Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

(1)

1º BACH

MATEMÁTICAS I

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

Trigonometría Vectores Nº complejos Geometría Funciones. Límites. Continuidad. Derivadas

Repaso en casa • Potencias

• Radicales. Racionalización. (pag. 18-19)

• Polinomios. Operaciones. Identidades notables. Ruffini. Raíces y factorización de un polinomio (pag.36-37-38-39)

• Fracciones algebraicas (pag. 42-43)

(2)

(3)

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

•Definiciones

•Resolución de ecuaciones polinómicas:

•1º grado

•2º grado

•bicuadradas

•grado > 2º

•Ecuaciones racionales

•Ecuaciones radicales

•Ecuaciones logarítmicas

•Ecuaciones exponenciales

•Sistemas lineales

•De 2 ecuaciones con 2 incógnitas

•De 3 ecuaciones con 3 incógnitas (Gauss) •Sistemas no lineales

•Inecuaciones

•Sistemas de inecuaciones

•Resolución de problemas

Definiciones

•Una expresión algebraica es una combinación de números y letras relacionadas entre sí por las operaciones aritméticas.

•Un monomio es una expresión algebraica en la que solo aparecen multiplicaciones y potencias de exponente natural.

•Un polinomio es la suma de varios monomios no semejantes.

•Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.

•Solución de una ecuación es cualquier conjunto de valores de las incógnitas que al sustituirlo en la ecuación hace cierta la igualdad.

•Una ecuación polinómica es aquella en que las expresiones algebraicas que contiene son polinomios.

•Resolver una ecuación es dar todas sus soluciones

Expresión algebraica Monomio Polinomio grado

3

2ab

y x

3

2 2

3xy xy __4xy2

y x xy2 2

3 

x x x 1 3 6 53  2

Sí No 4

No

No ___

Sí No 3

No Sí

No Sí 3

3

2 ab



ab3 Ecuación

1 3 2_x2_ _x_

x x x 1 3 6 5 3  2



Ecuación polinómica

x

1

5

2

2 





0 1

1 2

 

  

x x

x _x

2 log

3 log

)

2 log(

x



x





50

5

2 

x1



Ecuación exponencial

Ecuación Radical

Ecuación racional

(4)

Resolución de ecuaciones polinómicas (1º grado)

8 3

5 5

1 6 4

3_ _  _  _

 x x

x

60 480 60

100 20 60

12 12 60 360 60

45

15x _ _ x _ x _

480 100 20 12 12 360 45

15x   x  x 

12 360 45 480 100 20 12

15x x x    

187

17 



x

11 17 187_   

x

Resolución de ecuaciones polinómicas(2º grado)

ac b2_4

a ac b b x

2 4

2_

  

ac b2_4 _{> 0}

<0 =0

2 soluciones reales

1 solución real No existe solución real

Resolución de la ecuación completa

0

2_ _ c ax

0 2__bx_

ax

Resolución de la ecuación incompleta

• despejamos la x al cuadrado

• Tomamos la raíz cuadrada de ambos miembros( cuidado (+ -).

• Extraemos factor común • Igualamos a cero cada factor.

ac b2_4

0

2__bx__c_

ax

Resolución de ecuaciones polinómicas

(Bicuadradas)

0

2 4_ _ _

c bx ax

Cambio de variable : x2t 0 2_ _ _

c bt at

(5)

Resolución de ecuaciones polinómicas grado> 2

6 

x

1  

x

_______________________________________________

2 

x

2 / 1  

x

2  

x

3  

x

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

•Definiciones

•1º grado

•2º grado

•bicuadradas

•grado > 2º

•Inecuaciones

Ecuaciones racionales

(6)

Aislamos una raíz

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación

Operamos

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación Aislamos la otra raíz

Operamos

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

•Definiciones

•1º grado

•2º grado

•bicuadradas

•grado > 2º

•Ecuaciones logarítmicas (repaso logaritmos)

•Inecuaciones

Logaritmo de un número real

•Si b es un número positivo y distinto de 1, el logaritmo en base b de un número N es el exponente al que hay que elevar la base b para obtener N

x

N

b



log

b

x

_

N







log

2

8 

3 

2

3

_

₈





Ejemplo

(7)

•Si la base es 10, el logaritmo se llama decimal y se escribe omitiendo la base;

•Si la base es el número e, el logaritmo se llama neperiano y se escribe;



log

10

N



log

N

ln

log



Propiedades de los logaritmo de un número real

1 log

_b

b



0

1 log

_b





log

b

(

M



N

)



log

b

M



log

b

N



log

_b

M

N













log

_b

M



log

_b

N



log

b

(

M

r

)



r



log

b

M



logb

(

A

)



loga

A

log

a

b

Cambio de base

0

1 log



1

10 log



2

100 log



3 1000

log



. . .

1

10 log

10

1 log



1





. . .

2

10 log

100

1 log



2





3

10 log

1000

1 log



3





Propiedades de los logaritmos decimales

Ecuaciones logarítmicas

Tenemos que aplicar las propiedades de los logaritmos

Tenemos que llegar hasta que haya un solo logaritmo en cada miembro de la ecuación

(8)

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

•Definiciones

•1º grado

•2º grado

•bicuadradas

•grado > 2º

•Inecuaciones

Ecuaciones exponenciales

2

_{∙ 2}

𝑥

_{= 2}

2 2𝑥2₊₁

2

2+𝑥

_{= 2}

4𝑥2₊₂

2 + 𝑥 = 4𝑥

2

₊₂

𝑙𝑜𝑔32𝑥−3_{= 𝑙𝑜𝑔2}

(2𝑥 − 3)𝑙𝑜𝑔3 = 𝑙𝑜𝑔2

(2𝑥 − 3) =𝑙𝑜𝑔2_{𝑙𝑜𝑔3}

2𝑥 − 3 = 𝑙𝑜𝑔32

2𝑥 = 3 + 𝑙𝑜𝑔32

𝑥 =3 + 𝑙𝑜𝑔₂ 32

3𝑥_{+ 2 ∙}3𝑥

32=11

𝑡+ 2 ∙₃𝑡2=11

𝑡 +2𝑡₉=11

9𝑡 + 2t = 99 11t = 99

t = 9

3

𝑥

₌

_𝑡

𝑡 = 3𝑥 3𝑥= 9 = 32

𝑥 = 2 Cambio de variable

(9)

22𝑥_{∙ 2}4_{− 5 ∙ 2}𝑥_{∙ 2}3_{= −9}

2𝑥 2_{∙ 2}4_{− 5 ∙ 2}𝑥_{∙ 2}3_{= −9}

𝑡2_{∙ 2}4_{− 5 ∙}_𝑡_{∙ 2}3_{= −9}

𝑡2_{∙ 16 − 5 ∙}_𝑡_{∙ 8 = −9}

16𝑡2_{− 40}_𝑡_{= −9}

16𝑡2_{− 40𝑡 + 9 = 0}

2

𝑥

₌

_𝑡

Cambio de variable

𝑡 =9₄

𝑡 =1 4 𝑡 = 2𝑥

𝑡 =9₄ 2𝑥₌9

4

𝑡 =1 4 𝑡 = 2𝑥 2𝑥=

1 4

Prueba( ecuaciones)

Nombre:____________________nº Lista:________Fecha:_________

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

•Definiciones

•1º grado

•2º grado

•bicuadradas

•grado > 2º

•Inecuaciones

•

Sistemas lineales

De 2 ecuaciones con 2 incógnitas

(10)

Sistemas de 3 ecuaciones lineales

con 3 incógnitas . Método de Gauss

Ejemplo

PROBLEMAS DE SISTEMAS

(11)

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

•Definiciones

•1º grado

•2º grado

•bicuadradas

•grado > 2º

•Inecuaciones

Sistemas no lineales

casa

3𝑥

3− 7𝑦∙ 72= −340

3𝑥_{+ 7}𝑦_{= 16}

3𝑥

3− 49 ∙ 7𝑦= −340 3𝑥_{= 𝑡}

7𝑦_{= 𝑤}

t+w = 16 𝑡

3− 49w = −340

𝑡 = 9 𝑤 = 7

3𝑥_{= 𝑡} 3 ₇𝑦_{= 𝑤}

𝑥_{= 9} 7𝑦_{= 7}

(12)

Inecuaciones

Repaso

Desigualdades e inecuaciones

Desigualdades

b

a



b

a



b

a



b

a



a es menor que b a es mayor que b

a es menor o igual que b a es mayor o igual que b

Inecuaciones

Las relaciones algebraicas con desigualdades se llaman inecuaciones

Inecuaciones







1

3x



5x2_1_3x Ecuaciones

1

3x 5x2_1_3x



1 3x

x x 1 3 52_ _

x x 1 3 5 2_ _

Inecuaciones polinómicas de 1º grado

2

8 

2

8 





2

8 





 

2

2  

2

8 









• Sumar 2

2

8 





• Restar 2

• Multiplicar por 2

• Multiplicar por (-2)

 

2

2  

2

8 









2

8 :



:

 

2

2  

2

8 :





:



• Dividir por 2

• Dividir por (-2)

(13)

• Multiplicar por nº negativo • Dividir por nº negativo

Cambia la desigualdad en una inecuación









Para resolver una inecuación polinómica de 1º grado, se resuelve igual que las ecuaciones de 1º grado, excepto

si tenemos que:

x

4 

3 x

6 

2 x

3

12

15 

_

_



x



x

12

3

6

15 





x

12

36

72

6

15 





12

72

6

36

15 x



x



x







60

15 



x

15

60 





x

4 

x



x



x

2

6

3

4

3

12

15 

_

_



x



x

12

3

6

15 





x

12

36

72

6

15 





12

72

6

36

15 x



x



x







60

15 



x

15

60 





x

4 

x

Inecuaciones 1º grado Ecuaciones 1º grado

Divides por un nº negativo

[

,

]

4 

Inecuaciones polinómicas de grado superior

4 3 2

8

12 x

x







0

12

8

2 3

4

_

_

_

x





3  





2 

2



0 

x

3º Estudio del signo de los factores



 



2

3 







x

+

-

+

(14)

3𝑥2_{− 2𝑥 − 2𝑥}2_{− 15 ≥ 0}

𝑥2_{− 2𝑥 − 15 ≥ 0}

Descomposición de 𝑝 𝑥 = 𝑥2_{− 2𝑥 − 15}

𝑝 𝑥 = (𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 5) (𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 5)≥ 0

(𝑥 + 3)

(𝑥 − 5)

(𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 5)







,



3  



5 ,





MAYOR O IGUAL QUE CERO

INECUACIONES POLINÓMICASDE 1º GRADO

INECUACIONES POLINÓMICAS GRADO SUPERIOR

Inecuaciones racionales

0

3

2 _







x





2 ,

3 

















x

2

7

2

3

1

2 Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita

5

2

7

2

3

2

7

2

3 













x

4

1

3

2

3

1

2 













x

(15)

Sistemas de inecuaciones de primer grado con DOS incógnita















x

y

4 x

2 y

4 x 2 y : r1  

x

y

:

r

2



(0,4)

(2, 0)

A(x,y) (1,1)

(0,0)

Para calcular el punto A

Calculamos el sistema de ecuaciones

              3 4 , 3 4 A 4 3 4 x        x y 4 x 2 y A(x,y)