Bases (parte 2)
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(2) Sergio Yansen Núñez (No es nesesario formar la escalonada reducida, basta con una forma escalonada) De la matriz se observa que rangoA b = rangoA < número de variables ⇒ el sistema tiene infinitas soluciones ⇒ el conjunto es L.D. Las primera y segunda columnas tienen pivote, por lo tanto, del conjunto 1, 1, −1, 1 , 1, −1, −1, 1 , 1, 0, −1, 1 , 0, 1, 0, 0. los dos primeros vectores. determinan un subconjunto L.I. 1, 1, −1, 1 , 1, −1, −1, 1 , 1, 0, −1, 1 , 0, 1, 0, 0 = 1, 1, −1, 1 , 1, −1, −1, 1 y 1, 1, −1, 1 , 1, −1, −1, 1. es L.I.. Luego, una base para W es 1, 1, −1, 1 , 1, −1, −1, 1 . Otra forma: formando una matriz, donde las filas de ésta, son los vectores del conjunto 1, 1, −1, 1 , 1, −1, −1, 1 , 1, 0, −1, 1 , 0, 1, 0, 0 1. 1. −1 1. 1 −1 −1 1 1. 0. −1 1. 0. 1. 0. 0. Aplicando operaciones elementales fila, se obtiene la matriz escalonada reducida: 1 0 −1 1 0 1. 0. 0. 0 0. 0. 0. 0 0. 0. 0. (No es nesesario formar la escalonada reducida, basta con una forma escalonada) Considerando las filas no nulas, se obtiene que una base para W es 1, 0, −1, 1 , 0, 1, 0, 0 .. Bases.
(3) Sergio Yansen Núñez 2.. Determine una base para W = 1, 0, 1, 1 , 1, −1, 2, 0 , 0, 1, −1, 1 , 1, 1, 0, 2 .. Solución: Como 1, 0, 1, 1 , 1, −1, 2, 0 , 0, 1, −1, 1 , 1, 1, 0, 2. genera a W,. entonces si es L.I , será una base para W α1, 0, 1, 1 + β1, −1, 2, 0 + γ0, 1, −1, 1 + δ1, 1, 0, 2 = 0, 0, 0, 0 α + β + δ, −β + γ + δ, α + 2β − γ, α + γ + 2δ = 0, 0, 0, 0 α+β+δ = 0 −β + γ + δ = 0 α + 2β − γ = 0 α + γ + 2δ = 0 Formando la matriz aumentada: 1. 1. 0. 1 0. 0 −1. 1. 1 0. 1. 2. −1 0 0. 1. 0. 1. 2 0 1. donde A =. 1. 0. 1 0. 0 −1. 1. 1 0. 1. 2. −1 0 0. 1. 0. 1. 0 , b=. 2 0. 0 0 0. (Observe que los vectores de 1, 0, 1, 1 , 1, −1, 2, 0 , 0, 1, −1, 1 , 1, 1, 0, 2 corresponden a las columnas de la matriz A) Aplicando operaciones elementales fila, se obtiene la matriz escalonada reducida: 1 0. 1. 2. 0. 0 1 −1 −1 0 0 0. 0. 0. 0. 0 0. 0. 0. 0. Bases.
(4) Sergio Yansen Núñez (No es nesesario formar la escalonada reducida, basta con una forma escalonada) De la matriz se observa que rangoA b = rangoA < número de variables ⇒ el sistema tiene infinitas soluciones ⇒ el conjunto es L.D. Las primera y segunda columnas tienen pivote, por lo tanto, del conjunto 1, 0, 1, 1 , 1, −1, 2, 0 , 0, 1, −1, 1 , 1, 1, 0, 2. los dos primeros vectores determinan. un subconjunto L.I. 1, 0, 1, 1 , 1, −1, 2, 0 , 0, 1, −1, 1 , 1, 1, 0, 2 = 1, 0, 1, 1 , 1, −1, 2, 0 y 1, 0, 1, 1 , 1, −1, 2, 0. es L.I.. Luego, una base para W es 1, 0, 1, 1 , 1, −1, 2, 0 Otra forma: formando una matriz, donde las filas de ésta, son los vectores del conjunto 1, 0, 1, 1 , 1, −1, 2, 0 , 0, 1, −1, 1 , 1, 1, 0, 2 1. 0. 1. 1. 1 −1. 2. 0. 0. 1. −1 1. 1. 1. 0. 2. Aplicando operaciones elementales fila, se obtiene la matriz escalonada reducida: 1 0. 1. 1. 0 1 −1 1 0 0. 0. 0. 0 0. 0. 0. (No es nesesario formar la escalonada reducida, basta con una forma escalonada) Considerando las filas no nulas, se obtiene que una base para W es 1, 0, 1, 1 , 0, 1, −1, 1 .. Bases.
(5) Sergio Yansen Núñez 3.. Determine una base para W = 1, −1, −1, 1, 1 , 1, 0, −1, 1, −1 , 2, −1, −2, 2, 0 , 0, 1, 0, 0, 1 , 0, −1, 0, 0, 2 .. Solución: Como 1, −1, −1, 1, 1 , 1, 0, −1, 1, −1 , 2, −1, −2, 2, 0 , 0, 1, 0, 0, 1 , 0, −1, 0, 0, 2 genera a W, entonces si es L.I , será una base para W α1, −1, −1, 1, 1 + β1, 0, −1, 1, −1 + γ2, −1, −2, 2, 0 + δ0, 1, 0, 0, 1 + ε0, −1, 0, 0, 2 = 0, 0, 0, α + β + 2γ, −α − γ + δ − ε, −α − β − 2γ, α + β + 2γ, α − β + δ + 2ε = 0, 0, 0, 0, 0 α + β + 2γ = 0 −α − γ + δ − ε = 0 −α − β − 2γ = 0 α + β + 2γ = 0 α − β + δ + 2ε = 0 Formando la matriz aumentada: 1. 1. 2. 0. 0. 0. −1. 0. −1 1 −1 0. −1 −1 −2 0. 0. 0. 1. 1. 2. 0. 0. 0. 1. −1. 0. 1. 2. 0. 1. 1. 2. 0. 0. −1. 0. −1 1 −1. 0. donde A =. 0. , b=. −1 −1 −2 0. 0. 1. 1. 2. 0. 0. 0. 1. −1. 0. 1. 2. 0. 0. (Observe que los vectores de 1, −1, −1, 1, 1 , 1, 0, −1, 1, −1 , 2, −1, −2, 2, 0 , 0, 1, 0, 0, 1 , 0, −1, 0, 0, 2 corresponden a las columnas de la matriz A) Aplicando operaciones elementales fila, se obtiene la matriz escalonada reducida:. Bases.
(6) Sergio Yansen Núñez 1 0 1 0. 1. 0. 0 1 1 0 −1 0 0 0 0 1. 0. 0. 0 0 0 0. 0. 0. 0 0 0 0. 0. 0. (No es nesesario formar la escalonada reducida, basta con una forma escalonada) De la matriz se observa que rangoA b = rangoA < número de variables ⇒ el sistema tiene infinitas soluciones ⇒ el conjunto es L.D. Las primera , segunda y cuarta columnas tienen pivote, por lo tanto, del conjunto 1, −1, −1, 1, 1 , 1, 0, −1, 1, −1 , 2, −1, −2, 2, 0 , 0, 1, 0, 0, 1 , 0, −1, 0, 0, 2 los vectores primero, segundo y cuarto determinan un subconjunto L.I. 1, −1, −1, 1, 1 , 1, 0, −1, 1, −1 , 2, −1, −2, 2, 0 , 0, 1, 0, 0, 1 , 0, −1, 0, 0, 2 = 1, −1, −1, 1, 1 , 1, 0, −1, 1, −1 , 0, 1, 0, 0, 1 y 1, −1, −1, 1, 1 , 1, 0, −1, 1, −1 , 0, 1, 0, 0, 1. es L.I.. Luego, una base para W es 1, −1, −1, 1, 1 , 1, 0, −1, 1, −1 , 0, 1, 0, 0, 1 Otra forma: formando una matriz, donde las filas de ésta, son los vectores del conjunto 1, −1, −1, 1, 1 , 1, 0, −1, 1, −1 , 2, −1, −2, 2, 0 , 0, 1, 0, 0, 1 , 0, −1, 0, 0, 2 1 −1 −1 1 1. 0. 1. −1 1 −1. 2 −1 −2 2. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0 −1. 0. 0. 2. Aplicando operaciones elementales fila, se obtiene la matriz escalonada reducida:. Bases.
(7) Sergio Yansen Núñez 1 0 −1 1 0 0 1. 0. 0 0. 0 0. 0. 0 1. 0 0. 0. 0 0. 0 0. 0. 0 0. (No es nesesario formar la escalonada reducida, basta con una forma escalonada) Considerando las filas no nulas, se obtiene que una base para W es 1, 0, −1, 1, 0 , 0, 1, 0, 0, 0 , 0, 0, 0, 0, 1 .. Bases.
(8) Sergio Yansen Núñez 4.. Determine una base para 1 1. W=. 1 −1. ,. 2 1. 0. ,. 1. −1. 3. 2. −1. 0 2. ,. 2 0. .. Solución: 1 1. Como. 1 −1. ,. 2 1. 0. ,. 1. −1. 3. 2. −1. ,. 0 2. genera a W,. 2 0. entonces si es L.I , será una base para W 1 1. α. 1 −1. +β. 2 1. 0. +γ. 1. α+β−γ. α − β + 3γ + 2δ. 2α + 2γ + 2δ. α+β−γ. −1. 3. 2. −1 0 0. =. 0 0. α+β−γ = 0 α − β + 3γ + 2δ = 0 2α + 2γ + 2δ = 0 α+β−γ = 0 Formando la matriz aumentada: 1. 1. −1 0 0. 1 −1. 3. 2 0. 2. 0. 2. 2 0. 1. 1. −1 0 0 1. donde A =. 1. −1 0. 1 −1. 3. 2. 2. 0. 2. 2. 1. 1. −1 0. 0 , b=. 0 0 0. Bases. +δ. 0 2 2 0. =. 0 0 0 0.
(9) Sergio Yansen Núñez (Observe que los elementos de cada vector de 1 1. 1 −1. ,. 2 1. 0. ,. 1. −1. 3. 2. −1. ,. 0 2. están. 2 0. representados en las columnas de la matriz A) Aplicando operaciones elementales fila, se obtiene la matriz escalonada reducida: 1 0. 1. 1. 0. 0 1 −2 −1 0 0 0. 0. 0. 0. 0 0. 0. 0. 0. (No es nesesario formar la escalonada reducida, basta con una forma escalonada) De la matriz se observa que rangoA b = rangoA < número de variables ⇒ el sistema tiene infinitas soluciones ⇒ el conjunto es L.D. Las primera y segunda columnas tienen pivote, por lo tanto, del conjunto 1 1 2 1. 1 −1. ,. 0. ,. 1. −1. 3. 2. −1. ,. 0 2. los dos primeros. 2 0. vectores determinan un subconjunto L.I. 1 1 2 1 =. 1 1 2 1. 1 −1. ,. 0 ,. ,. 1 1 −1 0. 1. Luego, una base para W es. −1. 3. 2. −1. 1 1. y. 1 1 2 1. Bases. ,. 2 1 ,. 0 2 2 0 ,. 1 −1 0. 1. 1 −1 0. 1 .. es L.I..
(10) Sergio Yansen Núñez 5.. Determine una base para 1 −1. W=. 1. 1 1. ,. 1. 1 0. ,. 1 1. 1 −2. ,. 0 1. 0. 1. .. Solución: 1 −1. Como. 1. ,. 1. 1 1. 1 0. ,. 1 1. 1 −2. ,. 0 1. 0. genera a W,. 1. entonces si es L.I , será una base para W α. 1 −1 1. 1. 1 1. +β. +γ. 1 1. α+β+γ+δ. −α + β − 2δ. α+β. α+β+γ+δ. 1 0. +δ. 0 1 =. 0 0 0 0. α+β+γ+δ = 0 −α + β − 2δ = 0 α+β = 0 α+β+γ+δ = 0 Formando la matriz aumentada: 1. 1 1. 1. 0. −1 1 0 −2 0 1. 1 0. 0. 0. 1. 1 1. 1. 0. 1. 1 1. donde A =. 1. −1 1 0 −2 1. 1 0. 0. 1. 1 1. 1. 0 , b=. 0 0 0. Bases. 1 −2 0. 1. =. 0 0 0 0.
(11) Sergio Yansen Núñez (Observe que los elementos de cada vector de 1 −1 1. 1 1. ,. 1. 1 1. 1 0. ,. ,. 0 1. 1 −2 0. 1. están representados en las columnas de la matriz A) Aplicando operaciones elementales fila, se obtiene la matriz escalonada reducida: 1 0 0. 1. 0. 0 1 0 −1 0 0 0 1. 1. 0. 0 0 0. 0. 0. (No es nesesario formar la escalonada reducida, basta con una forma escalonada) De la matriz se observa que rangoA b = rangoA < número de variables ⇒ el sistema tiene infinitas soluciones ⇒ el conjunto es L.D. Las primera , segunda y tercera columnas tienen pivote, por lo tanto, del conjunto 1 −1 1. 1 1. ,. 1. 1 1. 1 0. ,. ,. 0 1. 1 −2 0. los tres primeros vectores. 1. determinan un subconjunto L.I. 1 −1 1 =. y. 1 1 −1 1. 1. 1 −1 1. 1 1. ,. 1. 1 1 ,. ,. 1 1 1 1 1 1 1 1. Luego, una base para W es. 1 0. ,. ,. 0 1 ,. ,. 0. 1. 1 0 0 1 1 0. es L.I.. 0 1. 1 −1 1. 1 −2. 1. Bases. ,. 1 1 1 1. ,. 1 0 0 1. ..
(12) Sergio Yansen Núñez Determine una base para W = x 3 + x + 1 , x 3 − x + 1 , − x 3 + 3x − 1 , 4x .. 6.. Solución: Como x 3 + x + 1 , x 3 − x + 1 , − x 3 + 3x − 1 , 4x. genera a W, entonces si es L.I ,. será una base para W αx 3 + x + 1 + β. x 3 − x + 1 + γ−x 3 + 3x − 1 + δ ⋅ 4x = 0. αx 3 + αx + α + βx 3 − βx + β − γx 3 + 3γx − γ + 4δx = 0 α + β − γx 3 + α − β + 3γ + 4δx + α + β − γ = 0 α + β − γx 3 + α − β + 3γ + 4δx + α + β − γ = 0 ⋅ x 3 + 0 ⋅ x + 0 α+β−γ = 0 α − β + 3γ + 4δ = 0 α+β−γ = 0 Formando la matriz aumentada: 1. 1. −1 0 0. 1 −1. 3. 1. −1 0 0. 1. 4 0. 1 donde A =. 1. −1 0. 1 −1. 3. 1. −1 0. 1. 4. 0 , b=. 0 0. (Observe que los elementos de cada vector de x 3 + x + 1 , x 3 − x + 1 , − x 3 + 3x − 1 , 4x columnas de la matriz A). Bases. están representados en las.
(13) Sergio Yansen Núñez Es decir, 1 x3 + x + 1 = 1 ⋅ x3 + 1 ⋅ x + 1 ⋅ 1. →. , primera columna de A. 1 1 1. x3 − x + 1 = 1 ⋅ x3 − 1 ⋅ x + 1 ⋅ 1. →. , segunda columna de A. −1 1 −1. −x 3 + 3x − 1 = −1 ⋅ x 3 + 3 ⋅ x − 1 ⋅ 1. →. , tercera columna de A. 3 −1 0. 4x = 0 ⋅ x + 4 ⋅ x + 0 ⋅ 1. →. 3. 4. , cuarta columna de A. 0 Aplicando operaciones elementales fila, se obtiene la matriz escalonada reducida: 1 0. 1. 2. 0. 0 1 −2 −2 0 0 0. 0. 0. ,. 0. (No es nesesario formar la escalonada reducida, basta con una forma escalonada) De la matriz se observa que rangoA b = rangoA < número de variables ⇒ el sistema tiene infinitas soluciones ⇒ el conjunto es L.D. Las primera y segunda columnas tienen pivote, por lo tanto, del conjunto x 3 + x + 1 , x 3 − x + 1 , − x 3 + 3x − 1 , 4x. los dos primeros vectores determinan. un subconjunto L.I. x 3 + x + 1 , x 3 − x + 1 , − x 3 + 3x − 1 , 4x = x 3 + x + 1 , x 3 − x + 1 y x3 + x + 1 , x3 − x + 1. es L.I.. Luego, una base para W es x 3 + x + 1 , x 3 − x + 1 .. Bases.
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