La dimensión gestual en la generalización de patrones en estudiantes de cuarto grado de educación primaria

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(1)La dimensión gestual en la generalización de patrones en estudiantes de cuarto grado de educación primaria. Gustavo Adolfo Moreno Giraldo. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencia y Educación Maestría en Educación Énfasis en Educación Matemática Bogotá, 2018.

(2) La dimensión gestual en la generalización de patrones en estudiantes de cuarto grado de educación primaria. Gustavo Adolfo Moreno Giraldo Trabajo de investigación para optar al título de Magíster en Educación. Director Dr. Rodolfo Vergel Causado.. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencia y Educación Maestría en Educación Énfasis en Educación Matemática Bogotá, 2018.

(3) Resumen Analítico en Educación – RAE 1. INFORMACIÒN GENERAL Tipo de documento. Trabajo de grado. Acceso al documento. Universidad Distrital Francisco José de Caldas.. Título del documento. La dimensión gestual en la generalización de patrones en estudiantes de cuarto grado de educación primaria.. Autores. Moreno Giraldo, Gustavo Adolfo. Director. Vergel Causado, Rodolfo. Publicación Unidad patrocinante. Universidad Distrital Francisco José de Caldas.. Palabras clave. El gesto, generalización, secuencia figural, patrones, teoría de la objetivación, pensamiento algebraico.. 2. DESCRIPCIÓN El presente escrito documenta la identificación y caracterización de los gestos utilizados por estudiantes de grado cuarto de educación básica primaria del Gimnasio Monseñor Manuel María Camargo, como soporte al proceso de generalización algebraica de patrones. Para ello, este trabajo se fundamenta en el marco de la teoría cultural de la objetivación y toma como marco metodológico el análisis multimodal (Arzarello, 2006). Teniendo en cuenta el marco teórico y metodológico se diseña cuatro tareas asociadas a secuencias figurales con apoyo tabular. La implementación y análisis de los resultados de la propuesta muestran que los estudiantes alcanzan una generalización algebraica de tipo factual que se evidencia por gestos como: indexical, figural, de imaginación de fórmula y algorítmico. La presente investigación revela que en el proceso de.

(4) objetivación del saber los estudiantes pueden emplear variados medios semióticos de objetivación, no sólo el discurso escrito sino también, el gesto y el discurso oral.. 3. FUENTES. Para el desarrollo de la investigación se usaron cuarenta y dos referencias bibliográficas. De las cuales se destacan. Edwards, L. (2005). The role of gestures in mathematical discourse: remembering and problem solving. In H. Chick & J. Vincent (Eds.), Proceedings of the 29th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 1, pp. 1-12). Melbourne, Australia: University of Melbourne. Radford, L. (2005). ¿Why do gestures matter? Gestures as semiotic means of objectification. In H. Chick & J. Vincent (Eds.), Proceedings of the 29th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 1, pp. 143-145). Melbourne, Australia: University of Melbourne. Radford, L. (2003). Gestures, Speech, and the Sprouting of Signs: A Semiotic-Cultural Approach to Studens´ Types of Generalization. Mathematical Thinking and Learning. 5(1), 37-70. Vergel, R., (2014). Formas de pensamiento algebraico temprano en alumnos de cuarto y quinto grados de Educación Básica Primaria (9-10 años) (tesis de doctorado). Universidad Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia. Vergel, R. (2016). El gesto y el ritmo en la generalización de patrones. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas, (73), 23-31..

(5) 4. CONTENIDOS La investigación se desarrolla en cinco capítulos, de la siguiente forma: En el capítulo 1 se abordan los aspectos generales de la investigación, a saber, planteamiento del problema, justificación, objetivo general, objetivos específicos y antecedentes. En el capítulo 2 se presenta el marco teórico de referencia que abarca una aproximación a la teoría cultural de la objetivación, los elementos del pensamiento algebraico, la generalización algebraica y la dimensión gestual. En el capítulo 3 se expone el diseño metodológico que toma en consideración el análisis multimodal (Arzarello, 2006) y el ciclo propuesto por Radford (2010b). En el capítulo 4 se desarrolla el análisis multimodal tomando como fuente de análisis los medios semióticos de objetivación, especialmente los gestos que movilizaron los estudiantes de grado cuarto durante las sesiones. En el capítulo 5 se enuncian las conclusiones generales con el fin de dar respuesta a la pregunta de investigación y a los objetivos planteados. También, se ponen de manifiesto algunas reflexiones emergentes del ejercicio investigativo, limitaciones, apuntes y cuestiones sobre futuros estudios con relación al gesto. Por último se muestra la bibliografía correspondiente a los referentes teóricos tomados en consideración.. 5. METODOLOGÍA Esta investigación adopta una metodología desde el enfoque de investigación cualitativa de tipo descriptivo e interpretativo. Para Vasilachis, Ameigeiras, Chernobilsky, Giménez, Mendizábal y Soneira (2006) la investigación cualitativa es multimetódica, naturalista, inductiva, interpretativa y reflexiva. Así mismo se retoma el análisis multimodal de Arzarello (2006) quien plantea que el análisis multimodal debe tener en cuenta los recursos semióticos movilizados por los estudiantes durante el abordaje de las tareas (gestos, lenguaje hablado, lenguaje escrito, palabras, acciones, etc.)..

(6) Además, esta investigación presenta una adaptación del ciclo de Radford (2010b) proponiendo las siguientes fases: diseños de tareas, implementación de tareas, recolección de datos e interpretación de los datos.. 6. CONCLUSIONES En la implementación y análisis de las tareas de secuencias figurales con apoyo tabular se pudo constatar la emergencia de gestos que apoyan la generalización algebraica de patrones, los cuales posibilitaron hacer visible las características comunes, las similitudes, las diferencias, los términos del esquema operacional, el algoritmo de la operación, entre otros. Estos gestos, se clasificaron en: indexical, figural, de imaginación de fórmula y algorítmico. Dichos gestos permitieron a los estudiantes de un lado, hacer visible las intenciones, y de otro, tomar conciencia de los aspectos conceptuales de los objetos matemáticos involucrados.. Elaborado por:. Moreno Giraldo, Gustavo Adolfo. Revisado por:. Vergel Causado, Rodolfo. Fecha de elaboración del resumen:. 10. 06. 2018.

(7) Tabla de Contenido INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................... 1 CAPÍTULO 1: ASPECTOS GENERALES DE LA INVESTIGACIÓN ...................................... 4 Planteamiento del problema y justificación del problema ........................................................................ 4 Objetivos ................................................................................................................................................... 7 Objetivo General. .................................................................................................................................. 7 Objetivos Específicos............................................................................................................................ 7 Antecedentes ............................................................................................................................................. 7. CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO ............................................................................................. 17 Una aproximación a la teoría cultural de la objetivación ......................................................... 17 Pensamiento algebraico .......................................................................................................................... 20 Generalización algebraica de patrones .................................................................................................... 22 Medios semióticos de objetivación ......................................................................................................... 24 Dimensión gestual ................................................................................................................................... 25. CAPÍTULO 3: DISEÑO METODOLÓGICO .............................................................................. 31 Fase 1: Diseño de Tareas ........................................................................................................................ 32 Prueba Piloto. ...................................................................................................................................... 32 Reformulación de las tareas para la fase de aplicación. ...................................................................... 42 Fase 2: Implementación de Tareas .......................................................................................................... 50 Fase 3: Recolección de Datos ................................................................................................................. 51 Fase 4: Análisis de Datos ........................................................................................................................ 53. CAPÍTULO 4: ANÁLISIS MULTIMODAL ............................................................................... 54 Análisis tarea 1........................................................................................................................................ 54 Análisis tarea 2........................................................................................................................................ 67 Análisis tarea 3........................................................................................................................................ 81 Análisis tarea 4........................................................................................................................................ 99. CAPÍTULO 5: CONCLUSIONES GENERALES ..................................................................... 107 Respuesta a la pregunta de investigación .............................................................................................. 107 Algunas reflexiones .............................................................................................................................. 116 Limitaciones y apuntes. ........................................................................................................................ 116 Sobre los Futuros Estudios.................................................................................................................... 117 Bibliografía ........................................................................................................................................... 119.

(8) Índice de figuras y tablas Figura 1. Actividad como aquella que pone en movimiento lo potencial y lo actual (Radford, 2015). ..... 18 Figura 2. Estructura de la generalización algebraica de secuencias figurales (Radford, 2013) .................. 23 Figura 3. Metodología de la investigación .................................................................................................. 32 Figura 4. Prueba piloto Tarea 1 de secuencia figural con apoyo tabular. ................................................... 34 Figura 5. Prueba piloto Tarea 2 de secuencia figural con apoyo tabular. ................................................... 34 Figura 6. Segmento saliente de Ariel .......................................................................................................... 35 Figura 7. Segmento saliente de Joshua ....................................................................................................... 37 Figura 8. Prueba piloto Tarea 3 de secuencia figural con apoyo tabular. ................................................... 38 Figura 9. Prueba piloto Tarea 4 de secuencia figural con apoyo tabular. ................................................... 39 Figura 10. Segmento saliente de Camila ..................................................................................................... 40 Figura 11. Fotos 1-2. Secuencias de gestos movilizados por Camila ......................................................... 40 Figura 12. Segmento saliente de Camila ..................................................................................................... 41 Figura 13. Fotos 3-7. Secuencia de gestos movilizados por Camila ........................................................... 42 Figura 14. Tarea 1 de secuencia figural con apoyo tabular......................................................................... 43 Figura 15. Tarea 2 de secuencia figural con apoyo tabular......................................................................... 44 Figura 16. Tarea 3 de secuencia figural con apoyo tabular......................................................................... 45 Figura 17. Tarea 4 de secuencia figural con apoyo tabular......................................................................... 46 Figura 18. Diseño de la actividad (Radford, 2015) .................................................................................... 51 Figura 19. Fases de recolección de información. (Radford, 2015). ............................................................ 52 Figura 20. Secuencia figural apoyada por representación tabular tarea 1. .................................................. 54 Figura 21. Primer segmento saliente Tarea 1 .............................................................................................. 56 Figura 22. Fotos 1 – 14. Secuencia de gestos movilizados por Erika, Karen y Paola. ............................... 58 Figura 23. Segundo segmento saliente Tarea 1........................................................................................... 63 Figura 24. Fotos 15 – 29. Secuencias de gestos movilizados por Daniel y Esteban. ................................. 64 Figura 25. Secuencia figural apoyada por representación tabular tarea 2 ................................................... 68 Figura 26. Primer segmento saliente tarea 2 ............................................................................................... 69 Figura 27. Fotos 30-37. Secuencias de gestos movilizados por Isabella. ................................................... 70 Figura 28. Segundo segmento saliente tarea 2 ............................................................................................ 72 Figura 29. Fotos 38-45. Secuencias de gestos movilizados por Daniel. .................................................... 73 Figura 30. Tercer segmento saliente tarea 2. .............................................................................................. 76 Figura 31. Fotos 46-62. Secuencias de gestos movilizados por Carlos. ..................................................... 78 Figura 32. Secuencia figural apoyada por representación tabular tarea 3. .................................................. 82 Figura 33. Secuencia figural de Camilo ...................................................................................................... 82 Figura 34. Primer segmento saliente tarea 3. .............................................................................................. 84 Figura 35. Fotos 63-72. Secuencias de gestos movilizados por Daniela y Daniel. ..................................... 85 Figura 36. Actividad perceptiva de Daniela de la figura 2 y figura 3, tarea 3. ........................................... 86 Figura 37. Segundo segmento saliente tarea 3 ............................................................................................ 89 Figura 38. Fotos 73-77. Secuencias de gestos movilizados por Daniel. ..................................................... 90 Figura 39. Tercer segmento saliente tarea 3. .............................................................................................. 92 Figura 40. Fotos 78-83. Secuencias de gestos movilizados por Andrés. .................................................... 93 Figura 41. Cuarto segmento saliente tarea 3 ............................................................................................... 95 Figura 42. Fotos 84-93. Secuencias de gestos movilizados por Felipe e Investigador. ............................. 97.

(9) Figura 43. Secuencia figural apoyada por representación tabular tarea 4. ................................................ 100 Figura 44. Primer segmento saliente tarea 4. ............................................................................................ 101 Figura 45. Fotos 94-99. Secuencia de gestos movilizados por Steven. .................................................... 101 Figura 46. Segundo segmento saliente tarea 4. ......................................................................................... 104 Figura 47. Generalización aritmética de Esteban (producción en la hoja de trabajo). .............................. 104 Figura 48. Generalización algebraica factual de Carlos (producción en la hoja de trabajo). .................... 104 Tabla 1. Tabla de las cuatro tareas con sus respectivas preguntas y la justificación de las mismas. Autoría propia………………………………………………………………………………………………………..49.

(10) INTRODUCCIÓN El investigador cuestiona a Daniel sobre cómo dibujaría la figura 84 de una secuencia figural previamente propuesta, ante lo cual él responde “Primero un punto en la mitad [dibuja un círculo en el aire], luego ochenta y cuatro a este lado [dibuja en el aire dos líneas diagonales hacia abajo], ochenta y cuatro a este lado [dibuja en el aire dos líneas diagonales hacia arriba].” Situaciones como esta ocurren a menudo en las aulas de clase de matemática, dónde se observa que los estudiantes usan gestos para comunicar algo. Esto no solo ocurre para representar la figura de una secuencia figural sino también para hacer visible la ubicación de los términos de un esquema operacional o al momento de realizar un algoritmo, como por ejemplo una suma. Durante los últimos años, investigaciones en educación matemática (Arzarello y Edwards, 2005 y Radford, 2005) han considerado al gesto como un elemento importante en los procesos de enseñanza y aprendizaje, pues contribuye a la comunicación de significados matemáticos y a la comprensión de los mismos. En este sentido, los gestos hacen parte de los medios semióticos de objetivación que hacen visible aquellos objetos matemáticos que por su propia generalidad no pueden ser expresados fácilmente en un discurso escrito. Así mismo, los gestos permiten visualizar intensiones, comunicar ideas e identificar relaciones matemáticas abstractas (Radford, 2005). Por tanto se puede decir que los gestos son representaciones que emergen en el proceso de objetivación del saber y reflejan aspectos importantes del pensamiento del estudiante. Teniendo en cuenta lo anterior, este trabajo de investigación se realizó en relación a los gestos que apoyan la generalización algebraica de patrones a partir de la implementación de una serie de tareas que involucran secuencias figurales con apoyo tabular, estructuradas desde la teoría de la objetivación. El contenido del trabajo se organiza por capítulos de la siguiente manera:. 1.

(11) En el capítulo 1 se aborda los aspectos generales de la investigación, como el planteamiento del problema y su justificación alrededor de la importancia del gesto en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. También se presenta el objetivo general, los objetivos específicos y los antecedentes. Este último da cuenta de algunas investigaciones que han indagado sobre el gesto en la educación matemática. En el capítulo 2 se desarrolla el marco teórico, este contiene tres apartados importantes; el primero abarca una aproximación a la teoría cultural de la objetivación, en donde se presenta la manera en que se concibe la educación matemática, el saber, la actividad, el estudiante, el profesor, entre otros, haciendo énfasis en la enseñanza-aprendizaje; en el segundo apartado se definen y se caracterizan algunos elementos del pensamiento algebraico y la generalización algebraica; y en el tercer apartado se expone sobre la dimensión gestual. En el capítulo 3 se expone el diseño metodológico que toma en consideración el análisis multimodal (Arzarello, 2006), en donde se tuvo en cuenta los diferentes recursos semióticos movilizados por los sujetos participantes durante el desarrollo de las tareas (gestos, lenguaje hablado, lenguaje escrito, palabras, acciones, etc.), Así mismo, se toma como referencia una adaptación al ciclo propuesto por Radford (2010a) en la cual se encuentran las siguientes fases: diseños de tareas, implementación de tareas, recolección de los datos e interpretación de los datos. En el capítulo 4 se presenta el análisis multimodal en dónde se toma como unidad de análisis los medios semióticos de objetivación, especialmente los gestos que movilizaron los estudiantes de grado cuarto durante desarrollo de las sesiones. En el capítulo 5 se exponen las conclusiones generales que dan respuesta a la pregunta de investigación y a los objetivos planteados. Además, se dan a conocer algunas reflexiones, limitaciones, apuntes y cuestiones sobre futuros estudios con relación al gesto. Finalmente, se. 2.

(12) presenta la bibliografía, en la que encuentran los referentes teóricos que se tomaron en cuenta para la elaboración de este trabajo.. 3.

(13) CAPÍTULO 1 ASPECTOS GENERALES DE LA INVESTIGACIÓN En este capítulo se presenta el planteamiento del problema del trabajo y su justificación, teniendo en cuenta algunas investigaciones que se han realizado en torno a la importancia de la dimensión gestual en la enseñanza y aprendizaje de la matemática escolar. En ellas se reconoce que este medio semiótico de objetivación se tiene en cuenta pocas veces en las matemáticas escolares. A partir de la consolidación de la problemática y la justificación se expone el objetivo general y los objetivos específicos del trabajo. Después se presenta los antecedentes, en los que se exponen algunas investigaciones sobre el gesto, considerando algunos referentes teóricos que convergen en la importancia de analizar los gestos en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Planteamiento del problema y justificación del problema Investigaciones en educación matemática, especialmente en álgebra escolar, han evidenciado la existencia de múltiples dificultades en la transición de la aritmética al álgebra, entre ellas, las interpretaciones que hacen los estudiantes del signo igual en las ecuaciones (Godino, 2003), la discriminación entre las diferentes formas en las cuales las letras son usadas en el álgebra (Kieran, 1992), pasar de un lenguaje natural a un lenguaje algebraico (Mason, 1985), entre otros. De acuerdo con Butto y Rojano (2010), las dificultades que presentan los estudiantes en el tránsito de la aritmética al álgebra se deben en parte, a la introducción tardía del pensamiento algebraico y a la forma en que los profesores introducen los conceptos propios del álgebra, por ejemplo: incógnita y variable. Con el ánimo de disminuir las dificultades que existen en esta transición, se ha propuesto introducir el pensamiento algebraico en los primeros ciclos escolares, pues según Molina (2009) esto permitiría suavizar la abrupta transición de la aritmética al álgebra y mitigar aquellas. 4.

(14) dificultades que presentan los estudiantes en el álgebra escolar. A su vez, Butto y Rojano (2010, p. 57) señalan que “los tiempos didácticos para el aprendizaje del álgebra son prolongados y que parece oportuno iniciarse en ese pensamiento a edades tempranas (7-11 años)”. Ahora bien, desplazar el pensamiento algebraico de educación secundaria a educación primaria no significa que se traslada el currículo de grado octavo o noveno a los primeros años escolares; sino que a partir de los diferentes matemáticos que existen en estos ciclos (transición a quinto) se puede promover dicho pensamiento y los estudiantes lo pueden evidenciar por medio del discurso oral, discurso escrito, dibujos, movimientos corpóreos, entre otros (MEN, 2006 y Radford, 2005). Durante los últimos años investigaciones como las de Mason (1985), Molina (2009) y Radford (2010a) han demostrado que los estudiantes de educación secundaria y en especial los de educación primaria pueden dar a conocer el pensamiento algebraico en ausencia de un lenguaje alfanumérico. De acuerdo con Radford (2010a) no se puede asociar el álgebra escolar y el pensamiento algebraico con el uso de letras, ya que no es una condición necesaria o suficiente para pensar algebraicamente, o como señala Mason “la manipulación de símbolos es una pequeña parte de lo que realmente se refiere al álgebra” (1990, p.5, citado por Radford, 2010a). Trabajos como los de Radford (2008, 2010a, 2010b) y Vergel (2014, 2016) reconocen que existen otros medios como los gestos, las palabras, las frases, entre otros, para expresar la producción matemática; en este caso el pensamiento algebraico. Del mismo modo, Molina, Ambrose y Castro (2004) manifiestan que el pensamiento se puede dar a conocer a través del lenguaje, de los signos (como el gesto) o mediante representaciones gráficas escritas en un papel o pantalla. En otras palabras, un individuo puede exteriorizar a través de acciones su pensamiento. Desde la práctica pedagógica del presente escrito, al gesto se le resta importancia en los procesos de enseñanza y aprendizaje del álgebra escolar, en primera instancia se debe a que. 5.

(15) tradicionalmente se considera que existe pensamiento algebraico si hay un uso adecuado del lenguaje alfanumérico y en segunda instancia, al momento de evaluar a un estudiante, se ignora otros medios que pueden dar cuenta de la existencia del pensamiento algebraico (el gesto, la actividad perceptiva, el discurso oral, dibujos, entre otros). Frente a esto, Vergel (2015) sugiere que los modos de conceptualizar, conocer y pensar pueden ser descritos en prácticas discursivas (oral o escritas), sin embargo considera de vital importancia tener en cuenta los recursos cognitivos, físicos y perceptuales, que emergen cuando se trabaja con tareas de tipo algebraico, especialmente la generalización de patrones. Por su parte, Arzarello y Edwards (2005) reconocen que los gestos forman parte de la solución de un problema matemático. Es decir, no se restringen a ser simples ilustraciones de los objetos referidos en las explicaciones verbales, sino que dan cuenta de aquellos objetos matemáticos que no fueron dados a conocer en el discurso. Se puede afirmar entonces, que el gesto es un componente importante de los medios semióticos de objetivación planteados por Radford, ya que es utilizado para comunicarse directamente con otros, o para resaltar representaciones simbólicas de conceptos matemáticos que por su complejidad no pueden ser expresadas por el lenguaje matemático o por el lenguaje natural; sin embargo, es un tema del que se sabe muy poco, especialmente en lo que respecta a la matemática (Williams, 2005). Además, poco se conoce del pensamiento algebraico, en especial, del pensamiento algebraico de estudiantes de primaria (5 a 10 años), puesto que es muy general en su caracterización y requiere de más investigación. Es por ello que este trabajo considera interesante indagar sobre:. 6.

(16) ¿Cuáles son los gestos que utilizan los estudiantes de grado cuarto de educación básica primaria del Gimnasio Monseñor Manuel María Camargo para apoyar la generalización algebraica de patrones, al momento de realizar tareas de secuencia figural con apoyo tabular? Objetivos Objetivo General. Identificar y caracterizar los gestos que utilizan los estudiantes de grado cuarto de educación básica primaria del Gimnasio Monseñor Manuel María Camargo para apoyar la generalización algebraica de patrones. Objetivos Específicos. . Reconocer aquellos gestos que utilizan los estudiantes de grado cuarto para apoyar la generalización de patrones.. . Describir y clasificar los gestos que emergen en los estudiantes de grado cuarto al momento de desarrollar tareas de secuencias figurales con apoyo tabular.. Antecedentes Como antecedentes en el marco de la problemática abordada, se presentan algunas investigaciones que dan cuenta de la importancia del gesto en la matemática escolar, la generalización algebraica y el pensamiento algebraico. Los trabajos de investigación que se reportan a continuación, se han realizado a nivel nacional e internacional y son muestra del interés de la comunidad matemática por comprender el papel del gesto en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Entre los autores a nivel internacional que se han interesado por estudiar el gesto en los procesos de enseñanza-aprendizaje se destacan Arzarello y Edwards (2005); Radford (2005);. 7.

(17) Edwards (2005); Salinas, Guzmán y Miranda (2015); Sabena, Radford, y Bardini (2005) y Bjuland, Cestari y Burguersen (2010); sus posturas frente al tema se explican brevemente a continuación. Arzarello y Edwards (2005) por su parte, dan a conocer que durante algunos años, diferentes investigaciones en educación han dado cuenta que el cuerpo, específicamente, las actividades perceptuó-motoras son importantes en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Así mismo, algunos de estos trabajos evidencian que los estudiantes piensan kinésicamente y que el cuerpo es central para la compresión matemática; es decir, la matemática es un fruto de la imaginación humana, con orígenes en la experiencia corporal (Arzarello y Edwards, 2005). A su vez, los autores mencionan que el cuerpo se considera parte importante en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. El análisis del papel del cuerpo en la cognición tiene lugar dentro de un amplio esfuerzo multidisciplinario, involucrando la psicología experimental, la lingüística y la semiótica. Estas disciplinas ofrecen herramientas y construcciones complementarias a quienes desean investigar las interacciones complejas entre lenguaje, gesto, acción corporal y símbolos en el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas. Con relación al gesto, plantean que este se puede visualizar desde dos fuentes: la psicología y la semiótica. Con relación a la psicología, se afirma que los gestos, junto con el lenguaje, ayudan a emerger el pensamiento (McNeill, 1992) y toma en consideración la categoría de los gestos de McNeill (1992) de la siguiente manera: gestos deícticos (apuntan a objetos existentes o virtuales), gestos metafóricos (representa una idea abstracta sin forma física), gestos icónicos (contienen una semejanza con el contenido semántico del habla) y gestos de golpe (simples gestos utilizados para dar énfasis a algo). Con relación a la semiótica, esta se considera una herramienta útil para analizar los gestos, ya que son considerados como un componente importante de los medios semióticos de objetivación, y pueden ser utilizados para comunicar a otros, o para resaltar aspectos de artefactos. 8.

(18) y representaciones simbólicas de conceptos matemáticos. Dentro de la semiótica se consideran los gestos como signos; pues según Vygotsky (1978) el gesto es un signo escrito en el aire y el signo escrito es un gesto fijado. Arzarello y Edwards (2005) concluyen que los seres humanos no solo hacen uso de un medio comunicativo, el lenguaje, sino también de otros medios que se concatenan entre sí: el lenguaje, el gesto y recursos semióticos en el ambiente perceptivo. En otras palabras, el cuerpo, especialmente brazos y manos, son parte central para la comprensión de objetos matemáticos. Por otro lado, Radford (2005) manifiesta que los seres humanos emplean el gesto en diferentes momentos, como por ejemplo, cuando se habla por teléfono, cuando se dialoga con una persona o con un grupo de personas, cuando se da una clase de matemáticas, e incluso cuando se piensa en solitario. Desde el enfoque semiótico-cultural que dicho autor trabaja, los gestos forman parte de aquellos medios que permiten objetivar el saber. Este autor asume el gesto como parte importante de la educación matemática, ya que en el entorno enseñanza-aprendizaje cumple una función sustancial: ayudan tanto a los profesores como a los estudiantes hacer visible intenciones, a notar relaciones matemáticas abstractas y a tomar conciencia de los aspectos conceptuales de los objetos matemáticos. El gesto tiene una gama de posibilidades y limitaciones para dar a conocer un significado. Es por ello, que para conceptualizar un objeto matemático no solo se debe fijar en el gesto sino también hacer uso de otros sistemas semióticos, como por ejemplo: el lenguaje, los dibujos, las fórmulas, las palabras etc. Por su parte, Edwards (2005) evidencia que el análisis de los gestos en contextos matemáticos ha permitido ampliar la categorización de gestos desarrollada por McNeill (1992). El autor, subcategoriza el gesto icónico planteado por McNeill (1992) en gesto icónico-físico y gesto. 9.

(19) icónico-simbólico. El gesto icónico-físico corresponde a aquellos gestos icónicos que se asemejan al fenómeno físico referido en el habla, mientras que el gesto icónico-simbólico, relaciona gestos icónicos que se refieren a símbolos matemáticos o procesos escritos. Cabe resaltar, que el autor logra evidenciar variedad de gestos que son utilizados por doce estudiantes mientras hablan de cómo aprendieron fracciones y de cómo resuelven problemas que involucran fracciones. En la investigación compila un corpus de más de 80 gestos, la mayoría de estos se mostraron en respuesta a preguntas que pedían a los estudiantes recordar cómo aprendieron por primera vez las fracciones. El estudio reportó una amplia variedad de gestos, asociados principalmente con los recuerdos de los estudiantes, también ocasionalmente en relación con la resolución de problemas y el razonamiento. Es importante decir, que durante la investigación, los gestos no fueron simples ilustraciones, sino que también reflejaban aspectos importantes de los materiales y representaciones presentes mientras los estudiantes estaban aprendiendo. Algunas de las conclusiones obtenidas en la investigación fueron las siguientes: . El gesto se define como movimientos de brazos y manos, estrechamente sincronizados con el flujo del habla.. . El gesto puede ser visto como un puente importante entre la imagen y el habla, y puede ser visto como un nexo que reúne la acción, la imaginación, la memoria, el habla y la resolución de problemas matemáticos.. . El gesto puede ayudar a iluminar las relaciones y el camino del desarrollo entre las acciones físicas, el habla, las imágenes internalizadas, los símbolos escritos y las abstracciones matemáticas.. Salinas et al. (2015) dan a conocer que el gesto es un medio semiótico de objetivación que da cuenta del aprendizaje del concepto de sistema de referencia en el marco del trabajo con gráficas. 10.

(20) cartesianas. Según estos autores, el gesto no solamente ayuda al lenguaje oral del estudiante, sino que también se encuentra al mismo nivel del lenguaje verbal en la trasmisión del pensamiento. Esta investigación expone el surgimiento y evolución del pensamiento a través del lenguaje gestual al momento de interpretar el movimiento de objetos a través del plano inclinado. En el desarrollo de las actividades, se evidencia que los gestos son un recurso de los estudiantes, que emerge durante la actividad en el salón de clase. Estos fueron una herramienta semiótica que emplean tanto los estudiantes como los docentes en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. En la investigación se consideró el gesto no solo en relación con las palabras, sino también en relación con otras modalidades (como acción con la tecnología, signos escritos, etc.). Del mismo modo, Salinas et al. (2015) manifiestan que los gestos relevan algunas o todas las características de los contenidos mentales de quien los emplea. Es por ello, que mencionan que el pensar no se reduce solo a las impalpables ideas mentales sino que también se reduce al discurso (oral y escrito), a las acciones con objetos o todo tipo de signos. Salinas et al. (2015) tomaron en consideración lo planteado por Arzarello, quien manifiesta que los gestos presentan dos elementos importantes. El primero, que apoya el proceso de pensamiento de los estudiantes y promueve la transición de un signo a otro; y el segundo, que son importantes en la función comunicativa, pues presentan alternativas de representación y organización de información que los estudiantes no pueden expresar en forma verbal o escrita. Por otro lado, la investigación de Sabena et al. (2005) se centra en los signos y procesos perceptivos de los estudiantes de grado noveno. Esta investigación, se concentró en la generalización algebraica factual y presentó dos resultados principales: la concatenación y sincronización de diferentes sistemas semióticos (gesto, habla, dibujo, entre otros); y la importancia del uso del gesto al momento de dar a conocer el objeto matemático.. 11.

(21) De acuerdo con los autores (Sabena et al., 2005) el objetivo de la generalización algebraica factual es que la dimensión numérica como la geométrica trabajen de manera armónica (conjunta). Los investigadores notaron que los estudiantes para armonizar y expresar dichas dimensiones, emplearon diferentes medios semióticos, como el habla, las figuras dibujadas y el gesto, cuya coordinación es un nodo semiótico. Ahora bien, el análisis que se presenta en el trabajo evidencia la conexión existente entre el gesto y el habla, y de la importancia de estos en la labor conjunta entre profesor y estudiante. Durante el desarrollo de las tareas, los estudiantes hablaban acerca de términos no representados, como la figura 10 o 100; estas figuras se hicieron evidentes gracias a los gestos que representan el componente geométrico de la secuencia y da cuenta de una aprehensión de las figuras particulares (como las figura 1, 2 o 3). Los gestos, que son objetivadores, permitieron coordinar a los estudiantes el significado tipológico correspondiente expresado en el discurso. Los resultados de la investigación exponen la activación y sincronización de diferentes sistemas semióticos a los que recurrieron los estudiantes. De manera análoga, se evidenció la activación y sincronización de diferentes sistemas semióticos entre estudiantes, es decir, un estudiante apoya su discurso por medio de un dibujo de otro estudiante o por medio de gestos que emplearon otros estudiantes. Por su parte, la investigación de Bjuland et al. (2010) consistió en analizar el diálogo y los gestos que emplea un docente de matemáticas con estudiantes de grado sexto. El discurso del docente se analizó, empleando el enfoque dialógico de la comunicación y la cognición. Los gestos de dicha investigación se analizaron teniendo en cuenta la clasificación de McNeill (1992) desarrollada por Edwards (2005), pues estos emplean el concepto de cognición incorporada.. 12.

(22) Bjuland et al. (2010) señalan que los gestos y el discurso son traductores de significado entre ideas matemáticas. El gesto y el discurso son empleados por el docente como estrategia comunicativa, es decir, son utilizados para hacer visible aquello que no puede ser entendido por los estudiantes. En la investigación, se observó que el docente emplea estrategias comunicativas, como cuestionamientos (quién, cómo, por qué, y otras sugerencias) para que los estudiantes argumenten sus respuestas. Con relación a los gestos, se evidenció que son empleados por la docente para explicar a los estudiantes los ítems de la tarea; se destaca el hecho de que los gestos que más se observaron durante las explicaciones de la docente fueron: gestos de toque, gesto de apuntamiento y gestos de deslizamiento. Finalmente, Radford (2013) reporta que la generalización es uno de los procedimientos principales para la producción de conocimiento y que esta se encuentra caracterizada a través de tres problemas fundamentales, que se encuentran concatenados entre sí (Problema fenomenológico, Problema Epistemológico y Problema Semántico) A su vez, este autor propone una reflexión sobre estos problemas centrando la atención en la generalización de patrones en el contexto educativo. El documento señala que una generalización se forma a partir de procesos de determinaciones sensibles sobre objetos matemáticos en donde tiene lugar la intuición, la atención y la sensibilidad. Como antecedentes a nivel nacional, se presentan las investigaciones realizadas por Vergel (2016), Gómez (2013) y Mojica (2014) las cuales dan a conocer que hay un interés a nivel nacional sobre el tema en este país. Vergel (2016) expone la importancia del gesto y el ritmo en la educación matemática, y de cómo estos emergen como medios semióticos de objetivación en tareas de generalización de patrones. De acuerdo con el autor, por medio del gesto es posible comunicar ideas y materializar. 13.

(23) intenciones; es un elemento integrante, no periférico, en las maneras de pensar de los estudiantes; es decir, el gesto es uno de los modos de conceptualizar, conocer y pensar; y es un elemento que movilizan los estudiantes cuando trabajan ideas matemáticas. Por otro lado, la investigación de Gómez (2013) que se enmarca en la perspectiva semiótica cultural de la educación matemática y propone revisar las maneras como los estudiantes evidencia su pensamiento algebraico. El propósito de la investigación fue reconocer las formas de pensamiento que emergen y la manera en que se manifiestan a través de los medios semióticos; que son herramientas que aportan a la generalización algebraica de patrones. De acuerdo con los resultados de la investigación, se identificaron diferentes medios semióticos de objetivación utilizados por los estudiantes: kinestésicos (gestos, movimiento, señalamiento, inscripción, etc.) y lingüísticos (oral y escrito). Cabe notar que estos medios semióticos de objetivación fueron, en varias ocasiones, movilizados sincrónicamente por un estudiante o por dos estudiantes al mismo tiempo, es decir, que hubo nodos semióticos. Así mismo, la investigación señala la importancia de seguir generando trabajos no solo en lo que tiene que ver con el desarrollo del pensamiento algebraico se refiere, sino a otros tipos de pensamientos como el aleatorio, el geométrico, el estadístico, entre otros. Por último se recomienda profundizar en el análisis de los medios semióticos de objetivación (como el gesto) y en los procesos de objetivación desarrollados en las formas de pensamiento algebraico planteadas en la teoría cultural de la objetivación, específicamente en el pensamiento algebraico simbólico. Finalmente, la investigación adelantada por Mojica (2014) muestra que el pensamiento algebraico puede emerger sin hacer uso de un lenguaje alfanumérico. En este estudio, se examinan aspectos de la forma como piensan, sienten y son los estudiantes frente a lo indeterminado, y exploran la manera cómo operan con cantidades desconocidas. De igual manera, se indaga sobre. 14.

(24) aquellos medios semióticos de objetivación que utilizan los estudiantes cuando representan cantidades indeterminadas. Para obtener la información que diera cuenta de lo planteado anteriormente, en el trabajo se suscita la actividad matemática que involucra tareas de generalización de patrones. Con base a los resultados de la investigación se tienen en cuenta los constructos teóricos de la teoría cultural de la objetivación, cuyo propósito es reconocer los procesos de pensamiento matemático como una serie de aspectos históricos culturales que influyen al momento de representar semióticamente los objetos algebraicos. En la investigación, se logra evidenciar diferentes cosas, entre ellas que los estudiantes de grado decimo utilizan signos alfanuméricos que tienen a su disposición para acercarse al saber y que a través de estos logran comprender significados matemáticos que están aceptados culturalmente. Durante el desarrollo de la actividad emergieron formas de pensamiento algebraico (factual y. contextual). Dichas formas de. pensamiento pueden evolucionar progresivamente al pensamiento algebraico simbólico. Finalmente, en la investigación se logró evidenciar que el pensamiento algebraico se manifiesta a través de diferentes medios semióticos de objetivación (por ejemplo, el gesto, palabras, frases, lenguaje natural, entre otros). Cabe resaltar, que los medios semióticos de objetivación que emergieron en la investigación, fueron utilizados por los estudiantes para proporcionar una solución satisfactoria a las tareas presentadas, lo que implica que la no manipulación de los símbolos algebraicos no constituye un obstáculo por desarrollar una tarea algebraica. Las investigaciones reportadas anteriormente develan que el estudio de los gestos en campo de la educación matemática corresponde a un tema actual de debate, como un esfuerzo de la comunidad para mostrar que resultan ser un medio semiótico de objetivación tan importante como. 15.

(25) las palabras, las frases, los dibujos, entre otros. Lo cual ha sido documentado por diferentes autores y tenerlos en cuenta influyen en el desarrollo de este trabajo de grado.. 16.

(26) CAPÍTULO 2 MARCO TEÓRICO En este capítulo se exponen los referentes del marco teórico que se consideran importantes para el desarrollo y elaboración de la investigación. Se exponen tres apartados, en el primero se abarca una aproximación a la teoría cultural de la objetivación, poniendo de presente la manera en que se concibe la educación matemática, el saber, la actividad, el estudiante, el profesor, entre otros, enfatizando en la enseñanza-aprendizaje. En el segundo apartado, se definen y se caracterizan elementos del pensamiento algebraico y la generalización algebraica. Finalmente, en el tercer apartado se profundiza en la dimensión gestual. Una aproximación a la teoría cultural de la objetivación La teoría cultural de la objetivación es una teoría sociocultural que plantea la educación matemática como un esfuerzo dinámico, político, histórico y cultural dirigido a la creación de individuos éticos y reflexivos que se posicionan críticamente en discursos y practicas matemáticas histórica y culturalmente constituidas (Radford, 2015, p.2). Esta teoría señala que la educación en general y la enseñanza y aprendizaje en particular no solo debe tratar con saberes matemáticos sino también con seres, pues se deben estudiar tanto los conocimientos como la formación del alumno; idea que ha proporcionado nuevas perspectivas a considerar sobre el saber, la enseñanza, el aprendizaje, y el sujeto. Esta teoría se fundamenta en el materialismo dialéctico y en la idea que el saber no es algo que los individuos poseen, adquieren o construyen a través de trabajos personales. De acuerdo con Radford (2015), el materialismo dialéctico del saber debe diferenciar entre lo potencial y lo actual. Con relación a lo potencial, el saber es una posibilidad. Es decir, este puede emerger. Por ejemplo, es pura posibilidad que los estudiantes realicen cálculos numéricos o clasifiquen figuras. 17.

(27) geométricas. Con relación a lo actual, el saber es actualizado, es decir, se ha vuelto objeto de conciencia y pensamiento a través de lo que se denomina actividad (labor conjunta). Ahora bien, para que el saber se vuelva objeto de conciencia y pensamiento este debe ser puesto en movimiento a través de lo que Radford (2015) llama actividad. La actividad es considerada en esta teoría como una labor conjunta. Para Radford (2011, citado por Vergel 2014): La actividad es un proceso cuyo propósito es alcanzar un objeto impregnado de entrada con significados culturales y conceptos, objeto que se alcanza a través de acciones mediatizadas por sistemas semióticos depositarios de la historia cognitiva escrita en estos últimos por generaciones pasadas. (p.66). Figura 1. Actividad como aquella que pone en movimiento lo potencial y lo actual (Radford, 2015).. Cabe resaltar, que la labor conjunta tiene un papel protagónico en la educación matemática, pues esta no trabaja la enseñanza y aprendizaje como dos actividades separadas, sino como una misma actividad donde estudiante y profesor llegan al saber de manera conjunta (Radford, 2016). Es preciso señalar que en esta teoría tanto estudiante como profesor, se consideran seres sociales. Que todo cuanto a ellos proviene de una sociedad, en el seno de una cultura creada por la humanidad (Radford, 2010a). Además, viven, piensan y actúan en el marco de una cultura y de la premisa, “que la base de cognición no se encuentra en la praxis social”, entendiendo praxis social como una actividad humana sensitiva y concreta” (Leontiev, 1969, p.5).. 18.

(28) La idea de partida de la teoría de la objetivación se centra en que cuando nacemos nos encontramos con un mundo lleno de riquezas acumuladas a lo largo de los siglos por innumerables generaciones, riquezas que son transformadas por generaciones pasadas y que los individuos deben asimilar. Teniendo en cuenta estas ideas, los objetos que están inmersos en una cultura y sociedad deben empezar a ser reconocidos por el sujeto. Para dicho reconocimiento deben pasar por lo que Radford (2009) llama proceso de objetivación, que “son aquellos procesos sociales a través de los cuales los estudiantes capturan la lógica cultural con que los objetos de saber han sido dados y se familiarizan con las formas de acción y pensamiento históricamente constituidas” (Radford, 2009, citado por Vergel, 2014, p. 57). El proceso de objetivación se basa en la interacción social y la interacción con artefactos (objetos, instrumentos, etc.). Con relación al primero, se puede decir que el individuo se forma discursivamente. Es decir, en los procesos comunicativos del yo con el Otro, se construye mi propio discurso (García, 2006). Con relación al segundo, en la teoría cultural de la objetivación no se denomina interacción con artefactos sino recursos semióticos, y estos poseen una inteligencia histórica y cultural que fue depositada en ellos, y al mediatizar la actividad o labor conjunta se convierten en medios semióticos de objetivación. Finalmente la teoría cultural de la objetivación se interesa en el rol que tiene el cuerpo, el discurso y los signos cuando los individuos hacen referencia a los objetos matemáticos. Los medios semióticos de objetivación (como el gesto, el habla, entre otros) fueron generados por individuos en el transcurso de su desarrollo histórico-cultural, puesto que no se conformaron con lo que le otorga la naturaleza al nacer, es decir, los medios semióticos de objetivación evolucionan dependiendo las necesidades de los individuos (estudiante y profesor).. 19.

(29) Pensamiento algebraico La perspectiva semiótica-cultural ha permitido redefinir la idea del álgebra escolar y pensamiento algebraico. Durante años se ha considerado que solo hay algebra y pensamiento algebraico si los estudiantes utilizan signos alfanuméricos. Según Radford (2010a) esto se debe en parte a que tradicionalmente se ha considerado el simbolismo alfanumérico como el sistema semiótico del álgebra por excelencia. Sin embargo, desde el punto de vista de la semiótica, para que exista álgebra y pensamiento algebraico no solo se debe recurrir a los símbolos alfanuméricos, sino también a otros signos que pueden sustituirlos o que son equivalentes a los alfanuméricos y que evidencian también álgebra y pensamiento algebraico. De acuerdo con Radford (2010a) las palabras, los gestos, el ritmo, las frases, entre otras pueden ser signos algebraicos tan genuinos como las letras, así mismo los signos algebraicos no solo tienen la esencia de representar sino también de materializar el pensamiento. Arzarello (2006) expone que los signos son considerados en un sentido amplio, que engloba términos lingüísticos, tanto escritos como orales, simbólicos, gestos, entre otros y son considerados como partes constitutivas del pensamiento. De manera que, el pensamiento es una actividad reflexiva, sensorial y mediada por signos, encarnados en la corporeidad de acciones, gestos y artefactos. Desde los estudios realizados por Radford (2010a) la diferencia que existe entre el pensamiento algebraico y pensamiento aritmético, radica en que el primero trata con objetos matemáticos indeterminados, como, por ejemplo: incógnitas, parámetros y variables. Además se trabaja con estos objetos de manera analítica. Se asume que el álgebra trabaja con cantidades indeterminadas, pero no necesariamente estas cantidades se tienen que representar por medio del simbolismo alfanumérico, pues según Radford (2010a) la indeterminancia se puede representar por diferentes medios semióticos, los cuales están equipados para hacerlo.. 20.

(30) El pensamiento algebraico, como forma particular de reflexionar matemáticamente, es caracterizado por Radford (2010a) por tres vectores que están estrechamente relacionados: . El sentido de indeterminancia es todo lo opuesto a la determinación numérica (incógnitas, variables, parámetros, etc.). . La analiticidad es la forma de trabajar los objetos indeterminados; reconocimiento del carácter operatorio de los objetos básicos.. . La designación simbólica es la manera específica de nombrar o referir los objetos algebraicos. De acuerdo con Vergel (2014) la indeterminancia y el carácter analítico se encuentran. concatenados para permitir que los estudiantes puedan tratar con cualquier tipo secuencia figural. Por otro lado, Radford (2010a) sugiere tres formas de pensamiento algebraico o estratos caracterizados por los medios semióticos de objetivación movilizados por los estudiantes en su actividad reflexiva, los cuales incluyen la percepción, los movimientos, los gestos y el lenguaje natural: . Pensamiento algebraico factual. Los medios semióticos de objetivación movilizados por los estudiantes o profesores son los gestos, los movimientos, el ritmo, la actividad perceptual y las palabras.. . Pensamiento algebraico contextual. Los gestos y las palabras son sustituidos por otros medios semióticos de objetivación tales como frases “claves”.. . Pensamiento algebraico simbólico. Las frases claves son representadas por símbolos alfanuméricos del algebra.. El pensamiento algebraico es una forma de pensar, que durante años o siglos ha sido redefinida. En términos de Vergel (2015) “desde nuestras consideraciones filosóficas consideramos el. 21.

(31) pensamiento algebraico como un conjunto de procesos corporizados de acción y reflexión constituidos histórica y culturalmente” (p. 3). Generalización algebraica de patrones De acuerdo con Lee (1996) "el álgebra, y de hecho todas las matemáticas tratan sobre la generalización de patrones" (p.103). Es por ello que el autor manifiesta que es esencial que en las aulas de clase se dirija más la atención al estudio de patrones, pues estos predominan en gran parte de la matemática escolar. Ahora bien, Radford (2013) expone que “la generalización de patrones es considerada una de las formas más importantes de introducir el álgebra en la escuela” (p. 2). La generalización de patrones adquiere importancia dentro del álgebra escolar, debido a que acerca a los estudiantes de educación primaria o de educación básica y media a situaciones de variación y cambio. Radford (2013) menciona que la generalización algebraica de patrones se encuentra fundamentada bajo tres ideas: . Identificar u obtener una característica común o una comunalidad, la cual es notada sobre algunos elementos de una secuencia. Esta toma de conciencia de una propiedad común se nota a partir de un trabajo fenomenológico de observación sobres ciertos términos particulares (ejemplo, 𝑃1 𝑃2 , 𝑃3 , … , 𝑃𝐾 ).. . La aplicación de toda la comunalidad a todos los términos subsecuentes de toda la secuencia (ejemplo, 𝑃1+𝑘 𝑃2+𝑘 , 𝑃3+𝑘 , … ) y. . La capacidad de usar aquella propiedad común a fin de deducir una expresión directa que permite calcular el valor de cualquier término de la secuencia.. 22.

(32) La siguiente figura elaborada por Radford (2013) explica la estructura de la generalización algebraica de secuencias figuras. Las fechas en esta figura son bidireccionales, pues hay idas y vueltas entre los diferentes elementos.. Figura 2. Estructura de la generalización algebraica de secuencias figurales (Radford, 2013). Se reconoce el hecho que dentro de la generalización es posible encontrar diversos elementos que permiten expresar una generalización algebraica o una generalización aritmética. Un primer aspecto a considerar es la característica común local, esta es, identificada a partir de un número finito de figuras. Dicha caracterización es generalizada a otras figuras de la secuencia que no están en el campo perceptual del estudiante. Ahora bien, la generalización de la característica común corresponde a lo que Peirce (citado por Radford, 2013) denomina abducción, esto es, que la generalización es algo plausible. Cuando un estudiante utiliza la abducción para pasar de un término al siguiente se corresponde a una generalización aritmética puesto que no hay deducción de una fórmula que permita calcular la cantidad de elementos de cualquier figura. El método ensayo y error puede generar una fórmula, sin embargo, esta no es una fórmula deducida, pues los alumnos pueden presentar una fórmula que es plausible y la ponen en marcha aplicándola a un número finito de pruebas. Se puede decir entonces, que encontrar una fórmula por ensayo y error no es una generalización algebraica, ya que para que sea algebraica la abducción que se realiza de 23.

(33) la característica común debe ser de manera analítica. En otras palabras, la abducción no debe ser utilizada como una posibilidad sino como un principio para deducir una fórmula que permita calcular cualquier figura. Radford (2003) reconoce dos formas de generalización algebraica de patrones caracterizadas por los diferentes medios semióticos de objetivación que lo componen, a saber:  Generalización factual. Es aquella en la cual hay evidencia de una generalización de acciones en la forma de un esquema operacional, que está ligado al nivel concreto de uso de los símbolos numéricos, a términos deícticos, gestos y actividad perceptiva como medios semióticos de objetivación. Además, en esta generalización lo general o lo indeterminado queda sin nombrar.  Generalización Contextual. Esta generalización es más avanzada que la generalización factual, pues no solo generaliza las acciones numéricas sino también lo objetos de las acciones. Es importante mencionar, que la generalización contextual no alcanza el nivel de las generalizaciones simbólicas. Cabe mencionar que es posible encontrar producciones matemáticas que no se encuentran definidas en las características mencionadas anteriormente. Medios semióticos de objetivación Los medios semióticos de objetivación son todos aquellos recursos que movilizan los estudiantes y profesores para objetivar el saber. Los medios semióticos de objetivación pueden incluir signos matemáticos, objetos, gestos, actividad perceptual, lenguaje escrito, lenguaje hablado, dibujos, posición corporal, ritmo, entre otros. En términos de Radford (2003): Los medios semióticos de objetivación son todos los medios utilizados por los individuos que se encuentran en un proceso de producción de significados, para lograr una forma estable de. 24.

(34) conciencia, para hacer presente sus intenciones y organizar sus acciones y así adquirir las metas de sus acciones. (p. 41) Al respecto Miranda, Radford y Guzmán (2007) afirman que estos son empleados por los sujetos para hacer aparente y materializar una intención, contribuyendo a la organización de las acciones realizadas por los estudiantes y el profesor en un tiempo y espacio determinado. A la vez, son mediadores de nuestros actos intencionales, portadores de una conciencia histórica constituida por la actividad cognitiva de las generaciones precedentes (Radford, 2005). Moreno (2014) llama la atención acerca del gesto como un medio semiótico de objetivación que valdría la pena indagar a profundidad y prestar mayor atención dentro del campo de la educación matemática, ya que tiene un rol importante en las intencionalidades de los sujetos y en su proceso de conceptualizar; además, permite a los estudiantes y profesores comunicar ideas matemáticas abstractas. De acuerdo con Radford (2005) la movilización de diferentes medios semióticos de objetivación se denomina nodo semiótico. De acuerdo con el autor, un nodo semiótico es una parte de la actividad semiótica de los estudiantes y profesores donde la acción de diversos signos como el gesto, la palabra, la fórmula, entre otros, trabajan de manera conjunta para lograr hacer visible el saber. Teniendo en cuenta la definición de nodo semiótico, Radford (2008) llama contracción semiótica a la evolución de los nodos semióticos; es decir, cuando los recursos semióticos pasan de fórmulas corpóreas hacia fórmulas más sofisticadas. Dimensión gestual Los seres humanos para exteriorizar el pensamiento utilizan diferentes recursos o modalidades, como el discurso, los gestos, los ritmos, los movimientos corpóreos, la manipulación de artefactos, las representaciones pictóricas, entre otros. La producción investigativa en el campo de la. 25.

(35) educación matemática en general muestra la importancia que se ha otorgado al estudio del discurso (oral y escrito). Sin embargo es posible encontrar estudios que exploran otros recursos, en particular, el gesto. Estos estudios llaman la atención respecto a que el pensamiento no solo ocurre en la cabeza y en el lenguaje hablado, sino también en la sofisticada coordinación entre el gesto, el habla, el cuerpo, los símbolos y las herramientas (Radford, 2008). De acuerdo con McNeill (1992) el discurso (oral y escrito) no permite expresar la relevancia que muestra el gesto, pues el discurso se encuentra sujeto las reglas convencionales relativas de la sintaxis, la semántica y la pragmática, logrando que el sujeto se limite a su discurso. Mientras que el gesto es capaz de expresar toda una gama de significados que emergen del sujeto. Los gestos no son solo un movimiento de brazos en el aire, sino también símbolos que exhiben significados en sí mismos. Es decir, las manos del hablante ya no son solo manos, sino también símbolos. Cebe notar que los gestos son utilizados por los individuos cuando las circunstancias de la comunicación hacen difícil o imposible que el lenguaje natural sea bien recibido por el receptor (Kendon, 1987). Krause (2015) señala que las reglas sintácticas y semánticas ayudan a los sujetos a entenderse mediante el uso del habla; sin embargo, son un obstáculo lingüístico cuando se trata de dar a conocer ideas que no están completamente elaboradas. Esto sucede debido a que algunas veces los individuos, aunque tienen las nociones claras encuentran dificultades al expresarlas ya sea de manera verbal o escrita. Es aquí donde juega un papel fundamental el gesto, porque incluye lo que el lenguaje (verbal o escrito) deja por fuera; además, no necesita reglas sintácticas y semánticas o un orden gramatical para comunicar ideas. En este sentido, McNeill (1992) afirma que los gestos son realizados teniendo en cuenta lo que el sujeto quiere expresar al oyente, además, son símbolos diferentes del lenguaje hablado. Los gestos, en primera instancia, son creados o recuperados por el sujeto en el momento del habla, es. 26.

(36) decir, emergen con el discurso. En segunda instancia, tienen su propia historia (por ejemplo, los gestos que se trasmiten, multiplican y perfeccionan de una generación a otra), su propia salida en el espacio (por ejemplo, en el aire, en la pared o en una mesa) y sus propias representaciones que son expresadas por medio de movimientos y formas. Whitney (1989, citado por Kendon, 2004) establece que los gestos son utilizados; por un lado, para la comunicación donde el lenguaje hablado no tiene validez o no es suficiente (por ejemplo, personas con dificultades auditivas o personas con diferentes idiomas); y por otro lado, para embellecer, explicar e imponer el discurso otorgándole poder y valor. Con relación a esto último, el gesto es utilizado por los individuos para que su discurso sea más preciso o completo para el oyente, pues las palabras por sí mismas son inherentemente ambiguas (Kendon, 2004). Las palabras o frases se vuelven más claras en la medida que se establece un contexto más amplio y se acompañan del gesto. Un ejemplo de lo anterior, se puede evidenciar en algunas investigaciones realizadas por Vygotski (1978) sobre la percepción, quien encontró que niños de dos años de edad describieron y reprodujeron relaciones espaciales entre objetos ubicados en pinturas con el uso de un lenguaje gestual. Al momento en que a los niños se les permitió el uso del habla se pudo identificar que las palabras utilizadas para describir y reproducir relaciones espaciales eran acompañadas por diferentes gestos, los cuales dieron claridad y permitieron superar las dificultades provocadas por el lenguaje verbal. Siguiendo a Radford (2008), los gestos son visualizados como las ventanas del pensamiento o como aquellos transportadores de ideas que se encuentran en algún lugar de la mente esperando el momento adecuado para concatenarse con la expresión verbal. En otras palabras, pensar no se reduce solo a ideas mentales, sino que también se piensa por medio de signos como el lenguaje, el. 27.

(37) cuerpo y las herramientas. Esta idea se encuentra estrechamente ligada a los planteamientos de Vygotsky (1978) sobre la relación existente entre gestos y signos: “Un gesto es específicamente el signo visual inicial en el cual el futuro escrito del niño está contenido, como el futuro roble está contenido en la semilla. [...] El gesto es un escrito en el aire y el signo escrito es muy a menudo simplemente un gesto fijado” (p. 107). Partiendo de lo anterior, el gesto es un signo que posee una carga ideológica. De acuerdo con Voloshinov (1976) “todo lo ideológico posee significado: representa, figura, o simboliza algo que esta fuera de él. En otras palabras, es un signo” (p. 19). Un ejemplo de esta idea puede hacerse visible en el momento en que un feligrés católico realiza el acto de santiguarse, este gesto se practica sobre sí mismo, y consiste en tocarse en secuencia y con la mano derecha, la frente, la parte baja del tórax, el hombro izquierdo y finalmente el derecho, lo que representa una cruz imaginaria sobre el cuerpo a la vez que se va vocalizando ''En el nombre del Padre, y del Hijo y del Espíritu Santo''. Este gesto posee una carga ideológica que representa la tradición de la iglesia y es adoptada por los cristianos como un signo desde que Jesucristo dejó en ella estampado para siempre el padecimiento de su propio cuerpo. Teniendo en cuenta lo anterior, diferentes autores (como Radford, 2008; Arzarello y Edwars, 2005; Edwards, 2005; Reynolds y Reeve, 2002; Vergel, 2014; entre otros) han reconocido la importancia del gesto como un dominio investigativo en el campo de la educación matemática, debido a que es considerado como un elemento indispensable en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, ya que contribuye a la construcción de significados matemáticos y a la comprensión de los mismos. Como lo menciona Vergel (2016) “La importancia del estudio del gesto reside en reconocer que por medio de él es posible materializar intenciones, además de ser un elemento integrante, no periférico, en las maneras de pensar de los estudiantes” (p.6).. 28.

(38) En este sentido, los gestos hacen parte de aquellos medios semióticos que permiten a los sujetos “tomar conciencia de aquellos aspectos conceptuales que por su propia generalidad no pueden ser plenamente expresados en el ámbito de lo concreto” (Radford, 2005). Según el autor, la importancia de los gestos reside en que estos permiten visualizar intensiones, comunicar ideas, identificar relaciones matemáticas abstractas y reconocer aspectos conceptuales de los objetos matemáticos. De manera que, los gestos son representaciones que emergen y reflejan aspectos importantes del pensamiento del estudiante. Otros autores, como Arzarello y Edwars (2005) señalan que la construcción de significados matemáticos no se da solamente por medio del lenguaje natural (oral o escrito) sino por tres medios que trabajan de manera conjunta: lenguaje, el gesto y recursos semióticos. Los autores reconocen a su vez la importancia del gesto, debido a que las matemáticas tienen sus orígenes en la experiencia corporal, donde el cuerpo es un eje central para su compresión. Edwards (2005), en sus investigaciones relacionadas con el gesto en el discurso matemático, ha logrado dar cuenta que los gestos no son simples ilustraciones que realiza un sujeto, sino que permiten reflejar aspectos importantes del pensamiento que pueden dar respuesta a preguntas que por su complejidad no pueden ser dadas en un lenguaje matemático o un lenguaje natural. Los gestos pueden ser observados como el puente que conecta la imagen y el habla, y pueden ser vistos como la conexión entre la acción, la imaginación, la memoria, el habla y la resolución de problemas matemáticos. Reynolds y Reeve (2002) indican que los gestos apoyan el discurso matemático y comunican aquellas representaciones matemáticas (como, por ejemplo, gráficas de velocidad contra tiempo) que por su complejidad no pueden ser mostradas en el ámbito concreto. Afirman que los gestos muestran y apoyan aquellos objetos matemáticos (como funciones) que no pueden ser expresados. 29.