GUIA MATEI pdf

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Plantel 06 “ Vicente Guerrero”

1 COLEGIO DE BACHILLERES

CONTENIDO

Bloque temático I: Contamos contigo

Resolución de problemas por métodos aritméticos. Razones y proporciones (directa e inversa).

Series y sucesiones (aritméticas y geométricas). Lenguaje y notación algebraica.

Leyes de los exponentes.

Bloque temático II: Construyendo la pirámide

Operaciones con polinomios, relación de la multiplicación con los productos notables: binomio al cuadrado, binomio con término común y binomio conjugado.

Operación y simplificación de expresiones algebraicas.

Bloque temático III: Todos los caminos llegan a Roma

Ecuaciones de primer grado con una y dos incógnitas.

Sistemas de ecuaciones por el método gráfico y los métodos algebraicos.

Guía de primer semestre

Matemáticas I

Solución de problemas reales

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2

Antes de iniciar con las problemáticas deberás contestar los siguientes ejercicios

1. Analiza la siguiente expresión aritmética: 8 3 2 13 5 4

Calcula el resultado correcto suprimiendo adecuadamente los signos de agrupación.

A) 68 B) 26 C) 25 D) 49

2. Un terreno de forma cuadrada mide por lado 12 m. ¿Cuál es el precio total del terreno, si el metro cuadrado tiene un valor de $875.00?

A) $126,000.00 B) $152,000.00 C) $142,500.00 D) $100,000.00

3. Un jugador de béisbol conectó 190 hits en la última temporada, pero también cometió 112 strikes. ¿Cuál es la razón del número de hits respecto al número de strikes?

A) 1.9 B) 2.1 C) 1.7 D) 1.5

4. La expresión “la suma de dos números” se representa en lenguaje algebraico como:

A) 2 1 5x

B) x y C) 3 w D) x y

5. A expresión “la suma de dos números” se representa en lenguaje algebraico como:

A) 2 1 5x

B) x y C) 3 w D) x y

6. Cuando un factor se multiplica repetidamente por sí mismo puede expresarse

abreviadamente, por ejemplo2 (2)(2)(2)(2)

4

. ¿Qué nombre recibe el número 2 en esta expresión abreviada?

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3

7. Analiza la siguiente expresión algebraica:

2x y z 3x 2y 2z

La reducción de términos semejantes nos conduce a la expresión:

A) 5x y 3z B) 3x 3y 3z C) 5x 3y z D) 5x y 3z

8. Analiza el siguiente enunciado.

La base de un rectángulo es 5 m. mayor que el triple de su altura y su perímetro es de 90 m.

¿Cuál es la expresión algebraica que le corresponde?

A) 2(5 3x) 2x 90 B) 2(3x 5) 2x 90 C) 2( 5 3x) 2x 90

D) 2( 3x 5) 2x 90

9. La expresión 2

3 2 1

n

m _{puede ser representada también como:}

A)

3

mn

_B) 3

m

2

n

2 _C₎ 3

m

2

n

2 _D₎

m

n

3

10. La distancia aproximada de la tierra al sol es de 9.3x107 millas. Esta cantidad expresada en forma desarrollada es:

A) 93 030 000 millas. B) 93 000 000 millas. C) 903 000 00 millas. D) 93 300 000 millas.

11. Al multiplicar

x

3 2

2 x

2

x

2

5

, el resultado es:

A)

x

6

4 x

3

5 x

2 B)

x

5

6 x

2

5 x

2 C)

x

6

4 x

3

5 x

(4)

4

12. El resultado del desarrollo del siguiente binomio

2

3

2 x

_es:

A) 4x2 12x 9 B) 4x2 12x 9 C) 4x2 12x 9 D) 4x2 12x 9

13. Al factorizar la siguiente expresión

x x x3 9 2 3

El resultado es:

A) 3 9 1

2

x x

x _B) x3x2 9x 1 _C) x 3x 9x 1 _D) x3x2 9x 1

14. Al factorizar la expresión

8 2 4 1 25 36 b a

, se obtiene un producto notable de la forma:

A) 4 4 2 1 5 6 2 1 5 6 b a b a B) 4 4 2 1 5 6 2 1 5 6 b a b a C) 4 4 2 1 5 6 2 1 5 6 b a b a D) 4 4 2 1 5 6 2 1 5 6 b a b a

15. Analiza la siguiente figura.

a a a2 b2 b b ? ab

¿Cuál es el valor que falta en la figura?

A) b B) ab C) b2 D) a

16. La simplificación de la siguiente expresión

16

40

25

16

2 2

x

es:

A) 4 5

5 4

x x

B) 4 5

5 4 x x C) 5 5 4 x x

D) 4 5

5 4

(5)

5

17. La edad de Andrea es el doble de la edad de Gabriela, y ambas edades suman 24 años. ¿Cuáles son las edades de Andrea y Gabriela?

A)Andrea: 14 años.

Gabriela: 7 años.

B)Andrea: 15 años.

Gabriela: 9 años.

.

18. Resuelve la ecuación 7 1

2 1 2

1

x x

A) x = – 2 B) x = 1 C) x = – 1 D) x = 2

19. ¿Cuál es el valor de la incógnita en la ecuaciónx 2x 1 8 3x 3 ?

A) x 3 B) x 5 C) x 2 D) x 6

20. Resuelve el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales por el método de reducción (suma y / o resta).

5 2 3

4 4

y x

El resultado es:

A) x = 2 y y = -0.5 B) x = -2 y y = -0.5

C) x = 2 y y = 0.5 D) x = -2 y y = 0.5

C)Andrea: 13 años.

Gabriela: 11 años.

D)Andrea: 16 años.

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6

PROBLEMÁTICA SITUADA No. 1

Romualdo alumno de primer ingreso al COLEGIO DE BACHILLERES permaneció de vacaciones del 10 de Julio al 24 de Agosto del año en curso, además al presentar su examen para ingreso al nivel medio superior manejo 6 de 20 opciones de COMIPENS. El resultado para manejar la primera opción fue de 128 reactivos y contesto correctamente 76. También pagó por cuota de inscripción $ 100.00, 7 cuadernos profesionales de $20.00 c/u, 3 bolígrafos de $5.00 c/u y 5 lápices de $3.50 c/u., Ropa personal 2 pantalones de $575.00 c/u 2 playeras de $425.00 c/u y un par de tenis de $800.00. El presupuesto que considero los padres del alumno fue de $3500.00

1. ¿Cuánto dinero ha gastado Romualdo?

2. ¿Es suficiente con respecto a lo presupuestado?

3. ¿Qué operaciones tiene que realizar?

Construcción e interpretación del problema

Multiplicar el número de artículos que compró por el precio de cada uno de ellos

Un pago de cuota por inscripción por $100.00 1(100) = $100.00

7 cuadernos por $20.00, esto es: $140.00 7(20) = $140.00

3 bolígrafos por $5.00, esto es: $15.00 3(15) = $15.00

5 lápices por $3.50, esto es: $17.50 5(3.50) = $17.50

2 pantalones por $ 575.00, esto es: $1 150.00 2(575) = $1 150.00

2 playeras por 425.00, esto es: $850.00 2(850) = $850.00

Un par de tenis por $800.00 1(800) = $800.00

Realizando una suma, sabremos si le alcanzará su presupuesto:

(7)

7

$140.00 Cuadernos

$15.00 Bolígrafos

$17.50 Lápices

$1 150.00 Pantalones

$850.00 Playeras

$800.00 Tenis

$3072.50 Total

Realizamos una resta para saber si alcanza el presupuesto

$3500.00 - $3072.00 = $428.00

Le quedan $ 428.00 por lo tanto SI le alcanza su presupuesto.

Argumento de la situación de lo observado

El residuo del presupuesto se repartirá entre 4 personas de la familia

Así, la división la representamos como:

428 = 4(107)

4 (1)

y luego se simplifica obteniendo

107 = 107

1

Otra manera de resolver la división es: 4 428

Observando que se obtiene el mismo resultado.

En lo referente al periodo vacacional

Se observó:

(8)

8

365 = 45

100 x

x = (100)(45)

365

x = 4500 = 5(900)

365 5(73) x = 12.32 %

por medio de proporciones un 12.32% En lo referente al comipens.

Se observó que de los 128 reactivos del examen el alumno contesto 76 acertadamente lo que significa

128 = 76

100 x

x = (100)(76)

128

x = 7600 = 16(475)

128 16(8)

x = 475

8

x = 59.37 %

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9 PROBLEMÁTICA SITUADA

No. 2

Se tiene un tinaco de 200 Litros de miel, si a un trabajador, le indican que debe llenar 80 botellas de ¾ de Litro, determinar:

a) ¿Qué cantidad de miel se requiere para llenar los 8 frascos?

b) ¿Qué cantidad de miel hay en el tinaco después del llenado de los 80 frascos?

c) ¿Cuántos frascos de ¾ de litros se llenarían con los 200 Litros que tiene el tinaco?

a) Para saber la cantidad de miel requerida en el llenado de los 80 frascos

Determinamos la razón de 374 y la multiplicamos por los 80 frascos

Por lo tanto el trabajador necesita 60 Litros de miel.

b) Para calcular la cantidad de miel que existe en el tinaco después del llenado de los 80 frascos.

A la capacidad del tinaco le sustraemos los litros que utilizamos.

200 L - 60 L = 140

140 Litros quedan en el tinaco.

c) Para saber cuántos tinacos de ¾ de litro se llorarían con 200 L ; Aplicamos una proporción directa, con los datos del inciso “a”

¿ Si con 60 litros llenamos 80 frascos con 200 Litros cuantos llenaremos?.

.66

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10 PROBLEMÁTICA SITUADA No. 3

Un fabricante de toallas va a maquilar 100 toallas de 1.06 metros por 0.80 metros y 75 toallas de 0.20m por 0.51 metros. Si el metro lineal de tele cuesta cuarenta pesos, cuyo ancho es de 1.10 metros, si las toallas llevan dobladillo de dos centímetros en su perímetro

Determinar:

a) La cantidad de tela necesaria para fabricar toallas de baño de 1.06 metros por 0.80 metros.

b) El total de tela que ocupara para las toallas de 0.51 metros por 0.20 metros.

c) La cantidad de tela que se necesita para la fabricación de las toallas de ambos modelos.

d) El costo de cada modelo.

e) El costo del gran total de tela

a) La cantidad de tela necesaria para fabricar las toallas de 1.06 m por 0.8m

Como la toalla tiene 2 cm en su contorno, ver la figura 1.

Figura 1.

84 cm.

Convertimos los metros a cm.

1m --- 100cm

1.10m --- x

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11

Como el ancho es de 110 cm

Como el ancho es de 110 cm y es constante, solo consideramos los 84 cm, por lo que multiplicamos los 84 cm por las 100 toallas.

La tela del modelo 1 = 84 cm (100) = 8 400 cm, convertimos a mts.

1m --- 100cm

x --- 8 400 cm.

m

cm

m

x

84

100 )

8400

(

1

:. X= 84 m de tela

b) El total de la tela que ocupara para las toallas de 0.51 m por 0.20m

Ver figura 2.

24 cm.

51cm

Como el ancho es de 110 cm, saldaran dos toallas y solo cortaremos distancias de 24 cm , ahora multiplicamos 24 cm por las 75 toallas

24 cm(75)= 1 800 cm convertimos a metros aplicando una proporción, sabiendo que 1m= 100cm

1m --- 100cm

x --- 1 800 cm Proporción directa 55 cm

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12

c) La cantidad de tela que se necesita para la fabricación de ambos modelos.

Ya que tenemos la cantidad total de metros de cada modelo realizamos una suma es decir:

Cantidad del modelo de 1.06 metros por 0.80 metros 84 m cantidad del modelo de 0.51 metros por 0.20 metros 18 metros

El total de tela que se necesita para la elaboración de las 100 y 75 toallas

84 m + 18 m= 102 m

:. Total de tela= 102 m.

d) El costo de cada modelo.

Para la toalla de 1.10 m por 0.84 m solo multiplicamos los 0.84 m por el costo de la tela por metro que es $ 40.00

C1= Costo uno

C1= 0.84 m (40 pesos)= $33.60 :. C1= $33.60

Para la toalla de 0.55 m por 0.24 m sólo multiplicamos los 0.24 m por el costo de la tela por metro, que es $40.00

C2= Costo dos

C2= 0.24 (40 pesos) = $9.60

:. C2= $9.60

e) El coso del gran total de tela para generar el costo perdido, multiplicamos el total de tela que es de 102 m por el costo de $40.00 por metro, donde C.T= costo total

C.T= 102m (40 pesos) =4080

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13 PROBLEMÁTICA SITUADA No. 4

Juan salió a dar un paseo en bicicleta. El observa que al final del primer minuto. Recorrió 100m; al final del segundo minuto, 130m; del tercero ,160m, y así sucesivamente.

¿Cuánto habrá recorrido al final del minuto 33?

Construcción e interpretación del problema:

Se ordenan los datos proporcionados.

100,130,160

Calculo de la diferencia entre cada termino.

160 - 130 = 30

130 – 100 = 30

a = 30

Este valor se sustituye en la fórmula para calcular el termino general de una sucesión.

an + b

Donde: a y b son constantes n es el número del término deseado.

Se calcula el primer término de la sucesión:

30(1) + b = 100

30 + b = 100

b = 100/70

b = 70

Se sustituyen los valores de a y b en la formula general.

an + b

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14

Sustituimos el minuto 33 en la expresión algebraica general, esto es:

30(33) + 70 = 1060 metros, Juan recorrió al final del minuto 33.

PROBLEMÁTICA SITUADA No. 5

El señor Rubén aborda un taxi en las calles de Bolívar y Madero, col. Centro, observa en ese instante que el taxímetro marca $ 7.00, le indica al operador llevarlo al aeropuerto internacional de la ciudad de México, si del punto de abordaje al aeropuerto recorrió 42 km y pago $ 112.00, hallar el costo por kilometro y graficar el recorrido.

Como veras, que la incógnita es en km, el cual lo representamos con “x” y como recorrió 42 km, entonces, es 42x y le semanas los $7.00 pesos, es decir 42x +7 como pago 112.00, igualamos lo anterior así:

42x +7= 112 generando con esto el modelo algebraico representativo del enunciado, lo cual es un ecuación de primer grado.

Resolviendo la ecuación, conforme a los conocimientos previos tenemos:

42x +7= 112 Ecuación

42x +7 -7 =112 -7 Agregando el inverso aditivo del + 7 en ambos miembros de la igualdad y cancelando en el primero, tenemos:

42x=112-7 Restando

42x= 105

Despejando “x” y dividiendo

:. X=2.5 Concluimos

Por lo tanto, cobra por km recorrido

1 km= 2.50 Dos pesos con cincuenta centavos

Para tener la seguridad que la respuesta es correcta, comprobamos sustituyendo en la ecuación el valor de la variable independiente, ósea el costo por km.

42x+7= 112 Ecuación

42(2.5)+7=112 Sustitución y multiplicación

(15)

15

:. 112=112 Esto es una identidad y es correcta la respuesta.

PROBLEMÁTICA SITUADA No. 6

Gerardo, José y Alex ganan entre los tres $ 120.00, José gano $ 20.00 menos que Gerardo y Alex gano el doble que José. Halla lo que gano cada uno de ellos.

1. Con estos datos establece y plantea el modelo matemático.

Solución:

Definimos con una literal el sueldo de cada uno de ellos, esto es:

X = sueldo de Gerardo.

X – 29 = sueldo de José.

2 ( x – 20 ) = sueldo de Alex.

Formamos el modelo matemático:

x + ( x – 20 ) + 2 ( x – 20 )

PROBLEMÁTICA SITUADA No. 7

Industrias camanial es una empresa que se dedica a la fabricación de productos de limpieza tales como solución de cloro, aromatizantes, suavizante de telas, pino, sosa cáustica etc. algunas personas pueden elaborar dichos productos en forma empírica, sin embargo Industrias Camanial se ha propuesto obtener productos de calidad optimizando costos con el fin de promover la disminución de químicos y mejorar la calidad del ambiente.

Como sabemos nosotros somos causantes de deterioro del ambiente y es por abusar el uso de los químicos.

La tabla siguiente nos muestra la cantidad de materia prima requerida, el costo por kg y el porcentaje necesario para preparar 1 kg de producto

Materia Prima Costo /Kg. % 1kg Costo para un

Kg.

Dehyquart AU-46 28.15 5 50 1.40

Lamemul K-775 24.57 0.5 5 0.122

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16

EDTA 30.00 0.1 1 0.03

colorante 323 0.05 0.5 0.16

Agua $25.00

bimestral

94.15 941.5 No se considera por ser mínimo

Ácido cítrico 20.0 0.1 1 0.02

Mano de Obra $80.00 0.8

Con esta información determina:

a) Determina el costo total para 1 litro de suavizante de telas.

b) Si se quiere preparar 50 l de suavizante de telas cual seria su costo.

c) De acuerdo al costo de producción y el costo comercial de 1 litro de suavizante ¿cual seria la ganancia si se preparara en casa?

Guadalupe quiere comprar ¼ L.de suavizante más otro ½ L para su comadre y 1/3 L para su prima.

d) ¿Qué cantidad de suavizante de telas comprará Guadalupe?. Exprese su resultado en forma racional y en forma decimal.

SOLUCION

El costo total para 1 litro de suavizante de telas

a).R =$2.54

Si se quiere preparar 50 l de suavizante de telas cual seria su costo

1 L--- $2.54

50 L --- X

b). R = $127.00

De acuerdo al costo de producción y el costo comercial de 1 litro de suavizante ¿cuál sería la ganancia si se preparara en casa?

Suavizante comercial $27.00

Suavizante elaborado en casa $ 2.54

Ganancia: 27.00-2.54= 24.46

c). R=Ganancia 24.46

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17

Observaciones: El costo de suavizante fabricado en casa es mas económico ya que no se esta considerando el envase ni el transporte ni la mercadotecnia se propone utilizar envases de polietileno que fueron utilizados y en vez de tirarlos utilizarlos, de esta manera contribuiremos al cuidado del ambiente

PROBLEMÁTICA SITUADA No. 8

La familia González va a comprar un terreno en el estado de Morelos donde le ofrecen dos terrenos, uno con dimensiones siguientes su perímetro es de 160 metros y el largo es 20 metros mayor que el ancho, otro con las siguientes dimensiones 180 metros de perímetro y el largo es 15 metros mayor que el ancho, el costo del primero es 20% menor al segundo que cuesta 180 mil pesos.

1.- Encontrar aéreas de los terrenos.

2.- Encontrar el costo del primer terreno.

3.- Cual es la razón del 1er terreno con el 2do.

4.- Cual comprarían o les conviene más.

5.- Representar algebraicamente y gráficamente los terrenos.

MODELADO DEL PROBLEMA:

A continuación organizamos los datos que nos proporciona el enunciado:

Terreno 1 Terreno 2

Perímetro 160 m Perímetro 180 m

Ancho: no se conoce Ancho: no se conoce

Largo: 20 m mayor que el ancho Largo: 15 m mayor que el ancho

Area: no se conoce Area: no se conoce

ANÁLISIS

Terreno 1

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18

Asignando el valor del ancho con una variable “X”

Asignando el valor del largo como X + 20

Por ultimo X + 20 + X + X + 20 + X = 160 la suma de todos los lados del terreno

Que seria la ecuación a resolver:

Despejando X tenemos: 4X = 160 - 40

X = 120 / 4

X = 30 m que seria el ancho del terreno

Sustituimos en el largo 30 + 20 = 50 m que seria el largo

Como area es igual a base por altura tenemos:

Area = (50m) (30m) = 1500 m2

El valor para el terreno es:

180,000 →100 %

X →20 %

Desarrollando:

Despejando X

Como es el 20 % tenemos que restar para encontrar el valor del primer terreno:

1er terreno = 180000 – 36000

1er terreno= 144000 costo del terreno.

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19

Terreno 2

Como nadamas se conoce el perímetro del terreno podremos plantear su solución atravez de ecuaciones de primer grado de la siguiente manera:

Asignando el valor del ancho con una variable “X”

Asignando el valor del largo como X + 15

Por ultimo X + 15 + X + X + 15 + X = 180 la suma de todos los lados del terreno

Que seria la ecuación a resolver:

Despejando X tenemos: 4X = 180 - 30

X = 150 / 4

X = 37.5 m que seria el ancho del terreno

Sustituimos en el largo 37.5 + 15 = 52.5 m que seria el largo

Como área es igual a base por altura tenemos:

Área = (52.5m) (37.5m) =1968.75 m2

La razón es: 0.7619