1
Movimiento Oscilatorio
1. Introducción.
2. El Movimiento Armónico Simple.
a) Estudio cinemático.
b) Estudio dinámico.
c) Estudio energético.
3. Péndulos.
a) Péndulo simple.
b) Péndulo físico.
4. Oscilaciones amortiguadas.
a) Energía del oscilador amortiguado.
Cuando se perturba un sistema y éste pierde su posición
de equilibrio, se produce una oscilación o vibración. Hay
muchos ejemplos familiares en los que podemos
observar este tipo de movimiento. Casos
representativos son el movimiento que describe el
péndulo de un reloj o el que se observa en un objeto
colgado de un muelle o resorte.
Esencialmente se trata de un movimiento de vaivén
alrededor de un punto fijo o punto de equilibrio. Este
movimiento puede ser regular en dirección y frecuencia
o aleatorio, que es lo más frecuente.
De todos los movimientos oscilatorios, el más importante es el
movimiento
armónico simple (MAS)
o movimiento vibratorio armónico. Además de ser
el más sencillo de describir y analizar, es representativo de otras muchas
oscilaciones que se observan en la naturaleza. Por eso, la mayor parte de
nuestro estudio se centrará en este tipo de movimiento.
3
2a.- Cinemática del Movimiento Armónico Simple (I)
Un movimiento armónico simple, como el que realiza
el sistema de la figura adjunta puede describirse
por una ecuación del tipo:
(
)
cos
ω
x
=
A
t
+
ϕ
Donde
A
,
ω
y
θ
son constantes características
del movimiento. Los parámetros que
caracterizan a este movimiento son los
siguientes:
•
x
(
elongación
)
→
es la posición que ocupa el móvil en cada instante,
medida desde la posición de equilibrio.
•
A
(
amplitud
)
→
es el máximo desplazamiento respecto a la posición de
equilibrio, es decir, es la máxima elongación.
•
T
(
periodo
)
→
es el tiempo que tarda el móvil en realizar una oscilación
completa.
•
f
(
frecuencia
)
→
es el número de oscilaciones que realiza el móvil es la
4
2a.- Cinemática del Movimiento Armónico Simple (II)
De la propia definición se desprende que
periodo
y
frecuencia
están
relacionados por:
1
f
T
=
La
frecuencia angular
,
ω
, puede relacionarse con el
periodo
o con la
frecuencia
mediante las expresiones:
2
ω
o bien
ω
2
f
T
π
π
=
=
Finalmente, el término
φ
se conoce como
fase inicial
o
corrección de fase
, y
nos da información acerca de la posición inicial del móvil, es decir, de la
posición cuando el tiempo,
t
, vale cero:
0
Obsérvese que cuando
t
=
0
⇒
x
=
A
cos
ϕ
El término (
ω
t
+
φ
) recibe el nombre de
ángulo de fase
o simplemente
5
2a.- Cinemática del Movimiento Armónico Simple (III)
Velocidad y Aceleración:
(
)
sen
dx
v
A
t
dt
ω
ω
ϕ
=
= −
+
2 2
v
= ±
ω
A
−
x
(
)
2
cos
dv
a
A
t
dt
ω
ω
ϕ
=
= −
+
2
a
= −
ω
x
2
2
2
0
d x
x
6
2a.- Cinemática del Movimiento Armónico Simple (IV)
En 1610 Galileo descubrió las cuatro lunas de Júpiter. Cada luna parecía moverse para delante y para detrás en lo que llamaríamos un movimiento armónico. Lo que realmente estaba viendo Galileo era un movimiento circular descrito por cada luna, pero lo estaba observando de perfil. Podemos utilizar lo que Galileo experimentaba para describir algunas propiedades del movimiento armónico simple utilizando un paralelismo con el movimiento circular uniforme
7
Ejemplo 1.
Un oscilador armónico lleva una velocidad de 2 cm/s cuando su elongación es 6 cm y 1,5 cm/s cuando su elongación es 8 cm. Calcular: la amplitud, el período, la velocidad máxima y la
aceleración máxima.
Consideremos la ecuación que relaciona la velocidad con la elongación de un oscilador armónico.
2 2
v
=
ω
A
−
x
Para las dos situaciones que indica el problema, tenemos que:
(
)
(
)
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
6
4
36
Resolviendo
10 cm
2,25
64
1,5
8
A
A
A
A
A
ω
ω
=
−
−
=
⇒
=
−
=
−
Y para la frecuencia angular:
4
=
ω
2(
100 36
−
)
⇒
ω
=
0,25 rad/s
Por tanto, para el periodo
T
:2
2
8 s
0,25
T
π
π
π
ω
=
=
=
(
0)
maxsen
10 0,25 2,5 cm/s
dx
v
A
t
v
A
dt
ω
ω
ϕ
ω
=
= −
+
⇒
=
=
⋅
=
(
)
2 2 2 2
0 max
cos
10 0,25
0, 625 cm/s
dv
a
A
t
a
A
dt
ω
ω
ϕ
ω
=
= −
+
⇒
=
=
⋅
=
8
2b.- Dinámica del Movimiento Armónico Simple (I)
Según hemos visto:
a
= −
ω
2x
¿Qué fuerza puede producir esa aceleración? De acuerdo con la ecuación
fundamental de la dinámica, podemos escribir:
2
F
=
m a
⇒
F
=
m a
= −
m
ω
x
= −
k x
Donde las dos constantes,
m
y
ω
2, la hemos englobado en una sola,
k
.
Obsérvese que la fuerza que hemos obtenido es del tipo del que establece la
ley de Hooke, es decir, una fuerza de recuperación elástica, análoga a la que
se produce en un sistema masa-resorte cuando se separa la masa de la
posición de equilibrio.
Ya que:
k
m
2o
=
k
m
ω
ω
=
El periodo de oscilación de
la masa será:
2
m
T
k
π
9
Ejemplo 2.
De un muelle está colgado un platillo de una balanza con pesas. El periodo de las oscilaciones verticales es igual a 0,5 s. Después de añadir más pesas al platillo, el periodo de las
oscilaciones verticales se hizo igual a 0,6 s ¿Qué alargamiento provocaron en el muelle las pesas añadidas?
El periodo en la primera situación vendrá dado por:
T
12
m
T
124
2m
K
k
π
π
=
⇒
=
Y en la segunda: 2 2
2
2
24
m
m
m
m
T
T
K
k
π
+ ∆
π
+ ∆
=
⇒
=
Donde ∆
m
es la masa añadida que consigue aumentar el periodo de oscilación. Por otra parte, si llamamos ∆x
al alargamiento que produce esa masa adicional, podemos escribirque:
m
m g
k x
k
g
x
∆
∆
=
∆
⇒
=
∆
Si combinamos las ecuaciones de los periodos de oscilación, restándole a la segunda la primera, obtenemos:
2 2 2
2 1
4
m
T
−
T
=
π
(
+ ∆
m
−
m
)
4
2m
K
π
k
∆
=
Y sustituyendo el valor deK
obtenido(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 2 1 2
9,8
4
0, 6
0,5
0, 027 m
4
4
g
x
T
T
x
T
T
g
π
π
π
∆
10
2c.- Energía del Movimiento Armónico Simple (I)
La
energía cinética
de una partícula animada por un M.A.S. vendrá dada por:
{
}
(
)
2 2 2 2 2 2
1
1
2
2
c
E
=
mv
=
v
= ±
ω
A
−
x
=
m
ω
A
−
x
Mientras que la
energía potencial
puede obtenerse a partir de:
{
}
2 2 2 2
0 0 0
1
1
2
2
U x x
dU
= −
F dx
⇒
U
= −
−
k x dx
=
k x
=
k
=
m
ω
=
m
ω
x
∫
∫
∫
Por tanto, la
energía mecánica
será:
(
)
2 2 2 2 2 2 2
M C
1
1
1
2
2
2
E
=
E
+
U
=
m
ω
A
−
x
+
m
ω
x
=
m
ω
A
O bien:
2M
1
2
E
=
k A
11
2c.- Energía del Movimiento Armónico Simple (II)
E
C-A
0
A
x
U(x)
E
Mecánica
E
C(m
áx
im
a)
12
3.1.- El péndulo simple
Se trata de una partícula suspendida de un hilo inextensible y sin masa.
La fuerza que causa el movimiento oscilatorio es la componente tangencial de la fuerza peso:
T
sen
F
= −
mg
φ
Donde el signo menos se debe al hecho de que la fuerza siempre está dirigida en sentido opuesto al
desplazamiento. Así, tenemos que:
2
2
sen
sen
d s
mg
ma
g
dt
φ
φ
−
=
⇒
=
De donde, considerando que:
s
=
L
φ
2 2
2 2
d s
d
L
dt
dt
φ
=
Es decir:2
2
sen
d
g
L
dt
φ
φ
= −
Para ángulos pequeños:
sen
φ φ
≈
Por tanto:2
2
d
g
L
dt
φ
φ
= −
Donde: 2
g
L
ω
=
Y, por consiguienteT
2
L
13
3.2.- El péndulo físico
Es un sistema formado por un sólido rígido
suspendido de un eje fijo que no pasa por su CM.
Al separar el sólido de su posición de equilibrio un cierto ángulo aparece un momento recuperador que tiende a llevar de nuevo al sólido a su posición de equilibrio. Este momento es:
sen
M
= −
m g d
φ
Teniendo en cuenta la ecuación fundamental de la dinámica de rotación: 2
2
d
M
I
I
dt
φ
α
=
=
De donde: 2
2
sen
d
m g d
I
dt
φ
φ
= −
Para desplazamientos pequeños2
2
d
m g d
I
dt
φ
φ
= −
Y, por tanto:m g d
I
ω
=
cuyo periodo es:T
2
I
m g d
π
=
14
Ejemplo 3.
Una varilla delgada y uniforme de masa
m
pivota sin rozamiento sobre un eje perpendicular a ella y que pasa por su CM. Un resorte horizontal, de constante elásticaK
se une alextremo inferior de la varilla por uno de sus extremos, quedando el otro unido a un soporte fijo y rígido, como indica la figura, de forma que cuando la varilla se encuentra en posición vertical el resorte tiene su longitud natural. a) Demostrar que si la varilla se separa un pequeño ángulo θde su posición de equilibrio y se suelta realiza un M.A.S. b) Determine el
periodo del movimiento.
k
F
O
Tratamiento Dinámico:
De acuerdo con la ecuación fundamental de la dinámica de rotación, podemos escribir:
O 2
cos
2
1
12
kL
M
F
M
I
I
m L
θ
α
=
=
⇒
=
∑
Ya que:
F
K= −
K x
Para ángulos pequeñoscos
1 y, por otra parte,
2
L
x
θ
≈
=
θ
Tenemos que: 2
L
K
θ
−
1
24
=
12
m L
2 2
2 2
3
0
d
d
K
dt
dt
m
θ
θ
θ
⇒
+
=
15
Ejemplo 3 (continuación).
Tratamiento Energético:
Alternativamente, el problema también se puede resolver a través de consideraciones energéticas. En efecto, la energía mecánica total del sistema será la suma de la energía potencial elástica del resorte y la energía cinética de rotación de la varilla, es decir:
2 2
1
1
Constante
2
2
M
E
=
K x
+
I
ω
=
Por tanto, debe cumplirse que:
dE
M0
dt
=
Si escribimos la ecuación de la energía mecánica de acuerdo con las consideraciones hechas en el tratamiento anterior, tenemos que:
2
2 2 2
1
1 1
2
4
2 12
M
L
E
=
K
θ
+
m L
ω
Y derivando respecto del tiempo:
1
28
M
dE
K L
dt
=
2
d
dt
θ
θ
1
2
+
1
212
m L
2
ω
0
d
dt
ω
=
2 2 2 21
1
3
0
0
4
12
d
d
K
K
m
dt
dt
m
θ
θ
θ
+
=
⇒
+
=
Que es la misma ecuación obtenidaanteriormente.
b) Para obtener el periodo: 2
3
2
3
2
3
K
K
m
T
m
T
m
K
π
16
4.- Oscilaciones Amortiguadas (I)
En los sistemas reales son frecuentes la presencia de fuerzas disipativas (fuerzas de rozamiento, en general) que ocasionan
pérdidas de la energía mecánica del sistema oscilante dando lugar a las denominadas Oscilaciones Amortiguadas.
Consideremos un caso como el que muestra la figura, donde la fuerza disipativa es proporcional a la velocidad de cuerpo y sentido
contrario:
R
F
= −
b v
dondeb
es una constante positiva.dv
F
m a
k x b v
m
dt
Σ =
⇒
−
−
=
La ecuación dinámica para este sistema será:
Que puede escribirse como:
2 2
0 0
2
0
donde
2
dv
k
b
v
x
y
dt
+
β
+
ω
=
ω
=
m
β
=
m
siendo
β
el denominadofactor de amortiguamiento.
Obteniéndose finalmente:2
2 0
2
2
0
d x
dx
x
dt
dt
+
β
+
ω
=
17
4.- Oscilaciones Amortiguadas (II)
Analizaremos tres soluciones particulares de la ecuación del Oscilador Amortiguado:
2 2
0
ω
>
β
1.- Si la solución es del tipo:
(
1)
cos
t
x
=
Ae
−βω
t
−
φ
donde
A
y son constantes de integración, y donde ω1 es la denominada
frecuencia
angular del oscilador amortiguado,
que viene dada por:φ
2 2
1 0
ω
=
ω
−
β
2.- Si se dice que el movimiento está
amortiguado críticamente
y la solución es del tipo:2 2
0
ω
=
β
(
)
tx
=
A
+
B t e
−βdonde
A
yB
son ahora las constantes de integración.3.- Si se dice que el movimiento está
sobreamortiguado
y la solución es del tipo:2 2
0
ω
<
β
2 2
1 2
t t
t
x
=
e
β
A e
ω+
A e
ω
donde
A
1 yA
2 son ahora las constantes de integración, y:ω
2=
β
2−
ω
0218
4.- Oscilaciones Amortiguadas (III)
-
A
e
-(b/2m) tT
= 2
π/
ω 0ω
0
= (
k
/
m
)
1/28
T
7
T
6
T
5
T
4
T
3
T
2
T
T
-
A
A
t
A
e
-(b/2m) tx
(
1)
cos
t
x
=
Ae
−βω
t
−
φ
19
4.- Oscilaciones Amortiguadas (IV)
En un caso de bajo amortiguamiento, es decir, donde ω
1 ≈ ω0 la comparación entre un
movimiento oscilatorio ideal (sin amortiguar) y amortiguado, sería como muestra la figura.
5
T
4
T
3
T
2
T
-
A
A
x
t
20
4.- Oscilaciones Amortiguadas (V)
Amortiguado críticamente
(
ω0 2
=
β2)
Sobreamortiguado
(
ω0 2
<
β2)
t
x
En las soluciones no oscilatorias, es decir, la segunda y tercera, la representación gráfica sería la que muestra la figura.
(
)
tAmortiguado críticamente
x
=
A
+
B t e
−β⇒
2 2
1 2
Sobreamortiguado
t t
t
21
4a- Energía del Oscilador Amortiguado
Ya que la energía mecánica de un oscilador es proporcional al cuadrado de la amplitud, y esta decae exponencialmente con el tiempo en el oscilador amortiguado, la energía
también disminuye exponencialmente con el tiempo, es decir:
2 2 2
0 0
1
1
donde
2
2
t
E
=
k A
=
m
ω
A
A
=
A e
−βAunque no lo haremos aquí, puede demostrarse que la energía promedio por ciclo, viene dada por:
E
2 2 2 2
0 0 0
1
2
t t
E
=
m
ω
A e
− β=
E e
− βdonde
A
0 es la amplitud del oscilador sin amortiguar. Por tanto:donde
E
0 es la energía del oscilador sin amortiguar. Por tanto:2 0
t
E
=
E e
− β2 2 2
0 0
1
1
(
)
2
2
t
22
5.- Oscilaciones Forzadas
En las oscilaciones reales inevitablemente existe
amortiguamiento. Por eso la amplitud de la oscilación disminuye con el tiempo hasta que la oscilación se extingue. Para mantener la oscilación es necesario comunicar energía al sistema oscilante para compensar las pérdidas producidas por las fuerzas
disipativas.
Este aporte de energía se consigue mediante la aplicación de una fuerza externa, en cuyo caso hablamos de un Oscilador
Forzado.
El carácter de esa fuerza externa puede ser muy diverso, pero un caso sencillo de estudiar y relativamente frecuente es el de una fuerza que varía con el tiempo de forma sinusoidal, es decir:
0
( )
cos
F t
=
F
ω
t
donde ω es la frecuencia angular de la fuerza externa, que no debe confundirse con la frecuencia natural del oscilador ω0. La aplicación de la ecuación fundamental de la dinámica en este caso sería:
( )
F
m a
k x b v
F t
ma
Σ =
⇒
−
−
+
=
O bien:
2
2 0
0
2
2
cos
F
d x
dx
x
t
dt
m
23
5.1.- Solución de la Ecuación del Oscilador Forzado
La solución de la ecuación diferencial que describe el Oscilador Forzado consta de dos términos. Es decir:
(
)
(
)
1cos
cos
t g g p px
Ae
t
x
x
x
x
G
t
β
ω
φ
ω
θ
−
=
−
=
+
=
−
Obsérvese que
x
g es la solución del Oscilador Amortiguado, mientras quex
p es unasolución particular que contiene dos parámetros,
G
y θ, que son la amplitud del oscilador forzado y el desfase con respecto a la fuerza impulsora, respectivamente, dados por:(
)
0
2
2 2 2 2
0
4
F
m
G
ω
ω
ω β
=
−
+
02 22
arctan
ω β
θ
ω
ω
=
−
yPor tanto, la solución del Oscilador Forzado es de la forma:
(
1)
(
)
cos
cos
t
x
=
Ae
−βω
t
−
φ
+
G
ω
t
−
θ
24
5.2.- Características de los parámetros del Oscilador Forzado
(
)
0
2
2 2 2 2
0
4
F
m
G
ω
ω
ω β
=
−
+
ω
0
b = 0
b = 4.4
b = 2.4 b = 1.6
b = 0.8
b = 0.4
G
ω
aumenta β
aumenta β π
π/2
θ
ω
0
ω
2 2
0
2
arctan
ω β
θ
ω
ω
=
−
Obsérvese que la posición del máximo de la amplitud depende del valor de
β
.
Obsérvese que, independientemente del valor de
β
,
cuando el desfase entre la fuerza impulsora y el oscilador siempre es deπ
/2.
25
5.3.- Potencia suministrada al Oscilador Forzado (I)
¿Bajo qué condiciones el agente que ejerce la fuerza impulsora suministra la máxima potencia al oscilador? La potencia entregada al oscilador vendrá dada por el producto de la fuerza impulsora por la velocidad en cada instante del oscilador, es decir:
(
)
(
)
(
)
0
cos
cos
cos
donde
2
F
F
t
P
F v
dx
d G
t
v
G
t
dt
dt
ω
ω
θ
π
ω
ω
δ
δ
θ
=
=
−
=
=
=
−
= −
Puede demostrarse que la potencia instantánea entregada al oscilador viene dada por:
{
2}
0
cos
cos
cos
sen
sen
P
=
G F
ω
ω
t
⋅
δ
+
ω
t
⋅
ω
t
⋅
ω
t
Y la potencia promedio corresponderá al valor medio de la función anterior, es decir:
0
1
cos
2
P
=
G
ω
F
δ
donde el término “cos
δ
” es el denominadofactor de potencia
.
Obsérvese que la potencia promedio suministrada es máxima cuando
cos δ = 1
, es decir, cuandoδ = 0
, o lo que es lo mismo, cuandoF
yv
están en fase. Esto también implica que el desfaseθ
seaπ
/2
, lo que ocurre cuandoω
=
ω
0, como se ha visto
26
5.3.- Potencia suministrada al Oscilador Forzado (II)
En definitiva, cuando la frecuencia de la fuerza impulsora coincide con la frecuencia natural del oscilador se produce una máxima transferencia de potencia del primero al segundo. A esta situación se le denomina RESONANCIA EN LA TRANSFERENCIA DE POTENCIA.
Veamos gráficamente esta situación: Ahora se observa que cuanto menor es el amortiguamiento mayor es el valor de la potencia entregada y más estrecha es la curva de potencia. Sin embargo, también se observa que la máxima potencia entregada siempre ocurre cuando lo cual es contrario a lo que se observaba en el caso de la amplitud
G
.Por tanto, debemos distinguir entre la situación de Resonancia en la
transferencia de potencia, en la que
siempre la frecuencia de la fuerza impulsora coincide con la natural del oscilador, y la
Resonancia en Amplitud que depende del factor de amortiguación
β
.27
Ejemplo 4.
Un cuerpo de 2 kg de masa oscila sujeto a un muelle de constante elástica 400 N/m. La constante de amortiguamiento b es de 2 Kg/s. El cuerpo es impulsado por una fuerza
sinusoidal de valor máximo 10 N y frecuencia angular 10 rad/s. Determinar: a) la amplitud de las oscilaciones, b) la frecuencia de resonancia en transferencia de energía, y c) la amplitud de las oscilaciones en el caso de resonancia en amplitud.
a) Considerando estado estacionario, tenemos para la amplitud de las oscilaciones:
(
)
2 2
0 0
2 2
2 2 2 2 2 2
0 2
400
200 (rad/s)
2
4
4
0, 25 s
4
4 4
K
F
m
m
G
b
m
ω
ω
ω
β ω
β
−
=
=
=
=
−
+
=
=
=
⋅
Sustituyendo valores:
(
)
210
2
0,0497
0,05 m
200 100
4 0, 25 100
G
=
=
≈
−
+ ⋅
⋅
b) La frecuencia de resonancia en transferencia de energía es igual a la frecuencia natural del oscilador y, por tanto:
RTE 0 RTE
200
14,14 rad/s
28
Ejemplo 4 (continuación).
c) Para obtener la condición de resonancia en amplitud es necesario establecer la condición de máximo a la amplitud del oscilador forzado:
0
GG
ωω
∂
=
∂
Que conduce a la relación:2 2
0
2
G
ω
=
ω
−
β
Sustituyendo valores200 2 0, 25
14,124 rad/s
G
ω
=
− ⋅
=
Sustituyendo el valor de
ω
G a la ecuación de la amplitud del oscilador forzado se obtiene la expresión que proporciona el valor máximo de dicha amplitud, es decir:0 max 2 0
F
m
G
ω
=
2 0ω
−
(
)
(
)
(
)
02 2 2 2
2 2 2 2
0 0
4
4
2
F
m
β ω
β
β
β ω
β
=
−
+
+
−
Finalmente, sustituyendo valores:
(
)
max
