Problemas de proporcionalidad compuesta

(1)

PROPORCIONALIDAD

MAT2

Página 1

de 19 Dpto de Matemáticas – colegio NUESTRA SEÑORA DEL PILAR - Madrid

En este documento se puede encontrar:

ÍNDICE

TEMA

TEORÍA

(página)

EJERCICIOS

(página)

PROPORCIONALIDAD /

MAGNITUDES PROPORCIONALES 1 -

REGLA DE TRES SIMPLE 2 6

REGLA DE TRES COMPUESTA 3 10

REPARTOS PROPORCIONALES 5 19

(2)

PROPORCIONALIDAD

MAT2

Página 2

PROPORCIONALIDAD

RAZÓN: razón de dos números es el cociente indicado de ambos. Es decir, la razón de los dos números a y b es a:b, o lo que es lo mismo, la fracción

b

a

.

PROPORCIÓN: es la igualdad de dos razones. Así, por ejemplo:

b

a

=

d

c

. Ejemplo:

10

6

5

3 

.

La proporción se compone de 4 términos, a, b, c y d, de los cuales a y d se llaman extremos, mientras que b y c se llaman medios.

En una proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos:

c

b

d

a







. En el ejemplo anterior: 3



10 = 5



6

Como puedes comprobar, esta propiedad nos permitiría escribir la proporción de diferentes modos, permutando los medios o los extremos entre sí:

10

6

5

3 



10

5

6

3 



3

6

5

10 

MAGNITUDES PROPORCIONALES

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando:

a) A una cantidad determinada de la primera, le corresponde una cantidad determinada de la segunda.

b) Al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando:

a) A una cantidad determinada de la primera, le corresponde una cantidad determinada de la segunda.

b) Al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número.

Son magnitudes directamente proporcionales, por ejemplo, el espacio recorrido por un coche y el tiempo empleado (justo en el doble de tiempo habré recorrido el doble de espacio); el dinero que tengo y la cantidad de un producto que puedo comprar (exactamente con el triple de euros puedo comprar el triple de bombones); etc.

Mientras que como ejemplos de magnitudes inversamente proporcionales, podríamos encontrar el número de obreros y el tiempo necesario para realizar un trabajo (el doble de obreros tardarán justo la mitad de tiempo); la velocidad de una coche y el tiempo que tarda en hacer un trayecto (si reduce su velocidad a la mitad, tardará el doble de tiempo); etc.

REGLA DE TRES: DIRECTA E INVERSA

Consiste en aplicar de un modo práctico la proporcionalidad, de forma que podamos hallar cualquiera de los términos de una proporción, conociendo los otros tres. Vamos a verlo con ejemplos:

(3)

PROPORCIONALIDAD

MAT2

Página 3

de 19 Dpto de Matemáticas – colegio NUESTRA SEÑORA DEL PILAR - Madrid Primero de todo: ¿Es una proporción directa o inversa? Es directa, ya que 2Kg costarán exactamente el doble que 1kg; más kilos, más dinero cuesta. Entonces:

5kg  3.50€

12kg  x €  multiplicamos en cruz1_{: 5}



_{x = 12}



3.5  5 _{x = 42} Sabemos cuánto vale 5 · x, que es 42; pero queremos saber cuánto vale x, es decir, los euros que me cuestan 12kg de naranjas. 5 · x = 42 es una igualdad, o lo que es lo mismo, tenemos un signo igual ( = ) entre dos términos, uno a la izquierda (5 · x ), y otro a la derecha, que es 42. Queremos que la x quede sola a un lado del igual, en otras palabras, pasar el 5 al otro lado del igual. Dado que 5 está multiplicando (a la x), el 5 que nos queremos quitar pasa al otro lado del igual dividiendo, y lo expresamos como una fracción. Tendremos:

5 · x = 42  x =

5

42

= 8.4

Significa que 12kg de naranjas cuestan 8.4€, 8 euros y 40 céntimos.

Cuidado con algo muy MUY importante: las magnitudes han de ser siempre homogéneas. Si en vez de preguntarnos cuánto costaban 12kg hubiese sido el coste de 800 gramos, no podríamos poner 800 debajo de los 5 en la proporción, ya que los 5 son kilos y los 800, gramos. Habría que poner todo en lo uno o lo otro, es decir, o arriba ponemos 5000 gramos, o abajo 0.8kg. Quedaría así:

5kg  3.50€ o bien 5000 gramos  3.50€

0.8kg  x € 800 gramos  x €

El resultado de hacerlo de una u otra manera es indiferente, es decir, el resultado final es el mismo (puedes comprobarlo como ejercicio). Este cuidado con las magnitudes es fundamental, por eso estate siempre atento a no mezclar litros con metros cúbicos, euros con céntimos, Km. con metros, días con horas o con minutos…

2. Otro problema: si un coche circula a una velocidad de 90Km/hora y tarda 8 horas en ir de Madrid a Cádiz, cuánto tardará si aumenta su velocidad a 120 km/h.

Para empezar, es inversa, porque a más velocidad, tardará menos horas. Lo planteamos:

90 km/h  8 horas

120 km/h  x horas  multiplicamos en paralelo2_{: 90}



_{8 = 120}



_{x; 720 = 120}



x

Igual que antes, queremos tener sola a la x, y no multiplicando por 110; entonces pasamos el 100 al otro lado del igual, dividiendo, en forma de fracción:

X =

120

720

=

12

72

= 6 horas.

PROBLEMAS PROPUESTOS, CON LOS RESULTADOS 3_:

a) Por un grifo salen 6m3_{cada 10 horas. ¿Qué cantidad de agua saldrá en una} semana? (Resultado: 100.8 m3_{). (Atención horas <–> semana).}

1_{Porque es una regla de tres directa. Como veremos en el siguiente ejercicio, se multiplica en} paralelo en la regla de tres inversa.

2_{Porque es una regla de tres inversa.}

(4)

PROPORCIONALIDAD

MAT2

Página 4

de 19 Dpto de Matemáticas – colegio NUESTRA SEÑORA DEL PILAR - Madrid b) Si por 19kg de azúcar nos dan 2kg de café, ¿cuánto nos dan por 1 tonelada de azúcar? (Resultado: 105.26kg). (1Tm = 1000kg).

c) Tres obreros han realizado una obra en 4 horas y 40 minutos. ¿Cuánto habrían tardado 8 obreros? (Resultado: 1hora y 45 minutos) (Cuidado con los tiempos: 1h



100 minutos)

d) Una motocicleta a 36km/h tarda 7horas y 30 minutos en hacer un recorrido. A qué velocidad debería ir para hacerlo en 1 hora y 30 minutos. (Resultado: 180km/h). (De nuevo, cuidado al pasar las horas a minutos, o los minutos a horas).

e) Un coche recorre 315km en 5 horas y 15 minutos. Cuánto recorre en 17 horas. (Resultado: 1020km). (¡Cuidado, una vez más, con los minutos!).

f) Cuánto cuesta imprimir un texto de 196 páginas, si imprimir 16 páginas cuesta 12€. (Resultado: 147€)

REGLA DE TRES COMPUESTA

La regla de 3 compuesta permite resolver cualquier tipo de problema de proporcionalidad compuesta. Seguimos para ello estos pasos:

1. Se ponen los datos en bloques, igual que con la Regla de 3 simple, colocando siempre la incógnita en el último bloque.

2. Se estudia la relación de todos y cada uno de los bloques con el último, el de la incógnita.

3. Se transforman los bloques en producto de fracciones, y se iguala a la fracción resultante del último bloque, siempre en éste con la incógnita en el denominador.

4. En cada bloque del primer término, si la relación es directa numerador y denominador se quedan deja como están; si es inversa, el numerador pasa a denominador, y viceversa.

5. Se calcula la proporción: producto de medios es igual a producto de extremos.

Veamos un ejemplo:

Si 18 máquinas mueven 1200 m3_{de tierra en 12 días, ¿cuántos días necesitarán 24} máquinas para mover 1600 m3 de tierra?

18 máquinas 1200 m3 _{12 días}

24 máquinas 1600 m3 _x

I

D

Si 18 máquinas tardan 12 días, 24 máquinas (más máquinas) tardarán menos días → inversa

Si para 1200 m3_{se necesitan 12 días, para más m}3_{(1600), se necesitarán más días →} directa

Entonces:

(5)

PROPORCIONALIDAD

MAT2

Página 5

REPARTOS PROPORCIONALES

Los problemas de repartos proporcionales son aquéllos en que de una determinada cantidad debe repartirse de forma proporcional a otras cantidades; este reparto puede ser directo o inverso.

 Si, por ejemplo, queremos repartir una determinada cantidad x entre 3 personas, en función directa de A, B y C, las cantidades que le corresponde a cada uno serían a, b y c, respectivamente, calculadas como sigue:

Y se calculan separadamente las 3 cantidades.

 Con el ejemplo anterior, si se quisiera repartir la cantidad x inversamente proporcional a A, B y C, sería:

Y se vuelve a calcular separadamente cada cantidad.

AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES ENCADENADAS

El número por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama índice de variación.

a. En aumentos porcentuales, el índice de variación es 1 más el aumento porcentual expresado en forma decimal.

b. En una disminución porcentual, el índice de variación es 1 menos la disminución porcentual puesta en forma decimal.

c. Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se multiplica la cantidad inicial por los índices de variación de los sucesivos pasos; el orden NO influye en el resultado final (el orden de los factores no afecta al producto).

Ejemplo: Un ordenador costaba, antes de impuestos, 450€; primero le rebajaron un 5%, y después, un 7,5% adicional; si el IVA es del 21%, ¿cuál es el precio final?

Solución → las rebajas del 5% y del 7,5% significan que pagamos el 95% y 92,5% del precio:

(6)

PROPORCIONALIDAD

MAT2

Página 6

PROBLEMAS RESUELTOS – Regla de 3 SIMPLE

1.

Dos Kg y medio de patatas cuestan 1.75€. ¿Cuánto cuestan tres Kg y medio?

2.5 Kg 1.75 €

DIRECTA

3.5 Kg x

;

75 .

1

5 .

3

5 .

2 

x





;

5 .

2

75 .

1

5 .

3 



x

;

2500

175

35 



x

;

100

5

7

5

2 2 3





x

;

100

7

5 _

2



x

;

100

245 

x

x = 2.45€

2.

Un coche ha recorrido 30Km en 18 minutos. Si sigue a la misma velocidad, ¿qué distancia recorrerá en el próximo cuarto de hora?

30Km 18 minutos

DIRECTA

X 15 minutos

;

15

30

18 

x





;

18

15

30 



x

;

3

2

5

3

2

2 2 2





x

x = 25Km

3.

Cuatro operarios tardan 10 horas en limpiar un solar. ¿Cuánto tardarían 5 operarios?

4 hombres 10 horas

INVERSA

5 hombres x

;

5

10

4 





x

;

5

40 

x

x = 8 horas

4.

Una cuadrilla de soladores, trabajando 8 horas diarias, renuevan la acera de una calle en 15 días; ¿cuánto tardarían trabajando 10 horas al día?

8 horas 15 días

INVERSA

10 horas x

;

10

15

8 





x

;

10

15

8 



x

;

5

2

5

3

2

3





x

x = 12 días

5.

Un paquete de 500 folios pesa 1.8Kg. ¿Cuánto pesará una pila de 850 folios? 500

folios 1.8Kg

DIRECTA 850

folios x

;

8 .

1

850

500 

x





;

500

18

85 



x

;

5

2

17

5

3

2

3 2 2





x

;

5

2

17

3

2 2





x

x = 3.06Kg

6.

En una fuente se ha tardado 24 segundos en llenar un cántaro de 30 litros. ¿Cuánto se tardará en llenar un bidón de 50 litros?

24 segundos 30 litros

DIRECTA

X 50 litros

;

24

50

30 

x





;

30

24

50 



x

;

5

3

2

5

3

2

4 2





(7)

PROPORCIONALIDAD

MAT2

Página 7

7.

Un albañil, trabajando 8 horas al día, construye una pared en 15 días. ¿Cuántas horas deberá trabajar cada día para realizar el mismo trabajo en 12 días?

8 horas 15 días

INVERSA

X 12 días

;

12

15

8 





x

;

12

15

8 



x

;

3

2

5

3

2

2 3





x



2 

5 ;

x = 10 horas

8.

Con una motobomba que extrae agua de un pozo, se ha tardado 18 minutos en llenar una cisterna de 15000 litros. ¿Cuánto se tardará en llenar otra cisterna de 25000 litros?

18 minutos 15000 litros

DIRECTA

X 25000 litros

;

15000

25000

18 





x

;

15000

25000

18 



x

;

15

25

18 



x

;

5

3

5

3

2

2 2





x



2 

3 

5 ;

x = 30 minutos

9.

El dueño de un supermercado abona una factura de 720€ por un pedido de 15 cajas de aceite; ¿cuánto le costarían 12 cajas?

720€ 15 cajas

DIRECTA

X 12 cajas

;

15

12

720 





x

;

15

12

720 



x

;

5

3

5

3

2

6 3





x

_x

_

2

6

_

3

2

;

_;

_x

_

₆₄

_

₉

_;

_{x = 576€}

10.

Una piscina tiene 3 desagües; si se abren 2, la piscina se vacía en ¾ de hora. ¿Cuánto tardará en vaciarse si se abren los tres?

2 desagües 45 minutos

INVERSA

3 desagües x

;

3

45

2 





x

;

3

45

2 



x

;

3

5

3

2 _

2

_



x



2 

3 

5 ;

x = 30 minutos = ½ hora

11.

Una máquina embotelladora llena 750 botellas en un cuarto de hora; ¿cuántas botellas llena en hora y media?

750 botellas 15 minutos

DIRECTA

x 90 minutos

;

15

90

750 





x

;

15

90

750 



x

;

5

3

5

3

2

2 3 4





x

_x

_

2

_

3

2

_

5

3

;

_{x = 4500 botellas}

En fracciones:

750 botellas ¼ hora

DIRECTA

x 3/2 horas

;

4

1

2

3

750 





x

;

4

1

2

3

750 



x

;

2

4

3

750 





(8)

PROPORCIONALIDAD

MAT2

Página 8

12.

Un tractor, trabajando 8 horas diarias, labra un campo en 9 días. ¿Cuánto tardaría en hacer el mismo trabajo si las jornadas fuesen de 12 horas al día?

8 horas / día 9 días

INVERSA

12 horas / día x

;

12

8

9 





x

;

12

8

9 



x

;

3

2

3

2

2 2 3





x

x = 6 días

13.

Juan ha recibido 20€ por un trabajo de 5 horas. ¿Cuánto cobrará si trabaja 8 horas?

20€ 5 horas

DIRECTA

x 8 horas

;

5

8

20 





x

;

5

8

20 



x



4 

8 ;

x = 32€

14.

Dos socios han invertido 18000 y 24000€, respectivamente, para formar un negocio. Si el primero, a la hora de repartir beneficios, ha percibido 1446€, ¿cuánto recibirá el segundo?

18000€ 1446€

DIRECTA

24000€ x

;

18000

1446

24000







x

;

18000

1446

24000





x

;

18 1446

24 



x

;

3

6

482

3

4

6 





x



4 

482 ;

x = 1928€

15.

En un reconocimiento médico de 120 niños, el 15% presenta problemas de caries. ¿Cuántos niños son?

100 niños 15 caries

DIRECTA

120 niños x

;

15

120

100 

x





;

100

15

120 



x

;

10

15

12 



x

;

5

2

5

3

2

2 2





x

_x

_

2 _

3

2

;

_{x = 18 niños}

16.

Una tienda hace unos descuentos del 10%. ¿Cuánto pagaremos por un balón que marca 18.35€?

18.35€ 100

DIRECTA

x 90

;

100

90

35 .

18 





x

;

100

90

35 .

18 



x

x = 16.52€

17.

Por 5€ nos dieron 5.6$. ¿Cuántos dólares nos darán por 18€?

5€ 5.6$

DIRECTA

18€ x

;

6 .

5

18

5 

x





;

5

6 .

5

18 



(9)

PROPORCIONALIDAD

MAT2

Página 9

18.

Si un coche que circula a 60Km/hora tarda 8 horas en recorrer un trayecto, ¿cuánto tardará otro a 80Km/hora?

60Km / hora 8 horas

INVERSA

80Km / hora x

;

80

8

60 





x

;

80

8

60 



x

;

8

6 



x

x = 6 horas

19.

Un satélite da 8 vueltas a la Tierra en 40 minutos. ¿Cuántas dará en 10 horas?

8 vueltas 40 minutos

DIRECTA

x 600 minutos

;

40

600

8 





x

;

40

600

8 



x

;

4

60

8 



x



2 

60 ;

x = 120 vueltas

20.

Vemos un relámpago y 5 segundos más tarde oímos el trueno; y sabemos que la velocidad del sonido es de 340metros/segundo. ¿A qué distancia se encuentra la tormenta, sabiendo que el relámpago y el trueno se producen en el mismo instante?

1 segundo 340 metros

DIRECTA

5 segundos x

;

340

5 



x

x = 1700 metros = 1.7Km

21.

Un ordenador equipado con un procesador de 400Mhz descifró una clave secreta en 40 minutos. ¿Qué potencia debería tener para haberlo conseguido en 10 minutos?

400 Mhz 40 min

INVERSA

X 10 min

;

10

40

400 



x



;

10

40

400 



x



400 

4 ;

x = 1600Mhz

22.

Un liquen rojo de montaña ha crecido 6mm en 3 años. ¿Cuántos cm crece cada siglo?

0.6 3 años

DIRECTA

x 100 años

;

3

100

6 .

0 





x

;

3

100

6 .

0 



x

;

3

10

6 



x

;

3

10

2

3 





x

x = 20 centímetros

23.

Un deportista ha necesitado 10 segundos para recorrer una distancia a 36Km/hora. ¿Cuánto tardaría en recorrer la misma distancia un leopardo que se mueve a 110Km/ hora?

36Km / hora 10 segundos

INVERSA

110Km / hora x

;

110

10

36 





x

;

110

10

36 



x

;

11

36 

(10)

PROPORCIONALIDAD

MAT2

Página 10

PROBLEMAS DE REGLA DE 3 COMPUESTA

24.

Si 25 obreros, trabajando durante 8 horas, pintan 4Km de carretera, ¿cuántos obreros, trabajando 10 horas, se necesitarían para pintar 15Km?

8 horas 4 Km 25 obreros

10 horas 15 Km x

Directa

Inversa

;

25

15

4

8

10 x





;

4

10

25

15

8 





x

₃

3 3

2

5

3

2 





x

; x = 75 obreros

25.

Un peregrino ha recorrido 600 Km del camino de Santiago en 20 días a razón de 6 horas diarias. ¿Cuántos Km podría recorrer a la misma velocidad en 30 días, a 5 horas al día?

20 días 6 horas / día 600Km

30 días 5 horas / día x

Directa

;

600

5

6

30

20 x





;

6

2

5

3

600 





x

x = 750 Km

26.

Obélix empleó 5 horas para comerse 10 jabalíes de 600 Kg cada uno; ¿cuántas horas precisará para dar cuenta de 12 jabalíes de 400 Kg cada uno?

10 jabalíes 600 Kg 5 horas

12 jabalíes 400 Kg x

Directa

;

5

400

600

12

10 x





;

6

10

5

4

12 





x

3

2

5

2

3

2 4





x

; x = 4 horas

27.

Sabiendo que 3 trenes de 12 vagones cada uno pueden transportar 1800 pasajeros, ¿cuántos pasajeros pueden transportar 4 trenes de 10 vagones cada uno?

3 trenes 12 vagones 1800 viajeros

4 trenes 10 vagones x

Directa

;

1800

10

12

4

3 x





;

12

3 1800

10

4 





x

₂ ₂

2 3

2

3 1000

3

2 





(11)

PROPORCIONALIDAD

MAT2

Página 11

28.

Una taladradora perfora 15 metros cada día trabajando 8 horas diarias. ¿Cuánto perforarán 2 taladradoras trabajando 6 horas diarias?

1 taladradora 8 horas / día 15 metros

2 taladradoras 6 horas / día x

Directa

;

15

6

8

2

1 x





;

8

15

6

2 





x

₃

2 2

2

5

3

2 





x

; x = 22.5 metros

29.

A causa de los 90 pozos que extraían 40 Hm3_{anuales de agua se han agotado en 100} años los recursos hídricos de una zona. ¿Cuánto habrían tardado en agotarse con 20 pozos extrayendo 5 Hm3_?

90 pozos 40 Hm3 _{100 años}

20 pozos 5 Hm3 _x

Inversa

;

100

40

5

90

20 x





;

10

100

40

9 





x



9 

4 

100

; x = 3600 años

30.

Un taller, trabajando 8 horas diarias, ha necesitado 5 días para fabricar 1000 piezas. ¿Cuántos días necesitará para fabricar 3000 piezas en turnos de 10 horas diarias?

8horas / día 1000 piezas 5 días

10 horas / día 3000 piezas x

Directa

Inversa

;

5 3000

1000

8

10 x





;

10000

5 3000

8 





x

10

5

3

8 





x

;

5

2

5

3

2

3





x

; x = 12 días

31.

Si 3 grifos iguales tardan 5 horas en llenar un depósito de 10 m3_{, ¿en cuánto tiempo} llenarían un depósito de 8 m3_{2 grifos como los anteriores?}

3 grifos 10 m3 _{5 horas}

2 grifos 8 m3 _x

Directa

Inversa

;

5

8

10

3

2 x





;

20

8

15 



x

5

2

5

3

2 3





(12)

PROPORCIONALIDAD

MAT2

Página 12

32.

Hemos pagado 1800€ a un grupo musical por actuar 3 días en las fiestas del barrio durante 2 horas diarias. ¿Cuántos días podremos pagar con 3600€ si actúan durante 3 horas diarias?

1800€ 2 horas / día 3 días

3600€ 3 horas / día x

Inversa

Directa

;

3

2

3 3600

1800

x





;

3 1800

3

2 3600





x

2

3

2

3 3 3





x

; x = 4 días

33.

Un ciclista consumió 4800Kcal para completar 8 etapas de 30 Km cada una. ¿Cuántas Kcal necesitará para completar 5 etapas de 40 Km cada una?

8 etapas 30 Km / etapa 4800 Kcal

5 etapas 40 Km / etapa x

Directa

;

4800

40

30

5

8 x





;

30

8 4800

40

5 





x

3

2

100

5

3

2

3 6





x

; x = 4000 Kcal

34.

Por 5 días de trabajo con una jornada de 8 horas diarias me han pagado 480€. ¿Cuánto ganaré por 10 días si la jornada se reduce a 5 horas diarias?

5 días 8 horas / día 480€

Directa

;

480

5

8

10

5 x





;

5

8

480

10

5 





x

5

2

3

2

5

3 6 3





x

; x = 600€

 Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante 5 días, ha lavado 1000 Kg de ropa. ¿Cuántos Kg de ropa lavará en 12 días trabajando 10 horas al día?

5 días 8 horas / día 1000Kg

Directa

;

1000

10

8

12

5 x





;

5

8 1000

10

12 





x

5

2 1000

5

3

2

3 3





(13)

PROPORCIONALIDAD

MAT2

Página 13

35.

Un ganadero necesita 750Kg de pienso para alimentar 50 vacas durante 10 días; ¿durante cuántos días podrá alimentar 40 vacas con 1800Kg de pienso?

750 Kg 50 vacas 10 días

1800 Kg 40 vacas x

Inversa Directa

;

10

50

40 1800

750 x





;

40

750

10 1800

50 





x

4

75 1800

5 





x

; ₂ ₂

2 3 3

2

3

5

3

2

5 





x

; x = 30 días

36.

Para llenar un depósito hasta una altura de 0.80m se ha necesitado un caudal de 20 litros por minuto durante una hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el mismo depósito con un caudal de 15 litros/minuto hasta una altura de 90cm?

80cm 20 l / m 4/3 horas

90cm 15 l / m x

Inversa Directa

;

3 /

4

20

15

90

80 x





;

3

15

80

4

20

90 





x

5

3

2

5

2

3

2 3 4 2





x

; x = 2 horas

37.

Trabajando 8 horas diarias, 12 obreros terminan un trabajo en 25 días. ¿En cuánto tiempo lo terminarían 5 obreros trabajando 10 horas al día?

12 obreros 8 h / día 25 días

5 obreros 10 h / día x

Inversa Inversa

;

25

8

10

12

5 x





;

10

5

12

25

8 





x

2

5

3

2

5

2 5 2





x

; x = 48 días

38.

En 12 días, 30 electricistas, trabajando 10 horas diarias, colocan 6Km de tendido eléctrico. ¿Cuántos días necesitarían 25 electricistas para colocar 15Km de tendido trabajando 8 horas al día?

30 hombres 10 horas / día 6 Km 12 días

25 hombres 8 horas / día 15 Km x

Directa Inversa Inversa

;

12

15

6

10

8

30

25 x





;

6

8

25

12

15

10

30 





x

₄ ₂

3 3 4

5

3

2

5

3

2 





(14)

PROPORCIONALIDAD

MAT2

Página 14

39.

Para calentar 2 litros de agua desde 0º Centígrados a 20ºC se ha necesitado 1Kcal. Si queremos calentar 3 litros de agua de 10ºC a 60ºC, ¿cuántas Kilocalorías son necesarias?

2 litros (+) 20º C 1Kcal

3 litros (+) 50º C x

Directa

;

1

50

20

3

2 x





;

2

5

3 





x

X = 3.75 Kilocalorías

40.

En una mina, una cuadrilla de 6 mineros abren una galería de 30 metros de longitud en 17 días. Si otra cuadrilla tiene 17 mineros, ¿cuántos metros de galerías abrirán en 30 días?

6 mineros 17 días 30 metros

17 mineros 30 días x

Directa

;

30

17

6 x





;

17

6

30

17 





x

6

30

30 



x

;

x



5 

30

; x = 150 metros

41.

Una cuadrilla de albañiles, trabajando 10 horas al día, han construido 600m2_{de pared} en 18 días. ¿Cuántos m2_{construirán en 15 días, trabajando 8 horas diarias?}

10 horas 18 días 600m2

8 horas 15 días x

Directa

;

600

15

18

8

10 x





;

18

10

600

15

8 





x

;

18

60

15

8 





x

₂

2 2 5

3

2

5

3

2 





x

; x = 400m2

42.

Un granjero ha necesitado 294 Kg de pienso para alimentar a 15 vacas durante 7 días. ¿Durante cuántos días podría alimentar a 10 vacas si dispusiese de 840 Kg de pienso?

294Kg 15 vacas 7 días

840Kg 10 vacas x

Inversa

Directa

;

7

15

10

840

294 x





;

294

10

7

15

840 





x

;

294

7

15

84 





x

₂

2 2 2

7

3

2

7

5

3

2 





(15)

PROPORCIONALIDAD

MAT2

Página 15

43.

Una excavadora, trabajando 10 horas al día, abre una zanja de 1000 metros en 8 días. ¿Cuánto tardaría en abrir una zanja de 600 metros, trabajando 12 horas diarias?

10 horas 1000 m 8 días

12 horas 600 m x

Directa

Inversa

;

8

600 1000

10

12 x





;

12

10

8

6

10 





x

;

12

8

6 



x

;

3

2

3

2

2 4





x

x= 4 días

44.

Si se abren 3 bocas de riego con un caudal de 1.5 litros por segundo cada una, un aljibe se vacía en 8 horas. ¿Durante cuánto tiempo daría servicio el aljibe si se abrieran 4 bocas de riego con un caudal de 0.9 litros por segundo cada una?

3 bocas 1.5 litros / sg 8 horas

4 bocas 0.9 litros / sg x

Inversa

;

8

5 .

1

9 .

0

3

4 x





;

9 .

0

4

8

5 .

1

3 





x

;

9

4

8

15

3 





x

;

3

2

5

3

2

2 2

2 3





x

x = 10 horas

45.

Cincuenta terneros consumen 4200 Kg de alfalfa a la semana. Calcular: a. El consumo de alfalfa por ternero y día.

b. Los Kg de alfalfa necesarios para alimentar a 20 terneros durante 15 días

c. Los días que se podría alimentar a 10 terneros si se dispone de 600Kg de alfalfa Apartado a/

50 terneros 7 días 4200Kg

1 ternero 1 día x

Directa

;

4200

1

7

1

50 x





;

7

50 4200





x

;

7

5

420 



x

;

5

60 

x

x= 12 días

Apartado b/

50 terneros 7 días 4200Kg

20 terneros 15 días y

Directa

(16)

PROPORCIONALIDAD

MAT2

Página 16

;

4200

15

7

20

50 y





;

7

50

15

20 4200





y

;

7

5

15

2 4200





y

;

7

5

7

5

3

2

100

2 2





y

y = 3600 Kg

Apartado c/

50 terneros 4200Kg 7 días

10 terneros 600Kg z

Directa

Inversa

;

7

600 4200

50

10 z





;

4200

10

7

600

50 





z

;

42

7

6

5 





z

z = 5 días

46.

En un taller de confección, con 6 máquinas tejedoras, se han fabricado 600 chaquetas en diez días. Calcular:

a. La cantidad de prendas que se fabricarían con 5 máquinas en 15 días. b. El número de máquinas necesarias para fabricar 750 prendas en 15 días.

c. Los días que se tardarían en fabricar 750 prendas trabajando sólo con 5 máquinas. Apartado a/

6 máquinas 10 días 600 chaquetas

5 máquinas 15 días x

Directa

;

600

15

10

5

6 z





;

60

600

15

5 





z



5 

15 

10 ;

z = 750 chaquetas

Apartado b/

10 días 600 chaquetas 6 máquinas

15 días 750 chaquetas y

Directa

Inversa

;

6

750

600

10

15 y





;

600

15

6

750

10 





y

;

15

75 

(17)

PROPORCIONALIDAD

MAT2

Página 17

de 19 Dpto de Matemáticas – colegio NUESTRA SEÑORA DEL PILAR - Madrid Apartado c/

6 máquinas 600 chaquetas 10 días

5 máquinas 750 chaquetas z

Directa Inversa

;

10

750

600

6

5 x





;

600

5

10

750

6 





z

;

5

75 

z

z = 15 días

47.

Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante 5 días, ha lavado 1000Kg de ropa. ¿Cuántos Kg de ropa lavará en 12 días trabajando 10 horas diarias?

8 horas 5 días 1000Kg

10 horas 12 días x

Directa Directa

;

1000

12

5

10

8 x





;

5

8 1000

12

10 





x

;

10

4 10000

3

4 





x

x = 3000Kg de ropa

48.

Una alfombra sintética, de 1.80m de larga por 90cm de ancha, ha costado 72€. ¿Cuánto costará otra alfombra de la misma calidad que tiene 3m de larga y 1.20m de ancha?

1.8 m 0.9m 72€

3 metros 1.2m x

Directa Directa

;

72

2 .

1

9 .

0

3

8 .

1 x





;

9 .

0

8 .

1

72

2 .

1

3 





x

;

9

18

10

72

12

3 





x

;

3

2

5

3

2

4 4 6





x

_x

_

2

5

_

5 ;

_{x = 160€}

49.

Cinco encuestadores, trabajando 8 horas diarias, completan los datos para un estudio de mercado en 27 días. ¿Cuánto tardarán en hacer el mismo trabajo 9 encuestadores trabajando 10 horas al día?

5 encuestadores 8 horas 27 días

9 encuestadores 10 horas x

Inversa Inversa

;

27

8

10

5

9 x





;

10

9

27

8

5 





x

;

3

2

5

3

2

5

2 3 3





(18)

PROPORCIONALIDAD

MAT2

Página 18

REPARTOS PROPORCIONALES

50.

Repartir 1000 euros en partes directamente proporcionales a las edades de 3, 5 12. Sean x, y z las partes que le corresponderán a 3, 5 y 12 años, respectivamente.

Calculando cada parte, una a una:

50 → x=3·50=150 →

→

51.

Repartir 320 euros a 3 personas de edades 2, 5 y 10, de forma inversamente proporcional.

Sean a,b,c las cantidades correspondientes a 2, 5 y 10 años, respectivamente.

52.

Se va a repartir una herencia de 5 780 000 euros que deja un adinerado abuelo a sus tres nietos de 4, 6 y 18 años, en función de sus edades. Calcular cuánto le toca a cada uno, tanto si el reparto es directamente proporcional a las edades, como si lo es inversamente. (Sólo lo hacemos de la primera forma, pero se puede resolver de las 2)

REPARTO DIRECTAMENTE PROPORCIONAL

4 años → a 6 años → b

18 años → c

le corresponde al nieto de 4 años

Si sumamos las tres cantidades:

=5780000

€, que es la cantidad que queríamos repartir.

(19)

PROPORCIONALIDAD

MAT2

Página 19

REPARTO INVERSAMENTE PROPORCIONAL

4 años → x 6 años → y

18 años → z

euros le corresponden al nieto de 4 años

euros le corresponden al nieto de 6 años

euros le corresponden al nieto de 18 años Si sumamos las tres cantidades:

=

5780000

€, que es la cantidad que queríamos repartir.

Vemos que al pequeño, que tiene un tercio de la edad del mediano, le corresponde el triple exacto que a éste.