Tema 8 Oscilaciones

Texto completo

(1)

1

Movimiento Oscilatorio

1. Introducción.

2. El Movimiento Armónico Simple.

a) Estudio cinemático.

b) Estudio dinámico.

c) Estudio energético.

3. Péndulos.

a) Péndulo simple.

b) Péndulo físico.

4. Oscilaciones amortiguadas.

a) Energía del oscilador amortiguado.

(2)

Cuando se perturba un sistema y éste pierde su posición

de equilibrio, se produce una oscilación o vibración. Hay

muchos ejemplos familiares en los que podemos

observar este tipo de movimiento. Casos

representativos son el movimiento que describe el

péndulo de un reloj o el que se observa en un objeto

colgado de un muelle o resorte.

Esencialmente se trata de un movimiento de vaivén

alrededor de un punto fijo o punto de equilibrio. Este

movimiento puede ser regular en dirección y frecuencia

o aleatorio, que es lo más frecuente.

De todos los movimientos oscilatorios, el más importante es el

movimiento

armónico simple (MAS)

o movimiento vibratorio armónico. Además de ser

el más sencillo de describir y analizar, es representativo de otras muchas

oscilaciones que se observan en la naturaleza. Por eso, la mayor parte de

nuestro estudio se centrará en este tipo de movimiento.

(3)

3

2a.- Cinemática del Movimiento Armónico Simple (I)

Un movimiento armónico simple, como el que realiza

el sistema de la figura adjunta puede describirse

por una ecuación del tipo:

(

)

cos

ω

x

=

A

t

+

ϕ

Donde

A

,

ω

y

θ

son constantes características

del movimiento. Los parámetros que

caracterizan a este movimiento son los

siguientes:

x

(

elongación

)

es la posición que ocupa el móvil en cada instante,

medida desde la posición de equilibrio.

A

(

amplitud

)

es el máximo desplazamiento respecto a la posición de

equilibrio, es decir, es la máxima elongación.

T

(

periodo

)

es el tiempo que tarda el móvil en realizar una oscilación

completa.

f

(

frecuencia

)

es el número de oscilaciones que realiza el móvil es la

(4)

4

2a.- Cinemática del Movimiento Armónico Simple (II)

De la propia definición se desprende que

periodo

y

frecuencia

están

relacionados por:

1

f

T

=

La

frecuencia angular

,

ω

, puede relacionarse con el

periodo

o con la

frecuencia

mediante las expresiones:

2

ω

o bien

ω

2

f

T

π

π

=

=

Finalmente, el término

φ

se conoce como

fase inicial

o

corrección de fase

, y

nos da información acerca de la posición inicial del móvil, es decir, de la

posición cuando el tiempo,

t

, vale cero:

0

Obsérvese que cuando

t

=

0

x

=

A

cos

ϕ

El término (

ω

t

+

φ

) recibe el nombre de

ángulo de fase

o simplemente

(5)

5

2a.- Cinemática del Movimiento Armónico Simple (III)

Velocidad y Aceleración:

(

)

sen

dx

v

A

t

dt

ω

ω

ϕ

=

= −

+

2 2

v

= ±

ω

A

x

(

)

2

cos

dv

a

A

t

dt

ω

ω

ϕ

=

= −

+

2

a

= −

ω

x

2

2

2

0

d x

x

(6)

6

2a.- Cinemática del Movimiento Armónico Simple (IV)

En 1610 Galileo descubrió las cuatro lunas de Júpiter. Cada luna parecía moverse para delante y para detrás en lo que llamaríamos un movimiento armónico. Lo que realmente estaba viendo Galileo era un movimiento circular descrito por cada luna, pero lo estaba observando de perfil. Podemos utilizar lo que Galileo experimentaba para describir algunas propiedades del movimiento armónico simple utilizando un paralelismo con el movimiento circular uniforme

(7)

7

Ejemplo 1.

Un oscilador armónico lleva una velocidad de 2 cm/s cuando su elongación es 6 cm y 1,5 cm/s cuando su elongación es 8 cm. Calcular: la amplitud, el período, la velocidad máxima y la

aceleración máxima.

Consideremos la ecuación que relaciona la velocidad con la elongación de un oscilador armónico.

2 2

v

=

ω

A

x

Para las dos situaciones que indica el problema, tenemos que:

(

)

(

)

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

6

4

36

Resolviendo

10 cm

2,25

64

1,5

8

A

A

A

A

A

ω

ω

=

=

=

=



Y para la frecuencia angular:

4

=

ω

2

(

100 36

)

ω

=

0,25 rad/s

Por tanto, para el periodo

T

:

2

2

8 s

0,25

T

π

π

π

ω

=

=

=

(

0

)

max

sen

10 0,25 2,5 cm/s

dx

v

A

t

v

A

dt

ω

ω

ϕ

ω

=

= −

+

=

=

=

(

)

2 2 2 2

0 max

cos

10 0,25

0, 625 cm/s

dv

a

A

t

a

A

dt

ω

ω

ϕ

ω

=

= −

+

=

=

=

(8)

8

2b.- Dinámica del Movimiento Armónico Simple (I)

Según hemos visto:

a

= −

ω

2

x

¿Qué fuerza puede producir esa aceleración? De acuerdo con la ecuación

fundamental de la dinámica, podemos escribir:

2

F

=

m a

F

=

m a

= −

m

ω

x

= −

k x

Donde las dos constantes,

m

y

ω

2

, la hemos englobado en una sola,

k

.

Obsérvese que la fuerza que hemos obtenido es del tipo del que establece la

ley de Hooke, es decir, una fuerza de recuperación elástica, análoga a la que

se produce en un sistema masa-resorte cuando se separa la masa de la

posición de equilibrio.

Ya que:

k

m

2

o

=

k

m

ω

ω

=

El periodo de oscilación de

la masa será:

2

m

T

k

π

(9)

9

Ejemplo 2.

De un muelle está colgado un platillo de una balanza con pesas. El periodo de las oscilaciones verticales es igual a 0,5 s. Después de añadir más pesas al platillo, el periodo de las

oscilaciones verticales se hizo igual a 0,6 s ¿Qué alargamiento provocaron en el muelle las pesas añadidas?

El periodo en la primera situación vendrá dado por:

T

1

2

m

T

12

4

2

m

K

k

π

π

=

=

Y en la segunda: 2 2

2

2

2

4

m

m

m

m

T

T

K

k

π

+ ∆

π

+ ∆

=

=

Donde ∆

m

es la masa añadida que consigue aumentar el periodo de oscilación. Por otra parte, si llamamos ∆

x

al alargamiento que produce esa masa adicional, podemos escribir

que:

m

m g

k x

k

g

x

=

=

Si combinamos las ecuaciones de los periodos de oscilación, restándole a la segunda la primera, obtenemos:

2 2 2

2 1

4

m

T

T

=

π

(

+ ∆

m

m

)

4

2

m

K

π

k

=

Y sustituyendo el valor de

K

obtenido

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 2 1 2

9,8

4

0, 6

0,5

0, 027 m

4

4

g

x

T

T

x

T

T

g

π

π

π

(10)

10

2c.- Energía del Movimiento Armónico Simple (I)

La

energía cinética

de una partícula animada por un M.A.S. vendrá dada por:

{

}

(

)

2 2 2 2 2 2

1

1

2

2

c

E

=

mv

=

v

= ±

ω

A

x

=

m

ω

A

x

Mientras que la

energía potencial

puede obtenerse a partir de:

{

}

2 2 2 2

0 0 0

1

1

2

2

U x x

dU

= −

F dx

U

= −

k x dx

=

k x

=

k

=

m

ω

=

m

ω

x

Por tanto, la

energía mecánica

será:

(

)

2 2 2 2 2 2 2

M C

1

1

1

2

2

2

E

=

E

+

U

=

m

ω

A

x

+

m

ω

x

=

m

ω

A

O bien:

2

M

1

2

E

=

k A

(11)

11

2c.- Energía del Movimiento Armónico Simple (II)

E

C

-A

0

A

x

U(x)

E

Mecánica

E

C

(m

áx

im

a)

(12)

12

3.1.- El péndulo simple

Se trata de una partícula suspendida de un hilo inextensible y sin masa.

La fuerza que causa el movimiento oscilatorio es la componente tangencial de la fuerza peso:

T

sen

F

= −

mg

φ

Donde el signo menos se debe al hecho de que la fuerza siempre está dirigida en sentido opuesto al

desplazamiento. Así, tenemos que:

2

2

sen

sen

d s

mg

ma

g

dt

φ

φ

=

=

De donde, considerando que:

s

=

L

φ

2 2

2 2

d s

d

L

dt

dt

φ

=

Es decir:

2

2

sen

d

g

L

dt

φ

φ

= −

Para ángulos pequeños:

sen

φ φ

Por tanto:

2

2

d

g

L

dt

φ

φ

= −

Donde: 2

g

L

ω

=

Y, por consiguiente

T

2

L

(13)

13

3.2.- El péndulo físico

Es un sistema formado por un sólido rígido

suspendido de un eje fijo que no pasa por su CM.

Al separar el sólido de su posición de equilibrio un cierto ángulo aparece un momento recuperador que tiende a llevar de nuevo al sólido a su posición de equilibrio. Este momento es:

sen

M

= −

m g d

φ

Teniendo en cuenta la ecuación fundamental de la dinámica de rotación: 2

2

d

M

I

I

dt

φ

α

=

=

De donde: 2

2

sen

d

m g d

I

dt

φ

φ

= −

Para desplazamientos pequeños

2

2

d

m g d

I

dt

φ

φ

= −

Y, por tanto:

m g d

I

ω

=

cuyo periodo es:

T

2

I

m g d

π

=

(14)

14

Ejemplo 3.

Una varilla delgada y uniforme de masa

m

pivota sin rozamiento sobre un eje perpendicular a ella y que pasa por su CM. Un resorte horizontal, de constante elástica

K

se une al

extremo inferior de la varilla por uno de sus extremos, quedando el otro unido a un soporte fijo y rígido, como indica la figura, de forma que cuando la varilla se encuentra en posición vertical el resorte tiene su longitud natural. a) Demostrar que si la varilla se separa un pequeño ángulo θde su posición de equilibrio y se suelta realiza un M.A.S. b) Determine el

periodo del movimiento.

k

F

O

Tratamiento Dinámico:

De acuerdo con la ecuación fundamental de la dinámica de rotación, podemos escribir:

O 2

cos

2

1

12

k

L

M

F

M

I

I

m L

θ

α

=



=

⇒ 

=



Ya que:

F

K

= −

K x

Para ángulos pequeños

cos

1 y, por otra parte,

2

L

x

θ

=

θ

Tenemos que: 2

L

K

θ

1

2

4

=

12

m L

2 2

2 2

3

0

d

d

K

dt

dt

m

θ

θ

θ

+

=

(15)

15

Ejemplo 3 (continuación).

Tratamiento Energético:

Alternativamente, el problema también se puede resolver a través de consideraciones energéticas. En efecto, la energía mecánica total del sistema será la suma de la energía potencial elástica del resorte y la energía cinética de rotación de la varilla, es decir:

2 2

1

1

Constante

2

2

M

E

=

K x

+

I

ω

=

Por tanto, debe cumplirse que:

dE

M

0

dt

=

Si escribimos la ecuación de la energía mecánica de acuerdo con las consideraciones hechas en el tratamiento anterior, tenemos que:

2

2 2 2

1

1 1

2

4

2 12

M

L

E

=

K

θ

+

m L

ω

Y derivando respecto del tiempo:

1

2

8

M

dE

K L

dt

=

2

d

dt

θ

θ

1

2

+

1

2

12

m L

2

ω

0

d

dt

ω

=

2 2 2 2

1

1

3

0

0

4

12

d

d

K

K

m

dt

dt

m

θ

θ

θ

+

=

+

=

Que es la misma ecuación obtenida

anteriormente.

b) Para obtener el periodo: 2

3

2

3

2

3

K

K

m

T

m

T

m

K

π

(16)

16

4.- Oscilaciones Amortiguadas (I)

En los sistemas reales son frecuentes la presencia de fuerzas disipativas (fuerzas de rozamiento, en general) que ocasionan

pérdidas de la energía mecánica del sistema oscilante dando lugar a las denominadas Oscilaciones Amortiguadas.

Consideremos un caso como el que muestra la figura, donde la fuerza disipativa es proporcional a la velocidad de cuerpo y sentido

contrario:

R

F

= −

b v

donde

b

es una constante positiva.

dv

F

m a

k x b v

m

dt

Σ =

=

La ecuación dinámica para este sistema será:

Que puede escribirse como:

2 2

0 0

2

0

donde

2

dv

k

b

v

x

y

dt

+

β

+

ω

=

ω

=

m

β

=

m

siendo

β

el denominado

factor de amortiguamiento.

Obteniéndose finalmente:

2

2 0

2

2

0

d x

dx

x

dt

dt

+

β

+

ω

=

(17)

17

4.- Oscilaciones Amortiguadas (II)

Analizaremos tres soluciones particulares de la ecuación del Oscilador Amortiguado:

2 2

0

ω

>

β

1.- Si la solución es del tipo:

(

1

)

cos

t

x

=

Ae

−β

ω

t

φ

donde

A

y son constantes de integración, y donde ω

1 es la denominada

frecuencia

angular del oscilador amortiguado,

que viene dada por:

φ

2 2

1 0

ω

=

ω

β

2.- Si se dice que el movimiento está

amortiguado críticamente

y la solución es del tipo:

2 2

0

ω

=

β

(

)

t

x

=

A

+

B t e

−β

donde

A

y

B

son ahora las constantes de integración.

3.- Si se dice que el movimiento está

sobreamortiguado

y la solución es del tipo:

2 2

0

ω

<

β

2 2

1 2

t t

t

x

=

e

β

A e

ω

+

A e

ω

donde

A

1 y

A

2 son ahora las constantes de integración, y:

ω

2

=

β

2

ω

02

(18)

18

4.- Oscilaciones Amortiguadas (III)

-

A

e

-(b/2m) t

T

= 2

π

/

ω 0

ω

0

= (

k

/

m

)

1/2

8

T

7

T

6

T

5

T

4

T

3

T

2

T

T

-

A

A

t

A

e

-(b/2m) t

x

(

1

)

cos

t

x

=

Ae

−β

ω

t

φ

(19)

19

4.- Oscilaciones Amortiguadas (IV)

En un caso de bajo amortiguamiento, es decir, donde ω

1 ≈ ω0 la comparación entre un

movimiento oscilatorio ideal (sin amortiguar) y amortiguado, sería como muestra la figura.

5

T

4

T

3

T

2

T

-

A

A

x

t

(20)

20

4.- Oscilaciones Amortiguadas (V)

Amortiguado críticamente

(

ω

0 2

=

β2

)

Sobreamortiguado

(

ω

0 2

<

β2

)

t

x

En las soluciones no oscilatorias, es decir, la segunda y tercera, la representación gráfica sería la que muestra la figura.

(

)

t

Amortiguado críticamente

x

=

A

+

B t e

−β

2 2

1 2

Sobreamortiguado

t t

t

(21)

21

4a- Energía del Oscilador Amortiguado

Ya que la energía mecánica de un oscilador es proporcional al cuadrado de la amplitud, y esta decae exponencialmente con el tiempo en el oscilador amortiguado, la energía

también disminuye exponencialmente con el tiempo, es decir:

2 2 2

0 0

1

1

donde

2

2

t

E

=

k A

=

m

ω

A

A

=

A e

−β

Aunque no lo haremos aquí, puede demostrarse que la energía promedio por ciclo, viene dada por:

E

2 2 2 2

0 0 0

1

2

t t

E

=

m

ω

A e

− β

=

E e

− β

donde

A

0 es la amplitud del oscilador sin amortiguar. Por tanto:

donde

E

0 es la energía del oscilador sin amortiguar. Por tanto:

2 0

t

E

=

E e

− β

2 2 2

0 0

1

1

(

)

2

2

t

(22)

22

5.- Oscilaciones Forzadas

En las oscilaciones reales inevitablemente existe

amortiguamiento. Por eso la amplitud de la oscilación disminuye con el tiempo hasta que la oscilación se extingue. Para mantener la oscilación es necesario comunicar energía al sistema oscilante para compensar las pérdidas producidas por las fuerzas

disipativas.

Este aporte de energía se consigue mediante la aplicación de una fuerza externa, en cuyo caso hablamos de un Oscilador

Forzado.

El carácter de esa fuerza externa puede ser muy diverso, pero un caso sencillo de estudiar y relativamente frecuente es el de una fuerza que varía con el tiempo de forma sinusoidal, es decir:

0

( )

cos

F t

=

F

ω

t

donde ω es la frecuencia angular de la fuerza externa, que no debe confundirse con la frecuencia natural del oscilador ω0. La aplicación de la ecuación fundamental de la dinámica en este caso sería:

( )

F

m a

k x b v

F t

ma

Σ =

+

=

O bien:

2

2 0

0

2

2

cos

F

d x

dx

x

t

dt

m

(23)

23

5.1.- Solución de la Ecuación del Oscilador Forzado

La solución de la ecuación diferencial que describe el Oscilador Forzado consta de dos términos. Es decir:

(

)

(

)

1

cos

cos

t g g p p

x

Ae

t

x

x

x

x

G

t

β

ω

φ

ω

θ

=

=

+

=

Obsérvese que

x

g es la solución del Oscilador Amortiguado, mientras que

x

p es una

solución particular que contiene dos parámetros,

G

y θ, que son la amplitud del oscilador forzado y el desfase con respecto a la fuerza impulsora, respectivamente, dados por:

(

)

0

2

2 2 2 2

0

4

F

m

G

ω

ω

ω β

=

+

02 2

2

arctan

ω β

θ

ω

ω

=

y

Por tanto, la solución del Oscilador Forzado es de la forma:

(

1

)

(

)

cos

cos

t

x

=

Ae

−β

ω

t

φ

+

G

ω

t

θ

(24)

24

5.2.- Características de los parámetros del Oscilador Forzado

(

)

0

2

2 2 2 2

0

4

F

m

G

ω

ω

ω β

=

+

ω

0

b = 0

b = 4.4

b = 2.4 b = 1.6

b = 0.8

b = 0.4

G

ω

aumenta β

aumenta β π

π/2

θ

ω

0

ω

2 2

0

2

arctan

ω β

θ

ω

ω

=

Obsérvese que la posición del máximo de la amplitud depende del valor de

β

.

Obsérvese que, independientemente del valor de

β

,

cuando el desfase entre la fuerza impulsora y el oscilador siempre es de

π

/2.

(25)

25

5.3.- Potencia suministrada al Oscilador Forzado (I)

¿Bajo qué condiciones el agente que ejerce la fuerza impulsora suministra la máxima potencia al oscilador? La potencia entregada al oscilador vendrá dada por el producto de la fuerza impulsora por la velocidad en cada instante del oscilador, es decir:

(

)

(

)

(

)

0

cos

cos

cos

donde

2

F

F

t

P

F v

dx

d G

t

v

G

t

dt

dt

ω

ω

θ

π

ω

ω

δ

δ

θ

=

=

=

=

=

= −

Puede demostrarse que la potencia instantánea entregada al oscilador viene dada por:

{

2

}

0

cos

cos

cos

sen

sen

P

=

G F

ω

ω

t

δ

+

ω

t

ω

t

ω

t

Y la potencia promedio corresponderá al valor medio de la función anterior, es decir:

0

1

cos

2

P

=

G

ω

F

δ

donde el término “

cos

δ

” es el denominado

factor de potencia

.

Obsérvese que la potencia promedio suministrada es máxima cuando

cos δ = 1

, es decir, cuando

δ = 0

, o lo que es lo mismo, cuando

F

y

v

están en fase. Esto también implica que el desfase

θ

sea

π

/2

, lo que ocurre cuando

ω

=

ω

0, como se ha visto

(26)

26

5.3.- Potencia suministrada al Oscilador Forzado (II)

En definitiva, cuando la frecuencia de la fuerza impulsora coincide con la frecuencia natural del oscilador se produce una máxima transferencia de potencia del primero al segundo. A esta situación se le denomina RESONANCIA EN LA TRANSFERENCIA DE POTENCIA.

Veamos gráficamente esta situación: Ahora se observa que cuanto menor es el amortiguamiento mayor es el valor de la potencia entregada y más estrecha es la curva de potencia. Sin embargo, también se observa que la máxima potencia entregada siempre ocurre cuando lo cual es contrario a lo que se observaba en el caso de la amplitud

G

.

Por tanto, debemos distinguir entre la situación de Resonancia en la

transferencia de potencia, en la que

siempre la frecuencia de la fuerza impulsora coincide con la natural del oscilador, y la

Resonancia en Amplitud que depende del factor de amortiguación

β

.

(27)

27

Ejemplo 4.

Un cuerpo de 2 kg de masa oscila sujeto a un muelle de constante elástica 400 N/m. La constante de amortiguamiento b es de 2 Kg/s. El cuerpo es impulsado por una fuerza

sinusoidal de valor máximo 10 N y frecuencia angular 10 rad/s. Determinar: a) la amplitud de las oscilaciones, b) la frecuencia de resonancia en transferencia de energía, y c) la amplitud de las oscilaciones en el caso de resonancia en amplitud.

a) Considerando estado estacionario, tenemos para la amplitud de las oscilaciones:

(

)

2 2

0 0

2 2

2 2 2 2 2 2

0 2

400

200 (rad/s)

2

4

4

0, 25 s

4

4 4

K

F

m

m

G

b

m

ω

ω

ω

β ω

β

=

=

=



=

+

=

=

=

Sustituyendo valores:

(

)

2

10

2

0,0497

0,05 m

200 100

4 0, 25 100

G

=

=

+ ⋅

b) La frecuencia de resonancia en transferencia de energía es igual a la frecuencia natural del oscilador y, por tanto:

RTE 0 RTE

200

14,14 rad/s

(28)

28

Ejemplo 4 (continuación).

c) Para obtener la condición de resonancia en amplitud es necesario establecer la condición de máximo a la amplitud del oscilador forzado:

0

G

G

ω

ω

=

Que conduce a la relación:

2 2

0

2

G

ω

=

ω

β

Sustituyendo valores

200 2 0, 25

14,124 rad/s

G

ω

=

− ⋅

=

Sustituyendo el valor de

ω

G a la ecuación de la amplitud del oscilador forzado se obtiene la expresión que proporciona el valor máximo de dicha amplitud, es decir:

0 max 2 0

F

m

G

ω

=

2 0

ω

(

)

(

)

(

)

0

2 2 2 2

2 2 2 2

0 0

4

4

2

F

m

β ω

β

β

β ω

β

=

+

+

Finalmente, sustituyendo valores:

(

)

max

10

2

0,35 m

4 0, 25 200 0, 25

G

=

=

Figure

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Referencias

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