MA 2115 Cabello Y Marcos González Clase 11 pdf

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Matem

´aticas

MA2115 Clase 11: Ecuaciones Homog´eneas

Elaborado por los profesores

Edgar Cabello y Marcos Gonz´

alez

Definicion 1 Se dice que f(x, y) es una funci´on homog´enea de grado n, si existe un n´umero real

n tal que

f(tx, ty) = tnf(x, y),

para todos los n´umeros reales t, x, y para los cuales ambas expresiones est´an definidas.

Ejemplo 1 1. La funci´on f(x, y) = px3+y3 es homog´enea de grado n = 3/2. En efecto, para

f(tx, ty) =p(tx)3+ (ty)3 =pt3(x3+y3) =t3/2p

x3+y3 =t3/2f(x, y).

Es decir, f(tx, ty) = t3/2f(x, y).

2. La funci´on f(x, y) = x

2y + 4 es homog´enea de grado n = 0. En efecto, f(tx, ty) = tx

2ty + 4 = x

2y =t

0

x

2y + 4

=t0f(x, y).

Por lo tanto, f(tx, ty) =t0f(x, y).

3. La funci´on f(x, y) = x2+y2 + 1 no es homog´enea. En efecto, por una parte, tenemos que

f(tx, ty) = t2x2+t2y2+ 1 =t2(x2+y2) + 1 y, por otra parte, tnf(x, y) = tn(x2+y2+ 1) =

tn(x2+y2) +tn de donde

f(tx, ty)−tnf(x, y) =t2 x2+y2+ 1−tn x2 +y2+ 1= (t2−tn) x2+y2+ 1−tn.

As´ı, si f(x, y) fuera homogenea, existir´ıa n tale que (t2tn) (x2+y2) + 1tn= 0 para todo

t, x, y. En particular, para x=y= 0, tendr´ıamos que 1−tn = 0, de donde tn = 1, para todo

t; es decir, n deber´ıa ser 0, f(tx, ty)−f(x, y) = (t2−1) (x2 +y2) deber´ıa ser 0, para todo

t, x, y, y llegar´ıamos finalmente a la ecuaci´on 1−t2 = 0, para todo t, la cual no se cumple.

En concluci´on, f(x, y) no es homog´enea para ning´un grado n.

1

Ecuaciones diferenciales homog´

eneas

Definicion 2 Una ecuaci´on diferencial de la forma M(x, y)dx+N(x, y)dy= 0 donde

M(tx, ty) = tnM(x, y)

N(tx, xy) = tnN(x, y)

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Una ecuaci´on diferencial de primer orden es aqu´ellas que se puede escribir en la forma

dy dx =F

y

x

. (1)

Si hacemos y=ux ´o x=vy entonces dy

dx =u+x du

dx. As´ı, la ecuaci´on (1) se transforma en

xdu

dx =F(u)−u.

De esta forma reducimos la ecuaci´on homog´enea a una ecuaci´on de variables separables.

Ejemplo 2 Resolver la ecuaci´on xy+y2 = (2x2+xy)y0.

Soluci´on: La ecuaci´on xy+y2 = (2x2+xy)y0 la podemos escribir como

y0 = xy+y

2

2x2+xy =

y x+

y

x

2

2 + y

x

, x6= 0.

Es decir, tenemos una ecuaci´on de la forma (1). Sea z = y

x. Entonces, substituyendoz = y x en la

ecuaci´on anterior y usando y0 =z+xz0 tenemos que

z+z0x= z+z

2

2 +z .

Por lo tanto,

z0x= z+z

2

2 +z −z =

z+z22zz2

2 +z =

−z

2 +z

o, equivalentemente,

2 +z z

dz dx =−

1

x.

Integrando ambos miembros de esta ´ultima ecuaci´on, obtenemos

Z

1 + 2

z

dz = −

Z

dx x

⇔2 ln|z|+z = −ln|x|+C

y ahora cambiamos la variable para obtener

2 ln

y x

+

y

x =−ln|x|+C.

Finalmente, observemos que si x= 0 entonces y = 0 tambi´en es soluci´on.

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Soluci´on: La ecuaci´on (x2−y2)dx−2xydy = 0 es homog´enea. Seay=ux, de dondedy=udx+xdu

y

0 = (x2−y2)dx−2xydy = (x2−u2x2)dx−2xux(udx+xdu)

= x2(1−u2)dx−2x2u(udx+xdu) =x2(dx−u2dx−2u2dx−2xudu)

con lo cual x2(dxu2dx2u2dx2xudu) = 0 y, en consecuencia, (13u2)dx = 2xudu. Por lo

tanto, podemos separar las variables en la forma

dx x −

2udu

1−3u2 = 0

y ahora integramos para obtener

ln|x|+ 1 3ln

1−3u2

= lnC.

Por ´ultimo, haciendo el cambio de variable u= y

x y aplicando la exponencial en ambos miembros,

obtenemos x3

1−3y

x

2

=C.

Ejemplo 4 Resolver (x33y2)dx+ 2xydy= 0.

Soluci´on: (x3−3y2)dx+ 2xydy = 0 es homog´enea.

dy dx =

3y2−x2

2xy ⇒

dy dx =

3y2

2xy − x2

2xy dy

dx =

3 2

y

x

− 1

2

x y

⇒ dy

dx =

3 2 ·

y x−

1 2 ·

1

y/x

Sea u= y

x ´oy=ux entonces dy

dx =u+x du dx luego

u+xdu dx =

3 2u−

1 2u

xdu dx =

u

2 − 1 2u =

u21

2u

2udu u21 =

dx x

ln|u2−1| = ln|x|+ ln|C|

ln

y

x

2

−1

= ln|Cx|

y

x

2

−1 = Cx y2−x2 = Cx3

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Ejemplo 5 y0 = √ 1

x+y, y(0) = 1. Soluci´on: Sea u=x+y, de donde du

dx = 1 + dy dx

du

dx −1 = dy dx =

1

u du

dx =

1

u + 1 =

1 +√u

u

u

1 +√udu = dx

Sea u=z2 entonces du= 2zdz de donde

2z2

1 +zdz = dx

2

z−1 + 1 1 +z

dz = dx

2

z2

2 −z+ ln|1 +z|

= x+C

z2−2z+ ln(1 +z)2 = x+C u−2√u+ ln(1 +√u)2 = x+C x+y−2√x+y+ ln(1 +√x+y)2 = x+C

Usando las condici´on inicialy(0) = 1, es decir x= 0, y= 1 tenemos que 1−2 + ln 22 =C de donde

C = 2 ln 2−1. As´ı obtenemos la soluci´on,

y−2√x+y+ ln(1 +√x+y)2 = 2 ln 2−1.

Ejemplo 6 Resolver 2xydy dx = 4x

2+ 3y2.

Soluci´on: Esta ecuaci´on la podemos escribir como

dy dx = 2

x y +

3 2

y x ⇒

dy dx = 2

1

y/x +

3 2

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Sea u= y

x entoncesy =ux y dy

dx =u+x du

dx. Entonces

u+xdu

dx = 2

1

u+

3 2u

xdu dx =

2

u + u

2 =

u2+ 4 2u

2u

u2+ 4du =

dx x

ln|u2+ 4| = ln|x|+ lnC

u2+ 4 = Cx

y2

x2 + 4 = Cx

y2+ 4x2 = Cx3.

Ejemplo 7 Resolver xdy

dx =y+ (x

2y2)1/2, y(1) = 0.

Soluci´on: xdy

dx =y+ (x

2y2)1/2 dy

dx = y x+

1−y

x

21/2

.

Sea u= y

x. Entonces y=ux⇒ dy

dx =u+x du dx. As´ı,

u+xdu

dx = u+ (1−u

2)1/2

xdu

dx = (1−u

2

)1/2

du

1−u2 =

dx x

sen−1u = ln|x|+C

sen−1 y

x = ln|x|+C.

Usando las condiciones iniciales x = 1, y= 0, tenemos que sen−10 = ln 1 +C C = 0, de donde

obtenemos

sen−1 y

x = ln|x| ⇒ y

x = sen(ln|x|) y = xsen(ln|x|).

2

Reducci´

on de Orden

Es muy frecuente, en las ecuaciones diferenciales poder reducir de orden a objeto de obtener una ecuaci´on diferencial de m´as f´acil soluci´on. Estudiaremos como resolver una ecuaci´on diferencial de la forma

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Veamos los siguientes casos:

Caso 1: En la ecuaci´on diferencial falta y, es decir, la ecuaci´on tiene la forma F (x, y0, y00) = 0, la cual resolveremos con el cambio y0 =u, para obtener

F(x, u, u0) = 0.

Ejemplo 8 Encuentre la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial x2y00+ (y0)2 = 0.

Soluci´on: Sea u =y0. Entonces u00 = y0 y la ecuaci´on x2y00+ (y0)2 = 0 viene a ser x2u0 +u2 = 0.

Ahora resolvemos la nueva ecuaci´on usando separaci´on de variables:

x2u0 +u2 = 0 =⇒ u0+ 1

x2u 2 = 0

=⇒ du

dx =−

1

x2u 2

=⇒ du

u2 =−

dx x2

=⇒ −1

u =

1

x +C1

=⇒ 1

u =−

1 +C1x

x =⇒u=− x

1 +C1x

.

De donde nos queda la ecuaci´on diferencial,

y0 = − x

1 +C1x

y0 = 1

C1

− 1

C1

· 1

1 +C1x

y = x

C1

− ln(1 +C1x)

C2 1

+C2

Caso 2: En la ecuaci´on diferencial falta x, es decir, la ecuaci´on tiene la forma F (y, y0, y00) = 0.

Haciendo el cambio y0 = z y observando que y00 = z0 = dz

dx = dz dy

dy dx =

dz

dy ·z, tenemos que la

ecuaci´on se transforma en

G

y, z,dz dy

= 0.

Ejemplo 9 Encuentre la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial y2y00 =y0.

Soluci´on: Como en la ecuaci´ony2y00 =y0 faltax, estamos en el segundo caso, y tenemos que hacer

el cambio de variable, z =y0, zdz dy =y

00, con lo cual obtenemos

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As´ı,

y2zdz

dy =z =⇒ y

2dz

dy = 1

=⇒ dz = dy

y2 =⇒z =−

1

y +C

=⇒ dy

dx =

Cy−1

y =⇒ y

Cy−1dy=dx =⇒

Z

1

C +

1

C ·

1

Cy−1

dy =

Z

dx

=⇒ y

C +

ln(Cy−1)

C2 =x+C2

De donde obtenemos la soluci´on:

Cy+ ln(Cy−1) =C2x+C3.

Ejemplo 10 Resuelva la ecuaci´on diferencial yy00= (y0)2(1−y0cosy+yy0seny).

Soluci´on: En la ecuaci´on

yy00 = (y0)2(1−y0cosy+yy0seny) (2)

no aparece la variable x, de modo que estamos en el segundo caso. Sea y0 =z. Entonces,y00 =zdz dy

y, substituyendo en (2), obtenemos

yzdz dy =z

2(1zcosy+yzseny).

Si y es constante, entoncesz = 0 y ambos miembros de la ecuaci´on se anulan, con lo cualy =C es soluci´on de la ecuaci´on. En caso contrario,z 6= 0, y podemos dividir por z para obtener

ydz

dy = z(1−zcosy+yzseny)

⇐⇒ dz

dy = z y −z

2cosy

y +z

2

seny

⇐⇒ dz

dy −

1

yz =z

2

seny− cosy

y

.

Denotando dz

dy =z

0, la ´ultima ecuaci´on viene a ser

z0− 1

yz =z

2

seny− cosy

y

,

y esta ecuaci´on es de Bernoulli. Haciendo el cambio u =z−1, tenemos que u0 =z−2z0, de donde z0 =−z2u0 obtenemos

−z2u0− 1

yz =z

2

seny− cosy

y

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y simplificando obtenemos la ecuaci´on lineal de 1er orden

u0+u

y =

cosy

y −seny;

aplicando el m´etodo del factor integrante,µ(y) =e

R 1

ydy =eln|y|=|y|, obtenemos la soluci´on

u= 1

y

Z

y

cosy

y −seny

dy+C

,

de donde

1

z =

1

y

Z

(cosy−yseny)dy+C

⇐⇒ 1

z =

1

y(ycosy+C)

⇐⇒ dx

dy =

1

z =

1

y(ycosy+C)

⇐⇒ x=Cln|y|+ seny+C2.

Ejemplo 11 Encuentre la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial yy00 = 2 (y0)2−2y0.

Soluci´on: Sea z =y0, y00 =zdz dy. As´ı,

yy00 = 2 (y0)2−2y0 yzdz

dy = 2z

22z

ydz

dy = 2z−2 dz

z−1 = 2

dy y

ln|z−1| = 2 ln|Ay|, A∈R

ln|z−1| = ln(Ay)2

z−1 = (Ay)2,

como z =y0,

dy

dx = (Ay)

2

+ 1

dy

(Ay)2 + 1 = dx

1

Aarctan(Ay) = x+C, C ∈R

arctan (Ay) = Ax+AC

y = tan(Ax+B)

A , B =AC.

Correcciones: Boris Iskra

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