Tema 5 – Semejanza y Trigonometría

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5.1.Semejanza de figuras y triángulos.

• Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si !!!!!" =!!!!!" =!!!!!" o bien si los tres ángulos son iguales.

• Teorema de Thales: Si tenemos dos triángulos en “posición de Thales”, son semejantes. Por tanto, en los triángulos de la imagen se cumple que !"!"!=

!" !!!!=

!" !"!

• Teorema del cateto: utilizando el teorema de Thales para un triángulo rectángulo, se tiene que:

• Teorema de la altura: utilizando el teorema de Thales para un triángulo rectángulo, se tiene que:

5.2.El radián.

A veces es mejor usar una medida diferente a los grados sexagesimales para medir ángulos. Un radián es el ángulo central de una circunferencia que abarca un arco de igual longitud que el radio de la misma.

Por tanto, 𝟏𝟖𝟎°=𝝅  𝒓𝒂𝒅, y con esto podemos deducir el resto de ángulos.

Aproximadamente, un radián es 57′29°.

Si representamos los ángulos en una circunferencia, tendremos lo siguiente (recuerda que 0°=360°):

V^{ æ

!

Í

K

!

Ù^{ ^bæ} : æ

!

ˆ

!

ã* [ } [ { ^c¦

/æË

! !

• Semejanza de figuras y triángulos. • El radián.

• Razones trigonométricas de un ángulo agudo. • Relaciones trigonométricas fundamentales. • Razones trigonométricas de cualquier ángulo. • Resolución de triángulos rectángulos.

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Como ves, los ángulos van en el sentido contrario a las agujas del reloj. Además, un ángulo mayor de 360° (o 2𝜋 rad) coincide con uno menor de 360° (basta con “dar más vueltas”).

5.3.Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Por tanto, las razones de algunos ángulos conocidosserán:

  0°(0)   30°  𝜋/6   45°  𝜋/4   60°  𝜋/3   90°  𝜋/2   180°  𝜋   270°  3𝜋/2  

𝑠𝑒𝑛  𝛼   0   1

2  

2

2  

3

2   1   0   -­‐1  

𝑐𝑜𝑠𝛼   1     3

2  

2

2  

1

2   0   -­‐1   0  

𝑡𝑔  𝛼   0   3

3   1   3   ∄   0   ∄  

Representación gráfica de las razones de un ángulo agudo en una

circunferencia goniométrica (radio 1):

5.4.Relaciones trigonométricas fundamentales.

b

c

a

 

 

𝛼

𝑠𝑒𝑛  𝛼=𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜  𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 =

𝑏 𝑎

𝑐𝑜𝑠  𝛼=𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜  𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 =

𝑐

𝑎

𝑡𝑔  𝛼= 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜  𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜  𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜=

𝑏

𝑐

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐  𝛼= 1

𝑠𝑒𝑛  𝛼

𝑠𝑒𝑐  𝛼= 1

𝑐𝑜𝑠  𝛼

𝑐𝑜𝑡𝑔  𝛼= 1

𝑡𝑔  𝛼

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5.5.Razones trigonométricas de cualquier ángulo.

Podemos generalizar las razones trigonométricas en una circunferencia goniométrica: el segmento vertical es la seno y el horizontal es el coseno.

Así quedarían los signos en cada caso:

 

seno    

     

 

coseno    

     

 

tangente    

    Las relaciones entre las razones de ciertos ángulos son:

Ángulos  complementarios   Ángulos  opuestos   Ángulos  suplementarios   Ángulos   que   se   diferencian  en  180°    

     

5.6.Resolución de triángulos rectángulos.

Resolver un triángulo consiste en conocer cuánto miden sus lados y sus ángulos. Recuerda que la suma de

los tres ángulos siempre es 180°. En el caso de los triángulos rectángulos, podemos usar el teorema de

Pitágoras cuando se pueda, pero ahora también podemos usar las definiciones de las razones trigonométricas y el valor de estas (ya sea de forma exacta o con la calculadora), así como las inversas de las razones trigonométricas:

Dado un número n, 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑛) es aquel ángulo cuyo seno es n. Por ejemplo, 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 0.5 =30° o bien 𝜋/6. De igual modo se definen 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑛)o 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑛). En las calculadoras a veces lo encontrarás como 𝑠𝑖𝑛!!, 𝑐𝑜𝑠!! o 𝑡𝑎𝑛!!.

Además, hay un par de teoremas que podemos utilizar:

• Teorema del seno: !"#$! =!"#$! =!!"#!

• Teorema del coseno: 𝑎!=𝑏!+𝑐!−2·𝑏·𝑐·𝑐𝑜𝑠𝐴(y las otras dos combinaciones)

5.7.Funciones trigonométricas.

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Si hacemos zoom para ver los puntos de corte:

𝑠𝑒𝑛(𝑥) se anula en los múltiplos 𝜋

𝑐𝑜𝑠(𝑥) se anula en los múltiplos impares de 𝜋/2

𝑡𝑔(𝑥)  se anula donde se anula 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y no existe donde se anula 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

Ejercicios

1. ¿Cuántos grados tiene un radián? ¿Cuántos radianes hay en 360°?

2. Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dado en radianes: a. 𝜋/2 b. 𝜋 c. 𝜋/6 d. 3𝜋/2

3. Expresa en radianes los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales:

a. 330° b. 120° c. 210° d. 135° e. 225° g. 330°

4. En una circunferencia de radio 12cm, un arco mide 2cm. Halla el ángulo central correspondiente en radianes y grados.

5. En un triángulo rectángulo ABC de catetos 𝑏=4 cm y 𝑐=3cm, calcula el seno, coseno y tangente

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6. Determina el ángulo correspondiente en casa caso, utilizando la calculadora:

a. 𝑠𝑒𝑛  𝐴=0′4551

b. 𝑡𝑔  𝐵=1′2459 c.

cos𝐶=0′1502 d. cos𝐷=1!3562

7. Calcula el resto de razones trigonométricas sabiendo que 𝛼 es agudo y el siguiente dato: a. 𝑠𝑒𝑛  𝛼=1/5

b. cos𝛼=1/3 c.

𝑡𝑔  𝛼=3 d. sec𝛼=5/3

8. Sabiendo que cos𝛼=−!

!y que 𝜋/2<𝛼<𝜋, calcula el resto de razones trigonométricas (puedes usar calculadora).

9. Sabiendo que sen𝛼=−0′63 y que 𝜋<𝛼<3𝜋/2, calcula el resto de razones trigonométricas

(puedes usar calculadora).

10.Completa la siguiente tabla sabiendo que 𝛼es agudo (puedes usar la calculadora):

𝑠𝑒𝑛  𝛼 0’94 4/5

𝑐𝑜𝑠𝛼 0’82

𝑡𝑔  𝛼 3’5 5/2

11.Sabiendo que sen𝛼=−!!  y que 𝛼está en el cuarto cuadrante, calcula el resto de razones trigonométricas (sin calculadora).

12.Sabiendo que tg𝛼=!

! y que 𝛼está en el tercer cuadrante, calcula el resto de razones trigonométricas

(sin calculadora).

13. Da los valores de las siguientes razones trigonométricas sin utilizar calculadora, sólo teniendo en cuenta las razones de ángulos conocidos.

1. cos! !

2. sen  0°

3. sen!! 4. cos210°

5. tg  π

6. cosec  120° 7. sen  3π

8. tg  0°

9. cotg  135°

10. sec240°

11. tg!"

!   12. cos −30°

13. tg  150° 14. cos5π 15. cos!! 16. tg(−180°) 17. sen  210° 18. cosec!"

! 19. g(−60°) 20. cosπ 21. cos!"!

22. cos −! !

23. tg   −!

! 24. tg!"

!

25. sen   –! ! 26. sen  (−270°) 27. cos!"! 28. cos −135° 29. sen(315°) 30. sec −30° 31. sen 390° 32. cos!"

! 33. sen!"!

34. tg!!"! 35. sen  225° 36. cos0° 37. sen   −135 38. cos  (−30) 39. tg  45°

40. cotg  0° 41. cotg  30°

42. sec −!"

!

43. sec −!"

! 44. cotg  90° 45. sen  150° 46. cos!!"

!

47. tg!" !

48. sen   −7π 49. cotgπ

50. sen!!

51. tg  300

52. tg(−180°)

53. sen!" !

54. sen  225°

55. cos  (−390°)

56. tg!" !

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6

14. Simplifica las siguientes expresiones lo máximo posible:

a. !"#  !"#°!!!"#  !!"°!!!"#!"#!!"°!"#° b. !"#$!  !"#°!"#  !"#°!!"#$!  !""°!!"#$  !"#°

c. !!!"#  !!"!!!

d. !"!"#!"#°!!!!"#!!"#!"#°! !

e. !"#  !! !!"!! !"#!! !!"#!!!

f. 𝑠𝑒𝑛!𝛼+𝑠𝑒𝑛!𝛼·𝑐𝑜𝑠!𝛼

15. En un triángulo rectángulo, 𝑐=2 y 𝑐𝑜𝑠𝐵=2/3. Calcula 𝑏,𝑎 y 𝑠𝑒𝑛  𝐵. Usa la calculadora para calcular el valor de los ángulos B y C.

16. En un triángulo rectángulo, 𝑏=8y 𝑐=6. Calcula el seno, coseno y tangente de los ángulos B y C.

Usa calculadora para calcular el valor de los ángulos B y C.

17. Para conocer la altura de un árbol nos colocamos a 12 metros del árbol y observamos la parte

superior con un ángulo de 32°. ¿Cuánto mide el árbol?

18. Queremos colocar una escalera de 5 m de longitud para subir a un muro de 4 metros de altura. ¿A qué distancia del muro tendremos que colocar el pie de la escalera para poder llegar? ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo?

19. La base de un triángulo isósceles mide 15 cm y el ángulo opuesto 120°. Calcula los lados y su área.

20. Si las ramas de un compás miden 12 cm cada una y forman un ángulo de 45°, ¿cuál es el radio de la

circunferencia que podemos dibujar? Halla el área del círculo dibujado.

21.Desde el lugar donde me encuentro la visual al punto más alto de una torre forma un ángulo de 32º

con la horizontal. Si me acerco 15 metros el ángulo es de 50º ¿ Cuál es la altura de la torre? ¿ A qué

distancia de la torre me encontraba al principio?

22. a) Determina el área de un pentágono que está inscrito en una circunferencia de radio 8 cm. b) El lado de un octógono inscrito en una circunferencia mide 6 cm. Halla su área.

23. Para medir la altura de una montaña hallamos el ángulo que forma la visual al punto más alto con la horizontal, obteniendo 53º. Nos alejamos 175 m y ahora el nuevo ángulo es de 37º. ¿Cuanto mide la altura de la montaña?

24. Dos edificios distan entre sí 150m. Desde un punto que está entre los dos edificios, vemos que las visuales a sus puntos más altos forman con el suelo ángulos de 35° y 20° respectivamente. ¿Cuál es la altura de los edificios si sabemos que los dos miden lo msimo?

25. Una escalera de bomberos de 10 metros de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45° y si se apoya sobre la otra fachada forma un ángulo de 30°. Halla la anchura de la calle. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre cada una de las fachadas?

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