Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Cristian Castillo

(1)

Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias

(2)

ÍNDICE GENERAL

PRESENTACIÓN 1

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 4

1.1 Definición de ecuación diferencial 5

1.2 Clasificación de ecuaciones diferenciales 5

1.2.1 Clasificación según su tipo 6

1.2.2 Clasificación según su orden 6

1.2.3 Clasificación según su linealidad o no 7

1.3 Solución de una ecuación diferencial 8

1.4 Problema de valor inicial 11

(3)

CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 15

2.1 Ecuaciones diferenciales en variables separables 16

2.2 ecuaciones diferenciales homogéneas 21

2.2.1 Funciones homogéneas 21

2.2.2 Resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas 23

2.3 Ecuaciones diferenciales exactas 28

2.4 Factores integrantes 35

2.5 Ecuación diferencial lineal 42

2.6 Ecuación diferencial de Bernoulli 48

CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 53

3.1 Introducción a las ecuaciones diferenciales de orden superior 54

3.1.1 Principio de superposición 54

3.1.2 Dependencia e independencia lineal 54

3.1.3 Wronskiano 55

3.1.4 Ecuación diferencial homogénea 56 3.1.5 Ecuación diferencial no homogénea 57

3.2 Reducción de orden 58

3.3 Ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes 63

3.3.1 Ecuaciones de segundo orden 64

3.3.2 Ecuaciones de orden superior 69

3.4 Método de coeficientes indeterminados 75

3.4.1 Enfoque de superposición 76

(4)

3.4.2.1 Operadores diferenciales 89

3.4.2.2 Coeficientes indeterminados 93

3.5 Método de variación de parámetros 100 3.5.1 Ecuaciones de segundo orden 101

3.5.2 Ecuaciones de orden superior 108

3.6 Ecuaciones de Cauchy-Euler 112 3.6.1 Ecuaciones homogéneas 113 3.6.2 Ecuaciones no homogéneas 120 CAPÍTULO 4. APLICACIONES CON ECUACIONES DIFERENCIALES 124

4.1 Trayectorias ortogonales 125

4.2 Crecimiento y decrecimiento exponencial 128

4.3 Ley de Newton del enfriamiento 134

4.4 Mezclas 137

4.5 Circuitos eléctricos en serie 140 4.5.1 Circuitos RL 140 4.5.2 Circuitos RC 143 4.6 Absorción de drogas en órganos o células 146 4.7 Crecimiento logístico 151 APÉNDICE I. Números complejos 155

APÉNDICE II. Tabla de derivadas 161

APÉNDICE III. Tabla de integrales 163

(5)

PRESENTACIÓN

En diferentes áreas de la ciencia, y sobre todo en la ingeniería, se desarrollan

modelos matemáticos para ayudar a comprender la fenomenología o el origen de

ciertos problemas físicos, biológicos, sociales, etc. Estos modelos, por lo general,

pueden ser expresados a partir de ecuaciones que contiene ciertas derivadas de una

función desconocida. A una ecuación de este tipo se le denomina ecuación diferencial.

La historia de las ecuaciones diferenciales comenzó en el siglo XVI, donde los

(6)

ecuaciones diferenciales sencillas a partir de unos problemas de Mecánica y

Geometría. De hecho, según Nápoles y otros (2002), a finales del siglo XVII James y

Johan Bernoulli, introducen término como el de “Integrar” una ecuación diferencial,

así como la técnica de variables separables para resolver una ecuación diferencial.

Estos primeros descubrimientos abrieron al mundo un universo de ecuaciones

nuevas, así como también a una serie de procedimientos que nos permiten la

resolución de algunos tipos de ecuaciones diferenciales que se presentan en

problemas de modelado.

Actualmente, las ecuaciones diferenciales y los modelos matemáticos se han

convertido en un tema fundamental e indispensable para ser incluido en el pensum de

estudio de cualquier carrera de ingeniería a nivel mundial. Es por ello que la

asignatura Matemática IV (0082824 – 0322144) que cursan las carreras de ingeniería

y afines en la Universidad de Oriente, trata sobre los tipos de ecuaciones

diferenciales, las técnicas como resolverlas y modelos matemáticos que las incluyen.

Este módulo de Matemática IV (0082824 – 0322144) que se presenta, se

ajusta en su totalidad a las unidades 1 y 2 de su programa vigente, tanto en el orden

en que son presentados los objetivos como en la profundidad con que son tratados. En

él, se ha querido exponer todos los temas de este material en una forma muy clara y

sencilla, de manera que el lector pueda comprenderlos en forma inmediata. Además

no se ha hecho demasiado énfasis en las demostraciones de los teoremas, en lugar de

(7)

cual se han incluido una gran cantidad de ejercicios resueltos y además se han

propuesto una serie de ejercicios con respuestas al finalizar cada tema.

Por lo tanto este módulo se ha estructurado 4 capítulos, en los cuales se

estudiarán las ecuaciones diferenciales ordinarias incluyendo teoremas y técnicas para

la resolución de las mismas.

El capítulo 1, es una introducción al mundo de las ecuaciones diferenciales,

donde se darán definiciones, conceptos y teoremas sobre estas ecuaciones, además de

incluir los problemas de valor inicial e introducir la definición de los modelos

matemáticos y como formularlos.

En el capítulo 2, se desarrollan una serie de técnicas y procedimientos para

resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.

En el capítulo 3, se presentan primero unas definiciones necesarias para el

estudio de ecuaciones diferenciales de orden superior, para luego desarrollar técnicas

que permitan resolver ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes ya

sean homogéneas o no y por último se presenta las ecuaciones diferenciales de

Cauchy-Euler y cómo resolverlas.

En el capítulo 4, se presentan una serie de problemas de aplicación que se

pueden resolver mediante modelos matemáticos que incluyan ecuaciones

(8)

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Este capítulo es un preámbulo a todo el mundo de las ecuaciones diferenciales

ordinarias. Se desarrollaran conceptos básicos para la mejor comprensión de este tipo

de ecuaciones, así como también una breve introducción a como enunciar un modelo

(9)

1.1DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL.

Una ecuación diferencial es una igualdad que contiene derivadas de una

función desconocida con respecto a una o más variables independientes.

Por ejemplo la ecuación dx kx

dt   es una ecuación diferencial, que por cierto

representa la desintegración radioactiva de una sustancia a través del tiempo.

Así mismo, la ecuación

 

4 4 d y

EI w x

dx  , es una ecuación diferencial que

modela la desviación que experimenta una viga con respecto a su eje de simetría.

Por último, la ecuación





2 2 2

2 2 2 4 , ,

u u u

x y z

x y z 

 _ _ _

   , también es una

ecuación diferencial, llamada ecuación de Poisson, la cual satisface, por ejemplo, el

potencial del campo electrostático.

Como se ve, existen diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, por lo que se

hace necesario realizar una clasificación de ellas. A continuación se presentarán

diferentes formas de clasificar las ecuaciones diferenciales.

1.2CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse según su tipo, orden o

(10)

1.2.1 Clasificación según el tipo

Cuando una ecuación diferencial contiene una o más derivadas de una

función desconocida con respecto a una sola variable, es decir solo derivadas

ordinarias, entonces se está en presencia de una ecuación diferencial ordinaria, por ejemplo:

cos dy

y y xy x yx

dx

    

En cambio si la ecuación posee una o más derivadas de una función

desconocida con respecto a dos o más de una variables, entonces es una ecuación diferencial en derivadas parciales, por ejemplo:

2 2 2 2 0

z z

x y

 

 

 

Cabe destacar que en este módulo está basado solo en el estudio de ecuaciones

diferenciales ordinarias.

1.2.2 Clasificación según su orden.

El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que

tiene la ecuación, por ejemplo:

2 2 2 dy d y

x

(11)

0

y  y , es de tercer orden

4 ₃

3 tan dy d y

x

dx dx

 _{ } _

 

  , es de tercer orden

De este último ejemplo, cabe destacar que es importante no confundir el orden

con el grado (potencia del término).

1.2.3 Clasificación según su linealidad o no.

Una ecuación diferencial es lineal, si se puede escribir de la forma:

 

_{ }

 1

_{ }

1 2 1 0

n n

a x y a _ x y   a x ya x ya x yg x

Esto implica que debe cumplir con las siguientes condiciones:

a. La función desconocida y sus derivadas son a lo sumo de primer grado, es

decir, de potencia 1.

b. Los coeficientes de la función desconocida y sus derivadas dependen solo

de la variable independiente.

En caso de que no se cumpla alguna de estas condiciones, se dice que la ecuación diferencial es no lineal. Por ejemplo:

2 1

y xy x , es lineal



2



1

(12)

4

4 cos 0

d y dy

x y

dx  dx  , es lineal

3

2

3 0

d y dy

x y

dx  dx  , no es lineal, ya que el término y, no es de primer grado.

1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL.

Toda función que al sustituirla en la ecuación diferencial, cumple con la

igualdad, es considerada como una solución de ella. Por lo tanto, se puede decir que

2x

ye es solución de ecuación y 2y0, ya que, comoye2x, entonces

2

2 x

y  e , por lo tanto al sustituir en la ecuación diferencial se tiene:

 

2 2

2 0 2 x 2 x 0 0 0

y  y  e  e   

Por lo tanto podemos definir como solución de una ecuación diferencial a toda función que satisface a la ecuación, es decir que al sustituirla la reduce a una

identidad.

Existen varias formas de clasificar las soluciones de las ecuaciones

diferenciales, una de ellas es en explícitas e implícitas.

Una solución explícita, es aquella que se puede escribir de la forma y f x

 

, es decir que la solución este expresada solo en función de la variable independiente

(13)

2 0

y  y . Un tipo solución explícita es la solución trivial o nula y es aquella que tiene la forma y0.

Ahora, una solución implícita, es la que tiene la forma f x y

 

, C, es decir, toda solución que involucre tanto a la variable dependiente como a la independiente.

Por ejemplo 3



3



4 1

y  x , es una solución explícita la ecuación diferencial



3



2

1x dyx ydx0.

Otra manera de clasificar las soluciones de las ecuaciones diferenciales es en

generales, particulares y singulares.

Una solución o relación que satisfaga a una ecuación diferencial y además

involucre en su estructura una o más constantes arbitrarias, se denomina solución general. Cabe destacar, que una ecuación diferencial de orden n, tendrá una solución general compuesta por n funciones multiplicadas por n constantes arbitrarias. Por ejemplo y x

 

C1cosx C 2sinx es solución general de la ecuación diferencial

0

y  y . Geométricamente, una solución general de la forma y



C x,



, representa una familia de curva en el plano xy. Estas curvas se llaman curvas integrales.

En la figura 1.1, se muestran las curvas integrales de la solución general

(14)

Figura 1.1

Ahora bien, una solución particular, es la que no está en función de constantes arbitrarias, y esto se logra particularizando las constantes de la solución

general, a partir de unas condiciones iniciales que presenta el problema. Por ejemplo

la función y x

 

2cosx3sinx, es una solución particular de y  y 0. Más adelante veremos que una solución particular es la que se obtiene de un problema de

valor inicial.

Por último una solución singular, es aquella que no se obtener a partir de la solución general de la ecuación diferencial. Por ejemplo, la funciónyCx2C2 es

la solución general de la ecuación yCy2

 

y 2, sin embargo la función

2

8 0

x  y también es solución de la ecuación diferencial ya que la satisface, por lo tanto ésta es una solución singular, ya que es imposible obtenerla a partir de la

solución general.

x y

-4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

(15)

1.4 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL

Un problema de valor inicial es toda ecuación diferencial que se encuentra acompañada por unas condiciones iniciales. Es importante destacar que en un

problema de valor inicial, el número de condiciones iniciales necesarias debe ser

igual al orden de la ecuación diferencial, es decir, una ecuación diferencial de tercer

orden necesita tres condiciones iniciales. En forma general, una ecuación diferencial

de orden n, debe estar sujeta a n condiciones iniciales, es decir:



1



, , , , n , n 0

F x y y y  y  y  sujeta a

 

 1

_{ }

0 0, 0 1, , 0 1

n

y x  y y x  y y  x  y _

Cabe destacar, que la solución de un problema de valor inicial siempre genera

una solución del tipo particular.

Ahora bien, cuando se considera un problema de valor inicial, surgen las

siguientes preguntas:

 ¿El problema tiene solución?

 De existir solución, ¿es ésta la única solución del problema?

La respuesta a estas interrogantes viene dada en el siguiente teorema.

(16)



x y_o, _o



x y

c d

a b

R

I

Si f y df

dy son continuas en R, entonces existe un intervalo abierto I, con centro x0

contenido en

 

,  x y3, y df 3y2

dy  , ambas son continuas

(17)

0 1

x  , y además y₀ 2. Es obvio que

 

1.5 MODELOS MATEMÁTICOS.

Un modelo matemático, es una descripción matemática de un sistema o

(18)

Para la formulación de un modelo matemático es necesario:

 Identificar las variables que afectan al sistema, es decir, las que producen

cambios en éste. Mientras más variables tenga el modelo será más ajustado a

la realidad, sin embargo mucho más complejo para resolver.

 Establecer un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que se trata

de describir. Las hipótesis del problema implican con frecuencia, la razón o

tasa de cambio de las variables involucradas. El enunciado del modelo

matemático de estas hipótesis, puede estar conformado por una o más

ecuaciones en donde intervienen derivadas, es decir, ecuaciones diferenciales.

Luego de formulado el modelo matemático, es necesario resolverlo, es decir

hallar una solución a la ecuación diferencial o al sistema de ecuaciones diferenciales,

lo cual no es nada fácil. Al determinar la solución se deberá comprobar que el

modelo sea razonable, lo que implica verificar si su solución es consistente con los

datos experimentales o con los hechos conocidos acerca del comportamiento del

sistema. Sin embargo, si las predicciones que se basan en la solución son deficientes,

se puede aumentar el nivel de resolución del modelo o elaborar hipótesis alternativas

sobre los mecanismos del cambio del sistema; entonces, se repiten los pasos del

proceso de modelado.

En el capítulo 4 se desarrollarán ejemplos de algunos modelos matemáticos

(19)

CAPÍTULO 2

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

En este capítulo por fin empezaremos a resolver ecuaciones diferenciales, sin

embargo por los momentos solo de primer orden. A pesar de que veremos muchas

técnicas, realmente son tres las fundamentales, variables separables, exactas y

(20)

2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES EN VARIABLES SEPARABLES

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se dice que es separable o

que es en variables separables si se puede escribir de la forma:

 

h y dyg x dx

Donde h y

 

es una función continua que depende solamente de la variable x,

y g x

 

es una función que depende solo de la variable y.

Los pasos necesarios para resolver ecuaciones de este tipo son:

  ,

dy dy

xy xdx

dx   y 

(21)

2 1

ln

2

x

y  C , con y0

Donde C₁ es una constante real, aplicando exponencial para escribir la solución en su forma explícita, se tiene

2 1

1 2x C

y e  , y entonces se tiene que

2 1

1 2x

C

y e e

De la igualdad anterior, se verifica que y no se anula, y por lo tanto no cambia de signo, con lo cual, se concluye que la solución general de la ecuación

diferencial viene dada por:

2

1 2x yCe

Donde C es una constante real que es igual a _eC1_.

Ejemplo 2. Resuelva

2 2

2

1 3 1

dy x

x

dx y

 



Primero se reescribe la ecuación separando las variables con sus respectivos

diferenciales:





2

2





2

1 1

dy dy x

x x y dx

dx y x

 

    _{ } _

 _  _

Realizando división de polinomios en la función que depende de la variable x, se tiene,

2

1 1

dy

dx

y x

 

 _ _

   

Integrando la ecuación se obtiene la solución general, la cual viene dada por:

(23)

Ejemplo 4. Resuelva



3



2

1x dyx ydx0 con y

 

1 2

Primero se reescribe la ecuación separando las variables con sus respectivos

diferenciales:

2 3

1

dy x

dx y  x

Con lo cual luego de integrar la ecuación, se obtiene la solución general



3





3



3



3

4yyx2



dy



2xxy2



dx0

Rta. 2



2



2y C 4x 2. y y2sinx0

Rta. 1

cos

y

x C

 

(24)

3. cosydx 



1 ex



sinydy0 con

 

0 4

3 tan

e C y

 

5. ysinx ylny con 2

y  _{ } e

  Rta. lnycscxcotx 6.



2



1 cot 0

dx x ydy

Rta. 2 1

sin

1

x

y C

x

 



7. 3 3

2 4 8

dy xy x y

dx xy x y

  



  

Rta.

5

3 4

y x y

Ce x





 _{ }

 _ 

 

8. x y2   y xy con y

 

  1 1 Rta. ln y 1 ln x 1

x

   

9.



x y2 y dx







x22yx2



dy0

Rta. 1

ln 2

xx  y  yC

10. y K y



a



y b



Rta. _ _

1 K b a x

b a y a

Ce 

  

(25)

2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS.

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se dice que es homogénea

si se puede escribir de la forma:



,





,



0

M x y dxN x y dy

Donde M x y



,



y N x y



,



son funciones homogéneas del mismo grado. Este tipo de ecuación diferencial mediante un cambio de variable se transforma en una

ecuación en variables separables.

2.2.1 Funciones homogéneas.

Se dice que f x y

 

, es una función homogénea de grado n, si para toda t, se cumple que:



,



n



,



f tx ty t f x y

Ejemplos 1. Verifique si las siguientes funciones son homogéneas:

a. f x y( , )2x35xy24y3

En este caso se tiene que:



  

3

  

2

 

3

, 2 5 4

f tx ty  tx  tx ty  ty

Resolviendo las potencias, se obtiene:





3 3 3 2 3 3

, 2 5 4

(26)

Factor común 3

t





, ,

Con lo cual se concluye que f x y( , )2x35xy24y3 es una función homogénea de tercer grado.

b. _{f x y}_{( , )} 5 _x5_y5

Aquí se tiene que,

   

5 5 5

( , )

f tx ty  tx  ty

Con lo cual se obtiene,





5 5 5 5

( , )

f tx ty  t x y

Por propiedades de radicales, se tiene

5 5 5 5

5 5 5

( , ) ( , )

(27)

Y por lo tanto,



,





,



Lo cual demuestra que _{f x y}_{( , )} 5 _x5_y5 _{es una función homogénea de}

grado 1.

2.2.2 Resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas

Los pasos necesarios para resolver una ecuación diferencial homogénea son:

 Expresar la ecuación diferencial de la forma: M x y dx



,



N x y dy



,



0

 Verificar que M x y



,



y N x y



,



son funciones homogéneas del mismo grado.

 Transformar la ecuación diferencial homogénea en una de variables

separables, utilizando cualquiera de las siguientes sustituciones: yux ó

xuy, con sus respectivos diferenciales.

 Resolver la ecuación diferencial en variables separables, para luego regresar el

cambio de variable realizado.

Ejemplos 2. Resuelva xdy



y x2y2



dx0

(28)

Si se utiliza el cambio de variable yux, entonces dyudxxdu, y sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene:







₂

 

2



0

x xdu udx  ux x  ux dx

Resolviendo se tiene,





2 2 2

1 0

x du uxdx uxdx   x u dx

Simplificando y aplicando propiedades de radicales, se obtiene





2 2 2

1 0

x du x u dx

Separando las variables con sus respectivos diferenciales,



2



1

du dx

x u



 Con u 1

Luego de integrar ambos miembros de la igualdad, se obtendrá la solución

general,

arcsinuln x C Pero como yux, implica que u y

x

 , con lo cual se obtiene la solución

general a la ecuación diferencial, la cual viene dada por:

arcsin y ln x c x

   

(29)

Ejemplo 3.



x2xy dy

2 2

u y dy uy dy  y udy y du

Agrupando diferenciales y aplicando factor común en ambos miembros,





2 2 3

2 2

y u  u u dy y du

Separando las variables con sus respectivos diferenciales,

2

dy du

y u u

Integrando ambos lados de la ecuación, se obtiene:

ln y  2ln u 2ln u 1 C Donde 2₂du

u u



se resolvió utilizando la técnica de fracciones parciales.

Aplicando las propiedades de logaritmo en la solución obtenida, se tiene:

2

1 ln y ln u C

u



 

 _ _ 

(30)

Aplicando exponencial a la ecuación, se obtiene:

2

1

u y C

u



 

 _ _

Luego como xuy, entonces u x y

 , con lo cual se tiene,

2

1

x y y C

x y

 _ 

 



 

 

Con lo cual luego de operaciones algebraicas se obtiene la solución general:

2 x y y C

x



 

  

 

1. y xcot y dx xdy 0

x

 

 _{ }  

 

Rta. cosx y C

x

      

2.



x y2xy dy



 ydx con y

 

1 1 Rta. ln2 y 4 y x

y

  

  

 

3. x ycos y dx xcosydy 0

x x

 _  _ _

 

 

Rta. ln x sin y C x

(31)

4.



2 2



2 0

x  y dxxydy

Rta. 4



2 2



x C x y

5. 0

y y

x x

x ye dx xe dy

 

  

 

  con y

 

1 0

Rta. yxln 1 ln



 x



6. 2

y x

xy  y xe

Rta. ln 1 2

y C x

x e 

7.



6 xyy dx



xdy0 con y

 

1 4 Rta. y 9x 1 6

x

  

8.



xy dx



 



x y dy



0

Rta. 2 2

ln x y arctan y c x

  

9. xy  y



lnylnx



Rta. yxeCx1

10.

2 2 2

x y

y x

  

Rta. 1 2 3

tan 3 ln 3

y x

x C

x

   _ _

 

(32)

2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS.

Una ecuación diferencial se dice que es exacta si se puede escribir de la

forma:



,





,



0

Y además cumple con:



,





,



M x y N x y

y x

 



 

Si se tiene una función de dos variables de la forma z f x y

 

, , cuyas derivadas parciales son continuas en una región rectangular R del plano xy, entonces su diferencial total, se define como:

f f

df dx dy

x y

 

 

 

Ahora bien si f x y( , )C, donde C es una constante real, al aplicar el diferencial total, se tiene:

0

f f

dx dy

x y

 _ _

 

Pero como bien se sabe f x

  y



,



0

Luego:

2

M f f

y y x y x

 _   _ 

 

      y

2

N f f

x x y x y

 

   

 _ _

  _ _  

Y como las derivadas cruzadas de una función de varias variables son siempre

iguales,

2 2

f f

y x x y

 _ 

   

Se concluye que:



,





,



M x y N x y

y x

 



 

Los pasos necesarios para resolver una ecuación diferencial exacta son:

y x

 



 

 

 _{ } _

 _  _ __ 



y

 _{ } _

 _  _ __ 



 



En caso de que al iniciar este procedimiento, se halla decidido empezar por la

relación f x y

 

, N x y

 

,

y





 , estos se deben seguir estos mismos pasos pero en forma

análoga, es decir, en vez de integrar con respecto a x se hace con respeto a y, en lugar de derivar con respecto a y, se deriva con respecto a x, y así sucesivamente, hasta llegar a la solución que debe tener la forma:

 

,

 

,

 

,

N x y dy M x y N x y dy dx C

x



 _ _

 _  _ __ 



 



Cabe destacar, que en cualquiera de los dos casos, no se debe memorizar estas

fórmulas, sino más bien seguir los pasos antes descritos.

Ejemplo 1. Resuelva





3

2 2

2 4 0 3

x

yx  xy dx_ x  _dy

 

Como la ecuación tiene la forma MdxNdy0, entonces implica que:





2

, 2

M x y  yx  xy y

 

3 2

, 4

3

x

N x y  x 

De aquí se verifica si cumple con la condición de exactitud, es decir,

M N

y x

 _ 

(36)

2

M

x x

y

 _ _

 y 2 2

N

x x

x

 _ _



Lo cual implica que la ecuación diferencial es exacta, ahora se debe decidir

con que ecuación comenzar, en este caso se hará con:

2

f

yx xy

x

 _ _



La cual al integrarla con respecto a x, se obtiene:





1 3 2

, 3

f x y  x yx y

Luego se deriva con respecto a la variable y.

 

3

_{ }

2

,

3

f x y x

x g y

y

 _

  



Como f N y

 _

 , entonces se tiene:

 

3 3

2 2

4

3 3

x x

x x g y

    

Se integra con respecto a y, para obtener g y

 

4

 

4

g y   g y  y C

Con lo cual, por último se determina la solución de la ecuación diferencial la

(37)

3 2

1

4 3x yx y yC



cosxxsinxy2



dx2xydy0 con y

 

2 1

Se comprueba que la ecuación diferencial es exacta,



,



2

M x y y y





 y

 

, 2

N x y y x



 

En este caso parece más sencillo comenzar con:

 

,

2

f x y

xy y



 

La cual se integra con respecto a la variable y.





2

 

,

f x y xy g x

Se deriva con respecto a x,

 

, 2

_{ }

f x y

y g x

x

 _

 



Como f x y

 

, M x





 

2 2

cosxxsinxy  y g x Se integra con respecto a x, para obtener g x

 

cos sin

 

cos

(38)

Por lo tanto se determina la solución general de la ecuación diferencial, la cual

vienen dada por:

2

cos

xy x xC

Luego como se tiene una condición inicial, tal que y

 

2 1, entonces:

  

2

2 1 2 cos 2  C  C4

Por último la solución particular de la ecuación diferencial es:

2

cos 4

xy x x 

1.



tanxsin sinx y dx



Rta. 1 2 2

1 2x y    x y

6. 4x y3 3 1 dx 3x y4 2 1 dy 0

x y

 

 _  _ _ _

 

   

Rta. x y4 3 ln x C y

 

7.



x22ye2x



y2xy2y e2 2x 0 con y

 

0 1

Rta. x y2 y e2 2x 1



2xsiny dx



con y

 

2 0

Rta. x2xsiny4

2.4 FACTORES INTEGRANTES

(40)

diferencial, esta se transforme en exacta. Esta función 

 

x y, se denomina factor integrante de la ecuación diferencial.

Es importante acotar que la solución de la ecuación diferencial luego de

aplicar el factor integrante es la misma de la ecuación diferencial inicial, así como

también, recalcar que no es fácil encontrar un factor integrante para una ecuación

diferencial no exacta. Sin embargo, si M x y



,



y N x y



,



cumplen ciertas condiciones necesarias, es posible hallar de una manera sencilla el factor integrante.

A continuación se presentarán 2 casos de factores integrantes, los cuales son

los más comunes, y pueden ser utilizados de acuerdo a las características de la

ecuación diferencial.

CASO I.Factor Integrante dependiente de x.

Ocurre si al resolver

M N

y x

N

 _

 

Se obtiene una función que depende solo de la variable x. En este caso el factor integrante 

 

x viene dado por:

 

h x dx 

x e

(41)

Ejemplo 1. Resuelva la ecuación diferencial y₂ 2 dx 11



lnxy dy



0

x x

 _  _ _ _

 

 

Esta ecuación diferencial no es exacta, ya que:





2 2 1 1 dM dN lnxy

dy  x dx  x

Por lo tanto, se verifica si es posible conseguir un factor integrante que

transforme la ecuación diferencial en exacta, por lo tanto se comprueba si

M N

y x

N

 _

 

es una función que depende solo de la variable x,

















2 2 ₂

1 1 ₁

1 1 1 1 1 1

M N M N M N

y x x y x _x y x

N N lnxy _lnxy x lnxy lnxy x x N x  _    _  _      _             

Con lo cual es posible determinar el factor integrante, que viene dado por:

 

_x _e 1xdx

 

_x _elnx

 

_x _x

        

Entonces al multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante se

tiene:





2

1

2 1 0

y

dx lnxy dy x

x x

 _  _ _ _ 

 

_ _ 

(42)

En consecuencia,





2 1 0

y

x dx lnxy dy x

 _  _{ } _

 

 

Ahora esta ecuación diferencial es exacta, ya que

1

M

y x

 _

 y

1

N

x x

 _



Por lo tanto ahora es necesario resolver la ecuación diferencial exacta, para

ello comenzamos con:

2

f y

x

x x

 _{ }



Entonces se tiene:





2

 

y x x  yC

CASO II.Factor Integrante dependiente de y.

Ocurre si al resolver

N M

x y

M

 _

 

Se obtiene una función que depende solo de la variable y. En este caso el factor integrante 

 

y viene dado por:

 

h y dy 

y e

   Donde

 

N M

x y

h y

M

 _

 



Ejemplo 2. Resuelva la ecuación diferencial



2xy22y dx







3x y2 4x dy



0

Esta ecuación diferencial no es exacta, ya que:

4 2 6 4

dM dN

xy xy

(44)

Por lo tanto se verifica que

N M

x y

M

 _

 

es una función que dependa solo de la

variable y,









2

6 4 4 2 2 2 1

2 2 2 2

N M N M N M

xy xy xy

x y x y x y

M xy y M y xy M y

 _  _  _

   

  _ _   _ _   _

 

Con lo cual se determina el factor integrante,

 

La cual ahora esta ecuación diferencial es exacta, ya que:

2 2

6 4 6 4

dM dN

xy y xy y

(45)

La cual tiene como solución general:

2 3 2

2

x y  y xC

2xy ey2xy y dx x y eyx y 3x dy0

Rta.

2 2

3

y x x

x e C

y y

  

3. ydx 



3 3xy dy



0

Rta.

4 3 3

4

y xy y  C

4.



y2x dx



2ydy0

Rta. y2  x 1 Cex

5.



4





2 3



2xyy dx 3x 6xy dy0 Rta. x y2 3xy6 0

6.



yxy2



dxxdy0

Rta. 1 2 2

x

x C

(46)

2.5 ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL

Una ecuación diferencial lineal de primer orden es aquella que tiene la forma:

 

1 0

a x y a x yQ x (1)

Sin embargo al dividir (1) por a x₁

 

, se obtiene una forma más útil de escribir

la ecuación diferencial lineal, llamada forma estándar, y viene dada por:

 

y P x yQ x (2)

Donde P y Q son funciones continuas definidas en un intervalo.

Los pasos necesarios para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer

orden son:

 Luego que la ecuación diferencial este escrita como (2), multiplicarla por el

factor integrante 

 

x eP x dx  , con lo cual se obtiene:

 

_{ }

 

_{ }

 

P x dx P x dx P x dx

y e  P x e yQ x e

 La cual es equivalente a la ecuación:

 

P x dx

d e y

Q x e dx

  

 

  _ 

 Con lo cual al integrar se obtiene la solución general de la ecuación

(47)

 

_{ }

 

P x dx P x dx

ye  _Q x e _dx C

 



Es importante no tratar de memorizar la solución general, sino más bien seguir

paso a paso el procedimiento antes descrito.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación y 2ye3x

₂_x

x e x e x e e x Ke

 _  _  _  _  _ _  _

Ahora se tiene una familia de factores integrantes, de la cual se escogerá a

 

2x

x e

  , y entonces multiplicamos a ambos miembros la ecuación diferencial,

2 2 3 2

2

x x x x

y e  ye e e

En consecuencia,



2x



5x d

ye e

dx 

Luego integrando la ecuación se tiene:

2 1 5

5

x x

(48)

Por último la solución general es:

3 2

1 5

x x

y e Ce

Ejemplo 2. Resolver la ecuación diferencial y y cosx x

  

Esta ecuación diferencial es lineal con P x

 

1 x

 y Q x

 

cosx De manera que el factor integrante es:

 

ln

 

dx

x x

x e x e x x

        

Ahora se multiplica el factor integrante por la ecuación diferencial, de modo

que:

cos

y x  y x x

En consecuencia se obtiene:

 

cos

d

yx x x

dx 

Luego de integrar con respecto a x, se obtiene:

sin cos

yxx x x C

Con lo cual la solución general de la ecuación diferencial es:





1

sin cos

(49)

Cabe destacar que es muchos casos es conveniente acomodar la ecuación

diferencial de tal manera que x f y

 

para que esta sea lineal, es decir, de la forma:

 

x P y xQ y

La cual tendrá como factor integrante 

 

y eP y dy  , y se resolverá igual que

los casos anteriores pero de forma análoga, tal como lo ejemplifica el siguiente

ejercicio.

Ejemplo 3. Resolver la ecuación diferencial ydx x 2y2

dy  con y

 

1 5

Primero debe multiplicarse toda la ecuación diferencial por y, para que tenga la forma de una ecuación lineal,

1

2 2

dx x

y x x y

dy y y

 



    _ _ 

 

La cual es una ecuación diferencial lineal con P y

 

1 y

  y Q y

 

2y De manera que el factor integrante es:

 

ln

 

1

dy

y y

y e y e y

y

 _  _  _  _  _

(50)

2

1

2

x

y y

  

 _ _ 

 

En consecuencia se obtiene:

2

d x dy y

      

Luego de integrar con respecto a y, se obtiene:

2

x

y C y  

Con lo cual la solución general de la ecuación diferencial es:

2

x y Cy

Pero como existen unas condiciones iniciales tal que y

 

1 5, entonces

 

2

 

49

1 2 5 5

5

C C

    

En consecuencia la solución particular a la ecuación diferencial es:

2 49

2 5

x y  y

1. y xy x 0 Rta.

2

2 ₁

x

yCe 

(51)

3. y e



yx



 y Rta. xy e y C

4.



2



2 x x 0

x ye dx e dy  con y

 

0 1 Rta. 2 3 1

3

x

y_ x  _e

 

3

y x  x C

6. dy 2 ydy

y x y e

dx dx

 

Rta. x ey C y  

7. dy y

dx  yx con y

 

5 2

Rta.

2

8 2

y xy 

8. 2



1



3

1

y y x

x

 

 _ _  



 

Rta. 1



1



2



1



2 2

y_ x C_ x

 

9.





2

6 2 xy yy 0 con y

 

0 1

Rta. x 2 2y2 y

(52)

10. ydx



xy2xyey



dy0 Rta. ₂ 1 2 1 1 2

2 2 4

y

e

x y y Ce

y



 

 _    _

 

2.6 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI.

Una ecuación diferencial de Bernoulli es aquella que se puede escribir de la

forma:

 

n

y P x yQ x y

Donde n, es un número real.

Cabe destacar que n debe ser distinto de 0 y 1, ya que si n0 la ecuación diferencial es lineal, pero si n1es una ecuación diferencial en variables separables.

Toda ecuación diferencial de Bernoulli, mediante un cambio de variable se

convierte en una ecuación diferencial lineal.

Los pasos necesarios para resolver una ecuación diferencial de Bernoulli son:  Luego de que la ecuación diferencial tenga la forma

 

n

y P x yQ x y ,

multiplicarla por yn_-

 

1

 

n n n n n n

(53)

 Realizar el cambio de variable de la forma zy1n, con lo cual al derivar

también se tiene que z 



1 n y y



n , y al sustituir en la ecuación diferencial se obtiene,

 



1

  



1

  

1

z

P x z Q x z n P x z n Q x

n

 _

      



 Suponiendo que P

  

x  1 n P x

  

y Q

  

x  1 n Q x

  

, la ecuación diferencial se transforma en una ecuación lineal

 

z P x zQ x

 La cual al resolver se obtendrá la solución general de la ecuación diferencial

de Bernoulli, recordando que al final se debe sustituir y1n por z

2

2 2

y x

y

x y

  

Se acomoda la ecuación diferencial de la forma y P x y

 

Q x y

 

n

2 1

1

2 2

x

y y y

x



 

  _ _ _{  }

   

Con lo cual se verifica que es una ecuación de Bernoulli con n 1, entonces se procede a multiplicar toda la ecuación diferencial por y  1 , es decir, por y.

2 2

1 2

1 1

2 2 2 2

x x

yy yy y y yy y

x x



   

 _ _ _ _   _ _ _ _