1 Integral Indefinida pdf

(1)

1

Integral

indefinida

Capítulo 1

En este capítulo se definirá el concepto matemático de integral de tal manera que el estudiante empiece a conocer lentamente el proceso u operación de «integración», mostrándole además la relación que existe entre esta operación de integración y la operación «inversa» de derivación, a la cual llamaremos «primitivación».

En general, este proceso es más complicado que el de la derivación y debemos ser más cautelosos y pacientes con los métodos que se expongan, los cuales nos permitirán, cuando sea posible, obtener la primitiva o antiderivada de un gran nú-mero de funciones.

Iniciamos el capítulo presentando las definiciones correspondientes a la función primitiva, para posteriormente hacer el estudio de la regla de sustitución o cambio de variable, quizás el método de integración más importante, ya que en cualquiera de los otros métodos, por lo general, en algún paso intermedio se hace uso de dicha regla.

Al finalizar el capítulo ilustramos con algunos ejemplos sencillos una primera apli-cación de la integral indefinida a las ecuaciones diferenciales y a la física.

Módulo 1

Función primitiva o antiderivada Módulo 2

Integral indefinida Módulo 3

Regla de sustitución o cambio de variable

Módulo 4

Algunas aplicaciones de la inte-gral indefinida

Ejercicios Módulos 1 al 4 La ley de caída de Galileo establece que todos los cuerpos caen en el mismo tiempo desde la misma

(2)

(3)

Elementos básicos de cálculo integral y series

1 Función primitiva o antiderivada

Contenidos del módulo

Objetivos del módulo

Preguntas básicas

Introducción

1.1 Función primitiva o antiderivada 1.2 Teorema 1

1. Presentar el concepto más importante de la integral indefinida, la primitivación o

antiderivada, y sus nexos con la derivación de funciones.

1. Se puede demostrar, usando métodos de integración, que la función

3 2

( )

25

x f x

x

=

+ tiene las siguientes primitivas:

2 3 2 2 1 2

1

( ) ( 25) 25( 25) ,

3

F x = x + − x + +C

2 2 1 2 2 3 2 2

2

( ) ( 25) ( 25) .

3

F x =x x + − x + +C

Demuestre que F₁(x) = F₂(x).

En el capítulo 3 del texto Elementos básicos de cálculo diferencial hemos estudia-do el siguiente problema: dada una función F(x), hallar su función derivada f (x), esto es, F x′( )= f x( ). En este módulo consideraremos el problema inverso: dada la función f (x), se precisa hallar otra función F(x) cuya derivada coincida con f (x). Esta función F que tratamos de buscar se llama primitiva o antiderivada de f (x).

Gabrielle Émile le Tournelle de Breteuil

Émile le Tournelle, conocida como la marquesa de Châtelet, estudió a Newton y Leibniz, tradujo al francés los Principia de Newton y contribuyó a divulgar los concep-tos del cálculo diferencial e integral.

Émile, nacida en 1706 y fallecida en 1749, no respondía al prototipo de belleza de su época pues ya de niña era muy alta (1,65 m) y tenía las manos y los pies grandes. Tal vez por esto su padre, pensando que no iba a casarse, se preocupó de que recibiese una excelente educación. Sin embargo, a los diecinueve años se casó con el marqués de Châtelet y suspendió temporalmente sus estudios, pero los reanudó a los veintisiete años, después del nacimiento de su tercer hijo.

(4)

1.1 Función primitiva o antiderivada

Definición

Sea f una función definida en un intervalo I. Una función F (x) se llama primitiva o

antiderivada de f (x) en I si F es diferenciable y F x′( )= f x( )para todo x en I. Ejemplo 1

Sea _{f x}_{( )}₌₄_x3₊₈_x2₋₄_x₊_5.

Son primitivas de f (x) las siguientes funciones:

4 3 2

1

8

( ) 2 5 6

3

F x =x + x − x + x− _, ₂( ) 4 8 3 2 2 5 4. 3

F x =x + x − x + x+

En efecto,

3 2

1( ) 2( ) 4 8 4 5 ( ).

F x′ =F′ x = x + x − x+ = f x

Ejemplo 2 Sea f x( )=sec .x

Son primitivas de f (x) las siguientes funciones:

1( ) ln (sec tan ) 3, 2( ) ln (sec tan ) 2.

F x = x+ x + F x = x+ x −

En efecto,

1( ) 2 ( ) x(ln (sec tan ) 3) x(ln (sec tan ) 2).

F x′ =F′ x =D x+ x + =D x+ x −

1

(sec tan ) secx tanxDx x x

= +

+ (RD26)

2

1

(sec tan sec )

secx tanx x x x

= ⋅ ⋅ +

+ (RD15 y RD13)

1

sec (tan sec )

secx tanx x x x

= ⋅ +

+

secx f x( ).

= =

Observación

En los ejemplos anteriores es fácil ver que si una función dada f (x)tiene función primitiva F(x) ésta no es única. Así, en el ejemplo 1 las funciones F₁(x) y F₂(x) figuran como funciones primitivas de f (x), o en general, cualquier función de la

Capítulo 1: Integral indefinida

(5)

forma _{( )} 4 8 3 ₂ 2 ₅ _,

3

F x =x + x − x + x+C donde C es una constante, es también pri-mitiva de f (x).

Por otra parte, puede demostrarse que las funciones de la forma 4 8 3 2

( ) 2 5

3

F x =x + x − x + x+C_{abarcan todas las funciones primitivas de}

3 2

( ) 4 8 4 5,

f x = x + x − x+ lo cual se deduce fácilmente del siguiente teorema.

1.2 Teorema 1

Si F₁(x) y F₂(x) son dos funciones primitivas de f (x) en un intervalo I, entonces la diferencia entre ellas es una constante.

Demostración

Designemos por ϕ( )x =F x1( )−F x2( ). (1) Como F₁(x) y F₂(x) son dos funciones primitivas de f (x) en un intervalo I, se tiene, de acuerdo con la definición,

1( ) ( ),

F x′ =f x (2)

2( ) ( ).

F x′ = f x (3)

Ahora, de (1), (2) y (3), se tiene ϕ′( )x =F x1′( )−F2′( )x =0.

En conclusión, ϕ′( )x =0, y de acuerdo con el ejercicio 19 del módulo 28 del texto

Elementos básicos de cálculo diferencial, se deduce que existe una constante C

tal que ϕ( )x =C, es decir, ϕ( )x =F x1( )−F x2( )=C. Observación

Del teorema anterior se deduce que si F(x) es una primitiva de f (x), entonces

( ) ( )

G x =F x +C también lo es, y G(x) así definida se denomina primitiva más general de f.

(6)

(7)

2 Integral indefinida

Contenidos del módulo

Objetivos del módulo

Preguntas básicas

Introducción

2.1 Integral indefinida

2.2 Primeras fórmulas de integración

1. Presentar las propiedades de la integral indefinida o primeras fórmulas de ción y su demostración simple con base en las fórmulas de derivación dientes, y mostrar cómo usarlas en la solución de ejercicios.

2. Construir, usando las reglas básicas de derivación y diferenciales, una primera tabla de integrales.

Diga si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas:

1.

∫

f x( )⋅g x dx( ) =

(

∫

f x dx( )

) (

⋅

∫

g x dx( )

)

._{Justifique su respuesta.}

2.

( ) ( )

f x dx f x

dx

g x = g x dx

∫

_∫

. Justifique su respuesta.

En el módulo 1 definimos la primitiva o antiderivada de una función f, y también la primitiva más general de f. Esta última es la que se conoce como la integral indefini-da de f. En este módulo mostraremos que en muchos casos puede ser calculada mediante la operación «inversa» de la derivación, la cual llamaremos

antidiferenciación o integración.

Arquímedes de Siracusa

Arquímedes, considerado por muchos como el más grande de los matemáticos de la antigüedad, nació en el año 287 a.C. y murió en el 212. Pasó casi toda su vida en su ciudad natal de Siracusa, aunque se sabe que visitó Egipto al menos en una ocasión. La fama de Arquímedes se basa fun-damentalmente en sus numerosos descu-brimientos matemáticos. Halló, por ejemplo, un valor aproximado del número pi con un error muy pequeño. Calculó volúmenes y áreas, algunos muy difíciles, entre ellos el volumen de la esfera, y demostró el siguiente resultado fundamental del que se sentía particularmente orgulloso: «Los volúmenes de un cono, de una semiesfera y de un cilindro, todos de la misma altura y radio, se encuentran en la razón 1:2:3». Consi-derado este teorema con la perspectiva que nos da la historia, era verdaderamente un resultado excepcional para la época. La pureza de su matemática en las obras De la esfera y del cilindro, De los conoides y esferoides, De las espirales, y la originalidad de sus nuevas ideas (método de exhaución, cuadratura del segmento de parábola), en las que se puede ver el germen del cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz, se unen y se complementan armoniosamente con sus trabajos sobre estática e hidrodinámica, poniendo de manifiesto cómo las dos matemáticas (la pura y la aplicada) se complementan mutuamente, de manera que

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2.1 Integral indefinida

Definición

Si F(x) es una función primitiva de f (x), la expresión F(x) + C se llama integral indefinida de la función f (x) y se denota por el símbolo

∫

f x dx( ) . Esto es:

( ) ( ) .

f x dx=F x +C

∫

En este caso f (x) se llama integrando (o función bajo el signo de integral), C se llama

constante de integración y dx indica que la variable de integración es la letra x.

Observaciones

1. El significado geométrico de la integral indefinida es una familia de curvas, una para cada valor de C.

2. Toda función continua f (x) en el intervalo [ , ]a b tiene una función primitiva y por consiguiente una integral indefinida. Sin embargo, no siempre es po-sible encontrar la integral indefinida (primitiva más general) de una función continua en [ , ]a b como sucede por ejemplo con la función _{f x}_{( )}₌ ₁₊_x4 _. Más adelante estudiaremos métodos que permiten determinar las funciones primitivas (y por consiguiente las integrales indefinidas) de ciertas clases de funciones.

3. De la definición anterior podemos deducir lo siguiente:

a. La derivada de una integral indefinida es igual al integrando. Es decir,

( ) ( ),

d

f x dx f x dx

∫

=

o también,

(

( )

)

( ) .

d

∫

f x dx = f x dx

b. Como F x′( )= f x( ), entonces dF x( )= f x dx( ) .

Por tanto,

∫

dF x( )=F x( )+C.

De acuerdo con la observación 3, podemos obtener fórmulas de integración a partir de las fórmulas de diferenciación. Usaremos las siguientes fórmulas que aparecen en el teorema 1 y cuya igualdad podemos comprobar mediante la derivación; es decir, se puede verificar que la derivada del segundo miembro es igual a la derivada del primer miembro.

cada una actúa como estímulo y ayuda para la otra y forman en conjunto una única y bien definida línea de pensamiento.

Arquímedes fue además un genio de la mecánica. Entre sus inventos más célebres se encuentra el «tornillo de Arquímedes», utilizado en muchos países, entre ellos España, para extraer agua de los pozos. Construyó también planetarios que, pese a la lejanía en el tiempo, eran tan populares como lo son en la actualidad.

(9)

2.2 Primeras fórmulas de integración

Teorema 1

1

F :

∫

dx= +x C.

2

F :

∫

af x dx( ) =a f x dx

∫

( ) , siendo a una constante.

[

]

3 1 2 1 2

F :

∫

f x( )+f x( ) dx=

∫

f x dx( ) +

∫

f x dx( ) .

Generalización:

[

f x1( )+ f x2( )+ + f x dxn( )

]

= f x dx1( ) + + f x dxn( ) .

∫

…

∫

…

∫

1 4

F : ,

1 n

n x

x dx C

n

+

= + +

∫

si n≠ −1 y n real.

El ejemplo siguiente ilustra la manera de usar las fórmulas anteriores en el proceso de integración.

Ejemplo 1

Resuelva cada una de las siguientes integrales indefinidas:

a.

∫

(kx2+px+t dx) , k p t, , constantes. b.

∫

(

3 w+43w dw

)

.

c

.

2 2 3 1 . x dx x ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∫

Solución

a. 2 2 3

2

3 2

1 2 3 4

3 2

( ) (F )

(F )

( ) (F )

3 2

,

3 2

kx px t dx kx dx px dx t dx

k x dx p x dx t dx

x x

k C p C t x C

x x

k p tx C

+ + = + + = + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟+ _⎜ + _⎟+ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = + + +

∫

donde C=kC1+pC2+tC3.

Módulo 2: Integral indefinida

Vea el módulo 2 del programa de televisión Elementos básicos de cálculo integral y series El ejército de Siracusa fue así capaz de destruir la armada de los invasores. Experimentalmente se ha demostrado que la leyenda es creíble, como probó en 1747 el conde de Bufón (Georges Louis Leclerc, 1707-1788, naturalista francés, autor de uno de los primeros tratados globales de historia de la biología y la geología no basados en la Biblia). Sin embargo, Siracusa cayó en manos romanas a causa de una traición y Arquímedes fue asesinado. El general romano Marcelo, a modo de desagravio, mandó erigir para Arquímedes una tumba sobre la cual se veía una esfera circunscrita por un cilindro que simbolizaba, de acuerdo con sus deseos, su teorema favorito sobre los volúmenes del cono, el cilindro y la esfera. Cuando Cicerón visitó Sicilia pudo ver todavía el monumento que se ha perdido para la historia.

(10)

b.

(

)

12 13 1 1

3 2

1 1

3 2

3 4

3 2

3

2 3 1

1

1 2 4

1 2

3

3 4 (3 4 )

3 4 (F y F )

3 4 (F )

1 1

2 3

2 3 3 4

2 3 .

w w dw w w dw

w dw w dw

w w

C C

w C w C

w w w w C

+ +

+ = +

= +

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= _⎢ + _⎥+ _⎢ + _⎥

⎢ ⎥

⎢ + ⎥ +

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + + +

= + +

∫

Como 3C1+4C2 es una constante arbitraria, la hemos denotado por C.

Al aplicar la F₃ para cada

∫

f x dx_i( ) aparece una constante C_i. Entonces podemos evaluar cada

∫

f x dx_i( ) sin escribir la constante C_i, pero al final escribimos C para indicar la suma de todas las constantes.

c. 53 23

5 2

3 3

8 1

3 3

2

2 4

3

4 5

1

( 2 )

2 3

3 .

5 4

x dx x x x dx x

x dx x dx x dx x

x x C

−

⎛ ⎞

+ = + +

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + +

= + + +

∫

(11)

3 Regla de sustitución o cambio de

variable

Contenidos del módulo

Objetivos del módulo

Preguntas básicas

Introducción

3.1 Teorema 1: Regla de sustitución o cambio de variable 3.2 Ejemplos ilustrativos del uso de la regla

1. Enunciar y demostrar la regla de sustitución y hacer notar que es uno de los métodos más importantes en el cálculo de integrales indefinidas.

2. Ilustrar con ejemplos el uso de la regla de sustitución.

1. En el módulo 2 se calculó la integral

2 2

3

1

x dx x

⎛ ₊ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫

desarrollando el binomio al cuadrado y usando las fórmulas del teorema 1. ¿Cómo se podría evaluar la integral

∫

(

5x+3

)

40⋅dx?

Las primeras fórmulas de integración en el teorema del módulo anterior permiten evaluar o calcular la integral indefinida de un número muy limitado de funciones.

Supongamos ahora que deseamos determinar la integral indefinida ₃_x2 _x3₊₁_dx_.

∫

En este caso ninguna de las fórmulas de integración nos permite calcular en forma directa la primitiva de 2 3

( ) 3 1,

f x = x x + aunque sabemos que dicha primitiva existe. Daremos una regla llamada integración por sustitución o integración por cambio de variable, por medio de la cual podemos evaluar muchas integrales inde-finidas que no pueden calcularse en forma directa.

Jacques (Jacob) Bernoulli

Jacques Bernoulli nació el 27 de diciembre de 1654 en Basilea, Suiza, y falleció el 16 de agosto de 1705 en la misma ciudad. Jacob era hermano de Johann (o Jean) Bernoulli y tío de Daniel Bernoulli, otros dos matemáticos de renombre que hicieron aportes importantes al primitivo desarrollo del cálculo. Obtuvo el grado de teología en Basilea en el año 1676 y recibió enseñanzas en matemáticas y astronomía contra los deseos de sus padres.

En los años 1676 y 1682 Jacques Bernoulli viajó a lo largo de Francia, Inglaterra y los países nórdicos, y luego se reunió en Inglaterra con Robert Boyle (uno de los fundadores de la química moderna) y Robert Hooke (conocido por su estudio de la elasticidad). Después retornó a Suiza y enseñó mecánica y matemáticas en la Universidad de Basilea.

En una disputa matemática con su hermano Johann inventó el cálculo de las variaciones. También trabajó en la teoría de la probabilidad. La «distribución de Bernoulli», la «ecuación diferencial de Bernoulli» y los «números de Bernoulli» fueron deno-minados así en su honor. Muchas de sus publicaciones fueron sobre series finitas.

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3.1 Teorema 1: Regla de sustitución o cambio de variable

Sea u = g(x) una función diferenciable cuyo rango es un intervalo I, y sea f una función definida en I y F una primitiva de f en I. Entonces:

( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) .

f g x g x dx′ = f u du=F u + =C F g x +C

∫

Demostración

Puesto que u = g(x), y como el rango de g es I, se concluye entonces que u está en

I. Como F es una primitiva de f en I, se tiene que F x′( )= f x( ) para todo x en I. En particular, F u′( )= f u( ) ó d F u( ) f u( ).

du = (1)

De aquí se tiene que

∫

f u du( ) =F u( )+C. (2)

Ahora, F g x( ( ))=F u( ), y derivando en ambos miembros con respecto a x se tiene:

( ( )) ( )

( ) · (regla de la cadena)

( ) · (sustituyendo la ecuación (1)) ( ( )) ( ).

d d

F g x F u dx dx

d du F u du dx

du f u

dx f g x g x

=

′ =

De esta última igualdad se sigue que F(g(x)) es una primitiva de f g x g x( ( )) ( ),′ y por tanto

∫

f g x g x dx( ( )) ′( ) =F g x( ( ))+C, (3) y como u = g(x),

( ( )) ( ) ( ) .

f g x g x dx′ =F u +C

∫

(4)

De la igualdad entre (2) y (4) resultan las dos primeras igualdades del teorema. La última igualdad se obtiene de comparar (3) y (4).

Observación

La regla de sustitución es uno de los métodos más importantes del cálculo de

integrales indefinidas. Inclusive, cuando se utiliza cualquier otro método por lo general en los pasos intermedios recurrimos a la regla de sustitución.

cantero cometió un lapsus y en lugar de la espiral logarítmica dibujó en la tumba una espiral de Arquímedes. En su epitafio se lee:

«Amado por su familia: Jacob Bernoulli, el incomparable matemático, más de dieciocho años profesor de la Universidad de Basilea, miembro de las Reales Academias de París y Berlín, famoso por sus escritos, por una enfermedad crónica, completamente lúcido hasta su muerte, en el año de gracia de 1705, el 16 de agosto, a la edad de 50 años y 6 meses, falleció esperando la resurrección. Judith Stupan, su mujer durante veinte años, ha erigido un monumento junto con sus dos hijos al marido y padre que tanto echan de menos».

Pero la historia de la espiral tiene más para decir, porque un antiguo conocido, miembro de una familia de genios irrepetible, se maravilló tanto con esta curva que la llamó «espiral maravillosa». Y no es para menos, si tenemos en cuenta algunas de las cosas que consiguió con la curva. Veamos:

1. La expresó en polares mediante el logaritmo

1 log ,r k c = θ

donde c y k son constantes y θ es el ángulo de giro (lo cual justifica su otro nombre de «espiral logarítmica»).

2. También verificó que mientras que el ángulo de giro aumenta en progresión aritmética, el radio correspondiente lo hace en progresión geométrica. Dicho de otra manera: la separación de las espiras aumenta al crecer el ángulo.

(13)

3.2 Ejemplos ilustrativos del uso de la regla

Los ejemplos siguientes ilustran el uso de la regla conjuntamente con las fórmulas de integración presentadas en el módulo anterior.

Ejemplo 1

Sea g(x) una función diferenciable. Demuestre que:

[

( )

]

( )

[

( )

]

1 , 1,

1

n

n g x

g x g x dx C n n n

+

′ = + ≠ −

+

∫

real.

Solución

Sea u = g(x); entonces, du=g x dx′( ) . Por tanto,

[

]

[

]

1 4 1

( ) ( ) ; 1

(por F ) 1 ( ) . 1 n n n n

g x g x dx u du n u C n g x C n + + ′ = ≠ − = + + = + +

∫

Ejemplo 2

Calcule las siguientes integrales indefinidas:

a. 2 3 1 x dx x +

∫

; b.

∫

t−1t dt2 ; c. 1 xdx.

x

+

∫

Solución

a. Sea u=x3+1; entonces, du=3x dx2 , de donde 2 1 .

3

x dx= du

Luego 1 1 2 2 2 3 1 2 , 3 3 3 1

x dx du

u du u C

u x − = = = + +

∫

y como 3

1,

u=x + se tiene finalmente

1 2 2 3 3 2

( 1) .

3 1 x dx x C x = + + +

∫

b. Sea u= −t 1. (1)

Entonces, du=dt y 2 2

.

t dt=t du (2)

De (1) se tiene que t= +u 1, y sustituyendo en el segundo miembro de (2) obtenemos: _{t dt}2 ₌₍_u₊₁₎2_du_.

Módulo 3: Regla de sustitución o cambio de variable

Vea el módulo 3 del programa de televisión Elementos básicos de cálculo integral y series «El cálculo es así una puerta abierta milagrosamente; aún las teorías físicas más complejas y profundas llevan un rastro de sus más simples ecuaciones diferenciales y una huella de su arquitectura global».

(14)

Luego

5 3 1

2 2 2

7 5 3

2 2 2

7 5 3

2 2 2

2 2

1 ( 1)

( 2 )

2 4 2

7 5 3

2 4 2

( 1) ( 1) ( 1) .

7 5 3

t t dt u u du

u u u du

u u u C

t t t C

− = +

= + +

= + + +

= − + − + − +

∫

Otra manera de calcular la integral anterior es haciendo la sustitución 2

1

u = −t y 2 2 2

2 ( 1) .

t dt= u u + du Verifique la solución.

c. Sea u= +1 x; entonces, , 2

dx du

x

= de donde dx=2 x du.

Luego

3 2

3

1 4

· 2 3 4

(1 )

3 4

(1 ) .

3

x

dx u du u C x

x C x C

+

= = +

= + +

∫

(15)

4 Algunas aplicaciones de la integral

indefinida

Contenidos del módulo

Objetivos del módulo

Preguntas básicas

Introducción

4.1 Algunas aplicaciones de la integral indefinida

4.1.1 Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales de primer orden 4.1.2 Aplicaciones a la física: movimiento rectilíneo

1. Usar el método directo para resolver algunas ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.

2. Usar el supuesto de que los cuerpos en caída libre sólo están bajo la acción de la gravedad y de esta manera usar la integral indefinida para determinar la ecuación de movimiento del objeto en cualquier tiempo t.

1. Demuestre que si f′ =cf para algún número x, entonces _{f x}( )= ⋅_{k e}c x⋅ _para algún número k.

2. La ley del enfriamiento de Newton afirma que un objeto se enfría en razón proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura ambiente. Demuestre que la temperatura T (t) del objeto en el tiempo t, en términos de su temperatura T0 en el tiempo 0, y suponiendo que la temperatura ambiente A permanece tante, viene dada por la fórmula ( ) 0 ,

c t

T t = + ⋅A T e⋅ en donde c es la constante de

proporcionalidad.

En el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias a veces puede ser muy difícil resolver una ecuación diferencial de primer orden, ya que no existe un método general que pueda usarse en todos los casos. En este módulo ilustraremos con algunos ejemplos sencillos el método directo de solución, dejando el tratamiento completo para el curso de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Igualmente, en las aplicaciones a la física supondremos que los objetos de estudio están bajo la acción de la gravedad, y por medio de integraciones podemos conocer la ecuación de movimiento del objeto y así responder preguntas relativas al movi-miento.

Oliver Heaviside

El físico inglés Oliver Heaviside nació en Londres en 1850 y murió en Torquay en 1925. Carente de formación universitaria, Heaviside comenzó en el mundo laboral trabajando como operador de telégrafos, hasta que la sordera le obligó a abandonar su empleo. Nunca alcanzó puesto aca-démico alguno pese a haber recibido nume-rosos honores y murió en la pobreza.

Heaviside solía trabajar sin colaboradores y en soledad logró desarrollar gran parte de los fundamentos matemáticos que sustentan la teoría de la telegrafía y de los circuitos eléctricos, formulando los ahora familiares conceptos de impedancia, autoinductancia y conductancia, y empleó los números complejos en el análisis de las redes de corrientes alternas varios años antes de que otros lo hicieran. También mostró cómo procede la transmisión de señales auditivas a lo largo de cables y sin sufrir distorsiones, proponiendo un método consistente en utilizar una única línea telefónica para canalizar diversas con-versaciones simultáneamente (sistema multiplex).

(16)

4.1 Algunas aplicaciones de la integral indefinida

4.1.1 Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales de primer orden

A la ecuación dy f x( )

dx = o al diferencial dy= f x dx( ) se le llama ecuación

dife-rencial de primer orden.

Resolver una ecuación diferencial es encontrar todas las funciones y=G x( ) que satisfagan la ecuación diferencial.

Si y = F(x) es una primitiva de f (x), también lo es F(x) + C.

Entonces podemos decir que todas las funciones que satisfacen la ecuación dife-rencial dy f x( ),

dx= cuando F es la primitiva de f, son de la forma:

y = F(x) + C. (1)

Esta ecuación se llama solución general de la ecuación diferencial.

En los problemas que incluyen ecuaciones diferenciales frecuentemente se desea encontrar soluciones particulares y para ello se dan unas condiciones llamadas

condiciones iniciales o condiciones de frontera.

Así por ejemplo, resolver la ecuación dy 2x 1,

dx= + tal que y = 3 cuando x = 1,

consiste en hallar la solución general y emplear luego la condición inicial para encontrar el valor particular de C,obteniéndose así la solución particular que satis-face la condición dada.

Para la ecuación del ejemplo anterior se puede verificar que _y=_x2+ +_x _C es la solución general. Como y = 3 cuando x = 1, resulta entonces que y = x2₊_{x +}_{1 es una}

solución particular.

Gráficamente, la solución general 2

y=x + +x C representa una familia de parábo-las, una por cada valor de C (figura 4.1).

La solución particular y = x2₊_{x +}_{1 es una parábola abierta hacia arriba y cuyo}

vértice es el punto 1 3,

2 4

⎛₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠.

y premio Nobel Edgard Victor Appleton.

(17)

Figura 4.1

Ejemplo 1

Sea la ecuación diferencial dy 2 .x

dx= − (1)

a. Halle la solución general.

b. Halle la solución particular si y = 1 cuando x = 2. Solución

a. De (1) tenemos que dy= −2x dx, y si integramos en ambos lados de esta última ecuación obtenemos:

2

1 2

2

2 1

( 2 ) ,

,

( ).

dy x dx

y C x C

y x C C

= − + = − + = − + −

∫

Sea k=C2−C1; entonces,

2 _,

y= − +x k (2), es la solución general de (1).

b. Si se sustituyen las condiciones iniciales en (2) se obtiene 1= − +4 k, de donde k = 5.

Por tanto la solución particular a la ecuación diferencial es 2

5.

y= − +x

La solución general es una familia de parábolas y una solución particular es la parábola que pasa por el punto (2, 1) (figura 4.2).

Módulo 4: Algunas aplicaciones de la integral indefinida

Vea el módulo 4 del programa de televisión Elementos básicos de cálculo integral y series «Arquímedes, uno de los más impor-tantes de todos los matemáticos, fue el hombre práctico de sentido común, el Newton de su época, que poseía la habilidad imaginativa y la perspicacia para tratar la geometría y la mecánica, y que incluso inventó el cálculo integral».

(18)

Figura 4.2

Ejemplo 2

Encuentre la solución general a la ecuación diferencial 2

2 2 3.

d y x

dx = + (1)

Solución

A pesar de que esta ecuación no presenta la forma de una ecuación diferencial de primer orden, puede ser transformada a una ecuación de dicha forma de la siguiente manera:

Sea u dy dx

= ; entonces 2

2.

du d y dx= dx

Luego la ecuación (1) queda como sigue:

2 3,

du x dx= +

de donde du=(2x+3)dx.

Por tanto,

(2 3) .

du= x+ dx

∫

Y resolviendo las integrales obtenemos:

( )

2

3 ,

u x =x + x+k Es decir,

2

3

dy

u x x k dx

= = + + o _dy₌₍_x2₊₃_x₊_{k dx}₎ _.

(19)

Entonces

2

( 3 ) ,

dy= x + x+k dx

∫

y resolviendo las integrales obtenemos finalmente:

3 2

3

,

3 2

x x

y= + + +kx C

que es la solución general a la ecuación diferencial (1). Observaciones

La ecuación diferencial del ejemplo anterior se llama ecuación diferencial de se-gundo orden.

Para obtener la solución general fue necesario efectuar dos operaciones de integra-ción, de ahí que aparezcan dos constantes arbitrarias. Si se quiere obtener una solución particular es necesario dar dos condiciones iniciales.

Ejemplo 3

En cualquier punto (x, y) de una curva se verifica que 2

2 2 1 ,

d y x

dx = − y la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1, 1) es y= −2 x. Encuentre la ecuación de la curva.

Solución

Debemos buscar una solución a la ecuación diferencial 2

2 2 1

d y x

dx = − con las si-guientes condiciones iniciales:

a. y = 1 cuando x = 1.

b. dy 1

dx= − cuando x = 1 (puesto que la pendiente de y= −2 x es –1).

Sea u dy;

dx

= entonces,

2 2

du d y

dx = dx . Luego

2

1 ,

du x dx= −

de donde 2

(1 ) .

du= −x dx

En consecuencia,

2

(1 ) ,

du= −x dx

∫

(20)

y por tanto,

3

( ) .

3

x

u x = −x +C (1)

Si reemplazamos u por dy

dx obtenemos:

3

, 3

dy x

u x C

dx

= = − +

de donde

3

. 3

x

dy=⎛_⎜x− +C dx⎞_⎟

⎝ ⎠

Entonces

3

, 3

x

dy= ⎛_⎜x− +C dx⎞_⎟

⎝ ⎠

∫

y por tanto,

2 4

. 2 12

x x

y= − +Cx+k (2)

La ecuación (2) es la solución general. Para conocer los valores de C y k utilizamos las condiciones iniciales.

Utilizando las condiciones iniciales b en (1) obtenemos:

1

1 1 ,

3 C

− = − + de donde 5.

3

C= −

Utilizando el valor de C y las condiciones iniciales a en (2) obtenemos:

1 1 5

1 1 ,

2 12 3 k

⎛ ⎞ = − + −_⎜ _⎟ +

⎝ ⎠ de donde

9 4

k= _.

Entonces la ecuación de la curva que pasa por (1, 1) y cuya recta tangente tiene pendiente –1 en dicho punto es

2 4

5 9

2 12 3 4

x x

y= − − x+ .

4.1.2 Aplicaciones a la física: movimiento rectilíneo

En el módulo 20 del texto Elementos básicos de cálculo diferencial vimos que cuando la ecuación de movimiento de un móvil está dada por s= f t( ), la velocidad instantánea está dada por v ds f t( ),

dt ′

= = y la aceleración instantánea por

2

( ).

d s dv a= = = f′′t

(21)

Teniendo en cuenta aquel desarrollo, veamos ahora que es posible encontrar la ecuación de movimiento de un móvil dada la velocidad o la aceleración.

Ejemplo 1

Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de 20 m/s (figura 4.3). ¿Cuánto tiempo tardará la piedra en llegar al suelo y con qué velocidad llegará? ¿Durante cuánto tiempo estará subiendo la piedra y qué tan alto llegará? (utilice como aceleración de la gravedad _g=_{10 m/s}2

). Solución

Sean s: la posición de la piedra al cabo de t segundos.

v: la velocidad de la piedra en t segundos.

:

a= −g _{la aceleración de la gravedad, que consideramos constante.}

Figura 4.3

Condiciones iniciales: v=20 m/s cuando t = 0; s = 0 cuando t = 0.

Para simplificar la escritura prescindiremos inicialmente de las unidades y al final las retomaremos.

Como dv 10,

dt = − se tiene que

10 .

dv= − dt Por tanto,

∫

dv= −

∫

10dt, luego

10

v= − t+C.

Si v = 20 cuando t = 0, entonces 20= −10(0)+C, de donde C = 20.

Por tanto, se tiene que la velocidad en cualquier instante es v= −10t+20. (1)

Pero v ds,

dt

= y en consecuencia ds 10t 20,

dt = − +

(22)

de donde

( 10 20) ,

ds t dt

= − + = − +

∫

y por tanto 2

1

5 20

s= − t + t+C .

Como s = 0 cuando t = 0, se deduce que C₁ = 0. Es decir, la ecuación de movimiento en cualquier instante t es s= −5t2+20 .t (2)

De acuerdo con las ecuaciones (1) y (2) podemos obtener los resultados pedidos.

Tiempo para llegar al suelo y velocidad con que llegará: Hacemos s = 0 en la ecuación (2). Entonces, 2

0= −5t +20 ,t de donde t = 0 ó

t = 4 s.

Es decir, t = 0 es en el momento de iniciarse el movimiento y t = 4 s es el tiempo que demora la piedra en caer al suelo.

Si en (1) reemplazamos t = 4 s, obtenemos la velocidad con que la piedra llega al suelo. Es decir,

10(4) 20 20,

v= − + = − esto es, v= −20 m/s.

Tiempo durante el cual está subiendo la piedra y máxima altura alcanzada:

Hacemos v = 0 en la ecuación (1). Entonces, 0= −10t+20, de donde t = 2 s, y si este valor de t lo reemplazamos en (2) obtenemos la altura máxima alcan-zada por la piedra, es decir,

2

5(2) 20(2) 20 m.

(23)

Módulos 1 al 4

En los ejercicios 1 a 8 se dan las funciones f y F. Compruebe, usando derivación, que F x( ) es la primitiva más general de f x( ). ¿Qué fórmula de integración puede deducirse en cada caso?

1.

2 3

( ) = ; 1

x f x

x

+

3

1

( ) = ln (1 ) . 3

F x +x +C

2. f x( )=ln ;x F x( )=xlnx− +x C.

3. _{f x}_{( )}=_x3_{ln ;}_x _{( )} 1 4_ln 1 4 _.

4 16

F x = x x− x +C

4. f x( )=arctan ;x _{F x}_{( )}_{= ⋅}_x _arctan_x₋_{ln 1}₊_x2 ₊_C_.

5. 2

1

( ) ;

4

x

f x e

= +

2

1 1

( ) ln ( 4) .

4 8

x

F x = x− e + +C

6. 2

( ) x;

f x =x e− F x( )= −e−x(x2+2x+ +2) C.

7. 2

( ) sen 2 ;

f x = x ( ) 1 1sen 4 .

2 8

F x = x− x+C

8. 3

( )f x =(x+3)e−x; ( ) 1(3 10) 3 .

9

x

F x = − x+ e− +C

En los ejercicios 9 a 13 encuentre la primitiva más general para la función dada.

9. _{f x}_{( )}= ₃_x2+₄_x+_5.

10. 2 3

1 3

( ) .

f t

t t

= +

11. 3 2

( ) 1 .

g x = + −x x + x

12. 2 2

2

( ) .

( 1)

x h x

x

= +

13. 1 2

( ) ( 1) .

f x = +x

(24)

14. Calcule las siguientes integrales indefinidas:

a.

∫

x dx5 . b.

∫

(x+ x) 2 dx.

c. 2

1 4

2 .dx x x x

⎛ ₊ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∫

d. 3 2 ( 1) . x dx x +

∫

e. _{x x}2+_{1 .}_dx

∫

f. 2 3 . 1 t dt t +

∫

g.

∫

w5 w3+1 .dw h.

1 3 4 3 2 ( 2) . r dr r +

∫

i.

∫

x33 8− x dx2 . j.

∫

(x+1) (x2+2x+8) dx.

k.

2 3 2

( 2)

.

6 12 4

x

dx

x x x

+ + + +

∫

l. sen x dx.

x

∫

m.

∫

x⋅cos (cos ) sen .x2 ⋅ x dx2 n.

∫

x⋅sen (11x2−10) .dx

o.

∫

_ex_⋅sen (4_ex₊2) ._dx

p.

∫

_e3x_⋅cos ._e3x _dx q. 4 tan 2 .

cos

x dx

e

x

⋅

∫

r. _{4 sen}₊ 2_x_⋅_{sen cos .}_x _{x dx}

∫

s. 2 2 sen 4 . 4 x x dx x + +

∫

t.

∫

x x2( 3+5)8⋅cos [(x3+5) ] 9 dx.

u.

∫

xcos (x2+4) sen (x2+4) .dx v.

∫

t 1+t t dt.

w.

2

cos (ln 4 ) . x dx x

∫

x. 2 3 3 2

cos ( 2) . [sen ( 2)]

t t dt t ⋅ − −

∫

15. Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.

a. dy 3x3 2x 5.

dx= + − b.

2

(2 3) .

dy x dx = +

c. dy x y.

dx= d.

2

3 .

dy xy dx=

En los ejercicios 16 a 19 halle la solución particular de las ecuaciones diferenciales dadas teniendo en cuenta las condiciones iniciales.

16. dy x x2 1, si y 3 cuando x 0.

(25)

17.

4

, si 2 cuando 4.

dy dx

y x

y = x = − =

18.

2

2 4(1 ) , si 2 y 1 cuando 1.

d y

x y y x

dx = − = ′= − = −

19.

2

2 1 , si 1 y 1 cuando 1.

d y

x y y x

dx = − = ′= − =

20. ¿Puede existir una curva que satisface las siguientes condiciones: cuando x=0, entonces y 0 y dy 1

dx

= = y

2 2 0

d y

dx = para todo x?

21. Encuentre la ecuación de la curva que pasa por el punto (1, 1) y cuya pendiente en el punto (x, y) es 3x2+2. 22. Encuentre la ecuación de la curva que pasa por los puntos (0, 3) y (1, 5) y satisface la ecuación diferencial

2

2 3 .

d y

x x

dx = +

23. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 10 m/s. ¿Cuánto tiempo le tomará llegar al suelo y con qué velocidad caerá? ¿Durante cuánto tiempo estará subiendo y qué tan alto llegará? (utilice

como gravedad g =10 m / s ).2

24. Un hombre en un globo deja caer un zapato cuando se encuentra a 100 m de altura y está subiendo a razón de 10 m/s. ¿Cuánto tiempo tardará el zapato en llegar al suelo y con qué rapidez llegará? ¿Cuál es la distancia recorrida por el zapato antes de caer?

25. Si los frenos de un carro pueden darle una aceleración negativa constante de 30 m/s, ¿cuál es la velocidad máxima a la que puede ir si es necesario parar el carro dentro de 90 m después de aplicados los frenos?

En los ejercicios 26 a 29 halle la ecuación de una partícula que se mueve en línea recta y en donde a v s, , y tson la aceleración, velocidad, espacio y tiempo, respectivamente.

26. a= +2 3 , t s=1 y v=1 cuando t=0.

27. a=100,s=1 y v=1 cuando t=0.

28. a=2s+1 y v=2 cuando s=1.

29. _a=₃_t2−_{t v}_, =_{1 y} _s=_{2 cuando}_t=_1.