FLUJO DE LÍNEAS DE CAMPO Y TEOREMA DE GAUSS:
Cuando se tienen campos eléctricos creados por cargas que no son puntuales no se puede calcular su valor mediante las ecuaciones que hemos estudiado, porque sólo son válidas para cargas puntuales.
Para calcularlos, hace falta definir una nueva magnitud, el flujo del campo eléctrico, que permite calcular el campo eléctrico usando el Teorema de Gauss.
Flujo del campo eléctrico.
Def: es el número de líneas de campo eléctrico que atraviesan una superficie.
⃗
Teorema de Gauss.
El flujo neto (total) que atraviesa una superficie cerrada cualquiera es igual a la suma de las cargas eléctricas encerradas en su interior dividida por .
Aplicaciones del Teorema de Gauss.
Para calcular el campo eléctrico de cargas que no son puntuales:
1- Elegimos una superficie cerrada alrededor de las cargas. 2- Calculamos el flujo total.
3- Aplicamos el Teorema de Gauss. 4- Despejamos el campo eléctrico.
Campo eléctrico creado por una esfera cargada.
Se tiene una esfera cargada con carga y se quiere calcular el campo eléctrico a una distancia r.
Se elige una superficie simétrica con respecto a la carga, es decir, otra esfera más grande que pase por el punto a la distancia r.
Se calcula el flujo eléctrico total que atraviesa esa superficie:
( ⃗ )
Como hay que sumar los flujos en cada una de las superficies que componen la esfera y estas superficies son muy pequeñas, en lugar de un sumatorio ( se calcula con una integral:
∫ ⃗
Como ⃗⃗ y ⃗⃗ son siempre paralelos para todas las superficies pequeñas en las que tenemos que calcular el flujo, entonces el producto escalar es el producto de los módulos (porque el coseno vale uno).
∫ ⃗ ∫ ∫
todas las superficies, se puede sacar factor común el campo eléctrico y dejarlo fuera de la integral.
∫ ∫
La integral de dS es la suma de todas las superficies pequeñas que forman la esfera grande. Esa suma es igual a la superficie total de la esfera .
∫
Una vez que hemos calculado el flujo total, aplicamos el Teorema de Gauss:
La carga total encerrada dentro de la superficie grande es , la carga que tiene la esfera pequeña:
Despejamos , obteniendo la expresión del campo eléctrico creado por una esfera cargada a una distancia r.
ESFERA CARGADA (resumen):
El campo eléctrico de una esfera cargada se calcula de manera indirecta usando el Teorema de Gauss, porque la carga no es puntual. Envolvemos la carga con una superficie cerrada, calculamos el flujo neto y lo igualamos a la carga encerrada dentro entre .
( ⃗ ) ∫ ⃗ ∫ ∫ ∫
Sumamos los
flujos en todas las superficies pequeñas que componen la esfera grande. Como las superficies son muy pequeñas, integramos en lugar de sumar.
Como E y dS son paralelos en todas las superficies, el ángulo que forman es cero y su producto escalar es el producto de los módulos.
Como todas las superficies pequeñas están a distancia r, el campo eléctrico E vale lo mismo en todas y se puede sacar factor común.
La integral de todas las superficies pequeñas es la superficie total de la esfera grande.
Por el Teorema de Gauss.
Campo eléctrico creado por un hilo cargado infinito.
Se tiene una hilo cargado y se quiere calcular el campo eléctrico a una distancia r.
Se elige una superficie simétrica con respecto a la carga, es decir, un cilindro cuyo eje coincida con el hilo, y tenga de radio de la base la distancia a la que queremos calcular el campo eléctrico.
Se calcula el flujo eléctrico total que atraviesa esa superficie:
( ⃗ )
Hay que sumar los flujos en cada una de las tres superficies que componen el cilindro.
Como el hilo es infinito, el campo eléctrico en cualquier punto es perpendicular al hilo. Luego el flujo en las caras superior e inferior es cero porque ninguna línea de campo las atraviesa:
Se calcula el flujo eléctrico total que atraviesa la cara lateral:
( ⃗ )
Como hay que sumar los flujos en cada una de las superficies que componen esa cara y estas superficies son muy pequeñas, en lugar de un sumatorio ( se calcula con una integral:
∫ ⃗
Como ⃗⃗ y ⃗⃗ son siempre paralelos para todas las superficies pequeñas en las que tenemos que calcular el flujo, entonces el producto escalar es el producto de los módulos (porque el coseno vale uno).
∫ ⃗ ∫ ∫
todas las superficies, se puede sacar factor común el campo eléctrico y dejarlo fuera de la integral.
∫ ∫
La integral de dS es la suma de todas las superficies pequeñas que forman la cara lateral del cilindro, igual a la superficie total de esa cara
.
∫
Una vez que hemos calculado el flujo total, aplicamos el Teorema de Gauss:
La carga total encerrada dentro del cilindro es :
Despejamos , obteniendo la expresión del campo eléctrico creado por una esfera cargada a una distancia r.
La forma de medir la carga del hilo infinito es a través de la densidad longitudinal de carga:
Sustituyendo en la expresión anterior, nos queda un campo eléctrico que depende del inverso de la distancia a la que lo calculamos:
PLANO CARGADO (resumen):
El campo eléctrico de un hilo cargado se calcula de manera indirecta usando el Teorema de Gauss, porque la carga no es puntual. Envolvemos la carga con una superficie cerrada, calculamos el flujo neto y lo igualamos a la carga encerrada dentro entre .
( ⃗ ) ∫ ⃗ ∫ ∫ ∫ Sumamos los
flujos de las tres caras.
Los flujos en las caras superior e inferior son cero porque ninguna línea los atraviesa.
Como todas las superficies pequeñas están a distancia r, el campo eléctrico E vale lo mismo en todas y se puede sacar factor común.
La integral de todas las superficies pequeñas es la superficie total de la cara lateral.
Por el Teorema de Gauss.
Porque la carga encerrada dentro de la superficie es q. Sumamos los
flujos en todas las superficies pequeñas que componen la cara superior. Como las superficies son muy pequeñas, integramos en lugar de sumar.
La forma de medir la carga en el plano es mediante la densidad superficial de carga:
Campo eléctrico creado por un plano cargado infinito.
Se tiene una plano cargado y se quiere calcular el campo eléctrico a una distancia r.
Se elige una superficie simétrica con respecto a la carga, es decir, un cubo que pase por el punto a la distancia r.
Se calcula el flujo eléctrico total que atraviesa esa superficie:
( ⃗ )
Hay que sumar los flujos en cada una de las seis superficies que componen el cubo.
Como el plano es infinito, el campo eléctrico en cualquier punto es perpendicular a la superficie. Luego el flujo en las caras laterales es cero porque ninguna línea de campo las atraviesa:
En las caras superior e inferior el flujo vale lo mismo, porque están a la misma distancia, y el ángulo que forman el campo eléctrico y el vector superficie es cero en las dos caras (en la cara de arriba el campo y la superficie van hacia arriba, y en la cara de abajo van los dos hacia abajo).
Se calcula el flujo eléctrico total que atraviesa una cara, por ejemplo, la superior:
( ⃗ )
Como hay que sumar los flujos en cada una de las superficies que componen esa cara y estas superficies son muy pequeñas, en lugar de un sumatorio ( se calcula con una integral:
Como ⃗⃗ y ⃗⃗ son siempre paralelos para todas las superficies pequeñas en las que tenemos que calcular el flujo, entonces el producto escalar es el producto de los módulos (porque el coseno vale uno).
∫ ⃗ ∫ ∫
Como todas las superficies en las que calculamos el flujo están a la misma distancia, el campo eléctrico vale lo mismo en todas. Como estamos haciendo la suma de los flujos en todas las superficies, se puede sacar factor común el campo eléctrico y dejarlo fuera de la integral.
∫ ∫
La integral de dS es la suma de todas las superficies pequeñas que forman la cara superior del cubo, igual a la superficie total de esa cara .
∫
Una vez que hemos calculado el flujo total, aplicamos el Teorema de Gauss:
La carga total encerrada dentro del cubo es :
Despejamos , obteniendo la expresión del campo eléctrico creado por una esfera cargada a una distancia r.
La forma de medir la carga del plano infinito es a través de la densidad superficial de carga:
Sustituyendo en la expresión anterior, nos queda un campo eléctrico que no depende de la distancia a la que lo calculamos (campo eléctrico uniforme):
PLANO CARGADO (resumen):
El campo eléctrico de un plano cargado se calcula de manera indirecta usando el Teorema de Gauss, porque la carga no es puntual. Envolvemos la carga con una superficie cerrada, calculamos el flujo neto y lo igualamos a la carga encerrada dentro entre .
( ⃗ ) ∫ ⃗ ∫ ∫ ∫ Sumamos los
flujos de las seis caras.
Los flujos en las caras laterales son cero porque ninguna línea los atraviesa.
Los flujos en las caras superior e inferior son iguales porque están a la misma distancia del plano y porque E y dS son paralelos en ambas caras.
Como todas las superficies pequeñas están a distancia r, el campo eléctrico E vale lo mismo en todas y se puede sacar factor común.
La integral de todas las superficies pequeñas es la superficie total de la cara superior.
Por el Teorema de Gauss.
Porque la carga encerrada dentro de la superficie es q. Sumamos los
flujos en todas las superficies pequeñas que componen la cara superior. Como las superficies son muy pequeñas, integramos en lugar de sumar.
La forma de medir la carga en el plano es mediante la densidad superficial de carga: