdadef(x)cuandox→a−_{, y se escribe}

l´ım

x→a−f(x)=l.

Sif(x)tiende alcuandoxse aproxima aapor exceso, entonces se dice queles ell´ımite por la derechadef(x)cuandox→a−_{, y se escribe}

l´ım

x→a+f(x)=l

.

Para que exista el l´ımite deben existir los l´ımites laterales y ser iguales.

Aproximaci´on por defecto Aproximaci´on por exceso

x f(x)=x2 1,9 3,61 1,99 3,9601 1,999 3,996001 1,9999 3,99960001

x f(x)=x2 2,1 4,41 2,01 4,0401 2,001 4,004001 2,0001 4,00040001

⇓ ⇓

l´ımx→2−x2=4 l´ımx→2+x2=4

(6)

L´ımites que no existen (I)

Si la funci ´on no est ´a definida entorno a un punto, entonces no existe el l´ımite en dicho punto

EjemploConsideremos la funci ´onf(x)= √ 1

x2₋₁ y veamos que pasa

cuandox_→0:

Por la izquierda Por la derecha

x f(x) −0,1 No exite −0,01 No existe −0,001 No existe

x f(x) 0,1 No existe 0,01 No existe 0,001 No existe

⇓ ⇓

No existe l´ım

x→0− 1 √

x2₋₁ No existe l´ımx→0+ 1 √

x2₋₁

| {z }

⇓ No existe l´ım

x→0 1 √

x2₋₁

1 2 3

1 2

−1

(7)

L´ımites que no existen (II)

Cuando los l´ımites laterales no coinciden entonces no existe el l´ımite

EjemploConsideremos la funci ´onf(x)= |x|

x y veamos que pasa cuando

x→0:

x f(x)

−0,1 −1

−0,01 −1

−0,001 −1

x f(x)

0,1 1

0,01 1 0,001 1

⇓ ⇓

l´ım

x→0−

|x|

x =−1 , x→l´ım0+

|x|

x =1

| {z }

⇓

No existe l´ım

x→0

|x|

x

1

−1

1

(8)

L´ımites que no existen (III)

A veces, cuandox→alos valores def(x)crecen o decrecen infinitamente y entonces no existe el l´ımite. En este caso se dice que la funci ´ondivergey se escribe

l´ım

x→af(x)=±∞

EjemploVeamos la tendencia de la funci ´onf(x)= 1

x2 cuandox→0:

x f(x) −0,1 100 −0,01 10000 −0,001 1000000

x f(x) 0,1 100 0,01 10000 0,001 1000000

⇓ ⇓

l´ım

x→0− 1

x2 = +∞ _xl´ım_→₀+ 1

x2 = +∞

| {z }

⇓ No existe l´ım

x→0 1

x2 =∞

1 2 3

1 2

−1

(9)

L´ımites que no existen (IV)

A veces, el l´ımite de un funci ón en un punto puede no existir porque la funci ón oscila r ápidamente al acercarnos a dicho punto.

EjemploConsideremos la funci ´onf(x)=sen1

x y veamos que pasa cuando

x→0:

x f(x) −0,1 −0,1736 −0,01 −0,9848 −0,005 0,3420 −0,001 0,9848 −0,0005 0,3420 −0,0001 0,9848

x f(x) 0,1 0,1736 0,01 0,9848 0,005 −0,3420 0,001 −0,9848 0,0005 −0,3420 0,0001 −0,9848

⇓ ⇓

No existe l´ım

x→0−sen 1

x No existe l´ımx→0+sen 1

x

1

(10)

L´ımites en el infinito

Sif(x)tiende alcuandoxcrece infinitamente, entonces se dice queles el l´ımite en el infinitodef(x)cuandox→+∞, y se escribe

l´ım

x→+∞f(x)=l.

Sif(x)tiende alcuandoxdecrece infinitamente, entonces se dice queles ell´ımite en el infinitodef(x)cuandox_{→ −∞}, y se escribe

l´ım

x→−∞f(x)=l.

EjemploEstudiemos la tendencia def(x)= 1

x cuandox→ ±∞:

x→+∞ x→ −∞

x f(x)=1/x

1000 0,001 10000 0,0001 100000 0,00001

x f(x)=1/x

−1000 −0,001 −10000 −0,0001 −100000 −0,00001

⇓ ⇓

l´ımx→+∞1x=0 l´ımx→−∞1x =0

1 2

−1

−2

1 2 3

−1

−2

(11)

Definici ´on de l´ımite

Definici ´on (L´ımite de una funci ´on en un punto)

Se dice que el l´ımite de la funci ´onf cuandox→aesl, y se escribe

l´ım

x→af(x)=l

si para cualquier valorε >0existe un n ´umeroδ >0tal que,_|f(x)−l|< ε siempre que0<_|x₋a_|< δ.

a l

l+ε

l−ε

(12)

Definici ´on de l´ımite en el infinito

Definici ´on (L´ımite de una funci ´on en el infinito)

Se dice que el l´ımite de la funci ´onf cuandox→+∞esl, y se escribe

l´ım

x→+∞f(x)=l

si para cualquier valorε >0existe un n ´umeroδ >0tal que,_|f(x)−l|< ε siempre quex> δ.

Se dice que el l´ımite de la funci ´onf cuandox→+∞esl, y se escribe

l´ım

x→+∞f(x)=l

(13)

´

Algebra de l´ımites

Dadas dos funcionesf(x)yg(x), tales que existel´ımx→af(x)yl´ımx→ag(x), entonces se cumple que

1 _l´ım

x→acf(x)=cl´ımx→af(x), siendocconstante. 2 l´ım

x→a(f(x)±g(x))=l´ımx→af(x)±l´ımx→ag(x).

3 _l´ım

x→a(f(x)·g(x))=l´ımx→af(x)·l´ımx→ag(x).

4 _l´ım x→a

f(x)

g(x) =

l´ım

x→af(x)

l´ım

x→ag(x) sil´ım

(14)

L´ımites de las funciones elementales

Funciones polin ´omicas. Sif es un polinomio, entonces existe el

l´ımite def en cualquier puntoa∈R_y_l´ım_x

→af(x)=f(a).

Funciones racionales. Sif(x)= p(x)

q(x) conp(x)yq(x)dos polinomios,

entonces existe el l´ımite def en cualquier puntoa∈R_{que no sea una} ra´ız deq(x), yl´ımx→af(x)=f(a). Siaes una ra´ız deq(x)entonces el l´ımite puede existir o no.

Funciones potenciales. Sif(x)=xrconr∈R, entonces existe el

l´ımite def en cualquier puntoatal que exista un intervalo

(a−δ,a+δ)⊂Dom(f)para alg ´unδ >0, y en ese caso,l´ımx→af(x)=f(a).

Funciones exponenciales. Sif(x)=cxconc∈R_{entonces existe el}

l´ımite def en cualquier puntoa∈R_y_l´ım_x

→af(x)=f(a).

Funciones logar´ıtmicas. Sif(x)=log_cxconc∈R_{, entonces existe el}

l´ımite def en cualquier puntoa∈R+_y_l´ım

x→af(x)=f(a).

Funciones trigonom étricas. Sif(x)es una funci ón trigonom étrica, entonces existe el l´ımite def en cualquier puntoa_∈Dom(f)y

(15)

Indeterminaciones

Al calcular l´ımites pueden aparecer las siguientes indeterminaciones:

Tipo cociente. Sil´ımx→af(x)=0yl´ımx→ag(x)=0, entonces f(x)

g(x)

presenta una indeterminaci ´on del tipo 0

0 cuandox→a. Sil´ım_x→af(x)=±∞yl´ım_x→ag(x)=±∞, entonces f(x)

g(x) presenta una

indeterminaci ´on del tipo_±∞

∞ cuandox→a.

Tipo producto. Sil´ımx→af(x)=0yl´ımx→ag(x)=±∞, entonces

f(x)·g(x)presenta una indeterminaci ´on del tipo0· ±∞cuandox→a.

Tipo potencia. Sil´ımx→af(x)=1yl´ımx→ag(x)=∞, entoncesf(x)g(x) presenta una indeterminaci ´on del tipo1∞ _cuando_x_→_a_.

Sil´ımx→af(x)=0yl´ımx→ag(x)=0, entoncesf(x)g(x) presenta una indeterminaci ´on del tipo00_cuando_x_→_a_.

Sil´ımx→af(x)=∞yl´ımx→ag(x)=0, entoncesf(x)g(x)presenta una indeterminaci ´on del tipo_∞0_cuando_x_→_a_.

(16)

Resoluci ´on de una indeterminaci ´on de tipo cociente

Existen diferentes t ´ecnicas para resolver una indeterminaci ´on del tipo 0

0 o

∞ ∞:

Factorizaci ´on de polinomios en funciones racionales.

Divisi ón por el t érminos de mayor orden en funciones racionales. Infinit ésimos equivalentes.

(17)

Resoluci ´on de una indeterminaci ´on de tipo cociente

Factorizaci ´on de polinomios en funciones racionales

Sif(x)= p(x)

q(x) es una funci ´on racional que presenta una indeterminaci ´on de

tipo cociente cuandox→a, yaes una ra´ız dep(x)yq(x), se puede resolver la indeterminaci ´on factorizando los polinomios y simplificando.

EjemploLa funci ´onf(x)= x

3₋_3x₊₂

x4₋_4x₊₃ →

0

0 cuandox→1.

Para resolver la indeterminaci ´on factorizamos los polinomios

x3−3x+2=(x+2)(x−1)2,

x4−4x+3=(x2+2x+3)(x−1)2.

Como el factor(x−1)2_{es com ´un, podemos simplificar la funci ´on en el}

c ´alculo del l´ımite:

l´ım

x→1

x3₋_3x₊₂

x4₋_4x₊₃ =l´ım_x→₁

(x+2)(x−1)2

(x2₊_2x₊_3)(x₋₁₎2 =l´ım_x→₁

(x+2)

(x2₊_2x₊₃₎ =

3 6 =0,5.

(18)

Resoluci ´on de una indeterminaci ´on de tipo cociente

Divisi ´on por el t ´ermino de mayor orden en funciones racionales

Sif(x)= p(x)

q(x) es una funci ´on racional que presenta una indeterminaci ´on de

tipo cociente cuandox→ ±∞, entonces se puede resolver dividendop(x)y

q(x)por el t ´ermino de mayor grado de ambos polinomios.

3₋_3x₊₂

x4₋_4x₊₃ →

∞

∞ cuandox→ ∞.

Para resolver la indeterminaci ´on dividimos numerador y denominador porx4

que es el t ´ermino de mayor grado:

l´ım

x→∞

x3₋_3x₊₂

x4₋_4x₊₃ =_x→∞l´ım

x3₋₃_x₊₂

x4

x4₋₄_x₊₃

x4

= l´ım x→∞

1

x−x33 +_x24 1− 4

x3+_x34

= 0

1 =0

En general, sif(x)= a0+a1x+· · ·anx n

b0+b1x+· · ·bmxm

, entonces:

– Sin>mentoncesl´ımx→±∞f(x)=±∞.

– Sin<mentoncesl´ımx→±∞f(x)=0.

– Sin=mentoncesl´ımx→±∞f(x)=

an

bm

(19)

Infinit ´esimos equivalentes

Definici ´on (Infinit ´esimos equivalentes)

Sif(x)_→0yg(x)_→0cuandox_→a, entonces se dice quef ygson infinit ´esimos equivalentescuandox_→asi se cumple

l´ım

x→a

f(x)

g(x) =1

En tal caso se escribef(x)≈g(x)cuandox→a.

Sif(x)≈g(x)cuandox→aentoncesf(x)yg(x)son magnitudes equivalentes cuandox→a.

Infinit ´esimos equivalentes cuandox→0:

senx≈x≈tgx

1−cosx≈ x

2

2 arc tgx≈x

(20)

Resoluci ´on de una indeterminaci ´on de tipo cociente

Infinit ´esimos equivalentes

A veces se puede resolver una indeterminaci ón cuandox→asustituyendo cualquier subexpresi ón de la funci ón por un infinit ésimo equivalente cuando

x→a.

EjemploLa funci ´onf(x)= senx(1−cosx)

x3 →

0

0 cuandox→0.

Comosenx≈xy1−cosx≈ x

2

2 cuandox→0, para resolver la

indeterminaci ´on sustituimossenxporxy1−cosxporx

2

2 :

l´ım

x→0

senx(1−cosx)

x3 =l´ım_x→₀

xx₂2

x3 =l´ım_x→₀

x3

2

x3 =l´ım_x→₀

(21)

Resoluci ´on de una indeterminaci ´on de tipo cociente

Teorema (Regla de L’H ˆopital)

Si f(x)

g(x)→

0 0 o

∞

∞ cuandox→a, entonces si existe el l´ımite de

f′_(x)

g′_(x) cuando

x_→ase cumple

l´ım

x→a

f(x)

g(x) =l´ımx→a

f′_(x)

g′_(x).

¡Ojo!Para que existal´ım_x→a f

′_(x)

g′_(x)es necesario que quef ygsean derivables en un entorno dea.

EjemploSeaf(x)= log(x

2₋₁₎

x+2 →

∞

∞ cuandox→ ∞.

Para resolver la indeterminaci ´on aplicamos la regla de L’H ˆopital:

l´ım

x→∞

log(x2₋₁₎

x+2 =x→∞l´ım

log(x2₋₁₎′

(x+2)′ =x→∞l´ım

2x x2₋₁

1 =

(22)

Resoluci ´on de una indeterminaci ´on de tipo producto

Sif(x)→0yg(x)→ ±∞cuandox→a, entonces la indeterminaci ´on

f(x)·g(x)→0· ±∞puede convertirse en una de tipo cociente mediante la transformaci ´on:

f(x)·g(x)= f(x)

1/g(x)→ 0 0.

EjemploSeaf(x)=x2e1/x2→0· ∞cuandox→0.

l´ım

x→0x 2_e1/x2

=l´ım x→0

e1/x2 1/x2 →

∞ ∞

Aplicando ahora la regla de L´H ˆopital tenemos:

l´ım

x→0

e1/x2 1/x2 =l´ım_x→₀

e1/x2′

(1/x2₎′ =l´ım_x→0

e1/x2₋₂

x3

−2

x3

=l´ım x→0e

1/x2

(23)

Resoluci ´on de una indeterminaci ´on de tipo potencia

Sif(x)g(x) _{presenta una indeterminaci ´on de tipo potencia cuando}_x_→_a_,

entonces la indeterminaci ´on puede convertirse en una de tipo producto mediante la transformaci ´on:

explogf(x)g(x)=exp g(x)·logf(x).

EjemploSeaf(x)=

1+1

x x

→1∞_cuando_x_→₀_.

l´ım

x→0

1+1

x x

=l´ım

x→0exp log

1+1

x x!

=exp

l´ım

x→0xlog

1+ 1

x = =exp        l´ımx→0

log1+1_x

1/x        

exp        l´ımx→0

log1+1_x

′

(1/x)′        =exp

      l´ımx→0

1 1+1/x−x12

−1 x2       =exp

     l´ım_x→₀

1 1+1_x

    

(24)

Resoluci ´on de una indeterminaci ´on de tipo diferencia

Sif(x)→ ∞yg(x)→ ∞cuandox→a, entonces la indeterminaci ´on

f(x)−g(x)puede convertirse en una de tipo cociente mediante la transformaci ´on:

f(x)−g(x)=

1

g(x)−f(1x) 1

f(x)g(x)

→ 0₀.

EjemploSeaf(x)= 1

senx− 1

x → ∞ − ∞cuandox→0. l´ım

x→0

1 senx−

1

x =l´ımx→0

x−senx

xsenx →

0 0

l´ım

x→0

x−senx

xsenx =l´ımx→0

(x−senx)′ (xsenx)′ =l´ımx→0

1−cosx senx+xcosx =

=l´ım x→0

(1−cosx)′

(senx+xcosx)′ =l´ımx→0

senx

(25)

As´ıntota de una funci ´on

Una as´ıntota de una funci ón es una recta a la que tiende la funci ón en el infinito, es decir, que la distancia entre la recta y la funci ón es cada vez menor.

Existen tres tipos de as´ıntotas:

As´ıntota vertical:x=a,

As´ıntota horizontal:y=a,

(26)

As´ıntotas verticales

Definici ´on (As´ıntota vertical)

Se dice que una rectax=aes unaas´ıntota verticalde una funci ´onf si se cumple

l´ım

x→a−f(x)=±∞ o _x→al´ım−f(x)=±∞

Las as´ıntotas verticales deben buscarse en los puntos donde no est á definida la funci ón, pero si lo est á en las proximidades.

EjemploLa rectax=2es una as´ıntota vertical def(x)= x+1

x−2 ya que

l´ım

x→2−

x+1

x−2 =−∞, y

l´ım

x→2+

x+1

x−2 =∞

1 2 3 4

−1

−2

1 2 3 4 5 6

−1

−2

f(x)= x_x+1 −2

(27)

As´ıntotas horizontales

Definici ´on (As´ıntota horizontal)

Se dice que una rectay=aes unaas´ıntota horizontalde una funci ´onf si se cumple

l´ım

x→+∞f(x)=a o x→∞l´ımf(x)=a

EjemploLa rectay=1es una as´ıntota horizontal def(x)= x+1

x−2 ya que

l´ım

x→−∞

x+1

x−2 =x→−∞l´ım 1+

3

x−2 =1,y

l´ım

x→+∞

x+1

x−2 =x→l´ım+∞1+

3

x−2 =1

1 2 3 4

−1

−2

1 2 3 4 5 6

−1

−2

f(x)=x_x+1 −2

(28)

As´ıntotas oblicuas

Definici ´on (As´ıntota oblicua)

Se dice que una rectay=a+bxes unaas´ıntota oblicuade una funci ´onf si se cumple

l´ım

x→±∞

f(x)

x =b y x→±∞l´ım f(x)−bx=a.

EjemploLa rectay=x+1es una as´ıntota oblicua def(x)= x

2

x−1

l´ım

x→±∞ x2

x−1

x =x→±∞l´ım

x2

x2₋_x =1,y

l´ım

x→±∞

x2

x−1 −x=x→±∞l´ım 1+

x

x−1 =1

1 2 3 4 5 −1 −2

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

f(x)= x 2

x−1

(29)

Continuidad

Definici ´on (Funci ´on continua en un punto)

Se dice que una funci ´onf escontinuaen el puntoasi

l´ım

x→af(x)=f(a).

De esta definici ´on se deducen tres condiciones necesarias para la continuidad:

f(a)_∈Dom(f). Existel´ım

x→af(x).l´ımx→af(x)=f(a).

Si se rompe alguna de estas condiciones, se dice que la funci ´on presenta una discontinuidad ena.

Definici ´on (Funci ´on continua en un intervalo)

Se dice que una funci ´onf escontinuaen un intervalo si lo es en cada uno de los puntos del intervalo.

(30)

Tipos de discontinuidades

Dependiendo de la condici ´on de continuidad que se rompa, existen distintos tipos de discontinuidades:

Discontinuidad evitable.

(31)

Discontinuidad evitable

Definici ´on (Discontinuidad evitable)

Se dice que una funci ´onf tiene unadiscontinuidad evitableen el puntoasi existe el l´ımite def(x)cuandox→aperol´ım

x→af(x),f(a).

2₋₁

x−1 tiene una discontinuidad evitable enx=1

ya que

La funci ´on no est ´a definida en

x=1pero

l´ım

x→2

x2₋₁

x−1 =l´ımx→2x+1=2. 1

2 3 4 5

−1

1 2 3

−1

f(x)=x 2₋₁

(32)

Discontinuidad de 1ª especie de salto finito

Definici ´on (Discontinuidad de 1ª especie de salto finito)

Se dice que una funci ´onf tiene unadiscontinuidad de 1ª especie de salto finitoen el puntoasi existen los l´ımites laterales def(x)cuandox_→apero

l´ım

x→a−f(x),_x→al´ım+f(x).

A la diferencia entre ambos l´ımite se le lamasaltode la discontinuidad.

EjemploLa funci ´onf(x)= |x|

x tiene una discontinuidad de 1ª especie de

salto finito enx=0ya que

l´ım

x→0−

|x|

x =−1

l´ım

x→0+

|x|

x =1

Salto=1−(−1)=2.

1

−1

1

−1

f(x)=|x|

x

(33)

Discontinuidad de 1ª especie de salto infinito

Definici ´on (Discontinuidad de 1ª especie de salto infinito)

Se dice que una funci ´onf tiene unadiscontinuidad de 1ª especie de salto infinitoen el puntoasi

l´ım

x→a−f(x)=±∞ o _x→al´ım+f(x)=±∞.

Sif tienen una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito en un puntoa, entoncesf tienen una as´ıntota verticalx=a.

EjemploLa funci ´onf(x)=e1/x tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito enx=0ya que

l´ım

x→0−e

1/x₌₀

l´ım

x→0+e

1/x

=∞ 1

2 3 4

(34)

Discontinuidad de 2ª especie

Definici ´on (Discontinuidad de 2ª especie)

Se dice que una funci ´onf tiene unadiscontinuidad de 2ª especieen el puntoasi no existe alguno de los l´ımites laterales y tampoco se trata de una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito.

Normalmente la discontinuidades de 2ª especie se dan en puntos donde la funci ´on no definida en sus proximidades.

EjemploLa funci ´onf(x)= √ 1

x2₋₁ tiene una discontinuidad de 2ª especie

enx=0ya que

l´ım

x→1− 1

√

x2₋₁ no existe

l´ım

x→1+ 1

√

x2₋₁ =∞

1 2 3

1 2

−1

−2

f(x)= √ 1