ALGEBRA. Escuela Polit´ecnica Superior de M´alaga
Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Espacio vectorial. Espacios vectorialesRn. Dependencia e independencia lineal. Base. Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales. Teorema de Rouch´e-Frˆobenius. Interpretaci´on geom´etrica. M´etodo de Gauss. Subespacio vectorial. Intersecci´on y suma de subespacios. Suma directa.
Tema 2. Aplicaciones lineales. Diagonalizaci´on de endomorfismos. Aplicaci´on lineal. Matrices asociadas. N´ucleo e imagen de una aplicaci´on lineal. Valores y vectores propios. Subespacios invariantes. Criterios de diagonalizaci´on de un endomorfismo. Formas Can´onicas.
Tema 3. Espacio af´ın y Eucl´ıdeo. Movimientos. Espacio af´ın. Espacio Eucl´ıdeo. Pro-ducto vectorial. Problemas afines y m´etricos en el plano y en el espacio. Diagonalizaci´on or-togonal. Transformaciones ortogonales. Clasificaci´on. Transformaciones afines. Movimientos. Clasificaci´on y elementos geom´etricos. Formas cuadr´aticas. C´onicas y cu´adricas. Clasificaci´on.
Tema 4. ´Algebra lineal num´erica. Normas matriciales. M´etodos de Jacobi. Estimaci´on de errores. C´alculo de autovalores y autovectores.
Tema 5. Ecuaciones Diferenciales Lineales. Matriz exponencial. Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales lineales de orden n.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Espacios vectoriales. Sistemas de ecuaciones.
1. Determina cu´ales de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales. Para aquellos que lo sean, halla una base.
(a) S={~x∈R3|~x= (λ,2λ,−λ)∈R3}
(b) T ={(x, y)∈R2|x2+y= 0}
(c) R={x, y, z)∈R3|x= 0, y = 2t−λ, z =t+λ}
(d) P ={(x1, x2, x3)∈R3|x1 = 2x2 +x3}
(e) Q={(x1, x2)∈R2|x1−x2 = 1}
2. Calcula la dimensi´on del subespacioU generado por los vectores (1, a,1),(1,1,1) y (0,0, a) seg´un los valores de a. Calcula las ecuaciones param´etricas y cartesianas de U para los valores dea para los que la dimensi´on de U es igual a 2.
3. Prueba que los vectores (2,5,3),(0,−1,−1) engendran el mismo subespacio que los vec-tores (4,9,5),(2,7,5). Expresa tres bases distintas de este subespacio.
4. Halla las inversas de las siguientes matrices mediante transformaciones elementales.
5 8 1 −1
0 1 1 1 1 −1 2 3 0
5. Dado el sistema
x1−2x2+ 2x3+x4 = 0
−x1+ 2x2+ 2x3 + 3x4 = 4
2x1−x2 =−2
3x1+ 3x2−2x3+x4 =−2
(a) Resuelvelo mediante escalonamiento Gauss-Jordan. Halla una base del subespacio de sus soluciones.
(b) Expresa, si es posible, la cuarta ecuaci´on v4, como combinaci´on lineal de las otras
tres, v1, v2,v3.
6. Analiza para qu´e valores reales deael siguiente sistema tiene soluci´on y resu´elvelos usando el m´etodo de eliminaci´on de Gauss.
x1+x2 +x3 = 1
2x1+ 2x2+ (1−a2)x3 = 2a
7. Estudia la compatibilidad del sistema seg´un los valores que toman a y b:
x1 −4x2+ 3x3 =a
x1 + 2x2+ 7x3 =b
2x1−2x2+ 10x3 = 0
8. Dados los subespacios vectoriales U y V deR3
U ≡x1−2x2+x3 = 0, V ≡
x1 = 2t
x2 =t
x3 = 3λ
Calcula las ecuaciones param´etricas y cartesianas, una base y la dimensi´on de los sube-spacios U+V y U ∩V.
9. Dados los subespacios U y V deR4
U ={<(1,0,1,1),(1,−1,−1,0),(0,1,2,1)>}
V ={x1, x2, x3, x4)∈R4|x1−x3−x4 = 0, x2+x3 = 0}
2. Aplicaciones lineales. Diagonalizaci´on de endomorfismos.
1. Determina si las siguientes aplicaciones son o no lineales.
(a) f(x1, x2, x3) = (x1+x2+x3,2x1−x2)
(b) f(x1, x2, x3) = (x12−x22,2x3,0)
(c) f(x1, x2) = (x1, x2+ 2, x1+x2)
(d) f(x1, x2) = (x1+ 2x2,0, x1x2)
2. Dada la aplicaci´on lineal f(x1, x2, x3) = (x1+ 2x2−4x3,2x1+ 3x2+x3)
(a) Calcula la matriz A de f respecto a las bases can´onicas.
(b) Calcula las ecuaciones cartesianas si las hubiera y param´etricas del n´ucleo y de la imagen def. Indicar si f es entonces inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.
(c) Buscar la relaci´on entre la matriz A y aquella otraBdefque est´a expresada respecto a las bases {1,−1,0),(−2,0,1),(0,0,−2)},{(−1,0),(−2,1)}
3. La matriz de la transformaci´on lineal en R2 expresada respecto a las bases {(3,1),(1,1)}
y {(0,2),(−1,1)}es
−2 0 0 1
, Determina matricialmente cual ser´ıa la matriz respecto
a las bases can´onicas.
4. Dada la aplicaci´on lineal f(x1, x2, x3) = (x1+x2+x3, x1+x2, x3)
(a) Halla las ecuaciones param´etricas y cartesianas del N´ucleo y de la Imagen de f y clasif´ıcala.
(b) Halla una base de f(V) siendo V el subespacio cuya ecuaci´on cartesiana es x3 = 0
(c) Halla las coordenadas de f(2,3,0) en la base def(V) obtenida anteriormente.
(d) determina f−1(3,2,1)
5. Sabiendo que la aplicaci´on lineal f tiene a (−2,0) como autovector asociado al autovalor λ=−2 y que el vector (0,5) pertenece aKerf. Calcula la f´ormula def.
6. Diagonalizar la matrizA=
1 2 3 2
, dando la matriz de paso, la base de vectores propios
y la relaci´on entre la matriz dada y la diagonal. CalcularA3.
7. Estudiar para qu´e valores del par´ametro a es diagonalizable el siguiente endomorfismo f: R3 →
8. Se considera la matriz A=
1 0 0 a a 0 2 b 2
, siendoa y b n´umeros reales.
(a) Calcula el polinomio caracter´ıstico de A, as´ı como sus autovalores.
(b) ¿Para qu´e valores de a y b la matriz A es diagonalizable?
9. Consideremos el endomorfismo f : R3 →
R3 cuya matriz asociada respecto de la base
can´onica es A=
1 −3 3 3 −5 3 6 −6 4
(a) Determina los valores y vectores propios de f
(b) Calcula las dimensiones y determinar una base de los subespacios propios asociados a los valores propios.
(c) ¿Es posible caracterizar el endomorfismo f mediante una matriz diagonal?
10. Sea f un endomorfismo en R3 cuya matriz asociada respecto de la base can´onica es
A=
−1 2 a 0 1 2 0 4 3
(a) Determina para que valor de a esA diagonalizable.
(b) En el caso en que sea posible, halla una base de autovectores B.
(c) Da una matriz diagonal D que represente af respecto de la base B.
(d) ¿Qu´e relaci´on existe entre las matrices A y D?
(e) Usa la relaci´on anterior para calcularA6.
11. La sucesi´on an satisface la relaci´on an = an−1 + 2an−2 que matricialmente es expresada
como:
an an−1
=
1 2 1 0
an−1
an−2
Sia0 = 1 ya1 = 1, calcula a200. Calcula el t´ermino general de la sucesi´on.
12. Consideremos la base can´onica de R3 y A la matriz del endomorfismo referida a dicha base. En dicho endomorfismo, los subespacios
V1 ={(x, y, z)∈R3 |x+y+z = 0}
V2 ={(x, y, z)∈R3 |x−y= 0, x−z = 0}
(a) Diagonaliza el endomorfismo.
(b) Determina una base de vectores propios.
3. Espacio af´ın y eucl´ıdeo. Movimientos.
1. Dada la recta
x+y−z = 2 x−y+z = 0
y sobre ella el punto A(1,1,0), halla los puntos que est´an situados sobre la recta y que est´an a una distancia de 3√2 unidades de A.
2. Calcular el plano que pasa por los puntosP = (3,2,1) yQ= (3,1,−5) y es perpendicular al plano 6x+ 7y+ 2z = 10
3. Resuelve vectorialmente el ´angulo entre una de las diagonales de un cubo, y una de sus caras.
4. Sean los puntosA(1,0,1) yB(2,1,3).
(a) Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por A y B.
(b) Calcula el ´area del paralelogramo de v´ertices consecutivos ABCD sabiendo que la recta determinada por los v´ertices C y D pasa por el origen de coordenadas.
5. Halla el volumen del prisma cuya base es el paralelogramo de v´ertices (1,0,1), (3,1,4), (0,2,9) y (−2,1,6), y cuya altura es 2.
6. Dadas las rectas
r1 ≡
x1−x2−2x3 = 2
3x1−x2 = 1
y r2 ≡x1 =t, x2 = 1 + 2t, x3 = 0
(a) Halla la recta que pasa por (1,0,1) y por r1 y r2.
(b) Halla la recta que pasa por (1,0,1) y es perpendicular a r1 y r2.
(c) Halla la distancia entre r1 y r2.
7. Diagonalizar las matrices sim´etricas siguientes, calculando una matriz de paso ortogonal:
A=
0 1 1 1 0 1 1 1 0
B =
0 1 1 1 0 0 1 0 0
8. Dada la matriz
A=
1 −1 −1
−1 1 −1
−1 −1 1
(a) Estudiar si existe una matriz diagonal, D, que sea semejante a A.
(b) Encontrar una matriz P tal que P−1AP =D.
(c) ¿Existe una matriz de paso ortogonal? Si es as´ı, calc´ulala. Calcula, si es posible, A−1 y A2002.
9. En el espacio vectorial eucl´ıdeo R3 se pide:
(a) Determinar un vector unitario que sea ortogonal a los vectores (1,2,1), (0,−1,1) . (b) Obtener una base de vectores ortonormales para el subespacio: V =<(1,2,1), (0,−1,1)>
(c) Definir enR3un producto escalar que no sea el usual y encontrar una base ortonormal
respecto de dicho producto escalar.
10. Se define para f, g ∈ P1(R) el siguiente producto escalar :
hf, gi= Z 1
0
f(t)g(t)dt
Calcular:
(a) La matriz del producto escalar referida a la base {1, t}
(b) El coseno del ´angulo que forman p(t) = t+ 3; q(t) = 2t+ 4
(c) Una base ortonormal a partir de la base {1, t}
11. (Proyecci´on Ortogonal.) Halla la matriz de la transformaci´on lineal que transforma un punto del espacio en su proyecci´on sobre el subespacio (plano) que generan los vectores (1,0,1),(2,1,0). Halla la proyecci´on de la recta r2 sobre ese plano.
12. EnR3con el producto escalar usual, se considera el subespacioU generado por los vectores u1 = (1,1,−1), u2 = (1,−2,1).
(a) Calcula una base ortonormal {e1, e2} para U.
(b) Amplia la base anterior para obtener una base ortonormal {e1, e2, e3} deR3.
(c) Calcula U⊥ el complemento ortogonal de U.
(d) Calcula la proyecci´on ortogonal del vector (1,0,4) sobreU y sobre U⊥.
13. (Giro alrededor de un eje) Calcula la matrizArespecto a la base can´onica de la isometr´ıa que realiza un giro de ´angulo π6 alrededor del vector (1,2,2)
15. justifica que la transformaci´on af´ın,
y1
y2
=
1/2 √3/2
−√3/2 1/2
x1
x2
+
2 4
es un giro. Halla el punto alrededor del cual gira.
16. En el espacio af´ınR3 se considera la transformaci´on af´ın Θ cuyas ecuaciones son:
y1 = 1 +x2
y2 =
3 5x1−
4 5x3
y3 = 2 +
4 5x1+
3 5x3
siendo (x1, x2, x3) las coordenadas de un punto deR3 y (y1, y2, y3) las de su transformado.
¿Es Θ un movimiento?¿C´ual es el transformado del (0,0,0)?
17. Una afinidad transforma P1 = (0,0,0), P2 = (1,0,0), P3 = (1,1,0), P4 = (1,1,1) en los
puntos (1,1,1),(1,2,3),(1,2,4),(0,0,0), respectivamente. Hallar las ecuaciones de dicha transformaci´on respecto a la can´onica. Si es un movimiento, describe cu´al.
18. Halla las ecuaciones de los movimientos en R2:
(a) La que a cada punto le corresponde su giro de ´angulo π/3 respecto al centro (3,5).
(b) La que al realizar un giro de ´angulo π
2 lleva el punto (2,2) al punto (0,2). Calcular
tambi´en el centro de giro.
(c) La que a cada punto le hace corresponder su sim´etrico respecto a la rectax1+2x2 = 2
19. (Simetr´ıa enR3.) Con respecto a la base can´onica, halla la ecuaci´on de la transformaci´on
af´ın que enR3transforma un punto en su sim´etrico (reflexi´on) respecto al planox+y−z = 1. Halla sus puntos fijos si los hubiera.
20. Dada la c´onica 2x1x2+ 2
√
2x1 = 1
(a) Expresa la c´onica matricialmente como XtAX+BX = 1.
(b) Diagonaliza A ortogonalmente, A=QDQt con Qmatriz de paso ortogonal y medi-ante la sustituci´onX =QT en la anterior expresi´on halla la ecuaci´on reducida de la cnica en posici´on estandar con los nuevos ejes T. Clasif´ıcala.
(c) Calcula el centro con respecto a las variables T. Calcula el centro de la c´onica original con respecto a sus variables X.
21. Procede como en el ejercicio anterior para cada c´onica o cu´adrica:
(a) 2x2
1+ 4x22−4x23+ 6x2x3−5x1+ 3x2 = 2
(b) x2−2xy+y2+ 4√2x= 4
(c) x2−8xy+ 16x−3z = 8
(d) 2xy+ 2xz = 1
5. Ecuaciones Diferenciales Lineales.
1. El volumen de cierta sustancia tiene un crecimiento relativo constante de un 20% cada a˜no. Si ahora el volumen es 2, calcula la funci´on de crecimiento en cualquier tiempo t.
2. C´alculo de la matriz exponencial. Calcula la matriz exponencial eA para cada una de las matrices,
A= 1 0 0 3 ,A= a 1 0 a .
3. Resoluci´on de sistemas. Para cada sistema que sigue, halla la matriz de paso P con los vectores propios por columnas. Calcula la soluci´on general ~x = eAt~c = P eDtP−1~c,
con~c vector constante. Calcula la soluci´on particular para los valores de~c=
x1(0)
x2(0)
indicados.
(a) Aparecen ra´ıces distintas reales.
x01(t) = 3x1(t)−x2(t)
x02(t) = −2x1(t) + 2x2(t)
~c=
90 150
(b) Ra´ıces complejas.
x01(t) = x1(t) +x2(t)
x02(t) = −x1(t) +x2(t)
~c=
1000 1000
(c) Ra´ıces dobles.
x01(t) = 2x1(t)−x2(t)
x02(t) = x1(t) + 4x2(t)
~c=
500 100
Indicaci´on: Aqu´ı la matriz no es diagonalizable y s´olo puede obtenerse un vector propio, el teorema siguiente proporciona una forma de calcular la exponencial.
TEOREMA: SiAmatriz 2×2 no diagonalizable, con valor propioλ, y ´unico vector propio independiente
~
v1,Ces la matriz (v~1, ~v2), dondev~2es el vector que satisface (A−λI)v~2=v~1, entoncesA=CJ C−1con
J = λ 1 0 λ .
4. Una leve modificaci´on del problema anterior para que las ra´ıces sean distintas reales.
x01(t) x02(t)
=
2 −1 0.99 4
x1(t)
x2(t)
, ~c =
500 100
. Compara la soluci´on con la del
problema anterior.
5. Sistema3×3.
x01(t) = x1(t)−x2(t) + 4x3(t)
x02(t) = 3x1(t) + 2x2(t)−x3(t)
x03(t) = 2x1(t) +x2(t)−x3(t)
6. Resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales lineales:
x01(t) =−1
2x1(t)+ x2(t)
x02(t) = 14x1(t)+−12x2(t)
que corresponde con unmodelo de especies en cooperaci´on. 7. Sea
A=
1 2 3 2 1 3 3 3 0
Sabiendo que −(λ−6)(λ+ 1)(λ+ 3) es su polinomio caracter´ıstico, calcular eA.
8. Problema de mezcla de fluidos. En un tanque 1, hay 1000 litros de agua salada con 100 kilos de sal en ella disuelta. En un segundo tanque 2, hay 1000 litros de agua pura.
Se hace fluir agua pura hacia el tanque 1 a raz´on constante de 20 litros por minuto al mismo tiempo que la mezcla fluye del tanque 1 al 2 a raz´on de 30 litros por minuto. El tanque 2 a su vez, vuelve a mandar al tanque 1, 10 litros por minuto (se retroalimenta) y otros 20 por minuto hacia afuera del tanque.
Halla la cantidad de sal que hay en cada instantet en cada tanque.
Indicaci´on: Considera que x1(t), x2(t) representan la cantidad de sal en los respectivos
tanques en un tiempo t, siendo x1(0) = 100, x2(0) = 0.
9. Una placa rectangular 4 metros de ancha por 2 de alta centrada en (0,0) con sus lados paralelos a los ejes (el lado m´as largo es paralelo al eje 0X) se dilata por minuto en la direcci´on del eje OX un 20% y en la direcci´on del eje OY un 50%. Calcula las medidas del rect´angulo en el minuto t. Determina d´onde de encuentra el punto (1,1) de la placa al cabo de 6 minutos.
Nota: Considerar x1(t), x2(t) las longitudes de la placa en el tiempo t en las direcciones
OX y OY respectivamente.
10. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
(a) x00+ 5x0+ 6x= 0;x(0) = 1, x0(0) = 0; (b) x00+ 6x0+ 9x= 0;x(0) = 1, x0(0) = 2;