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MODULOS

Pasamos ahora a categor´ıas especiales en nuestro estudio. En lo que sigueAdenotar´a un anillo unitario, es decir con m´odulo multiplicativo y salvo menci´on expresa de lo contrario, la multiplicaci´on del mismo ser´a conmutativa.

La Categor´ıa de los A-M´odulos

4.1 Definici´on:

Un grupo abeliano (M,+) se dice un m´odulo (a izquierda), sobre un anilloA, si existe una funci´on A×M → M (multiplicaci´on por escalar), denotada aqu´ı (a, m)→(am) tal que

i ∀a1, a2 ∈A,∀m∈M, (a1+a2)m=a1m+a2m

ii ∀a∈A,∀m1, m2∈M,a(m1+m2) =am1+am2

iii ∀a1, a2 ∈A,∀m∈M,a1(a2m) = (a1a2)m

iv ∀m∈M, 1m=m 2

Todas estas propiedades se pueden representar por diagramas conmu-tativos como se pide en el problema 1 de este cap´ıtulo.

Como ejemplos tenemos a los grupos abelianos como m´odulos sobreZ:

si (B,+) un grupo abeliano entonces la operaci´on por escalar definida as´ı 0b= 0, (n+ 1)b=nb+by (−n)b=−(nb), en donde b∈B.

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Otro ejemplo es An (A el anillo) del cual se sabe que es un grupo abeliano con la suma coordenada a coordenada y se toma

a(a1, a2, ...., an) = (aa1, aa2, ..., aan)

Adem´as si M es un A−m´odulo y N ⊆ M, con N 6=φ y cumple que

∀a1, a2 ∈A,∀m1, m2∈M,a1m1+a2m2 ∈NentoncesN es un m´odulo

para + y×restringidos aN. LosA−m´odulos de este tipo se llamar´an subm´odulos deM.

4.2 Definici´on:

Sean M1 y M2 m´odulos sobre A. Sea f : M1 → M2 un

homo-morfismo de grupos abelianos. Decimos que f es lineal sobre A si f(am) =af(m), ∀a∈A,∀m∈M 2

As´ı pues una funci´on f : M1 → M2 es lineal sobre A si y s´olo si

f(a1m1+a2m2) =a1f(m1) +a2f(m2),∀a1, a2∈A,∀m1, m2 ∈M. La

condici´on de linealidad se puede dar tambi´en por medio de diagramas (ver problema 1).

Tenemos entonces la categor´ıa fundamental de nuestro trabajo.

4.3 Proposici´on:

Si se consideran los m´odulos sobreAcomo objetos y las funciones lineales entre ellos, con composici´on la composici´on de funciones, se tiene una categor´ıa 2

La categor´ıa de 3 ser´a denotada porAmod. La caracterizaci´on de sus aspectos categ´oricos es

4.4 Proposici´on: En Amodse tiene:

i El grupo 0 con multiplicaci´on por escalar la ´unica funci´onA×0→

0, es objeto inicial y objeto final.

ii Para un morfismo f :M1 →M2 se tieneN(f) =f−1(0),Imf =

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iii Paraf :M1 →M2, un morfismo, se tiene quefes un

monomor-fismosi y s´olo si f es 1−1.

iv Paraf como en iii,f es unepimorfismosi y s´olo sif es sobre. v Para una familia{Ai}i∈I se tiene que

Y

i∈I

Ai={f :I → [

i∈I

|f(i)∈Ai,∀i∈I}

con proyecci´on πj : Y

i∈I

Ai →Aj,f 7→f(j).

vi X i∈I

Ai ={f ∈ Y

i∈I

Ai |I−f−1(0) es finito}en donde

f−1(0) ={i∈I |f(i) = 0}

yIj :Aj → X

i∈I

Ai est´a dada porIj(a) :I → ∪Ai que env´ıaj en ayk(6=j) en 0.

vii Si M ∈ AM od, entonces P(M) es isomorfa a la categor´ıa Sm dada as´ı: los objetos son los subm´odulos de M y en cuanto a los morfismos, si N1 y N2 son subm´odulos de M, entonces

M or(N1, N2) = φ si N1 ⊆ N2 y M or(N1, N2) = {i} donde

i:N1 →N2 es la inclusi´on siN1 ⊆N2. Lainclusi´on can´onica

es la inclusi´on conjuntista N →M.

viii Q(M) es isomorfa a la categor´ıa con objetos M/N en donde N es un subobjeto M y morfismos las funciones inducidas por las inclusiones N1 → N2 en M/N1 → M/N2. Es decir M/N1 →

M/N2, x+N1 7→ x+N2. As´ı mismo Q(M) es isomorfo a las

relaciones de equivalencia en M compatibles con suma y multi-plicaci´on por escalar.

Demostraci´on:

La parte i es obvia. En cuanto a la parte ii la caracterizaci´on del n´ucleo es muy directa puesto que no requiere construcciones previas. Es evidente quef−1(0) es un subm´odulo deN1 y la funci´on inclusi´on

i:f−1(0)N

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M1

f

M2 0

i f-1( 0 )

Es cartesiano, por tanto: f−1(0)→M, es el n´ucleo de f.

En cuanto a las dem´as partes requerimos conceptos previos as´ı: si M es un Amod y N es un subgrupo abeliano de M cerrado para la multiplicaci´on por escalar entonces en el grupo cociente M/N la f´ormulaα[x] = [αx] define una operaci´on que hace de M/Aun Amod y la funci´on M → M/N, α 7→ [x] es un morfismo genericamente denotado P y llamado la proyecci´on.

Iniciemos calculando el con´ucleo de f : M1 → M2 : f(M1) es un

subm´odulo de M2. Entonces M2/f(M1) es un Amod y el

homo-morfismo P : M2 → M2/T preserva la multiplicaci´on por escalar.

Claramente pf = 0 y si g : M2 → M3 es tal que gf = 0 entonces

existe una ´unica h : M2/f(M1) → M3 tal que hp = g. En efecto

h[x] = g(x) ciertamente es una funci´on que cumple lo indicado. As´ı puesP :M2 →M2/f(M1) es el con´ucleo de f, es decir P =Pf. Veamos ahora que f(M1) es en efecto la imagen de f. Pero esto es

equivalente a mostrar queN(P) =f(M1) (con la inclusi´on como

mor-fismo) los cual es obvio. Ahora la igualdad CN(f) = Codf /Imf es clara. Finalmente para la parte Coim(f) = Domf /N(f) debe mostrarse que el con´ucleo de N(f) →if M1 es M1/N(f) pero con la

caracterizaci´on ya obtenida de con´ucleo el resultado sigue.

En cuanto a la parte iii, notemos primero queA mismo es unAmod y que siM es un Amodya∈M entonces la funci´on hm :A→M dada pora→am es lineal.

Supongamos entonces que f : M1 → M2 es un monomorfismo. Sean

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Si suponemos quef es un morfismo de Amodel cual es 1−1 se tiene que dados h, k :M → M tales que f h =f k, entonces para m ∈ M, f(h(m)) =f(k(m)) y por tantoh(m) =k(m). Como esto es para todo m,h=k. Note que, esencialmente, ´esta es la misma demostraci´on del caso conjuntista correspondiente.

Para la parte iv, suponga que f es un epimorfismo y considere 0, Pf : B → CN(f). Es claro que 0f = Pff. Entonces 0 = Pf as´ı pues la proyecci´on B → B/Imf es cero, luego Imf = B. La otra implicaci´on es la misma conjuntista y se deja como ejercicio.

En cuanto a v y vi se sabe que Y i∈I

Ai y X

i∈I

Ai son el producto y la suma respectivamente en Ab. Se sigue de manera inmediata que son Am´odulos y las proyecciones e inclusiones son lineales y el resto de la demostraci´on del caso abeliano se extiende f´acilmente a Amod. En cuanto a la parte vii es evidente que Sm(M), es una categor´ıa (demuestrelo). Ahora definimos F : P(M) → Sm(M) tomando para una clase [a] : [T]→M F[α] = α(T). Se verifica de inmediato que si α∼β→ α(T) =β(T). Ahora si f :α →β es un morfismo (entonces monomorfismo) deα:N →M en β:T →M, entoncesα(N)⊆β(T) as´ı queF es una bifunci´on la cual es un isomorfismo.

Finalmente es claro que si N (⊆ M) cumple la condici´on Sm de vii entonces es un Amod y N →i M (la inclusi´on) es un monomorfismo. Adem´as Imi = N. Si por otro lado f : N → M es un morfismo de Amod, entonces Imf cumple Sm de vii. Los privilegiados de P(M) estan pues determinados por la condici´onSm.

Finalmente en cuanto a viii si N cumple Sm de vii respecto a M entonces, sabemos que M/N es un Amod y que M → M/N es un epimorfismo.Veamos que todo epimorfismo es isomorfo a uno de este tipo. En efecto sif :M → M1 es un epimorfismo, entonces se tiene

otro M Pf→ M/N(f). Es evidente que (primer teorema de homomor-fismo deA-m´odulos)f 'pf, extendiendo la demostraci´on del caso de grupos abelianos. Adem´as para f :M → M1 yg :M → M2, f ' g

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Se tiene entonces la unicidad de los elementos privilegiados (objetos) dentro de las clases de equivalencia.

As´ı pues seleccionar epimorfismosf :M →M1 equivale a seleccionar,

de manera privilegiada N(f). Ahora bien, suponga que el siguiente diagrama conmuta

M

M1 M2

f g

h

entoncesN(f) ⊆N(g) de manera obvia y la inclusi´on N(f)→ N(g) induce el epimorfismoM/N(f)→h M/N(g),m+N(f)→m+N(g) el cual dejade manera ´unicaconmutativo el diagrama

M

M/N( f ) M/N( g )

Pf Pg

h

As´ı entre los morfismos isomorfos a h:f → g est´a el inducido por la inclusi´on N(f) → N(g) y puede seleccionarse con una condici´on de unicidad o privilegio. El lector verificar´a que ∼h es en efecto isomorfo ah, en QAM od(M) 2

Completemos ahora la proposici´on precedente con lo obvio:

4.5 Proposici´on:

Amod es una categor´ıa abeliana 2

Todas las partes de 3.5 son obvias pero recalcamos una de inter´es especial. Sif :M1 →M2es un morfismo entonces se tiene el diagrama

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en donde ∼

f: M1/N(f) → M2 est´a dada por

f (m+N(f)) = f(m). El lector verificar´a que

f est´a bien definida, es lineal, y es 1−1. La conmutatividad del diagrama es obvia.

Ahora algunas observaciones est´an en orden una vezAmodse ha clasi-ficado como categor´ıa abeliana:

4.6 Proposici´on: En Amodse tiene

i Las afirmaciones que siguen son equivalentes: f es un monomor-fismo;N(f) = 0;Coimf =Domf

ii Paraf las siguientes afirmaciones son equivalentes: f es un epi-morfismo;Imf =Codf;CN(f) = 0

iii Paraf las siguientes afirmaciones son equivalentes: f es un iso; cualquier afirmaci´on de i y cualquier afirmaci´on de ii,f es lineal 1−1 y sobre.

iv Las afirmaciones siguientes son equivalentes: N es un subobjeto deM (subm´odulo);N ⊆M,N 6=φy∀n1, n2 ∈N1;∀a1, a2 ∈A,

a1n1+a2n2∈N;N es el n´ucleo de un morfismo.

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La Categor´ıa de los Subm´odulos

Como deseamos comparar subconjuntos con subm´odulos denotaremos la categor´ıa de los subm´odulos de M por Sm(M) y reservamos la notaci´on P(M) para la categor´ıa cuyos objetos son los subconjuntos deM y cuyos morfismos son las inclusiones. Notemos primero que 4.7 Proposici´on:

Sm(M) es cerrrado para sumas y productos. En efecto para una familia{Ai}i∈I de subm´odulos de M,

i Y i∈I

Ai = \

i∈I Ai y

ii X i∈I

Ai ={ X

i∈J

ai |J(⊆I) es finito,ai∈Ai,∀I ∈J}2

X

i∈I

Ai es pues el conjunto de las sumas finitas de elementos de los Ai coni∈I

La verificaci´on de 3.7 es inmediata. Nosotros usaremos la notaci´on corrienteT

Ai, en cambio deQAi y en cambio de X

i∈I

Ai, A1+A2+

...+Anen el caso finito.

Note queSm(M)no es aditivapuesto que 0 es su objeto inicial yM su objeto final. Note adem´as que se tiene un funtor de olvido.

olv:Sm(M)→ P(M) Nos interesa su adjunto a izquierda:

4.8 Proposici´on: Se cumple que:

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ii Si X⊆Y ⊆M entonces< X >⊆< Y >.

iii La funci´on P(M) →Sm(M) dada por X →< X >es un funtor covariante.

iv olv < Y >= Y ↔ Y ∈ Imolv (o como se expresa corriente-menteel generado por Y en M es Y si y s´olo si Y es un subm´odulo de M).

v Si x∈M,< x >={αx|α ∈A} ≡Ax.

vi P(M)<−→>Sm(M)−→ Polv (M) es un par adjunto. vii < X >={X

x∈J

αxx|J subconjunto finito deX}. En el caso deJ finito< x1, ..., xn>=Ax1+...+Axn. M´as generalmente viii < X1

o

∪X2

o

∪...∪o Xn>=< X1>+< X2>+...+< Xn> ix < X >⊆N (N subm´odulo deM) si y s´olo si X⊆N. Demostraci´on:

i Por 3.8< X >=∩ | {B |B subm´odulo deM ∧B ⊇X}del cual sabemos (3.8) que es un subm´odulo y contiene aXy por la cons-trucci´on con intersecci´on, es el m´as peque˜no con esa propiedad. ii Puesto que < Y >⊇Y ⊇X,< Y >⊇< X > por i.

iii Por ii la funci´on X →< X > respeta inclusiones y por tanto igualdades.

iv Si Y ⊆ M con Sm de iv, vii, entonces es el m´as peque˜no subm´odulo que contiene a Y y viceversa.

v Obvio.

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vii En efecto X = X x∈X

x. Luego < X >= X x∈X

< x > porque al ser < > adjunto a izquierda preserva sumas. Ahora la igualdad se completa conv yviii de manera directa.

viii Se usa la misma razon que en vii La parte ix fue en realidad demostrada al hacer la parte vi.

Alguna terminolog´ıa est´a en orden: 4.9 Definici´on:

i SiM =< X >entoncesXse llamaun sistema de generadores de X.

ii SiM =< X >conXfinito se dice queMes finitamente generado. iii X se dice una base de M si X ⊆ M y para cada m´odulo M0 y cada funci´on X →f olvM0 existe una y una sola funci´on lineal M →f M0 tal que el olvido de F restringida a X esf.

iv Si M posee una base se dice que es unm´odulo libre. 4.10 Nota:

El sentido de la parte iii de 10 dice que para dar una funci´on lineal es necesario y suficiente dar una funci´on sobre la base. M´as a´un una base est´a caracterizada por esa propiedad. Determina de manera ´

unica las funciones lineales con dominio el m´odulo. Equivalentemente (X es base de M si y s´olo si) para cada funci´on g : X −→ M0 cualquiera en donde M0 tiene estructura de Amod existe un ´unico morfismoh:M →M0 tal que el siguiente diagrama conmuta

X M

h

M' g

(11)

La propiedad de levantar funciones lineales es muy fuerte y la que desea usarse de las bases.

Se requiere tener una caracterizaci´on m´as expedita de base que per-mita el uso posterior de la propiedad fuerte. Aqu´ı presentamos esa caracterizaci´on.

4.11 Proposici´on:

SeaM un Amod yX⊆M. Entonces X es una base de M si y s´olo si M =< X >y sia1x1+...+anxn= 0 en donde n∈N,xi∈X, ai ∈A, entoncesai = 0 para cadai.

Demostraci´on:

Supongamos que X es una base de M y consideremos la inclusi´on X →i < X >. Entonces existe un ´unico h : M →< X > tal que el diagrama que sigue conmuta

X

M

h

< X >

i

i

x

Note queh(m) =mpor tantoh(M) =M ⊆<X>. As´ı que<X>=M. Suponga ahora quea1x1+...+anxn= 0. Fijemos un ´ındicetarbitrario y consideremos Ht : M → A al ´unico morfismo que corresponde a la funci´on ht : X → A, x1 → 1, xj → 0 si i 6= t. Entonces 0 = H(a1x1+...+anxn) =a1H(x1) +...+atH(xt) +...+anH(xn) =at. Como t fue arbitrario at = 0 para t = 1,2, ..., n. Supongamos ahora que si< X >=M ya1x1+...+anxn= 0 conai ∈A,xi ∈X entonces ai = 0,∀i.

Sea f : X → M una funci´on. Entonces para x ∈ M si x = a1x1+

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coinciden y para i ∈ {1, ..., n}, existe un ´unico j ∈ {1, ..., m} tal que aixi = bjxj. Luego ai = bi. As´ı pues tomamos F : M → M0 como F(x) = aif(x1) +...+anf(xn). Se demuestra que en efecto F es funci´on, que es lineal y comoF(1xi) = 1f(xi) =f(xi) entonces hace el diagrama

M

M

F

M'

f

i

x

conmutativo. Si H en cambio de F hace el diagrama conmutativo H(x) =H(a1x1+...+anxn) =a1H(x1) +...+anH(xn) =a1f(x1) +

...+anf(xn) =F(x). De ah´ı su unicidad2

Se nota entonces que tener una base, en el sentido corriente, yser libre son conceptos equivalentes. Queda por responder que caracter´ısticas tienen las bases de los m´odulos libres. Despu´es de todo el ser libre representa adjunci´on y esto presupone cierto grado de unicidad. Sin embargo, la unicidad sugerida por la adjunci´on no ha sido demostrada (que el autor sepa) usando sus t´ecnicas. En los par´agrafos que siguen nos entendemos con estos puntos.

El Funtor “Modulo Libre ”

El nombre dem´odulos libres para los m´odulos con base no es inde-pendiente de adjuntos, en donde el t´ermino libre ya ten´ıa un sentido preciso. Aqu´ı detallamos la conexi´on.

Recordemos que si {Mi, i ∈ I} es una familia de Amod en donde Mi = M para cada i entonces denotamos a

X

i∈I

Mi por X

i∈I

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particular X x∈X

Aen dondeXes un conjunto es unAmod. Sif ∈ X

x∈X A entoncesf :X → A es una funci´on tal que X−f−1(0) es finito y si x ∈ X, entonces la funci´on X → A, x 7→ 1 yz → 0 ∀z 6= x es un elemento de X

x∈X

A, el cual denotamos por x. Por abuso del lenguaje, pero ateniendose a lo corriente, identificamosX con el conjunto X=

{x|x∈X} y llamamos entonces a X → X

x∈X

A,x7→ x, la inclusi´on deX en la suma. Tenemos entonces

4.12 Proposici´on: X

x∈X

A es un Amod libre de baseX.

Demostraci´on:

SeaX→f M una funci´on. Sig∈ X

x∈X

AentoncesX−g−1(0) es finito y por tantoX

x∈X

g(x)xtiene sentido y es un elemento de X x∈X

A. M´as a´un es el elementogcomo puede verificarse. Para definir Hf :

X

x∈X

A→M tomamos entoncesHf(g) =

X

x∈X

g(x)f(x). Se verifica queHf definida es lineal y la ´unica que deja conmutativo el diagrama. Luego X

x∈X Aes libreX es una base.

X

F

M

f

iX i

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Adem´as dado f : X → Y entonces HiY◦f es el ´unico morfismo que deja conmutativo el diagrama

X

Hr

f

Y

iY

iX

i

x Xe

i A

y Ye

Se tiene entonces el siguiente resumen de hechos.

4.13 Proposici´on: i La funci´on X→ X

x

A, f → HiY◦f (para f :X →Y) define un funtor covarianteCON J M L→ AM od.

ii CON J M L→ AM odOlv→ CON J es un par adjunto iii Si M1'M2 yM1 es libre, entoncesM2 es libre.

iv Todo m´odulo es un cociente de un m´odulo libre.

v Si {Xi}i∈I es una familia disjunta de conjuntos, entonces M L X

i∈I Xi

! =X

i∈I

M L(Xi)

vi M L(φ) = 0 y M L(x)'A Demostraci´on:

X → X

x

A es claramente la soluci´on universal al problema determi-nado por el olvido Amod → CON J. As´ı que i y ii son claros. En cuanto a iii. SiB1 es una base deM1 entonces, para cualquier

isomor-fismo f :M1 →M2,f(B1) es una base de M2. Esto puede verificarse

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M

H1

M

I

i

M

ML( OlvM )

porque entonces H1 es un epimorfismo. Pero m´as a´un si se desea

partir aM L(OlvM) por un subm´odulo,el mejor que haga de im un morfismo se tiene entonces que partir por N(H) y el m´odulo cociente es, esencialmenteM. (ver problema 3.6).

En cuanto a v si la familia de conjuntos es disjunta entonces enCON J, X

i∈I Xi =

X

i∈I

Xi y el resultado sigue por propiedades de adjuntos a izquierda. Igualmente por esta raz´on sigue la primera parte de vi la segunda parte es trivial 2

Aqu´ı, contrario a lo que sucede con anillos especializados, no existen teoremas tan ´utiles como el de unicidad del cardinal de las bases. Por ejemplo el Z6-m´odulo Z6 tiene bases {[1]} y{[2]}, {[3]}. Adem´as no

todos los m´odulos son libres. Por ejemplo para ning´unP 6= 0,P 6= 1,

Zp es libre como Z m´odulo. As´ı mismo un subm´odulo de un m´odulo

libre no necesariamente es libre. Estos dos casos porque si M es un Amodlibre entonces #M ≥#A. As´ı ning´un ideal deA con cardinal menor queA es un subm´odulo libre (provea un ejemplo espec´ıfico) y

Zpno esZ-libre. M´as adelante se estudiar´an casos en donde el cardinal

de las bases es constante y subm´odulos de m´odulos libres son libres. Por lo pronto completemos con algo sobre bases y cocientes.

4.14 Proposici´on:

SeaN un m´odulo de M.

i Si < X >=M entonces→< X >+M/N

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base deN entoncesX∪Y es una base de M. (Aqu´ı si x 6= y, x∼y en X) 2

Hasta el presente hemos estudiado la categor´ıa de subm´odulos de un m´odulo. Ahora estudiamos los subm´odulos en general como una cate-gor´ıa. Se conoce como la categor´ıa depares de m´odulos.

Pares de M´odulos y M or

Un par de m´odulos enAmod (o una pareja de m´odulos en Amod) es una pareja (M, N) en donde M es un Amod y N es un subm´odulo de M. Si (M1, N1), (M2, N2) son pares de m´odulo un morfismo f

de (M1, N1) en (M2, N2) es una funci´on lineal f :M1 → M2 tal que

f(N1)⊆N2.

4.15 Proposici´on:

Las parejas (M, N) deAmody los morfismos (M1, N1)→(M2, N2)

de arriba forman una categor´ıa 2

La categor´ıa de la proposici´on precedente se denota AP ar o, cuando Aes fijo, Par. Se debe notar que existe un funtorinclusi´onpara cada m´odulo M as´ı: P(M) → A∪ P ar, N → (M, N), (i :N1 → N2) 7→

(i: (M, N)→(M, N2)). Este funtor covariante y fiel. As´ıAP ar esla

categor´ıa de todos los subm´odulos.

Ahora bien la categor´ıa M or(AM od), que en adelante denotaremos simplementeM orincluye de manera natural aAP ar. De hechoAP ar es unaretracci´on adjunta de M or:

4.16 Proposici´on:

i La funci´onM or→ρ AP ar,f 7→(Domf,kerf); (α, β)7→αdefine un funtor covariante.

ii La funci´on AP ar−→η M or,

(17)

(en donde α : M1/N1 → M2/N2 est´a dada por α(x+N1) =

α(x) +N2 es un homomorfismo bien definido) define un funtor

covariante.

iii El par AP ar →η M or →ρ AP ar es un par adjunto en el cual ρη= 1 (Retracci´on adjunta).

Demostraci´on:

i Primero es claro que la f´ormulaρ(α, β) =αtiene sentido puesto que si fi :Ai → Bi, i= 1,2 y (α, β) : f1 → f2 es un morfismo,

entonces bajo el supuesto queβf =f αse tiene queα:Domf1 →

Domf2 y adem´as, como ya hemos visto, α(kerf1) ⊆kerf2. As´ı

α : (A1,kerf1) → (A2,kerf2). Puesto que las propiedades de

funtor dependen de la imagen de morfismo, es claro que ρ es funtor.

ii Para esta parte es necesario mostrar ´unicamente (lo dem´as como en la parte 1 es obvio) queα est´a bien definido. Es decir que si x'x1 →α(x)'α(x1). Pero esto es claro puesto que

x'x1 ↔x−x1 ∈N1→α(x−x1)∈N2 ↔α(x1)'α(x2)

iii Como es obvio que ρη = 1 entonces s´olo resta dar la transfor-maci´on de adjunci´onηρ→1. Pero siα:M1 →M2 sabemos que

se descompone

M/kera

M1

M2 Pa

a a

Por tanto tomamos para ψα : ηρ(α) → α a (1M1, α). Para de-mostrar que ψ es una transformaci´on natural supongamos que β:W1 →W2 lineal y que (ε,∆) :α→β. Entonces el diagrama

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M2 M1

M /N(1 a) a

Pa a

W /N( )1 b

Pb b

W1 W2

e e

b e

^

e implica la conmutatividad del diagrama que deseamos

hr a a

b hr (b)

y b y a

hr (e, ) ( e, )

Las funciones de adjunci´on son, paraα:M1 →M2

Hom(η(M, N), α)→Hom((M, N), ρ(α)) (ε, β) :P →α7→(ε, β)∗ =ε: (M, N)→(M1,kerα)

y

(19)

Uno demuestra que efectivamente ((ε, β)∗)∗= (ε, β) y que (β∗)∗=β2 El lector que haya notado que regresamos al trabajo pedestre enAmod y se pregunte qu´e pasa si se considera la estructura categ´orica para los funtores es consideraci´on encontrar´a en el problema 3.7 una gu´ıa que lo sit´ua en un punto importante.

Antes de enunciar resultados que ponen en juego la adjunci´on prece-dente corregimos una omisi´on la cual ser´a complementada en el pro-blema 3.8. Aqu´ı nos circunscribimos al caso que usaremos.

La Estructura Categ´orica de M OR

4.17 Proposici´on: Para M or se tiene:

i Sifi :Ai →Bi,i∈I es una familia de objetos deM or entonces Y

i∈I fi y

X

i∈I

fi son los morfismos deAmodcon esa notaci´on.

ii El morfismo 0→0 0 es el objeto cero de M or.

iii Si f, g ∈ M or y para (α, β), (γ, δ) : f → g se toma (α, β) + (γ, δ) = (α+γ, β+δ) entoncesHom(f.g) es un grupo abeliano y la operaci´on es natural.

iv N(α, β) = (N(α), N(β)). v CN(α, β) = (CN(α), CN(β)). vi Im(α, β) =Im(α), Im(β)).

vii Coim(α, β) =Coim(α), Coim(β)). viii M or es una categor´ıa abeliana. Demostraci´on:

SiC →fi Ai, i∈I es una familia de morfismos de Amod, el morfismo denotado (f, g) generaliza a (fi)i∈I : C →

Y

c∈I

(20)

C

P

A

i

P

j

A

j

f

i

( f )

i i Ie

Regresando al caso que nos ocupa note que si fi : Ai → Bi, i ∈ I entonces conmuta

PAj P Bi

Pj

Bj

Pj

Aj

fi

Pfi

πj : Y

j∈I

fj →fj es simplemente

Q j,

Q j

. Si se supone que el siguien-te diagrama conmuta para cadaj, entonces

C D

bj

Bj aj

Aj

fi T

(21)

T

fi Pfi (aj,bj) ( , )a b

(P Pj, j)

As´ı queP

fi es el producto de lasfi. Id´entico procedimiento se sigue paraP

fi.

El punto ii es obvio. En cuanto a iii uno usa la naturalidad de la ope-raci´on en Hom(A, B) para demostrar que (α, β) y (γ, δ)∈Hom(f, g) entonces tambi´en pertenece (α+γ, β+δ). En cuanto a la naturalidad de + si:

h= (h1, h2) : 1→f α= (α1, α2) :f →g

β = (β1, β2) :f →g ρ= (ρ1, ρ2) :g→k

entoncesρ(α+β)h= (ρ1(α1+β1)h1,ρ2(α2+β2)h2) =ραh+ρβh. En

cuanto a la estructura de grupo enHom(f, g) es la de subgrupo (por la conmutatividad requerida en los diagramas) deHom(Domf, Domg) + Hom(Codf, Codg). Para los dem´as puntos s´olo daremos, por ser sufi-ciente (lo dem´as sigue inmediato entonces), el producto fibrado de

f g

(a b, )

h

( , )g d

Denotemos por P F(α, β) al producto fibrado de un par meta (α, β). Est´a dado, como es sabido, en la parte izquierda superior por el siguien-te diagrama carsiguien-tesiano.

PF ( , )a b C

b

B A

a a

(22)

En M or se tiene que P F((α, β),(γ, β)) = (P F(α, γ), P F(β, δ)). La existencia de (δ, γ) y P F(β, δ) es claro en el diagrama . h existe por ser el cuadrado del frente cartesiano. Si se supone la existencia de f ←L← h que cierra a f →g ←h de modo conmutaivo y entonces la cartesianidad del frente y atr´as proveen la existencia de i yj y su unicidad.

Que (i, j) : L → h es un morfismo lo garantiza la certesianidad del cuadrado del frente. Note en el diagrama, el cuadrado (cartesiano) de M orest´a dado en l´ınea s´olida. El par fuente exterior con frenteLest´a en l´ınea punteada junto con los morfismos de existencia ´unica (i, j). Note adem´as que los ´unicos nombres en el diagrama que corresponden al diagrama de l´ınea llena 2

f

h

h

L

( i,j )

( d,a )

( d, g)

( b,a )

g

( ,a )b

4.18 Nota:

(23)

La Estructura Categ´orica de AP ar

Por supuestoAP artiene una estructura similar aM od. De hecho una inclusi´on N →i M es un objeto deM or. Se tiene:

4.19 Proposici´on: EnAP ar se tiene i Y

i∈I

(Mi, Ni) = Y

i∈I Mi,

Y

i∈I Ni

! .

ii X i∈I

(Mi, Ni) = X

i∈I Mi,

X

i∈I Ni

! .

iii 0 = (0,0).

iv Un subgrupo (subm´odulo) de Hom(M1, M2) es

Hom((M1, N1),(M2, N2))

v AP ares una categor´ıa aditiva.

vi El siguiente diagrama es cartesiano (h| denota restricci´on de h).

( PF ( g , f ), PF ( g| , f| ) ) ( M , N )1 1

f f

( M , N )3 3

g g

( M , N )2 2

vii Paraf : (M1, N1)→(M2, N2), el morfismo n´ucleo esif. (ker(f),ker(f)∩N1)→(M1, N1)

(24)

Demostraci´on:

Se demostrara i. En este caso se identifica una funci´on I → ∪Ni con la composici´on I → ∪Ni → ∪i Mi. En este sentido

Y

i∈I Ni⊆

Y

i∈I Mi.

La existencia de proyecciones πj : Y

i Mi,

Y

i Ni

!

→ (Mj, Nj) es evidente. As´ı mismo si fi : (M, N) → (Mi, Ni) para cada i ∈ I, en-tonces (fi)i∈I :M → QMi y si n ∈N, [(fi)i∈I(n)](j) = fj(n) ∈ Nj. Por tanto, realmente, con la identificaci´on de arriba

(fi)i∈I : (M, N)→ Y

Mi, Y

Ni

y su restricci´on sobre la primera coordenada de la pareja es el ´unico que deja conmutativo el diagrama

( M ,N )

(P

Mi,

P

Ni

)

( M , N )j j

fi Pj

( f )i i Ie

para cadaj.

Un procedimiento similar se cumple para ii. En cuanto a iii, iv, v son obvios. En relaci´on con vi tenemos, para E →f B ←g C que si

T ={(a, c)∈E×C|f(a) =g(c)}

(25)

T C

g

B E

f

P

C

P

E

y si E ←β T0 →α C tambi´en lo cierra conmutativamente, entonces (β(t), α(t))∈T. Se verifica f´acilmente queH :T0→T,t→(β(t), α(t)) es el ´unico tal que πf | H = α y πg |= β. En suma T = P F(f, g). Este hecho regula unicidad tambi´en sobre pares. Note ahora, cuando se tiene (E, E1)

f

→(B, B1)

g

←(C, C1), queP F(f|, g|) es un subm´odulo

deP F(f, g). Ahora, si

( G , G )1 ( C , C )1

g

( B ,B )1 b

( E , E )1

f

a

(26)

( PF ( f , g ) , F ( f , g ) ) ( C , C )1

PE

f

g ( G , G )1

T

b

a

PC

( E , E )1 ( B , B )1

En cuanto a vii si f :M → M1 es lineal y N es un subm´odulo de M

entonces kerf|N = (kerf)∩Ny sigue de vi 2

Como consecuencia inmediata de la adjunci´on (η, ρ) y las estructuras deM od yAP ar tenemos

4.20 Proposici´on:

i Suponga que {Mi}i∈I, y {Ni}i∈I son familias de Amod tales que Ni es un subm´odulo de Mi, para cada i ∈ I. Entonces existe un isomorfismo ζ : X

i mi/

X

i

Ni → X

i

Mi/Ni que deja conmutativo el diagrama

p

S

M

i Ie

S

M

i Ie

S

N

i Ie

S

P

i

S

M

i i Ie

N

i

z

(27)

ii N Y i

fi !

=Y i

N(fi).

iii Y i

fi es un monomorfismo si y s´olo si∀i∈I,fi es un monomor-fismo2

El Funtor PC de “Paso al Cociente ”

Note que un Amod se puede considerar de manera natural como un AP ar. M´as precisamente tenemos.

4.21 Proposici´on:

i P : AM od → AP ar, M → (M,0) y f → f es un funtor cova-riante.

ii AP arP c→AM od; dado por (M, N) →M/N sobre objetos y que a f : (M1, N1) → (M2, N2) lo env´ıa en f : M1/N1 → M2/N2,

(x+N1) → (f(x) +N2) es un funtor covariante (el paso al

cociente).

iii AP arP c→AM od→P AP ar es un par adjunto.

Demostraci´on:

Hom(M/N, C)→Hom((M, N),(C,0)) (M/N →α C)→α◦P : (M, N)→(C,0) es claramente un isomorfismo natural en (M, N) y C 2

En general, por comodidad y cuando no hay posibilidad de error por ello, dado f : (M1, N1) → (M2, N2), a la ´unica aplicaci´on lineal

P c(f) :M1/N1 →M2/N2 que deja el diagrama que sigue conmutativo

(28)

M

1

M

2

P

M / N

2 2

b

M / N

1 1

f = Pc ( f ) f

Como ejemplos de usos del paso al cociente veamos c´omo se pueden caracterizar los subobjetos de un cociente M/N. Si M ⊇ N1 ⊇ N2

entonces se tiene un morfismo enA∪P ar: (N1, N2)→(M1N2) y por

tanto un paso al cocientei:N1/N2→M1/N2.

Claramenteies un monomorfismo. Si por otra parteL→f M/N2 es un

monomorfismo entonces P−1(f(L)) es un subm´odulo de M digamos N1 y M1 ⊇ N2. Si denotamos N1/N2 = {[n] | n ∈ N1} entonces

es claro que P define un isomorfismo L → P(L) = N1/N2. As´ı que

los subm´odulos de M/N2 son de la forma N1/N2 con N1 ⊇ N2 (ver

comentario siguiente al 3.25).

Ejemplos del Uso del Paso al Cociente

Note por otra parte que si f : (M1, N1) → (M2, N2) es un morfismo

de apres, entonces paraf :M1/N1 →M2/N2 se tiene que

N(f) =f−1(N2)/N1

4.22 Ejemplo:

dadaf :M1 →M2 yN1subm´odulo deM1entonces hay un

mor-fismo de pares, inducido porf, a saberf : (M1, N1)→(M2, f(N1)). El

n´ucleo del paso a cociente de f, es decir de f :M1/N1 → M2/f(N1)

ser´a entonces f−1(f(N1)/N1). El c´alculo de f−1(f(N1)) induce las

f´ormulas i f−1(f(N

(29)

ii N(f) = (N1+N(f))/N1.

Como caso particular tenemos cuando f :M1 → M2 es un morfismo

deAmod. En tal caso hay un subm´odulo natural asociado af,N(f). El paso al cociente ser´a el diagrama

M1 M2

1

M / 0 = M2 2 b

M / N ( f )1

f f

es decir se recibe por este medio la descomposici´on de f. Calculando el n´ucleo de f, N(f) = N(f)/N(f) = 0 se concluye que f es un monomorfismo.

Otro caso particular del paso al cociente est´a dado paraf :M1 →M2.

Tomando f : (M1, N(f)) → (M2, f(M1)) existe una ´unica funci´on

linealf (el paso al cociente) que cierra conmutativamente el diagrama

M

1

M

2

P

Co Im f

b

NC ( f )

f

f

Por definici´on de con´ucleoQ

f = 0. Pero veamos que lo que hace 0 esta composici´on esf. En efectoN(f) =f−1(f(M1)/N(f) =M1/N(f) =

(30)

Para finalizar los ejemplos note primero que elprimer teorema de homomorfismos esta dado simplemente por el paso al cociente de la co-restricci´on de f : M1 → M2 es decir |f : M1 → f(M1) o para

ser m´as precisas|f : (M1, N(f))→(f(M1),0). El paso al cociente da

como resultado

f ( M )1

P

Co Im f | f M1

| f

y|f, que ya sabemos que es monomorfismo, es tambi´en epimorfismo porque|f lo es. As´ı pues Coimf 'Imf.

En segundo lugar si M, M1, M2 son Amod conM1, M2 subm´odulos

deM entonces hay dos pares que nos interesan: (M2, M1∩M2) (M1+M2, M1)

junto con el morfismo de paresi: (M2, M1∩M2)→(M1+M2, M1). Se

tienei:M2/M1∩M2 →M1+M2/M1. Es claro queies epimorfismo

y N(i) = i−1(M1)/M1∩M2 = M1 ∩M2/M1∩M2 = 0, as´ıi es un

isomorfismo yM2/M1∩M2 'M1+M2/M1.

En el caso de que M2 sea subm´odulo de M1 entonces M1/M2 es

un subm´odulo de M/M2. Note que existe una inclusi´on de pares

(M, M2) →i (M, M1). Es claro que para i:M/M2 → M/M1 se tiene

N(i) =M1/M2 y por ende M/M2/M1/M2'M/M1.

Correspondencia entre Subm´odulos

Consideremos de nuevo la categor´ıaP(M) de una A-M´odulo M. Da-mos algunas consecuencias de los funtores entre ellas inducidas por homomorfismos.

(31)

P(M) de los subm´odulosM0 con M ⊇ M0 ⊇ N. Supongamos ahora quef : (M1, N1)→(M2N2) es un epimorfismo entre pares. Entonces

4.23 Proposici´on: Se cumple que:

i f : [M1, N1]→[M2, N2], MT→f(T) es un funtor covariante.

ii f−1 : [M2, N2]→[M1, N1],T →f−1(T) es un funtor covariante.

iii (f, f−1) es un par adjunto.

iv Si f :M1 → M2 es un epimorfismo, el funtorf : [M1, N(f)] →

[M2,0] es un isomorfismo con inversof−1 : [M2,0]→[M1, M(f)].

v Paraf :M1→M2 se tiene las f´ormulas

f X

x T x

!

= X

x

f(T x) si T x⊇N(f)∀x

f \

x T x

!

= \ x

f(T x) si T x⊇N(f)∀x

f−1 X x

T x !

= X

x

f−1(T x) si T x⊆M2

f−1 \ x

T x !

= \ x

f−1(T x) si T x⊆M2

Demostraci´on: De i a iii son obvios. En cuanto a iv, f f−1 = 1 es

claro y resta demostrar quef−1◦f = 1. Si M1 ⊇T ⊇N(f) se tiene

para cualquier funci´on que f−1f(T)⊇T. Veamos que f−1f(T) ⊆T. Perox∈f−1f(T)←→f(x) =f(t) paratT ←→xtN(f) para

t∈T. As´ı pues, seg´un la hip´otesis sobre T,x∈T.

En cuanto a v como por iv (f, f−1) y(f−1, f) son pares adjuntos se aplican las f´ormulas corrientes para suma y producto.

(32)

proyecci´on M −→π M/N es un epimorfismo entonces hay una corres-pondencia biunivoca entre los subm´odulosN ⊆N1⊆M y los deM/N

dado porN1 ←→N1/N.

En particular en el caso deZ-m´odulos (grupos abelianos)Zm =Z/mZ

tiene tantos subm´odulos como subm´odulos hay entremZyZ. Pero los

subm´odulos deZson ideales deZy por tanto de la formanZ. De modo

que Zm tiene tantos subm´odulos como ideales nZ conmZ⊆nZ⊆Z

es decir uno por cadan tal que nDm (n divide a m) y el subm´odulo ser´anZ/mZ⊆Z/mZ=Zm. Ahora bien es sabido que un subm´odulo de Zm es c´ıclico. Para hallar su representaci´on c´ıclica note que P :

Z→Z→π nZ/mZ,x7→nxes un epimorfismo. As´ınZ/mZ'Z/N(P)

y n´ucleop deP se calcula f´acilmente. Es mnZ. As´ı puesnZ/mZ'Zmn

y tenemos que los subm´odulos deZm son (isomorfos a) los Zm´odulos Zmn dondenrecorre los divisores de m.

Damos a continuaci´on un uso cl´asico de esta ´ultima parte. Si M y N son m´odulos finitos y M 'N entonces por supuesto #M = #N. Haciendo uso de esto demostremos la f´ormula corriente del ´algebra en Z, (n, m) [n, m] = nm. En efecto Z(n,nn) ' (n, m)Z/nZ ' nZ+

mZ/nZ'mZ/nZmZ'mZ/[n, m]Z'Z[n,mm]. As´ı(n,mn ) = [n,mm ]

Pares y Sucesiones Cortas

En lo que sigue completamos algunas relaciones entre sucesiones exac-tas y pares. Iniciemos antes con un hecho importante: las sucesiones exactas son cerradas para isomorfismo. Recordemos queM(n,A) de-nota la categor´ıa de la sucesiones de longitud n, de morfismos deA.

4.24 Proposici´on:

SeanC, D∈M(n,A) con C'D. Si C es exacta, tambi´en lo es D.

Demostraci´on: Suponga C = {Ci

γi

→ Ci+1}i+1,n, D = {Di δi

→ Di+1}i=1,n y que f =

(33)

γi+1γi = 0 por tanto fi+2γi + 1γi = 0 ←→ δi+1δifi = 0 y como fi es un isomorfismo, entoncesδi+1δi = 0. As´ıImδi ⊆ N(δi+1). Ahora

considere d∈ N(δi+1). Entonces δi+1(d) = 0. Pero d= fi+1(C) con

c∈Ci+1. As´ıδi+1fi+1(c) = 0←→fiγi+1(c) = 0←→gi+1(c) = 0. Se

recibe entonces que c∈ Imγi es decir c =γi(x) con x∈ Ci. A´ı pues d=δ(fi(c))

En particular nos interesa el caso de M(4, AM od). Ahora bi´en, si dos sucesiones de M(4, AM od) son exactas se pregunta que tantos isomorfismos deben conocerse, entre sus grupos, para poder decidir si son isomorfas. Concretemos la pregunta: si se dan dos sucesiones exactas (ver diagrama) (de flechas llenas) cu´antos isomorfismos son verticales (flechas punteadas) deben

B4

b1

A1 A2

B2

B1

a1

A3 A4

B3

a2 a3

b2

b3 b4

a4

A5

B5

tenerse para que se puedad completar un isomorfismo de la primera en la segunda? En general no hay una respuesta sobre el m´ınimo excepto en el caso de sucesiones cortas. Es decir sucesiones del tipo A1 = 0 → A2

σ2

→ A3

σ3

→ A4 → A5 = 0 los cuales por razones obvias

tambi´en denotamos A2

α2

7→ A3

σ3

7→ A4. Por la proposici´on 2.29 esta

sucesi´on es exacta ←→ α2 = N(α3) y α3 = CN(α2). As´ı pues A2

debe ser un subobjeto deA3 yα3debe ser la proyecci´onA3

P

→A3/A2.

As´ı,una sucesi´on corta es exacta si y s´olo si es isomorfa a una sucesi´on del tipo 0 →N →i M →P M/N →0 en donde (M, N) es un AP ara. M´as a´un la relaci´on que conecta pares y sucesiones cortas exactas, junto con algunas consecuencias, es:

4.25 Proposici´on:

(34)

(0, I, p,0) y para

f : (M1, N1)→(M2, N2, SC(f)) = (0, f /N, f, f,0)

es un funtor covariante.

ii La funci´on: Par: CE → APar dada por Par (0, α2, α3, 0) =

(Domα3,Imα2) y Par (0, f1,f2,f3, 0) =f2 es un funtor

cova-riante.

iii Para una sucesi´on 0 → A2

α2

→ A3

α3

→ A4 → 0 existe un

isomor-fismo natural

A / N (3 a3) Ima2

0 A2

0

|a2

A3 A4

A3

a a

Pa3

a3-1

0

0

0 1 0

i

en donde∼α3:A3/N3

'

→A4 es el primer teorema de

homomorfis-mos de m´odulos. As´ı

iv SC. P ar'1CE. Adem´asP ar ◦SC = 1AP ar. Por tanto v (SC, P ar) y P ar, SC) son pares adjuntos.

vi X i

(0 → Ni → Mi → Si → 0) = 0 → X

i

Ni → X

i

Mi → X

i

Si →0 (resultado que generaliza a cualquierρabeliana. Ver problema 3.9).

vii Y i

(0 → Ni → Mi → Si → 0) = 0 → Y

i

Ni → Y

i

Mi → Y

i

Si →0.

viii YMi/ Y

Ni' Y

(35)

ix X i

(Mi, Ni)' X

Mi, X

Ni

.

Demostraci´on:

i SC est´a dada por las asignaciones

(M, N)→(0, N →i M →P M/N →0) y paraf : (M1, N1)→(M2, N2) por

M / N2 2 N2

0 N1

0

f|

M1 M / N1 1

M2

0

0 f

f

Sobre este diagrama dede mostrarse que sif = 1(M1,N1) entonces

en cada una de las flechas verticales est´a la identidad, pero eso es claro. Ahora para (M1, N1)

f

→(M2, N2)

g

→(M3, N3) se tiene

M / N2 2 N2

0 N1

0

f|

M1 M / N1 1

M2

0

0

f f

M / N3 3 N3

0

g|

M3 0

g i i i g P P P

en donde los cuadrados conmutan. Entonces tambi´en los rect´ an-gulos verticales. Se nota que g | ◦f = (g◦f) y gf = gf. As´ı puesSC(g◦f) =SC(g)◦SC(f).

ii Es obvio.

(36)

A / N (3 a3) Ima2

0 A2

0

a2

A3 A4

A3

a a3

Pa3

a3

0

0

0 1 0

2

y la naturalidad de la conmutatividad del diagrama de abajo, parah:C,C0, donde C es la sucesi´on dada en el enunciado. En realidad se trata de verificar en el diagrama que sigue la conmu-tatividad de los cuadrados verticales. Resta el de la izquierda. Pero esto es claro puesto que es una reconstrucci´on del cuadrado izquierdo superior horizontal, que es conmutativo

A3

Im 'a2

A2 A3

A'2 A'3

a'2

A4

A'4

A / N (3 a3)

a'3

Ima2

P 'a3 h |3

A'3

h3

a' |2 h2

A / N ( ' )3 a3

h4

i

h3 h4

i P 'a3

a2|

1

1

a3

a'3

iv Que P ar◦ SC = 1AP ar es obvio. En cuanto al isomorfismo CS◦P ar ' 1CE debemos explicar su sentido. Dados dos fun-tores F, G : A → B se define F ' G (F isomorfismo a G) si existeλ:F →G una transformaci´on natural tal que para cada X∈DomF,λx:F(X)→G(X) es un isomorfismo. Entonces el isomorfismoCS◦P ar'1CE est´a dado para X = (0, α2,α3, 0)

porλx= (0,|α2, 1Domα3,α−31, 0) (|α2 denota la construcci´on de

α2) de la parte iii.

(37)

En cuanto a las consecuencias de la adjunci´on ya las conocemos por lo cual no las enunciamos pero el lector debe, como ejercicio, producirlas.

Algunas Propiedades de Hom

Ya hemos visto antes el funtorHom(X, A) como tambi´en Hom(A, X) para un objeto A de una categor´ıa A.Aqu´ı estudiamos el caso parti-cular cuandoA=Amod en dos aspectos que nos son ´utiles en el caso de c´alculos con m´odulos.

4.26 Proposici´on:

Para cadaA enHom A,Y i∈I

Xi !

cumple que

Hom A,Y i∈I

Xi !

'Y

i∈I

(A, Xi)

Demostraci´on:

Veamos que Hom A,Y i∈I

Xi !

cumple las condiciones del producto de la derecha de la igualdad. En primer lugar sabemos que enAmod Hom(A, B) es un grupo abeliano y n´as a´un unAmod. Adem´as se tiene una funci´on∼πj:Hom A,

Y

i∈I Xi

!

→Hom(A, Xj) dada porα→πjα. Puesto que la composici´on distribuye sobre la suma,π∼j as´ı definida es un morfismo y la linealidad deπj :

Y

i

Xi → Xj induce linealidad en ∼

πj de arriba.

Supongamos ahora que C es un Amod tal que para cada j hay una funci´on lineal fi : C → Hom(A, Xi). Entonces tomamos F : C → Hom A,Y

i Xi

!

dada as´ı: F(C) : A → Y

i

(38)

imagen de a ∈ A, F(c)(a) : I → [

i

Xi, j → Fj(c)(a). Es decir que (F(c)(a))(j) = fj(c)(a). Los puntos que deben tocarse en la demos-traci´on son:

i F(c)(a)∈Q

Xi lo cual sigue de quefi:C→Hom(A, Xi) ii F(c) es lineal. Es decir que

F(c)(αa1+βa2) =αF(c)(a1)f+βF(c)(a2)

o lo que es lo mismo el lado izquierdo y el lado derecho calculados enj(para cadaj) coinciden. Pero eso sucede as´ı por la linealidad defj(c).

iii F es lineal. O sea que parac1, c2 ∈c1α,B∈A,

F(αc1+βc2) =αF(c1) +βF(c2)

Es decir que para cadaa∈A,j∈I

fj(αc1+βc2)(a) = (αfj(c1))(a) + (βfj(c2))(a)

Pero eso es claro por la linealidad defj. iv El diagrama que sigue conmuta

Pero h

πj (F(c)) i

(a) = h

Q

j(F(c)) i

(a) =Q

j(F(c)(a)) = (F(c)(a))(j) = (fj(c))(a)

(39)

v Si F0 deja conmutativo el diagrama y c ∈ C entonces para de-mostrar queF(c) =F0(c) es suficiente verificar que para cadaj, AF→(c)Y

i Xi

πj

→Xj yA F0(c)

→ Y

i Xi

πj

→Xj coinciden. Pero

πjF0(c) = ∼

πj (F0(c)) =

π F0|(c) =fj(c) = ∼πj F(c) =πjF(c)

4.27 Proposici´on:

Hom X

i∈I Xi, A

!

'Y

i∈I

Hom(Xi, A)

4.28 Corolario: Se tiene que

i Hom n M

i=1

Xi, A !

'

n M

i=1

Hom(Xi, A) y

ii Hom A, n M i=1 Xi ! ' n M i=1

Hom(A, Xi).

Note que siI es un ideal de Aentonces A/I es claramente unAmod. Nos interesa aqu´ı calcular Hom de m´odulos de este tipo. Para esto notemos unos cuantos puntos primero.

SiM =< m >diremos que M es unm´odulo c´ıclico. As´ı mismo si I es un ideal deA,I es un ideal principal si y s´olo si (comoAmod) I es c´ıclico.

El ejemplo que nos interesa en el momento es A/I =<1 +I >. Con-sideramos primero un caso importante que en seguida generalizamos.

4.29 Proposici´on:

(40)

Demostraci´on:

Que ϕx es un homomorfismo es claro. Si a ∈ X entonces A δ

→ X,

inducido por 17→a, es tal queϕx(δ) =a. Por tantoϕx es un epimor-fismo. Adem´as α(a) =aα(1). Luego siα(1) =β(1) entoncesα =β. As´ıϕx es un isomorfismo para cada X. Finalmente si f :X → Y es una funci´on lineal, entonces el diagrama

Hom ( A , X ) X

Y

j x

Hom ( A , F )

Hom ( A , Y )

j y

f

obviamente conmuta2.

Para un caso m´as general si M es un Amod y M1 ⊆ M y A1 ⊆ A,

denotamos, como es corrienteA1M1 ={am|a∈A1 ym∈M1}.

Dado un idealI deAllamamos el anulador deI en el m´odulo M a an(I, M) ={m ∈M |Im = 0}. Se tiene entonces que an(I, m) es un subm´odulo deM. Porque siα, β∈I,m1, m2 ∈an(I, M) entonces

para i ∈ I, i(αm1 +βm2) = α(im1) +β(im2) = 0. As´ı mismo se

tieneanulador deM1 en A: an[A1, A] ={a∈A|aM10 = 0}.

Clara-mente an|M, A| es un ideal de A. Por ejemploan(0< M) =M; an(A, M) = 0;an[0, A] =A.

Si por ejemplo A es un cuerpo entonces para M 6= 0, an[M, A] = 0. El siguiente resultado es crucial.

4.30 Proposici´on:

(41)

Demostraci´on:

Laasignaci´on dada por la f´ormula claramente preserva suma y mul-tiplicaci´on por escalar. El problema radica en que no es en general una funci´on. Pero es funci´on si y s´olo sia1+I =a2+I →a1m=a2m

equivalentementea1−a2∈I →(a1−a2)m= 0. Ahora es claro que si

m∈an(I, M) la ´ultima implicaci´on se da. Que sif es funci´on entonces m∈an(I, M) es claro2

4.31 Nota:

{1 +I} genera aA/I pero como no necesariamente es una base entonces una funci´on lineal no est´a definida por la imagen de 1 +I. En el caso de la proposici´on precedente esa imagen es m. As´ı que esa proposici´on simplemente da una condici´on necesaria y suficiente sobre m para que la funci´on {1 +I} → M, 1 +I → m se extienda a una funci´on linealA/I→M. Tenemos entonces

4.32 Proposici´on:

Hom(A/I, M)'an(I, M). Demostraci´on:

Sea F : Hom(A/I, M) −→ an(I, M) la funci´on dada por F(α) = α(1 +I). F es un isomorfismo2

4.33 Nota:

SiM =A/J,an(I, A/J) ={a+J|ia∈J,∀i∈I}. El subm´odulo de A sobre A que determina a este cociente es {a∈A|aI ⊆J} deno-tado usualmente (j, I). As´ı pues

4.34 Corolario:

SeanI, J ideales deA. EntoncesHom(A/I, A/J)'(J, I)/J 2 Como caso particular conocido pero importante.

4.35 Proposici´on:

Hom(Zp,Zq) = Hom(Z/pZ,Z/qZ), debemos calcular qZ, pZ.

Pero (qZ, pZ) = {x ∈ Z|xpZ ⊆ qZ} = {x ∈ Z|q divide a xp}. As´ı

(42)

a xp. Ahora bien como q|[p, q] entonces q|(p,qq)p. As´ı pues q/(p, q) pertenece a (qZ, pZ). Suponga ahora quet∈Z+es tal queq|tp. Como

p|tp entonces es claro que [p, q]|tp→ [p, q]/p|t↔ (p,qq)|t. As´ı pues r= q/(p, q). AhoraHom(Zp,Zq) = (qZ, pZ)/qZ' (p,qq)/qz'Z(p,q) 2

Con lo anterior se pueden calcular los m´odulosHom en ciertos casos importantes (como veremos que lo son).

4.36 Ejemplo:

Hom(Z4LZ9LZ,Z7LZ12) 'Hom(Z4,Z7)LHom(Z4,Z12)

L

Hom(Z9,Z7)LHom(Z9,Z12)

L

Hom(Z,Z7LZ12) 'Z1L

(43)

PROBLEMAS

1. Una operaci´on * es un conjuntoX se representa funcionalmente por ∗ :X ×X → X. Si Cn : A×B → B ×A representa a la funci´on (a, b) →(b, a) la propiedad conmutativa de ∗ est´a dada por el diagrama conmutativo

Cn

Use procedimientos, para propiedades de las operaciones, como los indicados para dar una definici´on equivalente a Am´odulo. 2. Es clara la existencia de funtor olvidoAmod→Ab(Abla

catego-r´ıa de los grupos abelianos). Decida si existe adjunto a izquierda para este funtor. Verifique de manera directa que cuandoA=Z

se obtiene el funtor identidad. Use este mecanismo para dar ejemplo no triviales (ojal´a no libres) de Z8−m´odulos.

3. Muestre que en Conj, f es monomorfismo si y s´olo si es 1−1 y es epimorfismo si y s´olo si es sobre. Muestre que el producto fibrado de A →f B ←g C es {(a, c) ∈ A×C|F(a) =g(b)}. Cu´al es la suma amalgamada deA←α B→β C?

4. Demuestre

i [0,1] con la operaci´ona∗b=a+bsi 0≤a+b <1 ya∗b= a+b−1 sia+b≥1 es un grupo abeliano. Muestre que, en efecto, es una representaci´on, por elementyos privilegiados en las clases de equivalencia, de R/Z. D´e un isomorfismo

por representantes privilegiados deC/R,R/Q

(44)

a. Imf 'Coimf. b. f 'Coimf.

5. Decida (y demuestre su afirmaci´on) si en una categor´ıa (con even-tuales propiedades)×distribuye sobre +. Inicie con el caso finito y vaya hasta la ley de Morgan en versi´on categ´orica:

A×X

i∈I Bi =

X

i∈I

A×Bi

6. Demuestre

i Sea M m´odulo. Por brevedad escribimos M L(M) en cam-bio deM L(olvM). Considere la inclusi´oni:M →M L(M). Muestre que i no es, en general, lineal. Muestre que i es lineal si y s´olo si es un isomorfismo. SeaT el subm´odulo de M L(M) que hace de iM una funci´on lineal. Muestre que T =N(H1M). Muestre que i es lineal si y s´olo si H1M es un isomorfismo.

ii Muestre queZpno esZ-libre. H´agalo de 3 maneras: usando

un argumento de cardinalidad. Mostrando que no puede tener una base y de paso queno cumple la propiedad de leventamiendo de funciones a funciones lineales: Para cada subconjuntoX de Zp d´e una funci´on X

g

→M (M un

m´odulo apropiadamente seleccionado con las imagenes de g) que no se extiende en una funci´on linealZp

Hg

→M. 7. Considere una categor´ıa abelianaA. Decida siN yCN (n´ucleo

y con´ucleo) son funtores adjuntos de M orA en M orA. En caso de hacerlo que tipo de igualdades se derivan de ese hecho? 8. La demostraci´on de queM ores una categor´ıa abeliana tiene

(45)

9. ExistenQ ,P

de sucesiones de funciones lineales? ExistenQ ,P para sucesiones exactas? Qu´e sucede si considera sucesiones de longitud fila? Generalice el resultado a una categor´ıa abeliana

A.

10. Puede sugerir f´ormulas enAmodparaHom M,X i

Xi !

y para Hom(Q

Xi, )?

11. De las bases estructurales suficientes para que la pregunta que sigue tenga sentido: son an( , ) y an[, ] usados en el ´ultimo paragrafo funtores adjuntos? Equivalentemente se pueden dar como soluciones a problemas de soluci´on universal? En caso de serlo (adjuntos) que f´ormulas deriva de ello?

12. Suponga que Aes un dominio de integridad

i Sea I unideal no cero de A. Muestre que #I = #A. ii Sea T un subgrupo abeliano de (A,+). Muestre que T es

un subm´odulo de AP ar a el producto en A si y s´olo si es un ideal deA.

iii Sea I un ideal de un dominio A. SeaM un Amod tal que #M <#A. Muestre que entoncesHomA(M, I) = 0 iv Si T es una extensi´on de A, es decir T es un dominio con

subdominioA, entoncesT es unAmodyHomA(M, T) = 0 si #M <#A.

v Calcule Hom(A, B) cuando A y B son Z−m´odulos de la

lista que sigue:

a. Hom(K,Z) dondeK es un campo que contiene aZ.

b. Hom(Zp, K) dondeK es un dominio que contiene a Z.

c. Hom(K,Zp) dondeK es un campo que contiene aZ.

d. Hom(Q3L

Z3LRLZ3,Z32

L R2L

CL

Z5).

(46)

vii Sea F : P(M) → Sm(M) dado as´ı: Para α : N → M tomamos F([α]) = α(N) y para αi :Ni → N,i = 1,2 y f :α1 → α2 entonces

F([f]) :α1(N1)→α2(N2) es la inclusi´on. Es claro queα ∼=β

diagra-mas por un isomorfismof digamosα:N →M yβ:T →M, entonces F([α]) =α(N) = βf(N) = β(T), por tanto F est ´a bien definida so-bre los objetos, ahora si f, g : α1 → α2 son isomorfos digamos por

(h1, h2) :g→f entonces el siguiente diagrama conmuta.

T1

g

→ T2

h1↓ ↓h2

N1 →

f N2

Se tiene queh1(T1) =N1 yh2(T2) =N2y entoncesα1h1(T1) =α1(N1)

y α2h2(T2) = α2(N2), i : α1h1(T1) → α2h2(T2) es la misma que i :

α1(N1)→α2(N2) yF est´a bien definida sobre el morfismo. Se verifica

de manera inmediata que F es un funtor. Evidentemente si N es un subm´odulo de M, N =F([i]), con i:N → M la inclusi´on. Tambi´en de manera evidenteF es sobre para los morfismos. Finalmente al ser 1−1, en los objetos si F([α1]) = F([α2]), αi : Ni → M, entonces α1(N1) =α2(N2) y se tiene que

N1

α1

→ α1(N1) =α2(N2)

α−12

→ N2

α1 & .α2

M

determina un isomorfismo deα1 enα2. As´ı que [α1] = [α2]. Igual cosa

para los morfismos.

viii Tomemos F : Q(M) → Sm(M) dado as´ı: Si α : M → T es un epimorfismo, entonces F([α]) = kerα = f−1(0). Es evidente que si α1 ∼=α2entonces kerα1 = kerα2 yF esta bien definido en los objetos.

Sif :α1 → α2 donde αi :M → Ni entoncesF([f]) : kerα1 → kerα2

es la inclusi´on si f ' g conb g : β1 → β2 entonces kerα1 = kerβ1,

kerα2= kerβ2 y entoncesF esta bien definida sobre los morfismo. Es

(47)

Ahora denotemosFr(M) ={M/N|N subm´odulo deM}hunto con los homomorfismos M/N1

f

→ M/N2 tales que fP1 = P2 es decir tal que

el siguiente diagrama conmuta (Pi proyecci´on can´onica) M

. &

M/N1 →

f M/N2

En tal caso N1 ⊆ N2 porque si x ∈ N1P1(x) = 0 y f(p1(x)) = 0 →

p2(x) = 0→x∈N2. Se tiene entonces una bifunci´on sobreyectiva

Sm(M)→Fr(M) M→α M 7→kerα

α1 % N1

M ↓f

α2 & N2

7→kerα1⊆kerα2

Por tanto Fr(M) tiene una estructura de categoria isomorfa a la de Sm(M).

As´ı mismo si tomamosRelM la clase de las relaciones de equivalencia sobreM compatibles con la suma deM y la multiplicaci´o n por escalar sobreA, entonces se completa una categor´ıa tomando como morfismos f : R1 → R2 a las funciones f :M → M lineales tales que xR1y →

f(x)R2f(y). Es evidente que RelM en Q(M) se tienen asignaciones

(48)

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