ESTRUCTURAS RETICULADAS
Prof. Carlos Navarro
A
B
A’’
B’’
A’
B’’
Directriz sin
deformar
Directriz
deformada
A
B
A’’
B’’
A’
B’’
Directriz sin
deformar
Directriz
deformada
En el cálculo estructuras reticuladas suele despreciarse las
deformaciones inducidas por los esfuerzos axiles y cortantes.
Despreciar el primer tipo de esfuerzo equivale a decir que las
barras de la estructura ni se acortan ni se alargan
.
CONCEPTO DE ESTRUCTURA INTRASLACIONAL
A
B C
D A
B C
D A
B C
D P
δ δ
A
B C
D P
P
A
B C
A
CALCULO DE ESTRUCTURAS INTRASLACIONALES
a) VIGAS CONTINUAS
P
q M’
M
RA RB R
C RD RE
A
B C
E F
G
A P B1 M1 C1 M1 B2 M2 C2 E1 G
M2 M’ M3
F M4 E2 P q M’ M
RA RB R
C RD RE
A
B C
E F
G
Incógnitas:
M
1
,
M
2
,
M
3
y
M
4
M
3M
4M
0
3
4
−
=
+
M
M
M
Viga
M
M
3M
42 1 2 1 2 1
E
E
E
C
C
C
B
B
B
A
A
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
+
=
+
=
+
=
=
P q M’ MRA RB R
C RD RE
A
B C
E F
G
A P B1 M1
C1 M1 B2 M2 C2 E1 G
M2 M’ M3
F M4
B
1A
M
P
B
2C
M
)
(
)
(
21
antihoario
B
antihoario
B
θ
θ
=
l
EI
b
l
Pab
EI
Ml
o
antihorari
EI
Ml
EI
ql
o
antihorari
B
B
6
)
(
3
)
(
3
24
)
(
2 13
+
−
=
−
=
θ
θ
2
2
4
)
(
16
l
b
l
Pab
ql
M
=
+
+
A B C
q
l l
a b
B1
A A B1 M
ql/2 ql/2 M/l
M/l
P
B2 C M B2 C
Pb/l Pa/l
M/l M/l
l
M
l
Pa
R
l
M
l
Pb
l
M
ql
R
l
M
ql
R
C
B
A
−
↑=
+
+
+
↑=
−
↑=
b) SEMIPÓRTICOS
A B C M 2l l AB2 C
M2 M1 B1 B M2 M1 M
( )
( )
EI
l
M
horario
EI
l
M
l
EI
l
M
horario
horario
horario
B
B
B
B
3
)
(
2
2
4
2
)
(
)
(
)
(
1
2
2
2
2 1 2 1=
=
=
=
θ
θ
θ
θ
2 1M
M
M
=
+
M
M
M
M
5
3
5
2
1c) PÓRTICOS
l B A D q lEI
Ml
EI
Ml
EI
ql
horario
EI
Ml
horario
horario
horario
B B B B6
3
24
)
(
3
)
(
)
(
)
(
3 2 1 2 1−
−
=
=
=
θ
θ
θ
θ
20
2
ql
M
=
20
2
ql
X
ql
Y
A
=
A
=
M
B2 C
B
A
D
C
ql
2/20
B
A
D
C
ql/20
ql/2
ql/2
ql/20
ql/2
ESTRUCTURAS INTRASLACIONALES CON ROTULAS
P=20 kN
2 m 1 m 1 m
A B C D
L L L
P M = P·L
A B C D
6 m 2 m 3 m 3 m 2 m 2 m 2 m 1 m 20 kN/m 30 kN
50kN.m
10 kN A
B C M D
E G F
6 m 2 m 3 m 3 m 2 m 2 m 2 m 1 m 20 kN/m 30 kN
50kN.m
10 kN A
B C M D
E G F
L
L/4 3L/4
A B
C D
M E L/8
L
L/4 3L/4
A B
C D
Q
Q
P
Q
1Q
2P
Barra 1
Barra 2
P
P
d
M=Pd
M
A
B
B A
2 m L=1 m L=1 m
A B C1 Q1 Q2 C2 D
Q1 Q2
P
P=20 kN
2 m 1 m 1 m
A B C D
Incógnitas:
1 reacción vertical en A
1 reacción vertical en B
1 reacción vertical en D
1 momento en el
empotramiento D
4
Ecuaciones de la estática:
(1) Suma de fuerzas verticales nula
(1) Suma de momentos
en un punto igual a cero
(1) Momentos en la rótula de una
de las partes Igual a cero
3
PROBLEMA HIPERESTÁTICO DE GRADO 1
P
M=PL
Q
Q Q
Q
A B C1 C
2 D
P
M=PL
Q
Q Q
Q
A B C1 C
2 D
L L L
P M = P·L
A B C D
Incógnitas:
1 reacción vertical en A
1 reacción vertical en D
1 momento en el empotramiento A
1 momento en el empotramiento D
4
Ecuaciones de la estática:
(1) Suma de fuerzas verticales nula
(1) Suma de momentos
en un punto igual a cero
(1) Momentos en la rótula de una
de las partes Igual a cero
3
PROBLEMA HIPERESTÁTICO DE GRADO 1
A B1 Q
N B 2 C 1 M Q N N Q C 2 D Q N A B1 Q
N B 2 C 1 M Q N N Q C 2 D Q N L L/4 3L/4 A B C D M E L/8 L L/4 3L/4 A B C D M E L/8
Incógnitas:
1 reacción vertical en A
1 reacción horizontal en A
1 reacción vertical en D
1 reacción horizontal en D
1 momento en el empotramiento A
1 momento en el empotramiento D
6
Ecuaciones de la estática:
(1) Suma de fuerzas verticales nula
(1) Suma de fuerzas horizontales nula
(1) Suma de momentos en un punto igual a cero
(1) Momentos en una de las rótulas, de una de las partes
de la estructura, igual a cero
(1) Momentos en otra de las rótulas, de una de las partes
de la estructura, igual a cero
5
PROBLEMA HIPERESTÁTICO DE GRADO 1
Veamos con un ejemplo la filosofía que debemos utilizar para
calcular estructuras traslacionales.
F
A
B
C
D
ESTRUCTURA REAL
ESTRUCTURA DEFORMADA
F
A
B
C
C*
D
D*
F
A
B
C
D
ESTRUCTURA REAL
M
BSean MC y MD los momentos flectores
Si prescindimos de todas las cargas que actúan y suponemos que las
barras estuviesen conectadas mediante articulaciones (rótulas)
F
A
B
C
D
A
B
La estructura inicial se ha convertido en un mecanismo con un gdl
A
B
C
D
El movimiento de este mecanismo viene determinado por un
sólo parámetro, como es el desplazamiento CC*=DD*
El valor de este parámetro (CC* ó DD*) no es conocido a priori, pero si lo
supusiéramos conocido (e idéntico al que se produce en la estructura real “a”) tendríamos perfectamente determinados los desplazamientos de los nudos de la estructura.
A
B
C
C*
D
D*
Si, ahora, una vez que el mecanismo se ha movido de manera que el nudo C (y el D) ocupa la posición final que ocuparía en el caso de que estuviésemos
considerando la estructura real, no estaríamos añadiendo nuevas coacciones al sistema porque ya se había movido
Pero, claro, en el caso del mecanismo, las secciones en contacto con la rótula que exista en un nudo giran diferente, cuando en la estructura real, las secciones de dos barras coincidentes en un nudo, tendrían que girar lo mismo.
A
B
C
C*
D
a
a
M
BM
CM
DF
¡Obtendríamos la estructura deformada!
E
A
B
C
D
q=20 kN/m
F=80 kN
8 m
4 m
6 m
2 m
6 m
Veamos un ejemplo:
Deducir las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantesy axiles y los movimientos De las secciones B y D en la estructura de la figura.
E
A
B
C
q=20 kN/m
F=80 kN
8 m
4 m
6 m
2 m
6 m
2q
2q
2q
E
A
B
C
q=20 kN/m
F=80 kN
2q
2q
¿Podemos simplificar más aún la estructura?
A
B
C
q=20 kN/m
F=80 kN
2q
F=80 kN
q=20 kN/m
2q
2q
A
B
C
C*
B*
a
a
M
M
a
B
1*
A
F=80 kN
M
C*
B
2*
M
q=20 kN/m
2q
2q
=
(
antihorari
o
)
*(
antihorari
o
)
* B
B1
θ
2a
B
1*
A
F=80 kN
M
C*
B
2*
M
q=20 kN/m
2q
E
A
B
C
q=20 kN/m
F=80 kN
2q
2q
80 kN
V
AV
ETomando momentos en B
de las fuerzas y momentos
que actúan sobre la barra AB
(sentido antihorario positivo):
m
kN
M
M
⋅
−
=
=
⋅
+
−
⋅
−
320
0
4
80
8
80
m kN , ,EI = ⋅ ⋅ 0 3⋅0 4 =32000 ⋅ 12
1 10
20 6 3
460
8
3
14
=
+
EI
a
Ley de momentos flectores
320 kN.m
E
A
B
C
D
q=20 kN/m
F=80 kN
40 kN.m
Ley de esfuerzos cortantes
80 kN
E
A
B
C
D
q=20 kN/m
F=80 kN
Ley de esfuerzos axiles
E
A
B
C
D
q=20 kN/m
F=80 kN
Movimientos de la sección B:
El desplazamiento horizontal será 0,488 m, el vertical nulo y el giro:
a
B
1*
A
F=80 kN
M
(
)
,
,
rad
EI
EI
o
antihorari
*
B
0
0243
8
488
0
16
8
80
3
320
8
21
−
=
−
⋅
+
⋅
=
θ
Movimientos de la sección D:
El desplazamiento horizontal será 0,488 m.
(
)
m
,
,
v
rad
,
EI
EI
EI
horario
D C02625
0
2
0131
0
0131
0
6
6
320
24
6
20
3
6
40
2 3=
⋅
↑=
−
=
⋅
−
⋅
−
⋅
=
θ
El desplazamiento vertical será suma de:
a) El obtenido si la sección C del dintel no girara:
mm
,
EI
L
q
v
CDD
1
25
32000
8
2
20
8
4 4 1=
⋅
⋅
=
⋅
↓=
b) El de sólido rígido motivado por en giro de la sección C del dintel:
m
,
,
,
v
D↑=
0
02625
−
0
00125
=
0
025
El giro de D será (suma del de la sección C más el causado por la sobrecarga que actúa sobre la ménsula:
(
)
,
rad
EI
,
o
antihorari
D
0
0122
q=20 kN/m
P1=60 kN P2=40 kN
A B
C
D
E
2,5 m 2,5 m 2,5 m 2,5 m
5 m
En el pórtico de la figura, todas las barras tienen la misma rigidez EI=40000 kN.m. Cuando actúan las cargas indicadas, determinar:
A B
C D
E
Estructura con un grado de traslacionalidad
a a a
B*
A B
C D
E
a a a
B* C* D*
M2
M2
M1
B2* C1*
A B
a
B1*
M1
q
M3
M2
C2* D1*
a
M3
E
D2*
P1 P2
EI
L
M
EI
L
P
EI
L
M
o
antihorari
L
a
EI
qL
EI
L
M
o
antihorari
B B6
16
3
)
(
24
3
)
(
2 2 1 1 3 1 2 1+
−
−
=
−
+
=
θ
θ
Ec.1EI
L
M
EI
L
P
EI
L
M
o
antihorari
EI
L
M
EI
L
M
EI
L
P
o
antihorari
C C6
16
3
6
3
16
3 2 2 2 1 2 2 1 2 1+
−
=
θ
+
−
=
θ
)
(
)
(
Ec.2L
a
EI
L
M
o
antihorari
EI
L
M
EI
L
P
EI
L
M
o
antihorari
D D−
=
−
+
−
=
3
)
(
6
16
3
)
(
3 2 2 2 3 2 1θ
θ
Ec.3¡3 ecuaciones con cuatro incógnitas!
a
M
M
¡La ecuación que falta la obtenemos aplicando las
ecuaciones de la estática!
A B
a
B1*
M1
q
a
M3
E
D2*
VA
HA HE VE
Suma de momentos en B1* igual a cero: Suma de momentos en D2* igual a cero:
0
2
2
1
+
−
H
L
=
qL
M
AM
3+
H
EL
=
0
Junto con:
H
E−
H
A=
−
qL
0
2
32 2
1
+
−
qL
+
M
=
qL
Resolviendo el sistema de las cuatro ecuaciones con las 4 incógnitas:
m
a
m
kN
M
m
kN
M
m
kN
M
061
,
0
25
,
156
25
,
31
75
,
93
3
2
1
=
⋅
=
⋅
=
q
P1 P2
A B
C
D
E
106,25 kN.m
31,25 kN.m
43,75 kN.m
156,25 kN.m
q
P1 P2
A B
C
D
E
68,75 kN
31,25 kN 5 kN
55 kN
5 kN
45 kN
31,25 kN
q
P1 P2
A B
C
D
E
5 kN
31,25 kN
45 kN
A
B
C
D
P
EI
E
tA
tL
A
B
C
D
=
A
B
C
D
P
A
B
F
F
F
F
∆
BA=F.L/ E
tA
tA
B
C
D
P
A
B
F
F
F
F
∆
BA=F.L/ E
tA
tA
B
C
D
1
1
ESTADO REAL
ESTADO FICTICIO
Teorema de reciprocidad:
real A ficticio
D ficticio
A
P
u
u
u
F
⋅
r
+
⋅
r
=
−
⋅
r
real A ficticio
D ficticio
A
P
u
u
u
F
⋅
r
+
⋅
r
=
−
⋅
r
−
1
t t real A real B real ABA
=
u
−
u
=
u
=
F
⋅
L
/
E
A
∆
r
r
r
t t real
A
F
L
/
E
A
u
r
=
⋅
t t ficticio D ficticio A
A
E
L
F
u
P
u
F
⋅
+
⋅
=
−
⋅
−
r
r
t t ficticio A ficticio D
A
E
L
u
u
P
F
−
⋅
=
r
r
¡Sólo es preciso resolver
A
B
C
D
1
1
ESTADO FICTICIO
h
h
h
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
=
h
L
EI
h
h
h
h
h
h
L
h
h
h
EI
u
Aficticio3
2
3
2
2
1
3
2
2
1
1
2r
(
L
h
)
EI
Lh
L
h
h
L
h
L
EI
v
Aficticio=
+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⋅
⋅
+
⋅
⋅
↓=
2
2
1
2
1
(
)
(
L
h
)
EI
h
h
L
EI
Lh
L
Bficticioficticio
B
⋅
=
+
⇒
=
+
2
2
θ
A
B
C
D
1
1
ESTADO FICTICIO
h
h
h
EI
h
h
h
h
EI
u
Dficticio6
3
1
2
1
1
3=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⋅
⋅
=
r
Pero como B gira:
(
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
=
+
−
=
2
3
2
6
2 2 3L
h
EI
h
h
L
EI
h
EI
h
u
r
Dficticio(
L
h
)
EI
h
ficticio
B
=
+
2
t t ficticio A ficticio D
