Capitulo 7 I ESTRUCTURAS RETICULADAS

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(1)

ESTRUCTURAS RETICULADAS

Prof. Carlos Navarro

(2)

A

B

A’’

B’’

A’

B’’

Directriz sin

deformar

Directriz

deformada

A

B

A’’

B’’

A’

B’’

Directriz sin

deformar

Directriz

deformada

En el cálculo estructuras reticuladas suele despreciarse las

deformaciones inducidas por los esfuerzos axiles y cortantes.

Despreciar el primer tipo de esfuerzo equivale a decir que las

barras de la estructura ni se acortan ni se alargan

.

(3)
(4)
(5)

CONCEPTO DE ESTRUCTURA INTRASLACIONAL

A

B C

D A

B C

D A

B C

D P

δ δ

(6)

A

B C

D P

P

A

B C

A

(7)

CALCULO DE ESTRUCTURAS INTRASLACIONALES

a) VIGAS CONTINUAS

P

q M’

M

RA RB R

C RD RE

A

B C

E F

G

(8)
(9)
(10)
(11)

A P B1 M1 C1 M1 B2 M2 C2 E1 G

M2 M’ M3

F M4 E2 P q M’ M

RA RB R

C RD RE

A

B C

E F

G

Incógnitas:

M

1

,

M

2

,

M

3

y

M

4

(12)

M

3

M

4

M

0

3

4

=

+

M

M

M

Viga

M

M

3

M

4

(13)

2 1 2 1 2 1

E

E

E

C

C

C

B

B

B

A

A

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

+

=

+

=

+

=

=

P q M’ M

RA RB R

C RD RE

A

B C

E F

G

A P B1 M1

C1 M1 B2 M2 C2 E1 G

M2 M’ M3

F M4

(14)

B

1

A

M

P

B

2

C

M

)

(

)

(

2

1

antihoario

B

antihoario

B

θ

θ

=

l

EI

b

l

Pab

EI

Ml

o

antihorari

EI

Ml

EI

ql

o

antihorari

B

B

6

)

(

3

)

(

3

24

)

(

2 1

3

+

=

=

θ

θ

2

2

4

)

(

16

l

b

l

Pab

ql

M

=

+

+

A B C

q

l l

a b

(15)

B1

A A B1 M

ql/2 ql/2 M/l

M/l

P

B2 C M B2 C

Pb/l Pa/l

M/l M/l

l

M

l

Pa

R

l

M

l

Pb

l

M

ql

R

l

M

ql

R

C

B

A

↑=

+

+

+

↑=

↑=

(16)

b) SEMIPÓRTICOS

A B C M 2l l A

B2 C

M2 M1 B1 B M2 M1 M

( )

( )

EI

l

M

horario

EI

l

M

l

EI

l

M

horario

horario

horario

B

B

B

B

3

)

(

2

2

4

2

)

(

)

(

)

(

1

2

2

2

2 1 2 1

=

=

=

=

θ

θ

θ

θ

2 1

M

M

M

=

+

M

M

M

M

5

3

5

2

1

(17)

c) PÓRTICOS

l B A D q l

EI

Ml

EI

Ml

EI

ql

horario

EI

Ml

horario

horario

horario

B B B B

6

3

24

)

(

3

)

(

)

(

)

(

3 2 1 2 1

=

=

=

θ

θ

θ

θ

20

2

ql

M

=

20

2

ql

X

ql

Y

A

=

A

=

M

B2 C

(18)

B

A

D

C

ql

2

/20

B

A

D

C

ql/20

ql/2

ql/2

ql/20

ql/2

(19)

ESTRUCTURAS INTRASLACIONALES CON ROTULAS

P=20 kN

2 m 1 m 1 m

A B C D

L L L

P M = P·L

A B C D

6 m 2 m 3 m 3 m 2 m 2 m 2 m 1 m 20 kN/m 30 kN

50kN.m

10 kN A

B C M D

E G F

6 m 2 m 3 m 3 m 2 m 2 m 2 m 1 m 20 kN/m 30 kN

50kN.m

10 kN A

B C M D

E G F

L

L/4 3L/4

A B

C D

M E L/8

L

L/4 3L/4

A B

C D

(20)

Q

Q

P

Q

1

Q

2

P

Barra 1

Barra 2

(21)

P

P

d

M=Pd

M

A

B

B A

(22)

2 m L=1 m L=1 m

A B C1 Q1 Q2 C2 D

Q1 Q2

P

P=20 kN

2 m 1 m 1 m

A B C D

Incógnitas:

1 reacción vertical en A

1 reacción vertical en B

1 reacción vertical en D

1 momento en el

empotramiento D

4

Ecuaciones de la estática:

(1) Suma de fuerzas verticales nula

(1) Suma de momentos

en un punto igual a cero

(1) Momentos en la rótula de una

de las partes Igual a cero

3

PROBLEMA HIPERESTÁTICO DE GRADO 1

(23)

P

M=PL

Q

Q Q

Q

A B C1 C

2 D

P

M=PL

Q

Q Q

Q

A B C1 C

2 D

L L L

P M = P·L

A B C D

Incógnitas:

1 reacción vertical en A

1 reacción vertical en D

1 momento en el empotramiento A

1 momento en el empotramiento D

4

Ecuaciones de la estática:

(1) Suma de fuerzas verticales nula

(1) Suma de momentos

en un punto igual a cero

(1) Momentos en la rótula de una

de las partes Igual a cero

3

PROBLEMA HIPERESTÁTICO DE GRADO 1

(24)

A B1 Q

N B 2 C 1 M Q N N Q C 2 D Q N A B1 Q

N B 2 C 1 M Q N N Q C 2 D Q N L L/4 3L/4 A B C D M E L/8 L L/4 3L/4 A B C D M E L/8

Incógnitas:

1 reacción vertical en A

1 reacción horizontal en A

1 reacción vertical en D

1 reacción horizontal en D

1 momento en el empotramiento A

1 momento en el empotramiento D

6

Ecuaciones de la estática:

(1) Suma de fuerzas verticales nula

(1) Suma de fuerzas horizontales nula

(1) Suma de momentos en un punto igual a cero

(1) Momentos en una de las rótulas, de una de las partes

de la estructura, igual a cero

(1) Momentos en otra de las rótulas, de una de las partes

de la estructura, igual a cero

5

PROBLEMA HIPERESTÁTICO DE GRADO 1

(25)
(26)

Veamos con un ejemplo la filosofía que debemos utilizar para

calcular estructuras traslacionales.

F

A

B

C

D

ESTRUCTURA REAL

ESTRUCTURA DEFORMADA

F

A

B

C

C*

D

D*

(27)

F

A

B

C

D

ESTRUCTURA REAL

M

B

Sean MC y MD los momentos flectores

(28)

Si prescindimos de todas las cargas que actúan y suponemos que las

barras estuviesen conectadas mediante articulaciones (rótulas)

F

A

B

C

D

A

B

(29)

La estructura inicial se ha convertido en un mecanismo con un gdl

A

B

C

D

El movimiento de este mecanismo viene determinado por un

sólo parámetro, como es el desplazamiento CC*=DD*

(30)

El valor de este parámetro (CC* ó DD*) no es conocido a priori, pero si lo

supusiéramos conocido (e idéntico al que se produce en la estructura real “a”) tendríamos perfectamente determinados los desplazamientos de los nudos de la estructura.

A

B

C

C*

D

D*

Si, ahora, una vez que el mecanismo se ha movido de manera que el nudo C (y el D) ocupa la posición final que ocuparía en el caso de que estuviésemos

considerando la estructura real, no estaríamos añadiendo nuevas coacciones al sistema porque ya se había movido

(31)

Pero, claro, en el caso del mecanismo, las secciones en contacto con la rótula que exista en un nudo giran diferente, cuando en la estructura real, las secciones de dos barras coincidentes en un nudo, tendrían que girar lo mismo.

(32)

A

B

C

C*

D

a

a

M

B

M

C

M

D

F

¡Obtendríamos la estructura deformada!

(33)

E

A

B

C

D

q=20 kN/m

F=80 kN

8 m

4 m

6 m

2 m

6 m

Veamos un ejemplo:

Deducir las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantesy axiles y los movimientos De las secciones B y D en la estructura de la figura.

(34)

E

A

B

C

q=20 kN/m

F=80 kN

8 m

4 m

6 m

2 m

6 m

2q

2q

2q

(35)

E

A

B

C

q=20 kN/m

F=80 kN

2q

2q

¿Podemos simplificar más aún la estructura?

A

B

C

q=20 kN/m

F=80 kN

2q

(36)

F=80 kN

q=20 kN/m

2q

2q

A

B

C

C*

B*

a

a

M

M

a

B

1

*

A

F=80 kN

M

C*

B

2

*

M

q=20 kN/m

2q

2q

=

(

antihorari

o

)

*

(

antihorari

o

)

* B

B1

θ

2

(37)

a

B

1

*

A

F=80 kN

M

C*

B

2

*

M

q=20 kN/m

2q

(38)

E

A

B

C

q=20 kN/m

F=80 kN

2q

2q

80 kN

V

A

V

E

Tomando momentos en B

de las fuerzas y momentos

que actúan sobre la barra AB

(sentido antihorario positivo):

m

kN

M

M

=

=

+

320

0

4

80

8

80

m kN , ,

EI = ⋅ ⋅ 0 3⋅0 4 =32000 ⋅ 12

1 10

20 6 3

460

8

3

14

=

+

EI

a

(39)

Ley de momentos flectores

320 kN.m

E

A

B

C

D

q=20 kN/m

F=80 kN

40 kN.m

(40)

Ley de esfuerzos cortantes

80 kN

E

A

B

C

D

q=20 kN/m

F=80 kN

(41)

Ley de esfuerzos axiles

E

A

B

C

D

q=20 kN/m

F=80 kN

(42)

Movimientos de la sección B:

El desplazamiento horizontal será 0,488 m, el vertical nulo y el giro:

a

B

1

*

A

F=80 kN

M

(

)

,

,

rad

EI

EI

o

antihorari

*

B

0

0243

8

488

0

16

8

80

3

320

8

2

1

=

+

=

θ

(43)

Movimientos de la sección D:

El desplazamiento horizontal será 0,488 m.

(

)

m

,

,

v

rad

,

EI

EI

EI

horario

D C

02625

0

2

0131

0

0131

0

6

6

320

24

6

20

3

6

40

2 3

=

↑=

=

=

θ

El desplazamiento vertical será suma de:

a) El obtenido si la sección C del dintel no girara:

mm

,

EI

L

q

v

CD

D

1

25

32000

8

2

20

8

4 4 1

=

=

↓=

b) El de sólido rígido motivado por en giro de la sección C del dintel:

m

,

,

,

v

D

↑=

0

02625

0

00125

=

0

025

El giro de D será (suma del de la sección C más el causado por la sobrecarga que actúa sobre la ménsula:

(

)

,

rad

EI

,

o

antihorari

D

0

0122

(44)

q=20 kN/m

P1=60 kN P2=40 kN

A B

C

D

E

2,5 m 2,5 m 2,5 m 2,5 m

5 m

En el pórtico de la figura, todas las barras tienen la misma rigidez EI=40000 kN.m. Cuando actúan las cargas indicadas, determinar:

(45)

A B

C D

E

Estructura con un grado de traslacionalidad

a a a

B*

(46)

A B

C D

E

a a a

B* C* D*

M2

(47)

M2

M1

B2* C1*

A B

a

B1*

M1

q

M3

M2

C2* D1*

a

M3

E

D2*

P1 P2

(48)

EI

L

M

EI

L

P

EI

L

M

o

antihorari

L

a

EI

qL

EI

L

M

o

antihorari

B B

6

16

3

)

(

24

3

)

(

2 2 1 1 3 1 2 1

+

=

+

=

θ

θ

Ec.1

EI

L

M

EI

L

P

EI

L

M

o

antihorari

EI

L

M

EI

L

M

EI

L

P

o

antihorari

C C

6

16

3

6

3

16

3 2 2 2 1 2 2 1 2 1

+

=

θ

+

=

θ

)

(

)

(

Ec.2

L

a

EI

L

M

o

antihorari

EI

L

M

EI

L

P

EI

L

M

o

antihorari

D D

=

+

=

3

)

(

6

16

3

)

(

3 2 2 2 3 2 1

θ

θ

Ec.3

¡3 ecuaciones con cuatro incógnitas!

a

M

M

(49)

¡La ecuación que falta la obtenemos aplicando las

ecuaciones de la estática!

A B

a

B1*

M1

q

a

M3

E

D2*

VA

HA HE VE

Suma de momentos en B1* igual a cero: Suma de momentos en D2* igual a cero:

0

2

2

1

+

H

L

=

qL

M

A

M

3

+

H

E

L

=

0

Junto con:

H

E

H

A

=

qL

0

2

3

2 2

1

+

qL

+

M

=

qL

(50)

Resolviendo el sistema de las cuatro ecuaciones con las 4 incógnitas:

m

a

m

kN

M

m

kN

M

m

kN

M

061

,

0

25

,

156

25

,

31

75

,

93

3

2

1

=

=

=

(51)

q

P1 P2

A B

C

D

E

106,25 kN.m

31,25 kN.m

43,75 kN.m

156,25 kN.m

(52)

q

P1 P2

A B

C

D

E

68,75 kN

31,25 kN 5 kN

55 kN

5 kN

45 kN

31,25 kN

(53)

q

P1 P2

A B

C

D

E

5 kN

31,25 kN

45 kN

(54)
(55)

A

B

C

D

P

EI

E

t

A

t

L

(56)

A

B

C

D

=

A

B

C

D

P

A

B

F

F

F

F

BA

=F.L/ E

t

A

t

(57)

A

B

C

D

P

A

B

F

F

F

F

BA

=F.L/ E

t

A

t

A

B

C

D

1

1

ESTADO REAL

ESTADO FICTICIO

Teorema de reciprocidad:

real A ficticio

D ficticio

A

P

u

u

u

F

r

+

r

=

r

(58)

real A ficticio

D ficticio

A

P

u

u

u

F

r

+

r

=

r

1

t t real A real B real A

BA

=

u

u

=

u

=

F

L

/

E

A

r

r

r

t t real

A

F

L

/

E

A

u

r

=

t t ficticio D ficticio A

A

E

L

F

u

P

u

F

+

=

r

r

t t ficticio A ficticio D

A

E

L

u

u

P

F

=

r

r

¡Sólo es preciso resolver

(59)

A

B

C

D

1

1

ESTADO FICTICIO

h

h

h

⎥⎦

⎢⎣

+

=

⎥⎦

⎢⎣

+

+

=

h

L

EI

h

h

h

h

h

h

L

h

h

h

EI

u

Aficticio

3

2

3

2

2

1

3

2

2

1

1

2

r

(

L

h

)

EI

Lh

L

h

h

L

h

L

EI

v

Aficticio

=

+

⎥⎦

⎢⎣

+

↓=

2

2

1

2

1

(

)

(

L

h

)

EI

h

h

L

EI

Lh

L

Bficticio

ficticio

B

=

+

=

+

2

2

θ

(60)

A

B

C

D

1

1

ESTADO FICTICIO

h

h

h

EI

h

h

h

h

EI

u

Dficticio

6

3

1

2

1

1

3

=

⎥⎦

⎢⎣

=

r

Pero como B gira:

(

)

⎛ +

=

+

=

2

3

2

6

2 2 3

L

h

EI

h

h

L

EI

h

EI

h

u

r

Dficticio

(

L

h

)

EI

h

ficticio

B

=

+

2

(61)

t t ficticio A ficticio D

A

E

L

u

u

P

F

=

r

r

⎥⎦

⎢⎣

+

=

h

L

EI

h

u

Aficticio

3

2

2

r

t t

A

E

L

L

h

EI

h

L

h

EI

h

P

F

⎥⎦

⎢⎣

+

⎛ +

=

3

2

2

3

2 2

⎛ +

=

2

3

2

L

h

EI

h

u

r

Dficticio

Figure

Actualización...

Referencias

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